ในสาขาคณิตศาสตร์ของการวิเคราะห์เชิงตัวเลขและทฤษฎีการประมาณค่า บ็อกซ์สปลายน์เป็นฟังก์ชันพหุนามแบบแบ่งส่วน ของตัวแปรหลายตัว^{[ 1 ]}บ็อกซ์สปลายน์ถือเป็นการวางนัยทั่วไปของเบสสปลายน์ (B-splines) ในหลายตัวแปร และโดยทั่วไปใช้สำหรับการประมาณค่า/การสอดแทรกในหลายตัวแปร ในทางเรขาคณิต บ็อกซ์สปลายน์คือเงา (ภาพเอ็กซ์เรย์) ของไฮเปอร์คิวบ์ที่ฉายลงไปยังพื้นที่มิติที่ต่ำกว่า^{[ 2 ]} บ็อกซ์สปลายน์และซิมเพล็กซ์สปลายน์เป็นกรณีพิเศษที่ได้รับการศึกษาอย่างดีของโพลีเฮดรัลสปลายน์ ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นเงาของ โพลีโทปทั่วไป

บ็อกซ์สปลายน์เป็นฟังก์ชัน หลายตัวแปร${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} )}$กำหนดไว้สำหรับเซตของเวกเตอร์${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{d},}$โดยปกติจะรวมกลุ่มกันในรูปแบบเมทริกซ์${\displaystyle \mathbf {\Xi }$ :=\left[\xi _{1}\dots \xi _{N}\right].}

เมื่อจำนวนเวกเตอร์เท่ากับมิติของโดเมน (เช่น${\displaystyle N=d}$) จากนั้น บ็อกซ์สปลายน์ก็คือฟังก์ชันตัวบ่งชี้ (แบบนอร์มาไลซ์) ของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ใน${\displaystyle \mathbf {\Xi } }$:

${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} ):={\frac {1}{\mid {\det {\Xi }}\mid }}\chi _{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} )={\begin{cases}{\frac {1}{\mid {\det {\Xi }}\mid }}&{\text{if }}\mathbf {x} =\sum _{n=1}^{d}{t_{n}\xi _{n}}{\text{ for some }}0\leq t_{n}<1\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

การเพิ่มทิศทางใหม่${\displaystyle \xi ,}$ถึง${\displaystyle \mathbf {\Xi } ,}$หรือโดยทั่วไปเมื่อ${\displaystyle N>d,}$เส้นโค้งกล่องถูกกำหนดแบบเรียกซ้ำ: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } \cup \xi }(\mathbf {x} )=\int _{0}^{1}M_{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} -t\xi )\,{\rm {d}}t.}$

เส้นโค้งกล่อง${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } }}$สามารถตีความได้ว่าเป็นเงาของฟังก์ชันตัวบ่งชี้ ของ ไฮเปอร์คิวบ์หน่วยใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$เมื่อฉายลงไป${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$ในมุมมองนี้ เวกเตอร์${\displaystyle \xi \in \mathbf {\Xi } }$คือการฉายภาพทางเรขาคณิตของฐานมาตรฐานใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$(เช่น ขอบของไฮเปอร์คิวบ์) ไปยัง${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

เมื่อพิจารณาการแจกแจงแบบเทมเปอร์ สปลายกล่องที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์ทิศทางเดียวคือฟังก์ชันทั่วไปแบบคล้ายดิแรกซ์ซึ่งรองรับบน${\displaystyle t\xi }$สำหรับ${\displaystyle 0\leq t<1}$จากนั้น บ็อกซ์สปลายทั่วไปจะถูกกำหนดให้เป็นการสังเคราะห์ของฟังก์ชันการกระจายที่เกี่ยวข้องกับบ็อกซ์สปลายเวกเตอร์เดี่ยว:

${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } }=M_{\xi _{1}}\ast M_{\xi _{2}}\ast \dots \ast M_{\xi _{N}}.}$

• อนุญาต${\displaystyle \kappa }$เป็นจำนวนทิศทางขั้นต่ำที่ต้องนำออกจาก${\displaystyle \Xi }$ทำให้ทิศทางที่เหลือไม่ครอบคลุม${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$จากนั้นเส้นโค้งกล่องจะมี${\displaystyle \kappa -2}$ระดับความต่อเนื่อง:${\displaystyle M_{\mathbf {\Xi } }\in C^{\kappa -2}(\mathbb {R} ^{d})}$[ ^{1 ]​}
• เมื่อไร${\displaystyle N\geq d}$(และเวกเตอร์ใน${\displaystyle \Xi }$ช่วง${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$) บ็อกซ์สปลายน์เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตจำกัด โดยขอบเขตการรองรับนั้นเป็นโซโนโทปใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$เกิดจากผลรวมมินคอฟสกีของเวกเตอร์ทิศทาง${\displaystyle \xi \in \mathbf {\Xi } }$.
• เนื่องจากโซโนโทปมีสมมาตรแบบจุดศูนย์กลาง ดังนั้นส่วนรองรับของสปลายกล่องจึงมีสมมาตรเมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางของมัน:${\displaystyle \mathbf {c} _{\Xi }:={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{N}\xi _{n}.}$
• การแปลงฟูริเยร์ของสปลายกล่อง ใน${\displaystyle d}$มิติต่างๆ กำหนดโดย

${\displaystyle {\hat {M}}_{\Xi }(\omega )=\exp(-j\mathbf {c} _{\Xi }\cdot \omega )\prod _{n=1}^{N}\operatorname {sinc} (\xi _{n}\cdot \omega ).}$

สำหรับการใช้งานต่างๆ จะใช้การรวมเชิงเส้นของการเลื่อนของสปลายกล่องหนึ่งตัวหรือมากกว่าบนโครงข่าย สปลายดังกล่าวมีประสิทธิภาพมากกว่าการรวมเชิงเส้นของสปลายซิมเพล็กซ์ เนื่องจากสามารถปรับแต่งได้ และโดยนิยามแล้วจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อน ดังนั้นจึงเป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการสร้างพื้นผิวแบบแบ่งย่อย จำนวนมาก

เส้นโค้งกล่องมีประโยชน์ในการกำหนดลักษณะการจัดเรียงระนาบไฮเปอร์^{[ 3 ]}นอกจากนี้ เส้นโค้งกล่องยังสามารถใช้ในการคำนวณปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมได้^{[ 4 ]}

ในบริบทของ การ ^{ประมวล}ผลสัญญาณหลายมิติบ็อกซ์สปลายน์สามารถให้เคอร์เนลการแทรกสอดแบบหลายตัวแปร (ตัวกรองการสร้างใหม่) ที่ปรับแต่งให้เข้ากับแลตทิซการสุ่มตัวอย่าง ที่ไม่ใช่คาร์ทีเซียน [ ^{5 ]}และแลตทิซผลึกศาสตร์ (แลตทิซราก) ซึ่งรวมถึงแลตทิซการสุ่มตัวอย่างที่เหมาะสมทางทฤษฎีสารสนเทศจำนวนมาก^{[ 6 ]}โดยทั่วไปแลตทิซการบรรจุทรงกลมและการครอบคลุมทรงกลมที่ เหมาะสม ^{[ 7 ]}มีประโยชน์สำหรับการสุ่มตัวอย่างฟังก์ชันหลายตัวแปรใน 2 มิติ 3 มิติ และมิติที่สูงกว่า^{[ 8 ]} ในการตั้งค่า 2 มิติ บ็อกซ์สปลายน์สามทิศทาง^{[ 9 ]}ใช้สำหรับการแทรกสอดของภาพที่สุ่มตัวอย่างแบบหกเหลี่ยม ในการตั้งค่า 3 มิติ บ็อกซ์สปลายน์สี่ทิศทาง^{[ 10 ]}และหกทิศทาง^{[ 11 ]}ใช้สำหรับการแทรกสอดของข้อมูลที่สุ่มตัวอย่างบนแลตทิซลูกบาศก์ศูนย์กลางตัวและ ลูกบาศก์ ศูนย์กลางหน้า (ที่เหมาะสม) ตามลำดับ^{[ 5 ]}สปลายกล่องเจ็ดทิศทาง^{[ 12 ]}ถูกใช้สำหรับการสร้างแบบจำลองพื้นผิวและสามารถใช้สำหรับการประมาณค่าข้อมูลบนโครงข่ายคาร์ทีเซียน^{[ 13 ]}เช่นเดียวกับโครงข่ายลูกบาศก์ศูนย์กลางตัว^{[ 14 ]}การขยายสปลายกล่องสี่ทิศทาง^{[ 10 ]}และหกทิศทาง^{[ 11 ]}ไปสู่มิติที่สูงขึ้น^{[ 15 ]}สามารถใช้สร้างสปลายบนโครงข่ายรากได้^{[ 16 ]}สปลายกล่องเป็นส่วนประกอบสำคัญของสปลายหกเหลี่ยม^{[ 17 ]}และสปลายโวโรนอย^{[ 18 ]}ซึ่งอย่างไรก็ตามไม่สามารถปรับปรุงได้

บ็อกซ์สปลายน์พบการประยุกต์ใช้ในการกรองมิติสูง โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการกรองแบบทวิภาคีที่รวดเร็วและอัลกอริธึมค่าเฉลี่ยที่ไม่ใช่แบบโลคอล^{[ 19 ]}นอกจากนี้ บ็อกซ์สปลายน์ยังใช้ในการออกแบบตัวกรองแบบแปรผันตามพื้นที่ที่มีประสิทธิภาพ (เช่น ตัวกรองที่ไม่ใช่แบบคอนโวลูชัน) ^{[ 20 ]}

บ็อกซ์สปลายน์เป็นฟังก์ชันพื้นฐานที่มีประโยชน์สำหรับการแสดงภาพในบริบทของ ปัญหา การสร้างภาพโทโมกราฟิกเนื่องจากปริภูมิสปลายน์ที่สร้างโดยปริภูมิบ็อกซ์สปลายน์จะปิดภายใต้การแปลงเอ็กซ์เรย์และเรดอน^{[ 21 ] [ 22 ]}ในแอปพลิเคชันนี้ ในขณะที่สัญญาณถูกแสดงในปริภูมิที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อน การฉายภาพจะได้รับในรูปแบบปิดโดยการเลื่อนที่ไม่สม่ำเสมอของบ็อกซ์สปลายน์^{[ 21 ]}

ในบริบทของการประมวลผลภาพ เฟรมสปลายกล่องได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีประสิทธิภาพในการตรวจจับขอบ^{[ 23 ]}