ในกลศาสตร์เชิงสถิติและคณิตศาสตร์การแจกแจงแบบโบลต์ซมันน์ (เรียกอีกอย่างว่าการแจกแจงแบบกิบส์^{[ 1 ]} ) คือการแจกแจงความน่าจะเป็นหรือการวัดความน่าจะเป็นที่ระบบจะอยู่ใน สถานะใด สถานะ หนึ่ง เป็นฟังก์ชันของพลังงานของสถานะนั้นและอุณหภูมิของระบบ การแจกแจงนี้แสดงในรูปแบบ ที่p _iคือความน่าจะเป็นที่ระบบจะอยู่ในสถานะi , expคือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง , ε _iคือพลังงานของสถานะนั้น และค่าคงที่k _B Tของการแจกแจงคือผลคูณของ ค่า คงที่โบลต์ซมันน์k _Bและอุณหภูมิทางเทอร์โมไดนามิกTสัญลักษณ์แสดงถึงสัดส่วน (ดู§ การแจกแจงสำหรับค่าคงที่สัดส่วน) $${\displaystyle p_{i}\propto \exp \left(-{\frac {\varepsilon _{i}}{k_{\text{B}}T}}\right),}$$${\displaystyle \propto }$

คำว่าระบบในที่นี้มีความหมายกว้าง อาจหมายถึงกลุ่มของอะตอมที่มี "จำนวนเพียงพอ" หรืออะตอมเดี่ยว^{[ 1 ]}ไปจนถึงระบบขนาดใหญ่ เช่นถังเก็บก๊าซธรรมชาติดังนั้น การกระจายแบบโบลต์ซมันน์จึงสามารถใช้แก้ปัญหาได้หลากหลาย การกระจายนี้แสดงให้เห็นว่าสถานะที่มีพลังงานต่ำกว่าจะมีโอกาสถูกครอบครองสูงกว่าเสมอ

อัตราส่วน ของความน่าจะ เป็นของสองสถานะเรียกว่าปัจจัยโบลต์ซมันน์และขึ้นอยู่กับความแตกต่างของพลังงานระหว่างสถานะทั้งสองเท่านั้น: $${\displaystyle {\frac {p_{i}}{p_{j}}}=\exp \left({\frac {-\varepsilon _{i}}{k_{\text{B}}T}}-{\frac {-\varepsilon _{j}}{k_{\text{B}}T}}\right)=\exp \left({\frac {\varepsilon _{j}-\varepsilon _{i}}{k_{\text{B}}T}}\right).}$$

การแจกแจงแบบโบลต์ซมันน์ตั้งชื่อตามลุดวิก โบลต์ซมันน์ผู้คิดค้นสูตรนี้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2411 ระหว่างการศึกษาเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงสถิติของก๊าซในสภาวะสมดุลทางความร้อน [ ^{2 ] งาน}ทางสถิติของโบลต์ซมันน์ได้รับการยืนยันในบทความของเขาเรื่อง "ความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบทพื้นฐานข้อที่สองของทฤษฎีกลศาสตร์ของความร้อนและการคำนวณความน่าจะเป็นเกี่ยวกับเงื่อนไขสำหรับสมดุลทางความร้อน" ^{[ 3 ]} ต่อมาการแจกแจงนี้ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางในรูปแบบทั่วไปสมัยใหม่โดยโจไซอาห์ วิลลาร์ด กิบบ์สในปี พ.ศ. 2445 ^{[ 4 ]}

การกระจายแบบโบลต์ซมันน์ไม่ควรสับสนกับการกระจายแบบแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมัน น์ หรือสถิติแบบแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซ มันน์ การ กระจายแบบโบลต์ซมันน์ให้ความน่าจะเป็นที่ระบบจะอยู่ในสถานะใดสถานะ หนึ่ง เป็นฟังก์ชันของพลังงานของสถานะนั้น^{[ 5 ]}ในขณะที่การกระจายแบบแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์ให้ความน่าจะเป็นของความเร็วหรือพลังงาน ของอนุภาค ในก๊าซอุดมคติ อย่างไรก็ตาม การกระจายของพลังงานใน ก๊าซ หนึ่งมิติเป็นไปตามการกระจายแบบโบลต์ซมันน์

การแจกแจงแบบโบลต์ซมันน์เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ให้ความน่าจะเป็นของสถานะใดสถานะหนึ่งเป็นฟังก์ชันของพลังงานของสถานะนั้นและอุณหภูมิของระบบที่ใช้การแจกแจง^{[ 6 ]}โดยกำหนดให้เป็น โดย ที่ $${\displaystyle p_{i}={\frac {1}{Q}}\exp \left(-{\frac {\varepsilon _{i}}{k_{\text{B}}T}}\right)={\frac {\exp \left(-{\tfrac {\varepsilon _{i}}{k_{\text{B}}T}}\right)}{\displaystyle \sum _{j=1}^{M}\exp \left(-{\tfrac {\varepsilon _{j}}{k_{\text{B}}T}}\right)}},}$$

exp()คือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

p _iคือความน่าจะเป็นของสถานะi

ε _iคือพลังงานของสถานะi ,

k _Bคือค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์

Tคืออุณหภูมิสัมบูรณ์ของระบบ

Mคือจำนวนสถานะทั้งหมดที่ระบบที่สนใจสามารถเข้าถึงได้^{[ 6 ] [ 5 ]}

Q (ซึ่งบางผู้เขียนใช้สัญลักษณ์Z แทน ) คือตัวหารมาตรฐาน ซึ่งก็คือฟังก์ชันการแบ่งส่วนแบบแคน อนิก เป็นผลมาจากข้อจำกัดที่ว่า ผลรวมของความน่าจะเป็นของสถานะที่เข้าถึงได้ทั้งหมดต้องเท่ากับ 1$${\displaystyle Q=\sum _{j=1}^{M}\exp \left(-{\tfrac {\varepsilon _{j}}{k_{\text{B}}T}}\right).}$$

โดยใช้ตัวคูณลากรางจ์เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าการแจกแจงโบลต์ซมันน์เป็นการแจกแจงที่ทำให้เอน โทรปีสูงสุด ภายใต้เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานที่ว่าและเงื่อนไขที่ว่าเท่ากับค่าพลังงานเฉลี่ยค่าหนึ่ง ยกเว้นในสองกรณีพิเศษ (กรณีพิเศษเหล่านี้เกิดขึ้นเมื่อค่าเฉลี่ยเป็นค่าต่ำสุดหรือสูงสุดของพลังงานεiในกรณีเหล่านี้ การแจกแจงที่ทำให้เอนโทรปีสูงสุดคือลิมิตของการแจกแจงโบลต์ซมันน์ โดยที่Tเข้าใกล้ศูนย์จากด้านบนหรือด้านล่างตามลำดับ ₎$${\displaystyle S(p_{1},p_{2},\dots ,p_{M})=-\sum _{i=1}^{M}p_{i}\log _{2}p_{i},}$$${\textstyle \sum _{i}p_{i}=1}$${\textstyle \sum _{i}p_{i}\varepsilon _{i}}$

ฟังก์ชันพาร์ติชันสามารถคำนวณได้หากเรารู้พลังงานของสถานะที่เข้าถึงได้สำหรับระบบที่สนใจ สำหรับอะตอม ค่าฟังก์ชันพาร์ติชันสามารถพบได้ในฐานข้อมูลสเปกตรัมอะตอมของ NIST ^{[ 7 ]}

การกระจายแสดงให้เห็นว่าสถานะที่มีพลังงานต่ำกว่าจะมีโอกาสถูกครอบครองสูงกว่าสถานะที่มีพลังงานสูงกว่าเสมอ นอกจากนี้ยังแสดงความสัมพันธ์เชิงปริมาณระหว่างความน่าจะเป็นของการครอบครองสถานะทั้งสอง อัตราส่วนของความน่าจะเป็นสำหรับสถานะiและjกำหนดโดย โดย ที่ $${\displaystyle {\frac {p_{i}}{p_{j}}}=\exp \left({\frac {\varepsilon _{j}-\varepsilon _{i}}{k_{\text{B}}T}}\right),}$$

p _iคือความน่าจะเป็นของสถานะi

p _jคือความน่าจะเป็นของสถานะj

ε _iคือพลังงานของสถานะi ,

ε _jคือพลังงานของสถานะj

อัตราส่วนที่สอดคล้องกันของประชากรในระดับพลังงานจะต้องคำนึงถึง ความเสื่อมถอย ของระดับพลังงานเหล่านั้นด้วย

การแจกแจงแบบโบลต์ซมันน์มักใช้เพื่ออธิบายการแจกแจงของอนุภาค เช่น อะตอมหรือโมเลกุล ในสถานะผูกพันที่เข้าถึงได้ สำหรับระบบที่ประกอบด้วยอนุภาคจำนวนมาก ความน่าจะเป็นที่อนุภาคจะอยู่ในสถานะi นั้นในทางปฏิบัติคือความน่าจะเป็นที่การเลือกอนุภาคแบบสุ่มจากระบบนั้นจะพบว่าอนุภาคนั้นอยู่ในสถานะiความน่าจะเป็นนี้เท่ากับจำนวนอนุภาคในสถานะiหารด้วยจำนวนอนุภาคทั้งหมดในระบบ นั่นคือเศษส่วนของอนุภาคที่ครอบครองสถานะiโดย ที่N _iคือจำนวนอนุภาคในสถานะiและNคือจำนวนอนุภาคทั้งหมดในระบบ การแจกแจงแบบโบลต์ซมันน์ให้ความน่าจะเป็นเหล่านี้สำหรับระบบที่อยู่ในสมดุลทางความร้อน ดังนั้นสมการที่ให้เศษส่วนของอนุภาคในสถานะiเป็นฟังก์ชันของพลังงานของสถานะนั้นคือ^{[ 5 ]}$${\displaystyle p_{i}={\frac {N_{i}}{N}},}$$$${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp \left(-{\frac {\varepsilon _{i}}{k_{\text{B}}T}}\right)}{\displaystyle \sum _{j=1}^{M}\exp \left(-{\tfrac {\varepsilon _{j}}{k_{\text{B}}T}}\right)}}.}$$

สมการนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อสเปกโทรสโกปี สเปกโทรสโกปีสังเกตเส้นสเปกตรัมของอะตอมหรือโมเลกุลที่เกิดการเปลี่ยนสถานะจากสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่ง^{[ 5 ] [ 8 ]}เพื่อให้สิ่งนี้เป็นไปได้ จะต้องมีอนุภาคบางส่วนอยู่ในสถานะแรกเพื่อทำการเปลี่ยนสถานะ สัดส่วนของอนุภาคเหล่านี้สามารถประมาณได้จากการกระจายแบบโบลต์ซมันน์ หากมีน้อยมาก การเปลี่ยนสถานะก็มีโอกาสน้อยมากที่จะไม่ถูกสังเกตที่อุณหภูมิที่ใช้ในการคำนวณ โดยทั่วไปแล้ว สัดส่วนของโมเลกุลในสถานะแรกที่มากขึ้นหมายถึงจำนวนการเปลี่ยนสถานะไปยังสถานะที่สองที่มากขึ้น^{[ 9 ]}ซึ่งจะทำให้เส้นสเปกตรัมมีความเข้มมากขึ้น อย่างไรก็ตาม ยังมีปัจจัยอื่นๆ ที่ส่งผลต่อความเข้มของเส้นสเปกตรัม เช่น เกิดจากการเปลี่ยนสถานะที่อนุญาตหรือการเปลี่ยนสถานะที่ต้องห้าม

ฟังก์ชันsoftmaxที่ใช้กันทั่วไปในด้านการเรียนรู้ของเครื่องนั้นมีความเกี่ยวข้องกับการแจกแจงแบบ Boltzmann: $${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{M})=\operatorname {softmax} \left[-{\frac {\varepsilon _{1}}{k_{\text{B}}T}},\ldots ,-{\frac {\varepsilon _{M}}{k_{\text{B}}T}}\right].}$$

การกระจายในรูปแบบนี้ เรียกว่าการกระจายแบบโบลต์ซมันน์ทั่วไปโดยผู้เขียนบางคน^{[ 10 ]}$${\displaystyle \Pr \left(\omega \right)\propto \exp \left[\sum _{\eta =1}^{n}{\frac {X_{\eta }x_{\eta }^{\left(\omega \right)}}{k_{\text{B}}T}}-{\frac {E^{\left(\omega \right)}}{k_{\text{B}}T}}\right]}$$

การแจกแจงโบลต์ซมันน์เป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงโบลต์ซมันน์แบบทั่วไป การแจกแจงโบลต์ซมันน์แบบทั่วไปใช้ในกลศาสตร์สถิติเพื่ออธิบายกลุ่มแคนอนิกกลุ่ม แกรนด์แคนอ นิกและกลุ่มไอโซเทอร์มอล-ไอโซบาริกการแจกแจงโบลต์ซมันน์แบบทั่วไปมักจะได้มาจากหลักการของเอนโทรปีสูงสุดแต่ก็มีการได้มาด้วยวิธีอื่นอีกด้วย^{[ 10 ] [ 11 ]}

การแจกแจงโบลต์ซมันน์แบบทั่วไปมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• เป็นการแจกแจงเดียวที่เอนโทรปีตามที่กำหนดโดยสูตรเอนโทรปีของกิบส์ตรงกับเอนโทรปีตามที่กำหนดในอุณหพลศาสตร์แบบคลาสสิก^{[ 10 ]}
• เป็นการแจกจ่ายเพียงอย่างเดียวที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์ทางเทอร์โมไดนามิกพื้นฐาน ทางคณิตศาสตร์ โดยที่ฟังก์ชันสถานะจะถูกอธิบายโดยค่าเฉลี่ยของกลุ่ม^{[ 11 ]}

การแจกแจงแบบโบลต์ซมันน์ปรากฏในกลศาสตร์เชิงสถิติเมื่อพิจารณาระบบปิดที่มีองค์ประกอบคงที่ซึ่งอยู่ในสมดุลทางความร้อน (สมดุลในแง่ของการแลกเปลี่ยนพลังงาน) กรณีทั่วไปที่สุดคือการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับกลุ่มแคนอนิกัล กรณีพิเศษบางกรณี (ที่ได้มาจากกลุ่มแคนอนิกัล) แสดงให้เห็นการแจกแจงแบบโบลต์ซมันน์ในแง่มุมต่างๆ ดังนี้:

กลุ่มแคนอนิเคิล (กรณีทั่วไป)

กลุ่มแคนอนิกัล (Canonical Ensemble)ให้ความน่าจะเป็นของสถานะต่างๆ ที่เป็นไปได้ของระบบปิดที่มีปริมาตรคงที่ ซึ่งอยู่ในสมดุลทางความร้อนกับอ่างความร้อนกลุ่มแคนอนิกัลมีการกระจายความน่าจะเป็นของสถานะที่มีรูปแบบตามแบบโบลต์ซมันน์ (Boltzmann form)

ความถี่เชิงสถิติของสถานะของระบบย่อย (ในกลุ่มที่ไม่เกิดปฏิสัมพันธ์กัน)

เมื่อระบบที่สนใจเป็นกลุ่มของระบบย่อยขนาดเล็กจำนวนมากที่ไม่โต้ตอบกัน การหาความถี่ทางสถิติของสถานะระบบย่อยใด ๆ ในกลุ่มนั้นอาจเป็นประโยชน์ กลุ่มแคนอนิกัลมีคุณสมบัติในการแยกออกจากกันได้เมื่อนำมาใช้กับกลุ่มดังกล่าว ตราบใดที่ระบบย่อยที่ไม่โต้ตอบกันมีองค์ประกอบคงที่ สถานะของแต่ละระบบย่อยจะเป็นอิสระจากกันและสามารถอธิบายได้ด้วยกลุ่มแคนอนิกัลเช่นกัน ดังนั้น การ กระจายความถี่ทางสถิติ ที่คาดหวังของสถานะระบบย่อยจึงมีรูปแบบตามแบบโบลต์ซมันน์

สถิติแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์ของก๊าซคลาสสิก (ระบบของอนุภาคที่ไม่เกิดปฏิสัมพันธ์กัน)

ในระบบอนุภาค อนุภาคจำนวนมากใช้พื้นที่เดียวกันและสลับตำแหน่งกันเป็นประจำ พื้นที่สถานะของอนุภาคเดี่ยวที่พวกมันครอบครองนั้นเป็นพื้นที่ที่ใช้ร่วมกันสถิติของแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์ให้จำนวนอนุภาคที่คาดว่าจะพบในสถานะของอนุภาคเดี่ยวที่กำหนด ในก๊าซคลาสสิกของอนุภาคที่ไม่ปฏิสัมพันธ์กันที่อยู่ในสภาวะสมดุล การกระจายจำนวนที่คาดหวังนี้มีรูปแบบของโบลต์ซมันน์

แม้ว่ากรณีเหล่านี้จะมีความคล้ายคลึงกันอย่างมาก แต่การแยกแยะความแตกต่างก็เป็นประโยชน์ เนื่องจากผลลัพธ์โดยทั่วไปจะแตกต่างกันเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงสมมติฐานที่สำคัญ:

• เมื่อระบบอยู่ในสมดุลทางเทอร์โมไดนามิกทั้งในแง่ของการแลกเปลี่ยนพลังงานและการแลกเปลี่ยนอนุภาคข้อกำหนดเรื่ององค์ประกอบคงที่ก็จะผ่อนคลายลง และ จะได้ กลุ่มแกรนด์แคนอนิกัลแทนที่จะเป็นกลุ่มแคนอนิกัล ในทางกลับกัน หากทั้งองค์ประกอบและพลังงานคงที่ ก็ จะใช้ กลุ่มไมโครแคนอนิกัลแทน
• หากระบบย่อยภายในชุดมีการโต้ตอบกัน ความถี่ที่คาดหวังของสถานะระบบย่อยจะไม่เป็นไปตามการกระจายแบบ Boltzmann อีกต่อไป และอาจไม่มีคำตอบเชิงวิเคราะห์ด้วยซ้ำ^{[ 12 ]}อย่างไรก็ตาม กลุ่มแคนอนิกยังคงสามารถนำไปใช้กับ สถานะ รวมของระบบทั้งหมดที่พิจารณาโดยรวมได้ โดยมีเงื่อนไขว่าระบบทั้งหมดอยู่ในสมดุลทางความร้อน
• สำหรับ ก๊าซ ควอนตัมของอนุภาคที่ไม่ปฏิสัมพันธ์กันในสภาวะสมดุล จำนวนอนุภาคที่พบในสถานะอนุภาคเดี่ยวที่กำหนดจะไม่เป็นไปตามสถิติของแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์ และไม่มีสูตรสำเร็จรูปง่ายๆ สำหรับก๊าซควอนตัมในกลุ่มแคนอนิก ในกลุ่มแคนอนิกใหญ่ สถิติการเติมเต็มสถานะของก๊าซควอนตัมจะถูกอธิบายโดยสถิติของเฟอร์มิ-ดิแรกหรือสถิติของโบส-ไอน์สไตน์ขึ้นอยู่กับว่าอนุภาคเป็นเฟอร์มิออนหรือโบซอนตามลำดับ

• ในบริบททางคณิตศาสตร์ทั่วไป การแจกแจงแบบโบลต์ซมันน์ยังเป็นที่รู้จักในชื่อการวัดแบบกิบส์อีก ด้วย
• ในทางสถิติและการเรียนรู้ของเครื่องจักรจะเรียกว่าแบบจำลองลอการิทึมเชิงเส้น (log-linear model )
• ในการเรียนรู้เชิงลึกการแจกแจงแบบโบลต์ซมันน์ถูกนำมาใช้ในการแจกแจงตัวอย่างของโครงข่ายประสาทเทียมเชิงสุ่มเช่นเครื่องโบลต์ซมันน์เครื่อง โบลต์ซ มันน์แบบจำกัดโมเดลที่ใช้พลังงานและเครื่องโบลต์ซมันน์เชิงลึกในการเรียนรู้เชิงลึกเครื่องโบลต์ซมันน์ถือเป็นหนึ่งใน โมเดล การเรียนรู้แบบไม่กำกับดูแลในการออกแบบเครื่องโบลต์ซมันน์ในการเรียนรู้เชิงลึก เมื่อจำนวนโหนดเพิ่มขึ้น ความยากลำบากในการนำไปใช้งานในแอปพลิเคชันแบบเรียลไทม์ก็จะยิ่งทวีความรุนแรงขึ้น ดังนั้นจึงมีการนำสถาปัตยกรรมประเภทอื่นที่เรียกว่า เครื่องโบลต์ซมันน์แบบจำกัดมาใช้

สามารถนำการแจกแจงแบบโบลต์ซมันน์มาใช้ในการจัดสรรใบอนุญาตในการซื้อขายการปล่อยมลพิษได้ [ ^{13 ] [ 14 ] วิธี} การจัดสรรแบบใหม่ที่เรียกว่า การแบ่งอย่างเป็นธรรมของโบลต์ซมันน์ (Boltzmann Fair Division ) ใช้การแจกแจงแบบโบลต์ซมันน์เพื่ออธิบายการกระจายใบอนุญาตการปล่อยมลพิษที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุด เป็นธรรมชาติ และไม่มีอคติระหว่างหลายประเทศ^{[ 15 ]} กรอบการทำงานนี้ได้รับการขยายเพิ่มเติมเพื่อแก้ไขปัญหาทั่วไปของความยุติธรรมในการกระจาย รวมถึงการแบ่งเค้กและการจัดสรรทรัพยากร โดยอนุญาตให้มีความยืดหยุ่นในการถ่วงน้ำหนักปัจจัยต่างๆ เช่น การมีส่วนร่วม ความต้องการ หรือความชอบ การแบ่งอย่างเป็นธรรมของโบลต์ซมันน์ได้รับการยอมรับว่าเป็นแบบจำลองความน่าจะเป็นที่เรียบง่ายแต่ทรงพลัง ซึ่งสามารถปรับให้เข้ากับบริบททางสังคม การเมือง และเศรษฐกิจต่างๆ ได้^{[ 15 ]}

การแจกแจง Boltzmann มีรูปแบบเดียวกับแบบจำลองโลจิตแบบหลายตัว เลือก แบบจำลอง การเลือกแบบไม่ต่อเนื่องนี้เป็นที่รู้จักกันดีในทางเศรษฐศาสตร์นับตั้งแต่Daniel McFaddenเชื่อมโยงกับการเพิ่มอรรถประโยชน์แบบสุ่ม^{[ 16 ]}

• แผนกงานแสดงสินค้าโบลท์ซมันน์
• สถิติโบส-ไอน์สไตน์
• สถิติเฟอร์มิ-ดิแรก
• อุณหภูมิติดลบ
• ฟังก์ชัน Softmax