ในเรขาคณิตโดยเฉพาะเรขาคณิตเชิงฉาย (projective geometry ) เซตปิดกั้น (blocking set)คือเซตของจุดในระนาบเชิงฉายที่เส้นตรงทุกเส้นตัดผ่าน และไม่ประกอบด้วยเส้นตรงทั้งเส้น แนวคิดนี้สามารถขยายความได้หลายวิธี แทนที่จะพูดถึงจุดและเส้นตรง เราอาจพูดถึง ปริภูมิย่อย nมิติและ ปริภูมิย่อย mมิติ หรือโดยทั่วไปแล้ว วัตถุประเภทที่ 1 และวัตถุประเภทที่ 2 เมื่อแนวคิดเรื่องการตัดกันมีความหมายสำหรับวัตถุเหล่านี้ วิธีที่สองในการขยายความคือการย้ายไปยังบริบทที่เป็นนามธรรมมากกว่าเรขาคณิตเชิงฉาย เราสามารถกำหนดเซตปิดกั้นของไฮเปอร์กราฟได้ว่าเป็นเซตที่ตัดกับขอบทั้งหมดของไฮเปอร์กราฟ

ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟ จำกัด π ที่มีอันดับnเซตบล็อกกิ้งคือเซตของจุดบน π ที่เส้นตรงทุกเส้นตัดผ่านและไม่มีเส้นตรงใดอยู่ภายในอย่างสมบูรณ์ ภายใต้นิยามนี้ ถ้าBเป็นเซตบล็อกกิ้ง เซตจุดเสริม π\ Bก็เป็นเซตบล็อกกิ้งเช่นกัน เซตบล็อกกิ้งBเรียกว่าเซตเล็กที่สุดถ้าการลบจุดใดๆ ออกจากBทำให้เหลือเซตที่ไม่ใช่เซตบล็อกกิ้ง เซตบล็อกกิ้งที่มีขนาดเล็กที่สุดเรียกว่าคณะกรรมการคณะกรรมการทุกชุดเป็นเซตบล็อกกิ้งที่เล็กที่สุด แต่เซตบล็อกกิ้งที่เล็กที่สุดไม่จำเป็นต้องเป็นคณะกรรมการเสมอไป เซตบล็อกกิ้งมีอยู่ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟทั้งหมด ยกเว้นระนาบเชิงโปรเจกทีฟที่เล็กที่สุดที่มีอันดับ 2 คือระนาบฟาโน^{[ 1 ]}

บางครั้ง การละเว้นเงื่อนไขที่ว่าเซตปิดกั้นต้องไม่มีเส้นตรงอยู่ภายในนั้น อาจเป็นประโยชน์ ภายใต้นิยามที่ขยายออกไปนี้ และเนื่องจากในระนาบเชิงโปรเจกทีฟ เส้นตรงทุกคู่จะตัดกัน ดังนั้นเส้นตรงทุกเส้นจะเป็นเซตปิดกั้น เซตปิดกั้นที่มีเส้นตรงอยู่ภายในจะถูกเรียกว่า เซตปิดกั้น ที่ไม่สำคัญในบริบทนี้

ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟ ใดๆ ที่มีลำดับn (แต่ละเส้นประกอบด้วยจุด n + 1 จุด) จุดบนเส้นที่ประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมโดยไม่รวมจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม (3( n - 1) จุด) จะก่อให้เกิดเซตปิดกั้นขั้นต่ำ (ถ้าn = 2 เซตปิดกั้นนี้จะไม่สำคัญ) ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะไม่ใช่คณะกรรมการ

อีกวิธีหนึ่งในการสร้างทั่วไปในระนาบเชิงโปรเจกทีฟใดๆ ที่มีอันดับnคือการเลือกจุดทั้งหมด ยกเว้นจุดหนึ่ง เช่น จุดPบนเส้นตรงที่กำหนด และจากนั้นเลือกจุดหนึ่งจุดบนเส้นตรงอื่นๆ ที่ผ่านจุดPโดยต้องแน่ใจว่าจุดเหล่านี้ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ทั้งหมด (เงื่อนไขสุดท้ายนี้ไม่สามารถเป็นไปได้หากn = 2) วิธีนี้จะสร้างเซตปิดกั้นขั้นต่ำที่มีขนาด2n

สามเหลี่ยมเชิงโปรเจกทีฟ β ที่มีด้านยาว mใน PG(2, q ) ประกอบด้วยจุด 3( m - 1) จุด โดยที่ mอยู่บนแต่ละด้านของสามเหลี่ยม และจุดยอดA , BและCของสามเหลี่ยมอยู่ใน β และเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง: ถ้าจุดPบนเส้นตรงABและจุดQบนเส้นตรงBCอยู่ใน β ทั้งคู่ จุดตัดของPQและAC ก็ จะอยู่ใน β ด้วย

เซต ของ จุดสามจุดเชิงโปรเจกทีฟ δ ที่มีด้านยาว m คือเซตของจุด3m - 2 จุด โดยที่ mจุดอยู่บนเส้นตรงสามเส้นที่ตัดกัน ณ จุดเดียวกัน โดยที่จุดตัดCอยู่ใน δ และเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง: ถ้าจุดPบนเส้นตรงเส้นหนึ่งและจุดQบนเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งอยู่ใน δ แล้ว จุดตัดระหว่างPQกับเส้นตรงเส้นที่สามจะอยู่ใน δ ด้วย

ทฤษฎีบท : ใน PG(2, q ) โดยที่qเป็นจำนวนคี่ จะมีสามเหลี่ยมเชิงโปรเจกทีฟที่มีด้านยาว ( q + 3)/2 ซึ่งเป็นเซตบล็อกที่มีขนาด 3( q + 1)/2 ^{[ 2 ]}

โดยใช้พิกัดเอกพันธุ์ให้จุดยอดของสามเหลี่ยมเป็นA = (1,0,0), B = (0,1,0) และC = (0,0,1) จุดอื่นๆ นอกเหนือจากจุดยอดบนด้านABมีพิกัดในรูปแบบ (-c , 1, 0) จุดบนด้านBCมีพิกัด (0,1, a ) และจุดบนด้านACมีพิกัด (1,0, b ) โดยที่a , bและcเป็นสมาชิกของฟิลด์จำกัด GF( q ) จุดสามจุด จุดละหนึ่งจุดบนแต่ละด้าน จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันก็ต่อเมื่อa = bcโดยการเลือกจุดทั้งหมดที่a , bและcเป็นกำลังสองที่ไม่เป็นศูนย์ของ GF( q ) เงื่อนไขในนิยามของสามเหลี่ยมเชิงโปรเจกทีฟจึงเป็นไปตามที่กำหนด

ทฤษฎีบท : ใน PG(2, q ) โดยที่qเป็นจำนวนคู่ จะมีสามเหลี่ยมเชิงโปรเจกทีฟที่มีด้านยาว ( q + 2)/2 ซึ่งเป็นเซตบล็อกที่มีขนาด (3q + 2)/2 ^{[ 3 ]}

โครงสร้างนี้คล้ายกับข้างต้น แต่เนื่องจากฟิลด์มีลักษณะเฉพาะ 2 จึงต้องแทนที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยองค์ประกอบที่มีค่าร่องรอยสัมบูรณ์ 0 และค่าร่องรอยสัมบูรณ์ 1 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้C = (0,0,1) จุดบนเส้นตรงX = 0 มีพิกัดในรูปแบบ (0,1, a ) และจุดบนเส้นตรงY = 0 มีพิกัดในรูปแบบ (1,0, b ) จุดบนเส้นตรงX = Yมีพิกัดที่สามารถเขียนได้เป็น (1,1, c ) จุดสามจุด จุดละหนึ่งจุดจากแต่ละเส้นตรงนี้ จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันก็ต่อเมื่อa = b + cโดยการเลือกจุดทั้งหมดบนเส้นตรงเหล่านี้ที่a , bและcเป็นองค์ประกอบฟิลด์ที่มีค่าร่องรอยสัมบูรณ์ 0 เงื่อนไขในนิยามของไตรแอดเชิงโปรเจกทีฟจึงเป็นไปตามที่กำหนด

ทฤษฎีบท : ใน PG(2, p ) โดยที่pเป็นจำนวนเฉพาะ จะมีไตรแอดเชิงโปรเจกทีฟที่มีด้านยาว ( p + 1)/2 ซึ่งเป็นเซตบล็อกที่มีขนาด (3p + 1)/2 ^{[ 4 ]}

โดยทั่วไปแล้ว เราจะค้นหาชุดบล็อกขนาดเล็ก ขนาดขั้นต่ำของชุดบล็อกคือ${\displaystyle H}$เรียกว่า${\displaystyle \tau (H)}$.

ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟ Desarguesianอันดับq , PG(2, q ) ขนาดของเซตบล็อกBมีขอบเขต: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle q+{\sqrt {q}}+1\leq |B|\leq q^{2}-{\sqrt {q}}.}$

เมื่อqเป็นกำลังสองค่าขอบล่างจะได้มาจากระนาบย่อย ของแบร์ ​​และค่าขอบบนจะได้มาจากส่วนเติมเต็มของระนาบย่อยของแบร์

ผลลัพธ์ทั่วไปสามารถพิสูจน์ได้^{[ 6 ]}

เซตปิดกั้นใดๆ ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟ π ที่มีอันดับnจะมีอย่างน้อย${\displaystyle n+{\sqrt {n}}+1}$จุดต่างๆ ยิ่งไปกว่านั้น หากตรงตามขอบเขตล่างนี้nจะต้องเป็นกำลังสอง และเซตปิดกั้นจะประกอบด้วยจุดต่างๆ ในระนาบย่อยแบร์บางระนาบของ π

ขอบเขตบนสำหรับขนาดของชุดบล็อกขั้นต่ำมีลักษณะเดียวกัน^{[ 7 ]}

เซตการปิดกั้นขั้นต่ำใดๆ ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟ π ที่มีอันดับnจะมีค่าอย่างมากที่สุด${\displaystyle n{\sqrt {n}}+1}$นอกจากนี้ หากถึงขอบเขตบนนี้แล้วnจะต้องเป็นกำลังสอง และเซตปิดกั้นจะประกอบด้วยจุดของเอกลักษณ์ บางอย่าง ที่ฝังอยู่ใน π

เมื่อnไม่ใช่กำลังสอง จะสามารถกล่าวถึงชุดบล็อกที่ไม่สำคัญที่มีขนาดเล็กที่สุดได้น้อยลง ผลลัพธ์ที่เป็นที่รู้จักกันดีอย่างหนึ่งของ Aart Blokhuis คือ: ^{[ 4 ]}

ทฤษฎีบท : เซตปิดกั้นที่ไม่ใช่เซตว่างใน PG(2, p ) โดยที่pเป็นจำนวนเฉพาะ จะมีขนาดอย่างน้อย 3( p + 1)/2

ในระนาบเหล่านี้ มีสามเหลี่ยมเชิงโปรเจกทีฟที่ตรงตามขอบเขตนี้อยู่

ชุดบล็อกเกิดขึ้น^{[ 8 ]}ในบริบทของทฤษฎีเกม ทางเศรษฐศาสตร์ ในบทความปี 1956 โดย Moses Richardson ^{[ 9 ]}ผู้เล่นถูกระบุด้วยจุดในระนาบเชิงฉาย จำกัด และกลุ่มพันธมิตรที่ชนะขั้นต่ำคือเส้นตรงกลุ่มพันธมิตรที่บล็อกถูกกำหนดให้เป็นเซตของจุดที่ไม่มีเส้นตรง แต่ตัดกับทุกเส้นตรง ในปี 1958 JR Isbell ^{[ 10 ]}ศึกษาเกมเหล่านี้จากมุมมองที่ไม่ใช่เรขาคณิต Jane W. DiPaola ศึกษากลุ่มพันธมิตรที่บล็อกขั้นต่ำในระนาบเชิงฉายทั้งหมดที่มีลำดับ${\displaystyle \leq 9}$ในปี พ.ศ. 2512 ^{[ 11 ]}

อนุญาต${\displaystyle H=(X,E)}$เป็นไฮเปอร์กราฟ ดังนั้น${\displaystyle X}$เป็นชุดขององค์ประกอบ และ${\displaystyle E}$คือกลุ่มของเซตย่อยของ${\displaystyle X}$เรียกว่า (ไฮเปอร์)เอดจ์ เซตที่ปิดกั้นของ${\displaystyle H}$เป็นเซตย่อย${\displaystyle S}$ของ${\displaystyle X}$ซึ่งมีส่วนตัดกันที่ไม่ว่างเปล่ากับไฮเปอร์เอดจ์แต่ละอัน

บางครั้งเซตบล็อกกิ้งก็ถูกเรียกว่า " เซตกระทบ " หรือ " เซตปกคลุมจุดยอด " นอกจากนี้ยัง ใช้คำว่า " ทรานส์ เวอร์ซัล" ด้วย แต่ในบางบริบท ทรานส์เวอร์ซัลของ${\displaystyle H}$เป็นเซตย่อย${\displaystyle T}$ของ${\displaystyle X}$ที่เชื่อมต่อกับไฮเปอร์เอดจ์แต่ละอัน ณ จุดเดียวเท่านั้น

การ " ระบายสีสองสี " ของ${\displaystyle H}$เป็นพาร์ติชัน${\displaystyle \{C,D\}}$ของ${\displaystyle X}$ แบ่งออกเป็นสองกลุ่มย่อย (ชั้นสี) โดยที่ไม่มีขอบใดเป็นสีเดียว กล่าวคือ ไม่มีขอบใดอยู่ภายในสีเดียวทั้งหมด${\displaystyle C}$หรือภายใน${\displaystyle D}$ตอนนี้ทั้งสอง${\displaystyle C}$และ${\displaystyle D}$เป็นเซตที่บล็อกได้

ในระนาบเชิงโปรเจ กทีฟ ส่วนโค้งkสมบูรณ์คือเซตของ จุด kจุด ซึ่งไม่มีสาม จุดใดอยู่บนเส้น ตรงเดียวกัน และไม่สามารถขยายออกไปเป็นส่วนโค้งที่ใหญ่กว่าได้ (ดังนั้น ทุกจุดที่ไม่ได้อยู่บนส่วนโค้ง จะอยู่บนเส้นตัดของส่วนโค้งซึ่งเป็นเส้นตรงที่ตัดกับส่วนโค้งที่สองจุด)

ทฤษฎีบท : ให้Kเป็น ส่วนโค้ง k ที่สมบูรณ์ ใน Π = PG(2, q ) โดยที่k < q + 2 ส่วนคู่ใน Π ของเซตของเส้นตัดของKคือเซตปิดกั้นBที่มีขนาดk ( k - 1)/2 ^{[ 12 ]}

ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟใดๆ ที่มีอันดับqสำหรับเซตปิดกั้นที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆB (โดยที่b = | B | ซึ่ง เป็นขนาดของเซตปิดกั้น) ให้พิจารณาเส้นตรงที่ตัด กับ Bที่nจุด เนื่องจากไม่มีเส้นตรงใดอยู่ในBจึงต้องมีจุดPบนเส้นตรงนี้ที่ไม่อยู่ในB เส้นตรงอีก q เส้นที่ผ่านPแต่ละเส้นจะต้องมีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดของBจึงจะถูกปิดกั้น ดังนั้น${\displaystyle b\geq n+q.}$ถ้าความเท่าเทียมกันของเส้นบางเส้นเป็นจริงในความสัมพันธ์นี้ เซตบล็อกจะถูกเรียกว่าเซตบล็อกประเภท Rédeiและเส้นนั้น เรียกว่า เส้น Rédeiของเซตบล็อก (โปรดทราบว่าnจะเป็นจำนวนจุดที่อยู่บนเส้นตรงมากที่สุดในB ) ^{[ 13 ]}ไม่ใช่ทุกเซตบล็อกจะเป็นประเภท Rédei แต่เซตบล็อกขนาดเล็กจำนวนมากเป็นประเภท Rédei เซตเหล่านี้ตั้งชื่อตามLászló Rédeiซึ่งงานวิจัยของเขาเกี่ยวกับพหุนาม Lacunary บนฟิลด์จำกัดมีอิทธิพลต่อการศึกษาเซตเหล่านี้^{[ 14 ]}

เซตของจุดในปริภูมิแอฟฟินเดซาร์เกเซียนจำกัด${\displaystyle AG(n,q)}$เซตที่ตัดกับระนาบ ไฮเปอร์ทุก ระนาบ โดยไม่เป็นเส้นตรง กล่าวคือ ระนาบไฮเปอร์ทุกระนาบต้องผ่านจุดใดจุดหนึ่งในเซตนั้น เรียกว่า เซตปิดกั้นเชิงเส้นตรง (affine blocking set) จงระบุปริภูมิด้วย${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}}$โดยการกำหนดระบบพิกัด จากนั้นสามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่าเซตของจุดที่อยู่บนแกนพิกัดนั้นก่อให้เกิดเซตปิดกั้นที่มีขนาด${\displaystyle 1+n(q-1)}$Jean Doyen ตั้งข้อสันนิษฐานในการ ประชุม Oberwolfach ปี 1976 ว่านี่คือขนาดที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้ของเซตบล็อกกิ้ง ซึ่งได้รับการพิสูจน์โดย RE Jamison ในปี 1977 ^{[ 15 ]}และโดยอิสระโดยAE BrouwerและA. Schrijverในปี 1978 ^{[ 16 ]}โดยใช้วิธีการที่เรียกว่าวิธีพหุนาม Jamison พิสูจน์ผลลัพธ์การครอบคลุมทั่วไปต่อไปนี้ ซึ่งขอบเขตของเซตบล็อกกิ้งเชิงเส้นจะตามมาโดยใช้ความเป็นคู่:

อนุญาต${\displaystyle V}$เป็น${\displaystyle n}$ปริภูมิเวกเตอร์มิติเหนือ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$จากนั้นจำนวนของ${\displaystyle k}$โคเซตหลายมิติที่จำเป็นในการครอบคลุมเวกเตอร์ทั้งหมด ยกเว้นเวกเตอร์ศูนย์ มีอย่างน้อย${\displaystyle q^{nk}-1+k(q-1)}$นอกจากนี้ ขอบเขตนี้ยังมีความคมชัดมาก