ในกลศาสตร์ต่อเนื่องทฤษฎีความเครียดจำกัด —หรือที่เรียกว่าทฤษฎีความเครียดขนาดใหญ่หรือทฤษฎีการเปลี่ยนรูปขนาดใหญ่ —เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนรูปที่ความเครียดและ/หรือการหมุนมีขนาดใหญ่พอที่จะทำให้ข้อสมมติฐานที่อยู่ในทฤษฎีความเครียดขนาดเล็ก ไม่ถูกต้อง ในกรณีนี้ รูปทรงที่ยังไม่เปลี่ยนรูปและรูปทรงที่เปลี่ยนรูปแล้วของวัสดุต่อเนื่องจะแตกต่างกันอย่างมาก จึงจำเป็นต้องมีการแยกแยะความแตกต่างระหว่างกันอย่างชัดเจน กรณีนี้มักเกิดขึ้นกับอีลาสโตเมอร์วัสดุที่เปลี่ยนรูปพลาสติกและของเหลว อื่นๆ รวมถึงเนื้อเยื่ออ่อนทาง ชีวภาพ

การเคลื่อนที่ของวัตถุมีสององค์ประกอบ ได้แก่ การเคลื่อนที่ แบบแข็งตัวและการเปลี่ยนรูป

• การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งประกอบด้วยการเคลื่อนที่เชิงเส้นและการหมุนของวัตถุโดยไม่เปลี่ยนแปลงรูปร่างหรือขนาดของวัตถุ
• การเสียรูปหมายถึงการเปลี่ยนแปลงรูปร่างและ/หรือขนาดของวัตถุจากรูปทรงเริ่มต้นหรือรูปทรงที่ไม่เสียรูปไปสู่รูปทรงปัจจุบันหรือรูปทรงที่เสียรูปแล้ว(รูปที่ 1)${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

การเปลี่ยนแปลงในโครงสร้างของวัตถุต่อเนื่องสามารถอธิบายได้ด้วยสนามการกระจัด สนามการกระจัดคือสนามเวกเตอร์ของเวกเตอร์การกระจัดทั้งหมดสำหรับอนุภาคทั้งหมดในวัตถุ ซึ่งเชื่อมโยงโครงสร้างที่เปลี่ยนรูปแล้วกับโครงสร้างก่อนเปลี่ยนรูป ระยะห่างระหว่างอนุภาคสองอนุภาคใดๆ จะเปลี่ยนแปลงก็ต่อเมื่อเกิดการเปลี่ยนรูปเท่านั้น หากการกระจัดเกิดขึ้นโดยไม่มีการเปลี่ยนรูป จะเรียกว่าการกระจัดของวัตถุแข็งเกร็ง

เทนเซอร์เกรเดียนต์การเปลี่ยนรูปเป็นปริมาณที่เกี่ยวข้องกับทั้งการกำหนดค่าอ้างอิงและการกำหนดค่าปัจจุบัน และแสดงถึงการเคลื่อนที่ในบริเวณรอบจุดใดจุดหนึ่ง สามารถกำหนดเทนเซอร์เกรเดียนต์การเปลี่ยนรูปได้สองประเภท

เทนเซอร์เกรเดียนต์การเปลี่ยนรูปของวัสดุ เป็นเทนเซอร์อันดับสองที่แสดงถึงเกรเดียนต์ของ ฟังก์ชันการแมป ที่เรียบและผกผันได้ซึ่งอธิบายการเคลื่อนที่ของตัวกลางต่อเนื่องโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความต่อเนื่องของฟังก์ชันการแมปหมายความว่ารอยแตกและช่องว่างจะไม่เปิดหรือปิดในระหว่างการเปลี่ยนรูป เทนเซอร์เกรเดียนต์การเปลี่ยนรูปของวัสดุแสดงลักษณะการเปลี่ยนรูปเฉพาะที่ ณ จุดวัสดุที่มีเวกเตอร์ตำแหน่ง นั่นคือ การเปลี่ยนรูปที่จุดใกล้เคียง โดยการแปลง ( การแปลงเชิงเส้น ) องค์ประกอบเส้น วัสดุ ที่ออกมาจากจุดนั้นจากโครงสร้างอ้างอิงไปยังโครงสร้างปัจจุบันหรือโครงสร้างที่เปลี่ยนรูปแล้ว ดังนั้นเราจึงมี ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$${\displaystyle \mathbf {X} \,\!}$$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{หรือ}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{หรือ}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

สมมติว่ามีอินเวอร์สที่เรียบเนียนก็มีอินเวอร์สเช่นกันซึ่งก็คือ เทนเซอร์เกรเดี ยนต์ การเปลี่ยนรูปเชิงพื้นที่ การที่อินเวอร์สได้นั้นเทียบเท่ากับซึ่งสอดคล้องกับแนวคิดที่ว่าวัสดุนั้นไม่สามารถถูกบีบอัดได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial \mathbf {x} }}\,\!}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle {\text{det}}\mathbf {F} \neq 0}$

พิจารณาอนุภาคหรือจุดวัสดุ ที่มีเวกเตอร์ตำแหน่งในสถานะก่อนการเปลี่ยนรูป (รูปที่ 2) หลังจากที่วัตถุมีการเคลื่อนที่ ตำแหน่งใหม่ของอนุภาคที่ระบุโดยในสถานะใหม่จะแสดงด้วยเวกเตอร์ตำแหน่งระบบพิกัดสำหรับสถานะก่อนการเปลี่ยนรูปและสถานะที่เปลี่ยนรูปแล้วสามารถซ้อนทับกันได้เพื่อความสะดวก ${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {X} =X_{I}\mathbf {I} _{I}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}\,\!}$

พิจารณาจุดวัสดุที่อยู่ใกล้เคียงกับ โดยมีเวกเตอร์ตำแหน่งในโครงสร้างที่เปลี่ยนรูปแล้ว อนุภาคนี้จะมีตำแหน่งใหม่ที่กำหนดโดยเวกเตอร์ตำแหน่งสมมติว่าส่วนของเส้นตรงและที่เชื่อมอนุภาคและในทั้งโครงสร้างที่ยังไม่เปลี่ยนรูปและโครงสร้างที่เปลี่ยนรูปแล้วนั้น มีขนาดเล็กมาก เราจึงสามารถแสดงส่วนของเส้นตรงนั้นได้เป็นและดังนั้นจากรูปที่ 2 เราจะได้ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle P\,\!}$${\displaystyle \mathbf {X} +\Delta \mathbf {X} =(X_{I}+\Delta X_{I})\mathbf {I} _{I}\,\!}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \,\!}$${\displaystyle \Delta X}$${\displaystyle \Delta \mathbf {x} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle d\mathbf {X} }$${\displaystyle d\mathbf {x} \,\!}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &=\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} ),\\\mathbf {x} +d\mathbf {x} &=\mathbf {X} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} ),\\{\text{and}}{\text{ therefore}}&\\d\mathbf {x} &=\mathbf {X} -\mathbf {x} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )-\mathbf {u} (\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\\end{aligned}},}$$

โดยที่คือเวกเตอร์การกระจัดสัมพัทธ์ซึ่งแสดงถึงการกระจัดสัมพัทธ์ของเทียบกับในการกำหนดค่าที่เสียรูป ${\displaystyle \mathbf {du} }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

สำหรับองค์ประกอบขนาดเล็กมากและสมมติว่าสนามการกระจัดมีความต่อเนื่อง เราสามารถใช้การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์รอบจุดโดยไม่สนใจพจน์ลำดับสูงกว่า เพื่อประมาณส่วนประกอบของเวกเตอร์การกระจัดสัมพัทธ์สำหรับอนุภาคข้างเคียงได้ดังนี้ ดังนั้น สมการก่อนหน้านี้สามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle d\mathbf {X} \,\!}$${\displaystyle P\,\!}$${\displaystyle Q}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )&=\mathbf {u} (\mathbf {X} )+d\mathbf {u} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}=u_{i}+du_{i}\\&\approx \mathbf {u} (\mathbf {X} )+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}\approx u_{i}+{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{J}}}dX_{J}\,.\end{aligned}}}$$${\displaystyle d\mathbf {x} =d\mathbf {X} +d\mathbf {u} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\&=d\mathbf {X} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \\&=\left(\mathbf {I} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

การคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนรูปของวัตถุที่ขึ้นอยู่กับเวลา มักต้อง คำนวณอนุพันธ์ของเกรเดียนต์การเปลี่ยนรูปเทียบ กับเวลาคำจำกัดความที่สอดคล้องกันทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ดังกล่าวต้องอาศัยการสำรวจเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์^{[ 1 ]}แต่เราหลีกเลี่ยงประเด็นเหล่านั้นในบทความนี้

อนุพันธ์เทียบกับเวลาของคือ โดยที่คือความเร็ว (ของวัสดุ) อนุพันธ์ทางด้านขวามือแสดงถึงเกรเดียนต์ความเร็วของวัสดุโดยทั่วไปจะแปลงเป็นเกรเดียนต์เชิงพื้นที่โดยใช้กฎลูกโซ่สำหรับอนุพันธ์ กล่าวคือ โดยที่คือเกรเดียนต์ความเร็วเชิงพื้นที่และ โดยที่คือความเร็วเชิงพื้นที่ (แบบออยเลอร์) ที่ถ้าเกรเดียนต์ความเร็วเชิงพื้นที่คงที่ตลอดเวลา สมการข้างต้นสามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำเพื่อให้ได้ โดย สมมติ ว่า ที่ มีหลายวิธีในการคำนวณเลขชี้กำลังข้างต้น ${\displaystyle \mathbf {F} }$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]}$$${\displaystyle \mathbf {V} }$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t),t)\right]=\left.{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right]\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {l}}\cdot \mathbf {F} }$$${\displaystyle {\boldsymbol {l}}=(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {v} )^{T}}$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}$$${\displaystyle \mathbf {F} =e^{{\boldsymbol {l}}\,t}}$$${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {1} }$${\displaystyle t=0}$

ปริมาณที่เกี่ยวข้องซึ่งมักใช้ในกลศาสตร์ต่อเนื่อง ได้แก่เทนเซอร์อัตราการเปลี่ยนรูปและเทนเซอร์การหมุนซึ่งกำหนดไว้ดังนี้: เทนเซอร์อัตราการเปลี่ยนรูปแสดงอัตราการยืดขององค์ประกอบเส้น ในขณะที่เทนเซอร์การหมุนบ่งชี้อัตราการหมุนหรือความปั่นป่วนของการเคลื่อนที่ $${\displaystyle {\boldsymbol {d}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}+{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,,~~{\boldsymbol {w}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,.}$$

อนุพันธ์เชิงวัสดุเทียบกับเวลาของส่วนกลับของเกรเดียนต์การเปลี่ยนรูป (โดยคงการกำหนดค่าอ้างอิงไว้) มักจำเป็นในการวิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องกับความเครียดจำกัด อนุพันธ์นี้คือ ความสัมพันธ์ข้างต้นสามารถตรวจสอบได้โดยการหาอนุพันธ์เชิงวัสดุเทียบกับเวลาของและสังเกตว่า $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {F} ^{-1}\right)=-\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,.}$$${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} =d\mathbf {X} }$${\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=0}$

เกรเดียนต์การเปลี่ยนรูปเช่นเดียวกับเทนเซอร์อันดับสองที่ผกผันได้ใดๆ สามารถแยกส่วนได้โดยใช้ ทฤษฎีบท การแยกส่วนเชิงขั้วออกเป็นผลคูณของเทนเซอร์อันดับสองสองตัว (Truesdell และ Noll, 1965): เทนเซอร์เชิงตั้งฉากและเทนเซอร์สมมาตรบวกแน่นอน กล่าวคือโดยที่เทนเซอร์เป็นเทนเซอร์เชิงตั้งฉากที่เหมาะสมกล่าวคือและซึ่งแสดงถึงการหมุน เทนเซอร์คือเทนเซอร์ยืดทางขวาและคือเทนเซอร์ยืดทางซ้ายคำว่าขวาและซ้ายหมายความว่าอยู่ทางขวาและทางซ้ายของเทนเซอร์การหมุนตามลำดับและต่างก็เป็นบวกแน่นอน กล่าวคือและสำหรับค่าที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดและเป็นเทนเซอร์สมมาตร กล่าวคือและของอันดับสอง ${\displaystyle \mathbf {F} }$$${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {V} \mathbf {R} }$$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{T}}$${\displaystyle \det \mathbf {R} =+1\,\!}$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {V} }$${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {V} }$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} >0}$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {V} \cdot \mathbf {x} >0}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}}$${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} ^{T}\,\!}$

การแยกส่วนนี้แสดงให้เห็นว่า การเปลี่ยนรูปขององค์ประกอบเส้นในโครงสร้างที่ยังไม่เปลี่ยนรูปไปเป็นโครงสร้างที่เปลี่ยนรูปแล้ว กล่าวคือสามารถทำได้โดยการยืดองค์ประกอบด้วยค่าก่อน กล่าว คือตามด้วยการหมุน กล่าวคือหรือเทียบเท่ากัน โดยการใช้การหมุนแบบแข็งก่อนกล่าวคือ ตามด้วยการยืดในภายหลังกล่าวคือ(ดูรูปที่ 3) ${\displaystyle d\mathbf {X} }$${\displaystyle d\mathbf {x} }$${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {U} \,d\mathbf {X} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {R} \,\!}$${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {R} \,d\mathbf {x} '\,\!}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {X} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$${\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {V} \,d\mathbf {x} '}$

เนื่องจากความเป็นตั้งฉากของ ทำให้และ มี ค่าไอเกนเดียวกันหรือค่าการยืดหลัก เดียวกัน แต่มีเวกเตอร์ไอเกนหรือทิศทางหลัก ที่แตกต่างกัน คือ และตามลำดับ ทิศทางหลักมีความสัมพันธ์กันโดย ${\displaystyle \mathbf {R} }$$${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {R} ^{T}}$$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {V} }$${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$$${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} \mathbf {N} _{i}.}$$

การแยกส่วนเชิงขั้วนี้ ซึ่งมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวและสามารถผกผันได้โดยมีดีเทอร์มิแนนต์เป็นบวก เป็นผลลัพธ์ที่ได้จากการแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

ในการแปลงปริมาณที่กำหนดโดยสัมพันธ์กับพื้นที่ในรูปทรงที่เปลี่ยนรูปไปเป็นปริมาณที่สัมพันธ์กับพื้นที่ในรูปทรงอ้างอิง และในทางกลับกัน เราใช้ความสัมพันธ์ของแนนสันซึ่งแสดงได้ดังนี้ โดยที่คือพื้นที่ของบริเวณในรูปทรงที่เปลี่ยนรูปคือพื้นที่เดียวกันในรูปทรงอ้างอิง และคือเวกเตอร์ตั้งฉากภายนอกขององค์ประกอบพื้นที่ในรูปทรงปัจจุบัน ในขณะที่ คือเวกเตอร์ ตั้ง ฉากภายนอกในรูปทรงอ้างอิงคือเกรเดียนต์การเปลี่ยนรูปและ$${\displaystyle da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N} }$$${\displaystyle da}$${\displaystyle dA}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {N} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle J=\det \mathbf {F} \,\!}$

สูตรที่เกี่ยวข้องสำหรับการแปลงองค์ประกอบปริมาตรคือ$${\displaystyle dv=J~dV}$$

เทนเซอร์ความเครียดถูกกำหนดโดยIUPACดังนี้: ^{[ 3 ]}

"เทนเซอร์สมมาตรที่ได้จากการแยกตัวประกอบเทนเซอร์เกรเดียนต์การเปลี่ยนรูปออกเป็นเทนเซอร์การหมุนที่ตามหลังหรือนำหน้าด้วยเทนเซอร์สมมาตร"

เนื่องจากการหมุนบริสุทธิ์ไม่ควรทำให้เกิดความเครียดใดๆ ในวัตถุที่สามารถเปลี่ยนรูปได้ จึงมักสะดวกที่จะใช้การวัดการเปลี่ยนรูปที่ไม่ขึ้นกับการหมุนในกลศาสตร์ต่อเนื่องเนื่องจากการหมุนตามด้วยการหมุนผกผันไม่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงใดๆ ( ) เราจึงสามารถตัดการหมุนออกได้โดยการคูณเทนเซอร์เกรเดียนต์การเปลี่ยนรูป ด้วย ทรานสโพสของ มัน${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}=\mathbf {R} ^{T}\mathbf {R} =\mathbf {I} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {F} }$

ในกลศาสตร์มีการใช้เทนเซอร์เกรเดียนต์การเปลี่ยนรูปที่ไม่ขึ้นกับการหมุนหลายตัว (หรือเรียกสั้น ๆ ว่า "เทนเซอร์การเปลี่ยนรูป") ในกลศาสตร์ของแข็งเทนเซอร์ที่นิยมใช้มากที่สุดคือเทนเซอร์การเปลี่ยนรูปโคชี-กรีนด้านขวาและด้านซ้าย

ในปี พ.ศ. 2382 George Greenได้นำเสนอเทนเซอร์การเปลี่ยนรูปที่รู้จักกันในชื่อเทนเซอร์การเปลี่ยนรูป Cauchy–Green ด้านขวาหรือเทนเซอร์การเปลี่ยนรูปของ Green ( IUPACแนะนำให้เรียกเทนเซอร์นี้ว่าเทนเซอร์ความเครียด Cauchy ) ^{[ 3 ]}ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:

$${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} =\mathbf {U} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ}={\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{I}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{J}}}.}$$

ในทางกายภาพ เทนเซอร์โคชี-กรีนจะให้ค่ากำลังสองของการเปลี่ยนแปลงระยะทางเฉพาะที่อันเนื่องมาจากการเสียรูป กล่าวคือ${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} }$

ค่า คงที่ของมักถูกใช้ในนิพจน์สำหรับฟังก์ชันความหนาแน่นของพลังงานความเครียด ค่า คงที่ ที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดคือ โดยที่คือดีเทอร์มิแนนต์ของเกรเดียนต์การเปลี่ยนรูปและคืออัตราส่วนการยืดสำหรับเส้นใยหน่วยที่วางตัวในตอนเริ่มต้นตามทิศทางเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเทนเซอร์การยืดด้านขวา (อ้างอิง) (โดยทั่วไปแล้วจะไม่เรียงตัวตามแกนทั้งสามของระบบพิกัด) ${\displaystyle \mathbf {C} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}^{C}&:={\text{tr}}(\mathbf {C} )=C_{II}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}^{C}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {C} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {C} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}\right]=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}^{C}&:=\det(\mathbf {C} )=J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \lambda _{i}}$

IUPAC แนะนำ^{[ 3 ]}ว่าค่าผกผันของเทนเซอร์การเปลี่ยนรูป Cauchy–Green ด้านขวา (เรียกว่าเทนเซอร์ความเครียด Cauchy ในเอกสารนั้น) กล่าวคือเรียกว่าเทนเซอร์ความเครียด Fingerอย่างไรก็ตาม การตั้งชื่อดังกล่าวไม่ได้รับการยอมรับโดยทั่วไปในกลศาสตร์ ประยุกต์${\displaystyle \mathbf {C} ^{-1}}$

$${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {F} ^{-T}\qquad {\text{or}}\qquad f_{IJ}={\frac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}}$$

การสลับลำดับการคูณในสูตรสำหรับเทนเซอร์การเปลี่ยนรูป Cauchy-Green ด้านขวา จะนำไปสู่เทนเซอร์การเปลี่ยนรูป Cauchy-Green ด้านซ้ายซึ่งกำหนดไว้ดังนี้: $${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}=\mathbf {V} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad B_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}}$$

เทนเซอร์การเปลี่ยนรูป Cauchy–Green ด้านซ้ายมักเรียกว่าเทนเซอร์การเปลี่ยนรูป Fingerซึ่งตั้งชื่อตามJosef Finger (1894) ^{[ 4 ]}

IUPAC แนะนำให้เรียกเทนเซอร์นี้ว่าเทนเซอร์ความเครียดของกรีน^{[ 3 ]}

ค่าคงที่ของยังถูกนำมาใช้ในนิพจน์สำหรับฟังก์ชันความหนาแน่นของพลังงานความเครียดด้วยค่าคงที่แบบดั้งเดิมถูกกำหนดโดย โดย ที่คือดีเทอร์มิแนนต์ของเกรเดียนต์การเปลี่ยนรูป ${\displaystyle \mathbf {B} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&:={\text{tr}}(\mathbf {B} )=B_{ii}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {B} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {B} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}\right)=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}&:=\det \mathbf {B} =J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}\end{aligned}}}$$${\displaystyle J:=\det \mathbf {F} }$

สำหรับวัสดุที่อัดได้ จะใช้ชุดค่าคงที่ที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย: $${\displaystyle ({\bar {I}}_{1}:=J^{-2/3}I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}:=J^{-4/3}I_{2}~;~~J\neq 1)~.}$$

ก่อนหน้านี้ในปี พ.ศ. 2461 ^{[ 5 ]} Augustin-Louis Cauchyได้แนะนำเทนเซอร์การเปลี่ยนรูปที่กำหนดให้เป็นค่าผกผันของเทนเซอร์การเปลี่ยนรูป Cauchy–Green ด้านซ้ายเทนเซอร์นี้ยังถูกเรียกว่าเทนเซอร์ความเครียด Piolaโดย IUPAC ^{[ 3 ]}และเทนเซอร์ Finger ^{[ 6 ]}ในวรรณกรรมด้านรีโอโลยีและพลศาสตร์ของไหล ${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\,\!}$

$${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {B} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1T}\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad c_{ij}={\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{j}}}}$$

หากมีช่วงการยืดหลักที่แตกต่างกันสามช่วงการแยกส่วนสเปกตรัมของและจะกำหนดโดย ${\displaystyle \lambda _{i}\,\!}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$

นอกจากนี้,

$${\displaystyle \mathbf {U} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {V} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}}$$$${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}}$$

สังเกตว่า ดังนั้น ความเป็นเอกลักษณ์ของการแยกส่วนสเปกตรัมยังหมายความว่าการยืดด้านซ้าย ( ) เรียกอีกอย่างว่าเทนเซอร์การยืดเชิงพื้นที่ในขณะที่การยืดด้านขวา ( ) เรียกว่าเท นเซอร์การยืดเชิงวัสดุ$${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} ~\mathbf {U} ~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~\mathbf {R} ~(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})\otimes (\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})}$$${\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i}\,\!}$${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {U} \,\!}$

ผลของการกระทำดังกล่าวคือการยืดเวกเตอร์ออกไปและหมุนเวกเตอร์ไปยังทิศทางใหม่ กล่าว คือ ในทำนองเดียวกัน ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {N} _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \mathbf {n} _{i}\,\!}$$${\displaystyle \mathbf {F} ~\mathbf {N} _{i}=\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}~\mathbf {n} _{i}}$$$${\displaystyle \mathbf {F} ^{-T}~\mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {n} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{T}~\mathbf {n} _{i}=\lambda _{i}~\mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{-1}~\mathbf {n} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}~.}$$

การยืดตัวในแนวแกนเดียวของวัสดุที่ไม่สามารถบีอัดได้

นี่คือกรณีที่ชิ้นงานถูกยืดในทิศทางเดียวด้วยอัตราส่วนการยืดเท่ากับถ้าปริมาตรคงที่ การหดตัวในอีกสองทิศทางจะเป็นไปในลักษณะที่หรือดังนั้น:${\displaystyle \mathbf {\alpha =\alpha _{1}} \,\!}$${\displaystyle \mathbf {\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}=1} }$${\displaystyle \mathbf {\alpha _{2}=\alpha _{3}=\alpha ^{-0.5}} \,\!}$$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\alpha &0&0\\0&\alpha ^{-0.5}&0\\0&0&\alpha ^{-0.5}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\alpha ^{2}&0&0\\0&\alpha ^{-1}&0\\0&0&\alpha ^{-1}\end{bmatrix}}}$$

แรงเฉือนแบบง่าย

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

การหมุนของวัตถุแข็ง

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {1} }$$

อนุพันธ์ของการยืดตัวเทียบกับเทนเซอร์การเปลี่ยนรูป Cauchy–Green ด้านขวาถูกนำมาใช้เพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียดของของแข็งหลายชนิด โดยเฉพาะอย่างยิ่งวัสดุไฮเปอร์อิลาสติ ก อนุพันธ์เหล่านี้ ได้มาจากการสังเกตว่า $${\displaystyle {\cfrac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {C} }}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {R} ^{T}~(\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})~\mathbf {R} ~;~~i=1,2,3}$$$${\displaystyle \mathbf {C} :(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}^{2}~;~~~~{\cfrac {\partial \mathbf {C} }{\partial \mathbf {C} }}={\mathsf {I}}^{(s)}~;~~~~{\mathsf {I}}^{(s)}:(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}.}$$

ให้เป็นระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่กำหนดบนวัตถุที่ยังไม่เสียรูป และให้เป็นอีกระบบหนึ่งที่กำหนดบนวัตถุที่เสียรูปแล้ว ให้เส้นโค้งในวัตถุที่ยังไม่เสียรูปถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยใช้ภาพของเส้นโค้งนี้บนวัตถุที่เสียรูปแล้วคือ ${\displaystyle \mathbf {X} =X^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}}$${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$${\displaystyle s\in [0,1]}$${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} (s))}$

ความยาวของเส้นโค้งก่อนการเปลี่ยนแปลงรูปร่างกำหนดโดย หลังจากเกิดการเปลี่ยนแปลงรูปร่าง ความยาวจะกลายเป็น โปรดทราบว่าเทนเซอร์การเปลี่ยนแปลงรูปร่าง Cauchy–Green ด้านขวาถูกกำหนดเป็น ดังนั้น ซึ่งบ่งชี้ว่าการเปลี่ยนแปลงความยาวมีลักษณะเฉพาะโดย $${\displaystyle l_{X}=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {I}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}l_{x}&=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)\cdot \left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)}}~ds\\&=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot \left[\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right]\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}=\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}}$$$${\displaystyle l_{x}=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds}$$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$

แนวคิดเรื่องความเครียดใช้เพื่อประเมินว่าการกระจัดที่กำหนดแตกต่างจากการกระจัดของวัตถุแข็งในระดับท้องถิ่นมากน้อยเพียงใด^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}หนึ่งในความเครียดดังกล่าวสำหรับการเสียรูปขนาดใหญ่คือเทนเซอร์ความเครียดจำกัดแบบลากรางจ์หรือที่เรียกว่าเทนเซอร์ความเครียดกรีน -ลากรางจ์ หรือเทนเซอร์ความเครียดกรีน-เซนต์-เวแนนท์ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)}$$

หรือเป็นฟังก์ชันของเทนเซอร์การไล่ระดับการกระจัด หรือ $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]}$$$${\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial u_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{L}}}\right)}$$

เทนเซอร์ความเครียดแบบกรีน-ลากรางจ์เป็นตัววัดว่าแตกต่างจาก มากน้อยเพียง ใด ${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {I} \,\!}$

เทนเซอร์ความเครียดจำกัดแบบออยเลอร์หรือเทนเซอร์ความเครียดจำกัดแบบออยเลอร์-อัลมันซีซึ่งอ้างอิงถึงโครงสร้างที่เสียรูป (เช่น คำอธิบายแบบออยเลอร์) ถูกกำหนดดังนี้

$${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {B} ^{-1})\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)}$$

หรือเป็นฟังก์ชันของความชันการกระจัดที่เรามี $${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)}$$

BR Sethจากสถาบันเทคโนโลยีแห่งอินเดีย คารากปุระเป็นคนแรกที่แสดงให้เห็นว่าเทนเซอร์ความเครียดของ Green และ Almansi เป็นกรณีพิเศษของการวัดความเครียดทั่วไป[ 10 ^{] [ 11 ]แนวคิดนี้}ได้รับการขยายเพิ่มเติมโดยRodney Hillในปี 1968 ^{[ 12 ]}ตระกูลการวัดความเครียด Seth–Hill (เรียกอีกอย่างว่าเทนเซอร์ Doyle-Ericksen) ^{[ 13 ]}สามารถแสดงได้ดังนี้