ความแข็งแกร่งโดยกำเนิด (Born rigidity ) เป็นแนวคิดหนึ่งในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษมันเป็นคำตอบหนึ่งของคำถามที่ว่า ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ อะไรคือสิ่งที่สอดคล้องกับวัตถุแข็งเกร็ง ใน กลศาสตร์คลาสสิกที่ไม่เกี่ยวข้องกับ สั ม พัทธภาพ

แนวคิดนี้ได้รับการแนะนำโดยMax Born (1909) ^{[ 1 ] [ 2 ]}ซึ่งได้ให้คำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับกรณีของการเร่งความเร็วที่เหมาะสม คงที่ ซึ่งเขาเรียกว่าการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกเมื่อผู้เขียนรุ่นต่อมา เช่นPaul Ehrenfest (1909) ^{[ 3 ]}พยายามที่จะรวมการเคลื่อนที่แบบหมุนเข้าไปด้วย ก็เป็นที่ชัดเจนว่าความแข็งแกร่งของ Born เป็นความแข็งแกร่งในความหมายที่จำกัดมาก นำไปสู่ทฤษฎีบท Herglotz–Noetherซึ่งระบุว่ามีข้อจำกัดที่เข้มงวดมากต่อการเคลื่อนที่แบบหมุนที่แข็งเกร็งของ Born ทฤษฎีบทนี้ได้รับการกำหนดโดยGustav Herglotz (1909 ผู้ซึ่งจัดประเภทการเคลื่อนที่แบบหมุนทุกรูปแบบ) ^{[ 4 ]}และในรูปแบบที่ไม่ทั่วไปนักโดยFritz Noether (1909) ^{[ 5 ]}ด้วยเหตุนี้ Born (1910) ^{[ 6 ]}และคนอื่นๆ จึงได้ให้คำจำกัดความของความแข็งแกร่งทางเลือกที่มีข้อจำกัดน้อยกว่า

ความแข็งแกร่งของบอร์นเป็นไปตามเงื่อนไขหาก ระยะห่างของปริภูมิ เวลาตั้งฉาก ระหว่างเส้นโค้งหรือเส้นโลก ที่แยกจากกันเล็กน้อย มีค่าคงที่^{[ 7 ]}หรือเทียบเท่า หากความยาวของวัตถุแข็งในกรอบอ้างอิงเฉื่อย ที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกันชั่วขณะ ซึ่งวัดโดยแท่งวัดมาตรฐาน (เช่นความยาวที่แท้จริง ) มีค่าคงที่และจึงอยู่ภายใต้การหดตัวของลอเรนซ์ในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่สัมพัทธ์^{[ 8 ]}ความแข็งแกร่งของบอร์นเป็นข้อจำกัดในการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ขยายออกไป ซึ่งบรรลุได้โดยการใช้แรงอย่างระมัดระวังกับส่วนต่างๆ ของวัตถุ วัตถุที่สามารถรักษาความแข็งแกร่งของตัวเองได้จะละเมิดทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ เนื่องจากความเร็วเสียง ของมัน จะเป็นอนันต์

การจำแนกประเภทของการเคลื่อนที่แบบ Born rigid ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีบท Herglotz–Noether ทฤษฎีบทนี้ระบุว่าการเคลื่อนที่แบบ Born rigid ที่ไม่หมุน ทั้งหมด ( คลาส A ) ประกอบด้วยระนาบไฮเปอร์ที่เคลื่อนที่อย่างแข็งเกร็งผ่านปริภูมิเวลา ในขณะที่การเคลื่อนที่แบบ Born rigid ที่หมุนได้ ( คลาส B ) จะต้องเป็นการ เคลื่อนที่ แบบ Killing แบบไอโซเมตริก ซึ่งหมายความว่าวัตถุแบบ Born rigid มีเพียงสามองศาอิสระ เท่านั้น ดังนั้นวัตถุสามารถเคลื่อนที่แบบ Born rigid จากหยุดนิ่งไปสู่ การเคลื่อนที่ แบบแปล ใดๆ ได้ แต่ไม่สามารถนำวัตถุแบบ Born rigid จากหยุดนิ่งไปสู่การเคลื่อนที่แบบหมุนได้^{[ 9 ]}

^{เฮอร์กลอตซ์ (1911) [ 10 ]}ได้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพของความยืดหยุ่นสามารถตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่าความเครียดเกิดขึ้นเมื่อเงื่อนไขความแข็งแกร่งของบอร์นถูกทำลาย^{[ 11 ]}

ตัวอย่างหนึ่งของการละเมิดหลักการคงตัวของบอร์น (Born rigidity) คือปรากฏการณ์เอห์เรนเฟสต์ (Ehrenfest paradox ) กล่าวคือ แม้ว่าสถานะการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอของวัตถุจะเป็นหนึ่งในสถานะการเคลื่อนที่แบบคงตัวของบอร์นที่อนุญาตในกลุ่ม Bก็ตาม วัตถุไม่สามารถเปลี่ยนจากสถานะการเคลื่อนที่อื่นใดมาเป็นการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอได้โดยไม่ละเมิดเงื่อนไขของหลักการคงตัวของบอร์นในช่วงที่วัตถุมีการเร่งความเร็วต่างๆ แต่ถ้าช่วงนั้นผ่านพ้นไปแล้วและการเร่งความเร็วสู่ศูนย์กลางคงที่ วัตถุสามารถหมุนอย่างสม่ำเสมอได้ตามหลักการคงตัวของบอร์น ในทำนองเดียวกัน หากขณะนี้วัตถุอยู่ในสถานะการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอแล้ว สถานะนี้ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้โดยไม่ละเมิดหลักการคงตัวของบอร์นของวัตถุอีกครั้ง

อีกตัวอย่างหนึ่งคือปรากฏการณ์ยานอวกาศของเบลล์ : หากจุดปลายของวัตถุถูกเร่งความเร็วด้วยความเร่งเฉพาะที่คงที่ในทิศทางเชิงเส้นตรง จุดปลายนำหน้าจะต้องมีความเร่งเฉพาะที่ต่ำกว่าเพื่อให้ความยาวเฉพาะคงที่ เพื่อให้เป็นไปตามความแข็งแกร่งของบอร์น นอกจากนี้ยังจะแสดงการหดตัวของลอเรนซ์ที่เพิ่มขึ้นในกรอบอ้างอิงเฉื่อยภายนอก นั่นคือ ในกรอบอ้างอิงภายนอก จุดปลายของวัตถุไม่ได้เร่งความเร็วพร้อมกัน อย่างไรก็ตาม หากเลือกโปรไฟล์ความเร่งที่แตกต่างกัน ซึ่งทำให้จุดปลายของวัตถุเร่งความเร็วพร้อมกันด้วยความเร่งเฉพาะที่เท่ากันกับที่เห็นในกรอบอ้างอิงเฉื่อยภายนอก ความแข็งแกร่งของบอร์นจะถูกทำลาย เนื่องจากความยาวคงที่ในกรอบอ้างอิงภายนอกหมายถึงความยาวเฉพาะที่เพิ่มขึ้นในกรอบอ้างอิงร่วมเคลื่อนที่เนื่องจากความสัมพันธ์ของความพร้อมกันในกรณีนี้ เส้นด้ายที่เปราะบางซึ่งทอดข้ามระหว่างจรวดสองลำจะประสบกับความเครียด (ซึ่งเรียกว่าความเครียดของเฮอร์กลอตซ์-เดวาน-เบอรัน^{[ 8 ]} ) และจะขาดในที่สุด

การจำแนกประเภทของการเคลื่อนที่แบบ Born rigid ที่อนุญาต โดยเฉพาะการหมุนในปริภูมิเวลา Minkowski แบบแบน ได้รับการกำหนดโดย Herglotz ^{[ 4 ]}ซึ่งได้รับการศึกษาโดยFriedrich Kottler (1912, 1914) ^{[ 12 ]} Georges Lemaître (1924) ^{[ 13 ]} Adriaan Fokker (1940) ^{[ 14 ]} George Salzmann & Abraham H. Taub (1954) ^{[ 7 ]} Herglotz ชี้ให้เห็นว่าคอนตินิวอัมเคลื่อนที่เหมือนวัตถุแข็งเกร็งเมื่อเส้นโลกของจุดต่างๆ เป็นเส้นโค้งที่มีระยะห่างเท่ากันในความเป็นโลกที่เกิดขึ้นสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภท: ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$

เฮอร์กลอตซ์ได้กำหนดคลาสนี้ในแง่ของเส้นโค้งที่มีระยะห่างเท่ากัน ซึ่งเป็นวิถีโคจรตั้งฉากของกลุ่มไฮเปอร์เพลนซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นคำตอบของสมการริคคาติ^{[ 15 ]} (สิ่งนี้เรียกว่า "การเคลื่อนที่ของระนาบ" โดยซาลซ์มันน์และทาวบ์^{[ 7 ]}หรือ "การเคลื่อนที่แบบแข็งเกร็งที่ไม่หมุน" โดยบอยเออร์^{[ 16 ] [ 17 ]} ) เขาได้สรุปว่าการเคลื่อนที่ของวัตถุดังกล่าวถูกกำหนดโดยสมบูรณ์โดยการเคลื่อนที่ของจุดใดจุดหนึ่งของวัตถุนั้น

เมตริกทั่วไปสำหรับการเคลื่อนที่แบบไร้การหมุนเหล่านี้ได้รับการกำหนดโดย Herglotz ซึ่งงานของเขาได้รับการสรุปด้วยสัญลักษณ์ที่เรียบง่ายโดย Lemaître (1924) นอกจากนี้เมตริก Fermiในรูปแบบที่กำหนดโดยChristian Møller (1952) สำหรับเฟรมแข็งที่มีการเคลื่อนที่ของจุดกำเนิดแบบใดก็ได้ ได้รับการระบุว่าเป็น "เมตริกทั่วไปที่สุดสำหรับการเคลื่อนที่แบบแข็งไร้การหมุนในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ" ^{[ 18 ]}โดยทั่วไป แสดงให้เห็นว่าการเคลื่อนที่แบบ Born ไร้การหมุนสอดคล้องกับ Fermi congruence เหล่านั้นซึ่งสามารถใช้ worldline ใดก็ได้เป็นฐาน (Fermi congruence ที่เป็นเนื้อเดียวกัน) ^{[ 19 ]}

เฮอร์กลอตซ์1909	${\displaystyle ds^{2}=da^{2}+\varphi (db,dc)-\Theta ^{2}d\vartheta ^{2}}$[ 20 ]
เลอแมตร์1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+\phi ^{2}dt^{2}\\&\quad \left(\phi =lx+my+nz+p\right)\end{aligned}}}$[ 21 ]
มอลเลอร์1952	${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\left[1+{\frac {g_{\kappa }x^{\kappa }}{c^{2}}}\right]^{2}}$[ 22 ]

Already Born (1909) ชี้ให้เห็นว่าวัตถุแข็งเกร็งที่เคลื่อนที่แบบแปลนจะมีขนาดขยายสูงสุดในอวกาศขึ้นอยู่กับความเร่ง โดยกำหนดความสัมพันธ์โดยที่คือความเร่งเฉพาะตัว และคือรัศมีของทรงกลมที่วัตถุตั้งอยู่ ดังนั้นยิ่งความเร่งเฉพาะตัวสูง ขนาดขยายสูงสุดของวัตถุแข็งเกร็งก็จะยิ่งน้อยลง^{[ 2 ]}กรณีพิเศษของการเคลื่อนที่แบบแปลนที่มีความเร่งเฉพาะตัวคงที่เรียกว่าการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกโดยมีเวิลด์ไลน์เป็น ${\displaystyle b<c^{2}/R}$${\displaystyle b}$${\displaystyle R}$

เกิดปี 1909	${\displaystyle {\begin{aligned}&x=-q\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta ,\quad t={\frac {p}{c^{2}}}\xi \\&\quad \left(p={\frac {dx}{d\tau }},\quad q=-{\frac {dt}{d\tau }}={\sqrt {1+p^{2}/c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$[ 23 ]
เฮอร์กลอตซ์1909	${\displaystyle x=x',\quad y=y',\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }}$[ 24 ] ${\displaystyle x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z={\sqrt {z_{0}^{2}+t^{2}}}}$[ 25 ]
ซอมเมอร์เฟลด์1910	${\displaystyle {\begin{aligned}&x=r\cos \varphi ,\quad y=y',\quad z=z',\quad l=r\sin \varphi \\&\quad \left(l=ict,\quad \varphi =i\psi \right)\end{aligned}}}$[ 26 ]
คอตต์เลอร์1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)},\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=b^{2}(du)^{2}\end{aligned}}}$[ 27 ] ${\displaystyle x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z=b\cosh u,\quad ct=b\sinh u}$[ 28 ]

Herglotz นิยามคลาสนี้ในแง่ของเส้นโค้งที่มีระยะห่างเท่ากันซึ่งเป็นวิถีการเคลื่อนที่ของกลุ่มการเคลื่อนที่แบบพารามิเตอร์เดียว^{[ 29 ]} (สิ่งนี้เรียกว่า "การเคลื่อนที่แบบกลุ่ม" โดย Salzmann & Taub ^{[ 7 ]}และถูกระบุว่าเป็นการ เคลื่อนที่แบบ Killing แบบไอโซเมตริก โดยFelix Pirani & Gareth Williams (1962) ^{[ 30 ]} ) เขาชี้ให้เห็นว่าประกอบด้วยเส้นโลกที่มีความโค้งสามค่าคงที่ (เรียกว่าความโค้งการบิด และการบิดเกิน) ซึ่งก่อตัวเป็นเกลียว^{[ 31 ]}เส้นทางโลกที่มีความโค้งคงที่ในปริภูมิเวลาราบเรียบยังได้รับการศึกษาโดย Kottler (1912) ^{[ 12 ]} Petrův (1964) ^{[ 32 ]} John Lighton Synge (1967 ซึ่งเรียกมันว่าเกลียวเวลาในปริภูมิเวลาราบเรียบ) ^{[ 33 ]}หรือ Letaw (1981 ซึ่งเรียกมันว่าเส้นทางโลกคงที่) ^{[ 34 ]}ในฐานะคำตอบของสูตร Frenet–Serret

เฮอร์กลอตซ์ได้แยกคลาส B ออกเพิ่มเติมโดยใช้กลุ่มการแปลงลอเรนซ์แบบพารามิเตอร์เดียวสี่กลุ่ม (ลอกโซโดรมิก, วงรี, ไฮเปอร์โบลิก, พาราโบลิก) โดยเปรียบเทียบกับการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิก (เช่น ออโตมอร์ฟิซึมแบบไอโซเมตริกของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก)และชี้ให้เห็นว่าการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกของบอร์น (ซึ่งเป็นผลมาจากกลุ่มไฮเปอร์โบลิก ใน สัญลักษณ์ของเฮอร์กลอตซ์และคอตต์เลอร์ในสัญลักษณ์ของเลอแมตร์ในสัญลักษณ์ของซิงจ์ ดูตารางต่อไปนี้) เป็นการเคลื่อนที่แบบแข็งเกร็งของบอร์นเพียงอย่างเดียวที่อยู่ในทั้งคลาส A และ B ${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle q=0}$

กลุ่มลอกโซโดรมิก (การผสมผสานระหว่างการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกและการหมุนแบบสม่ำเสมอ)
เฮอร์กลอตซ์1909	${\displaystyle x+iy=(x'+iy')e^{i\lambda \vartheta },\quad x-iy=(x'-iy')e^{-i\lambda \vartheta },\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }}$[ 35 ]
คอตต์เลอร์1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=a\cos \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(2)}=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(b^{2}-a^{2}\lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[ 36 ]
เลอแมตร์1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x\cos \lambda t-y\sin \lambda t,\quad \eta =x\sin \lambda t+y\cos \lambda t,\quad \zeta =z\cosh t,\quad \tau =z\sinh t\\&ds^{2}=-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-dz^{2}-2\lambda r^{2}d\theta \ dt+\left(z^{2}-\lambda ^{2}r^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[ 37 ]
ซิงจ์1967	${\displaystyle x=q\omega ^{-1}\sin \omega s,\quad y=-q\omega ^{-1}\cos \omega s,\quad z=r\chi ^{-1}\cosh \chi s,\quad t=r\chi ^{-1}\sinh \chi s}$[ 38 ]
กลุ่มวงรี (การหมุนสม่ำเสมอ)
เฮอร์กลอตซ์1909	${\displaystyle x+iy=(x'+iy')e^{i\vartheta },\quad x-iy=(x'-iy')e^{-i\vartheta },\quad z=z',\quad t=t'+\delta \vartheta }$[ 39 ]
คอตต์เลอร์1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=a\cos \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(2)}=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}=x_{0}^{(3)},\quad x^{(4)}=iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(1-a^{2}\lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[ 40 ]
เดอ ซิตเตอร์ 1916	${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta '=\theta -\omega ct,\ \left(d\sigma ^{\prime 2}=dr^{\prime 2}+r^{\prime 2}d\theta ^{\prime 2}+dz^{\prime 2}\right)\\&ds^{2}=-d\sigma ^{\prime 2}-2r^{\prime 2}\omega \ d\theta 'cdt+\left(1-r^{\prime 2}\omega ^{2}\right)c^{2}dt^{2}\end{aligned}}}$[ 41 ]
เลอแมตร์1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x\cos \lambda t-y\sin \lambda t,\quad \eta =x\sin \lambda t+y\cos \lambda t,\quad \zeta =z,\quad \tau =t\\&ds^{2}=-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-dz^{2}-2\lambda r^{2}d\theta \ dt+\left(1-\lambda ^{2}r^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[ 42 ]
ซิงจ์1967	${\displaystyle x=q\omega ^{-1}\sin \omega s,\quad y=-q\omega ^{-1}\cos \omega s,\quad z=0,\quad t=sr}$[ 43 ]
กลุ่มไฮเปอร์โบลิก (การเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิก บวกกับการเลื่อนในอวกาศ)
เฮอร์กลอตซ์1909	${\displaystyle x=x'+\alpha \vartheta ,\quad y=y',\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }}$[ 44 ]
คอตต์เลอร์1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)}+\alpha u,\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(b^{2}-\alpha ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[ 45 ]
เลอแมตร์1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x+\lambda t,\quad \eta =y,\quad \zeta =z\cosh t,\quad \tau =z\sinh t\\&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}-2\lambda dx\ dt+\left(z^{2}-\lambda ^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[ 46 ]
ซิงจ์1967	${\displaystyle x=sq,\quad y=0,\quad z=r\chi ^{-1}\cosh \chi s,\quad t=r\chi ^{-1}\sinh \chi s}$[ 47 ]
กลุ่มพาราโบลา (ที่อธิบายถึงพาราโบลาแบบกึ่งลูกบาศก์ )
เฮอร์กลอตซ์1909	${\displaystyle x=x_{0}+{\frac {1}{2}}\delta \vartheta ^{2},\quad y=y_{0}+\beta \vartheta ,\quad z=z_{0}+x_{0}\vartheta +{\frac {1}{6}}\delta \vartheta ^{3},\quad t-z=\delta \vartheta }$[ 25 ]
คอตต์เลอร์1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)}+{\frac {1}{2}}\alpha u^{2},\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=x_{0}^{(3)}+x_{0}^{(1)}u+{\frac {1}{6}}\alpha u^{3},\quad x^{(4)}=ix^{(3)}+i\alpha u\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(\alpha ^{2}+2x_{0}^{(1)}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[ 48 ]
เลอแมตร์1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x+{\frac {1}{2}}\lambda t^{2},\quad \eta =y+\mu t,\quad \zeta =z+xt+{\frac {1}{6}}\lambda t^{3},\quad \tau =\lambda t+z+xt+{\frac {1}{6}}\lambda t^{3}\\&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-2\mu \ dy\ dt+2\lambda \ dz\ dt+\left(2\lambda x+\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[ 37 ]
ซิงจ์1967	${\displaystyle x={\frac {1}{6}}b^{2}s^{3},\quad y=0,\quad z={\frac {1}{2}}bs^{2},\quad t=s+{\frac {1}{6}}b^{2}s^{3}}$[ 49 ]

ความพยายามที่จะขยายแนวคิดเรื่องความแข็งแกร่งของบอร์นไปสู่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปได้กระทำโดย Salzmann & Taub (1954), ^{[ 7 ]} C. Beresford Rayner (1959), ^{[ 50 ]} Pirani & Williams (1962), ^{[ 30 ]} Robert H. Boyer (1964) ^{[ 16 ]}พบว่าทฤษฎีบท Herglotz–Noether ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขอย่างสมบูรณ์ เนื่องจากกรอบการหมุนแบบแข็งหรือความสอดคล้องกันนั้นเป็นไปได้ ซึ่งไม่ได้แสดงถึงการเคลื่อนที่แบบ Killing ที่เป็นไอโซเมตริก^{[ 30 ]}

นอกจากนี้ ยังมีการเสนอเงื่อนไขความแข็งแกร่งทดแทนที่อ่อนแอกว่าหลายประการ เช่น โดย Noether (1909) ^{[ 5 ]}หรือ Born (1910) เอง^{[ 6 ]}

Epp, Mann และ McGrath ได้เสนอทางเลือกที่ทันสมัย^{​​[ 51 ]}ในทางตรงกันข้ามกับความสอดคล้องแบบแข็งของ Born ทั่วไปซึ่งประกอบด้วย "ประวัติของชุดจุดที่เติมเต็มปริมาตรเชิงพื้นที่" พวกเขากู้คืนองศาอิสระหกองศาของกลศาสตร์คลาสสิกโดยใช้เฟรมแข็งกึ่งเฉพาะที่โดยกำหนดความสอดคล้องในแง่ของ "ประวัติของชุดจุดบนพื้นผิวที่ล้อมรอบปริมาตรเชิงพื้นที่"

• Born, Max (1909a), "Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips" [คำแปลจาก Wikisource: ทฤษฎีของอิเล็กตรอนแข็งในจลนศาสตร์ของหลักการสัมพัทธภาพ ], Annalen der Physik , 335 (11): 1– 56, Bibcode : 1909AnP...335....1B , doi : 10.1002/andp.19093351102
• วันเกิด แม็กซ์ (1909b) "Über die Dynamik des Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips" [การแปลวิกิซอร์ซ: เกี่ยวกับพลศาสตร์ของอิเล็กตรอนในจลนศาสตร์ของหลักการสัมพัทธภาพ ], Physikalische Zeitschrift , 10 : 814– 817
• วันเกิด แม็กซ์ (1910) "Zur Kinematik des starren Körpers im System des Relativitätsprinzips" [การแปลวิกิซอร์ซ: On the Kinematics of the Rigid Body in the System of the Principle of Relativity ], Göttinger Nachrichten , 2 : 161– 179
• Ehrenfest, Paul (1909), "  Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie " [การแปลวิกิซอร์ซ: Uniform Rotation of Rigid Bodies and the Theory of Relativity ], Physikalische Zeitschrift , 10 : 918, Bibcode : 1909PhyZ...10..918E
• Franklin, Jerrold (2013), "การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ", Foundations of Physics , 95 (12): 1489– 1501, arXiv : 1105.3899 , Bibcode : 2013FoPh...43.1489F , doi : 10.1007/s10701-013-9757-x , S2CID  254514424
• Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [การแปลวิกิซอร์ซ: บนวัตถุที่ถูกกำหนดให้เป็น "แข็ง" จากมุมมองของหลักการสัมพัทธภาพ ], Annalen der Physik , 336 (2): 393– 415, Bibcode : 1910AnP...336..393H , doi : 10.1002/andp.19103360208
• Herglotz, Gustav (1911), "Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie" , Annalen der Physik , 341 (13): 493– 533, Bibcode : 1911AnP...341..493H , doi : 10.1002/และp.19113411303; แปลเป็นภาษาอังกฤษโดย David Delphenich: ว่าด้วยกลศาสตร์ของวัตถุที่เปลี่ยนรูปได้จากมุมมองของทฤษฎีสัมพัทธภาพ
• โนเธอร์ ฟริตซ์ (1910) [1909] " Zur Kinematik des starren Körpers ใน der Relativtheorie" อันนาเลน เดอร์ ฟิซิก . 336 (5): 919– 944. Bibcode : 1910AnP...336..919N . ดอย : 10.1002/andp.19103360504 .
• ซอมเมอร์เฟลด์, อาร์โนลด์ (1910) "Zur Relativitätstheorie II: Vier Dimensione Vektoranalysis" [การแปลวิกิซอร์ซ: บนทฤษฎีสัมพัทธภาพ II: การวิเคราะห์เวกเตอร์สี่มิติ ] อันนาเลน เดอร์ ฟิซิก . 338 (14): 649– 689. รหัสสินค้า : 1910AnP...338..649S . ดอย : 10.1002/andp.19103381402 .
• คอตเลอร์, ฟรีดริช (1912) "Über die Raumzeitlinien der Minkowski'schen Welt" [คำแปลจากวิกิซอร์ซ: บนเส้นกาลอวกาศของโลก Minkowski ] เวียนเนอร์ ซิทซุงสเบริชเท 2a 121 : 1659– 1759. hdl : 2027/mdp.39015051107277 .
• คอตเลอร์, ฟรีดริช (1914a) "ความสัมพันธ์ปรินซิพและ beschleunigte Bewegung" . อันนาเลน เดอร์ ฟิซิก . 349 (13): 701– 748. Bibcode : 1914AnP...349..701K . ดอย : 10.1002/andp.19143491303 .
• คอตเลอร์, ฟรีดริช (1914b) "Fallende Bezugssysteme จาก Standpunkte des Relativitätsprinzips" . อันนาเลน เดอร์ ฟิซิก . 350 (20): 481– 516. รหัสสินค้า : 1914AnP...350..481K . ดอย : 10.1002/andp.19143502003 .
• De Sitter, W. (1916). "เกี่ยวกับทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของไอน์สไตน์และผลที่ตามมาทางดาราศาสตร์ บทความฉบับที่สอง" . ประกาศรายเดือนของราชสมาคมดาราศาสตร์ . 77 (2): 155– 184. Bibcode : 1916MNRAS..77..155D . doi : 10.1093/mnras/77.2.155 .
• เพาลี, โวล์ฟกัง (1921), "Die Relativitätstheorie" , Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften , 5 (2): 539– 776

ในภาษาอังกฤษ: Pauli, W. (1981) [1921]. ทฤษฎีสัมพัทธภาพเล่มที่ 165 สำนักพิมพ์โดเวอร์ISBN 0-486-64152-X.{{cite book}}: |journal=ละเลย ( ช่วยเหลือ )

• Lemaître, G. (1924), "การเคลื่อนที่ของของแข็งแข็งตามหลักการสัมพัทธภาพ", Philosophical Magazine , Series 6, 48 (283): 164– 176, doi : 10.1080/14786442408634478
• Fokker, AD (1949), "เกี่ยวกับเรขาคณิตของปริภูมิ-เวลาของวัตถุแข็งที่เคลื่อนที่", Reviews of Modern Physics , 21 (3): 406– 408, Bibcode : 1949RvMP...21..406F , doi : 10.1103/RevModPhys.21.406
• Møller, C. (1955) [1952]. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ . สำนักพิมพ์ Oxford Clarendon Press.
• Salzman, G., & Taub, AH (1954), "การเคลื่อนที่แบบแข็งเกร็งของบอร์นในทฤษฎีสัมพัทธภาพ", Physical Review , 95 (6): 1659– 1669, Bibcode : 1954PhRv...95.1659S , doi : 10.1103/PhysRev.95.1659{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Rayner, CB (1959), "Le corps Rigide en relativité générale" , Séminaire Janet. Mécanique Analytique และ Mécanique Céleste , 2 : 1– 15
• Pirani, FAE, & Williams, G. (1962), "การเคลื่อนที่แบบแข็งในสนามโน้มถ่วง" , Séminaire Janet Mécanique Analytique และ Mécanique Céleste , 5 : 1– 16{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• เปตรูฟ, วี. (1964) "ดี โลซุง เดอร์ ฟอร์เมลน์ ฟอน เฟรเนต์ อิม ฟาลเล คอนสแตนเทอร์ ครุมมุงเกน " แอพลิกาเช่ มาเทมาติกี้ . 9 (4): 239– 240.
• Boyer, RH (1965), "กรอบแข็งในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป", Proceedings of the Royal Society of London A , 28 (1394): 343– 355, Bibcode : 1965RSPSA.283..343B , doi : 10.1098/rspa.1965.0025 , S2CID  120278621
• Synge, JL (1967) [1966]. "เกลียวเวลาในปริภูมิเวลาแบนราบ". Proceedings of the Royal Irish Academy, Section A . 65 : 27– 42. JSTOR  20488646 .
• Grøn, Ø. (1981), "การกำหนดสูตรโคแวเรียนต์ของกฎของฮุค", American Journal of Physics , 49 (1): 28– 30, Bibcode : 1981AmJPh..49...28G , doi : 10.1119/1.12623
• Letaw, JR (1981). "เส้นโลกคงที่และการกระตุ้นสุญญากาศของเครื่องตรวจจับที่ไม่เฉื่อย". Physical Review D . 23 (8): 1709– 1714. Bibcode : 1981PhRvD..23.1709L . doi : 10.1103/PhysRevD.23.1709 .
• Bel, L. (1995) [1993], "กลุ่มของบอร์นและไอโซเมตรีทั่วไป", สัมพัทธภาพทั่วไป: รายงานการประชุมสัมพัทธภาพปี 1993 , Atlantica Séguier Frontières: 47, arXiv : 1103.2509 , Bibcode : 2011arXiv1103.2509B
• Giulini, Domenico (2008). "โครงสร้างอันซับซ้อนของปริภูมิเวลา Minkowski". ปริภูมิเวลา Minkowski: หนึ่งร้อยปีต่อมา . เล่มที่ 165. Springer. หน้า 83. arXiv : 0802.4345 . Bibcode : 2008arXiv0802.4345G . ISBN 978-90-481-3474-8.{{cite book}}: |journal=ละเลย ( ช่วยเหลือ )
• Epp, RJ, Mann, RB, & McGrath, PL (2009), "การทบทวนการเคลื่อนที่แบบแข็งเกร็ง: กรอบกึ่งเฉพาะที่แบบแข็งเกร็ง", แรงโน้มถ่วงแบบคลาสสิกและควอนตัม , 26 (3) 035015, arXiv : 0810.0072 , Bibcode : 2009CQGra..26c5015E , doi : 10.1088/0264-9381/26/3/035015 , S2CID  118856653{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

• ความแข็งแกร่งโดยกำเนิด ความเร่ง และความเฉื่อยที่ mathpages.com
• แผ่นดิสก์หมุนแข็งในทฤษฎีสัมพัทธภาพในคำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับฟิสิกส์ของ USENET