ในกลศาสตร์ต่อเนื่อง การวัด ความเค้นที่ใช้กันทั่วไปคือเทนเซอร์ความเค้นของ Cauchyซึ่งมักเรียกง่ายๆ ว่าเทนเซอร์ความเค้นหรือ "ความเค้นจริง" อย่างไรก็ตาม สามารถกำหนดการวัดความเค้นทางเลือกอื่นๆ ได้หลายอย่าง: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

1. ความเค้นของ Kirchhoff ( )${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\tau }}}$
2. ความเค้นระบุ ( )${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {N}}}$
3. เทนเซอร์ความเค้น ของPiola–Kirchhoff
   1. ความเค้น Piola–Kirchhoff แรก ( ) เทนเซอร์ความเค้นนี้เป็นทรานสโพสของความเค้นนาม ( )${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {P}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {N}}^{T}}$
   2. ความเครียด Piola–Kirchhoff ครั้งที่สอง หรือความเครียด PK2 ( )${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {S}}}$
4. ความเครียดของไบโอต์ ( )${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {T}}}$

พิจารณาสถานการณ์ที่แสดงในรูปต่อไปนี้ คำจำกัดความต่อไปนี้ใช้สัญลักษณ์ที่แสดงในรูป

ในการกำหนดค่าอ้างอิง เวกเตอร์ตั้ง ฉากภายนอกขององค์ประกอบพื้นผิวคือและแรงดึงที่กระทำต่อพื้นผิวนั้น (สมมติว่ามันเปลี่ยนรูปเหมือนเวกเตอร์ทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนรูป) คือซึ่งนำไปสู่เวกเตอร์แรงในการกำหนดค่าที่เปลี่ยนรูปแล้วองค์ประกอบพื้นผิวจะเปลี่ยนเป็นโดยมีเวกเตอร์ตั้งฉากภายนอกและเวกเตอร์แรงดึงซึ่งนำไปสู่แรงโปรดทราบว่าพื้นผิวนี้อาจเป็นส่วนตัดสมมุติภายในตัววัตถุหรือพื้นผิวจริงก็ได้ ปริมาณคือเทนเซอร์เกรเดียนต์การเปลี่ยนรูป และคือดีเทอร์มิแนนต์ของมัน ${\displaystyle \Omega _{0}}$${\displaystyle d\Gamma _{0}}$${\displaystyle \mathbf {N} \equiv \mathbf {n} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {t} _{0}}$${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle d\Gamma }$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle d\mathbf {f} }$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$${\displaystyle J}$

ความเค้นโคชี (หรือความเค้นจริง) คือการวัดแรงที่กระทำต่อพื้นที่ส่วนหนึ่งในรูปทรงที่เสียรูป เทนเซอร์นี้มีสมมาตรและถูกกำหนดโดย

${\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma }$

หรือ

${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} }$

โดยที่แรงดึงและเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิวที่แรงดึงกระทำอยู่นั้นอยู่ ที่ใด${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$

ปริมาณ

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}}$

เรียกว่าเทนเซอร์ความเค้นของ Kirchhoffโดยมีดีเทอร์มิแนนต์ เท่ากับ มันถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางในอัลกอริธึมเชิงตัวเลขในด้านพลาสติกของโลหะ (ซึ่งไม่มีการเปลี่ยนแปลงปริมาตรในระหว่างการเสียรูปพลาสติก) อาจเรียกว่าเทนเซอร์ความเค้นของ Cauchy แบบถ่วงน้ำหนักก็ได้เช่นกัน ${\displaystyle J}$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

ความเค้นระบุ (nominal stress) คือค่าผกผันของความเค้น Piola–Kirchhoff ตัวแรก (ความเค้น PK1 หรือที่เรียกว่าความเค้นทางวิศวกรรม) และกำหนดโดย ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}}$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$

${\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

หรือ

${\displaystyle \mathbf {t} _{0}=\mathbf {t} {\dfrac {d{\Gamma }}{d\Gamma _{0}}}={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}}$

ความเค้นนี้ไม่สมมาตรและเป็นเทนเซอร์สองจุดเช่นเดียวกับเกรเดียนต์การเปลี่ยนรูป ความไม่สมมาตรเกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าในฐานะเทนเซอร์ มันมีดัชนีหนึ่งที่ติดอยู่กับการกำหนดค่าอ้างอิงและอีกหนึ่งที่ติดอยู่กับการกำหนดค่าที่เปลี่ยนรูป^{[ 4 ]}

ถ้าเราย้อนกลับ ไปที่การกำหนดค่าอ้างอิง เราจะได้แรงดึงที่กระทำบนพื้นผิวนั้นก่อนการเปลี่ยนรูปโดยสมมติว่ามันมีพฤติกรรมเหมือนเวกเตอร์ทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนรูป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรามี ${\displaystyle d\mathbf {f} }$${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}}$

${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot d\mathbf {f} }$

หรือ,

${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}}$

ความเค้น PK2 ( ) เป็นแบบสมมาตรและถูกกำหนดผ่านความสัมพันธ์ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}}$

ดังนั้น,

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}}$

ความเค้นไบโอต์มีประโยชน์เพราะเป็นพลังงานคู่ควบกับเทนเซอร์การยืดด้านขวา ความเค้นไบโอต์ถูกกำหนดให้เป็นส่วนสมมาตรของเทนเซอร์โดยที่คือเทนเซอร์การหมุนที่ได้จากการแยกส่วนเชิงขั้วของเกรเดียนต์การเปลี่ยนรูป ดังนั้น เทนเซอร์ความเค้นไบโอต์จึงถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})~.}$

ความเค้นไบโอต์ (Biot stress) เรียกอีกอย่างว่า ความเค้นเชามานน์ (Jaumann stress)

ปริมาณดังกล่าวไม่มีความหมายทางกายภาพใดๆ อย่างไรก็ตาม ความเค้นไบโอต์ที่ไม่สมมาตรนั้นมีความหมายในเชิงกายภาพ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}~d\mathbf {f} =({\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

จากสูตรของแนนสันที่เชื่อมโยงพื้นที่ในโครงสร้างอ้างอิงและโครงสร้างที่เปลี่ยนรูป:

${\displaystyle \mathbf {n} ~d\Gamma =J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

ตอนนี้,

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma =d\mathbf {f} ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

เพราะฉะนั้น,

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot (J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}$

หรือ,

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}=J~({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})^{T}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

หรือ,

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {N}}^{T}={\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

ในรูปแบบการเขียนดัชนี

${\displaystyle N_{Ij}=J~F_{Ik}^{-1}~\sigma _{kj}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=J~\sigma _{ki}~F_{Jk}^{-1}}$

ดังนั้น,

${\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}~.}$

โปรดทราบว่า และ(โดยทั่วไป) ไม่สมมาตร เนื่องจาก(โดยทั่วไป) ไม่สมมาตร ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

โปรดจำไว้ว่า

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}=d\mathbf {f} }$

และ

${\displaystyle d\mathbf {f} ={\boldsymbol {F}}\cdot d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})}$

ดังนั้น,

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}}$

หรือ (โดยใช้สมมาตรของ) ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}}$

ในรูปแบบการเขียนดัชนี

${\displaystyle N_{Ij}=S_{IK}~F_{jK}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=F_{iK}~S_{KJ}}$

อีกทางเลือกหนึ่ง เราสามารถเขียนได้

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {P}}}$

โปรดจำไว้ว่า

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

ในส่วนของความเครียด PK ครั้งที่ 2 เรามี

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

ดังนั้น,

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

ในรูปแบบการเขียนดัชนี

${\displaystyle S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}~\tau _{kl}~F_{Jl}^{-1}}$

เนื่องจากความเค้นของ Cauchy (และด้วยเหตุนี้ความเค้นของ Kirchhoff) มีสมมาตร ดังนั้นความเค้น PK ลำดับที่ 2 จึงมีสมมาตรเช่นกัน

อีกทางเลือกหนึ่ง เราสามารถเขียนได้

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$

หรือ,

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

เห็นได้ชัดจากคำจำกัดความของการผลักดันไปข้างหน้าและ การ ดึงกลับว่า เรามี

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\varphi ^{*}[{\boldsymbol {\tau }}]={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}$

และ

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\varphi _{*}[{\boldsymbol {S}}]={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

ดังนั้น จึงเป็นการดึงกลับของและจึงเป็นการผลักไปข้างหน้าของ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

สำคัญ:$${\displaystyle J=\det \left({\boldsymbol {F}}\right),\quad {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {U}}^{2},\quad {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {U}},\quad {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {R}}^{-1},}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {\tau }}=J{\boldsymbol {\sigma }},\quad {\boldsymbol {S}}=J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}},\quad {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}$$

สูตรการแปลง

สมการสำหรับ	${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\,}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {\tau }}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$(ไม่เป็นไอโซโทรปี)
${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {\sigma }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {F}}^{T}}$(ไม่เป็นไอโซโทรปี)
${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{-1}{\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C}}^{-1}{\boldsymbol {M}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {T}}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{-1}{\boldsymbol {M}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {M}}=\,}$	${\displaystyle J{\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$(ไม่เป็นไอโซโทรปี)	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}$(ไม่เป็นไอโซโทรปี)	${\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {P}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$

• ความเครียด (ฟิสิกส์)
• ทฤษฎีความเครียดจำกัด
• กลศาสตร์ต่อเนื่อง
• วัสดุที่มีความยืดหยุ่นสูง
• วัสดุยืดหยุ่นคอชี่
• การวิเคราะห์ระนาบวิกฤต