ในทฤษฎีจำนวนทฤษฎีบทของบรุนกล่าวว่า ผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะคู่แฝด (คู่ของจำนวนเฉพาะที่ต่างกัน 2) จะลู่เข้าสู่ค่าจำกัดค่าหนึ่งที่เรียกว่าค่าคงที่ของบรุนซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์( ลำดับA065421ในOEIS )ทฤษฎีบทของบรุนได้รับการพิสูจน์โดยวิกโก บรุนในปี 1919 และมีความสำคัญทางประวัติศาสตร์ในการนำวิธีการกรองมาใช้

การลู่เข้าของผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะคู่แฝดเป็นผลมาจากขอบเขตของความหนาแน่นของลำดับของจำนวนเฉพาะคู่แฝด ให้${\displaystyle \pi _{2}(x)}$แทนจำนวนของจำนวนเฉพาะp ≤ xซึ่งp + 2 ก็เป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน (เช่น${\displaystyle \pi _{2}(x)}$คือจำนวนของจำนวนเฉพาะแฝดที่มีขนาดเล็กกว่าไม่เกินxดังนั้น เราจะได้

${\displaystyle \pi _{2}(x)=O\!\left({\frac {x(\log \log x)^{2}}{(\log x)^{2}}}\right)\!.}$

กล่าวคือ จำนวนเฉพาะคู่แฝดเกิดขึ้นน้อยกว่าจำนวนเฉพาะโดยทั่วไปประมาณเท่ากับตัวประกอบลอการิทึม ขอบเขตนี้ทำให้เราเข้าใจว่าผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะคู่แฝดนั้นลู่เข้า หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ จำนวนเฉพาะคู่แฝดก่อตัวเป็นเซตเล็กๆกล่าวอย่างชัดเจนคือ ผลรวม

${\displaystyle \sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}=\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots }$

เมทริกซ์ดังกล่าวอาจมีจำนวนพจน์จำกัด หรืออาจมีจำนวนพจน์อนันต์ แต่ลู่เข้า โดยค่าของเมทริกซ์นี้เรียกว่า ค่าคงที่ของบรุน (Brun's constant)

หากผลรวมลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ นั่นหมายความว่ามีจำนวนเฉพาะคู่แฝดอยู่เป็นอนันต์ แต่เนื่องจากผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะคู่แฝดลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ จึงไม่สามารถสรุปจากผลลัพธ์นี้ได้ว่ามีจำนวนเฉพาะคู่แฝดอยู่เป็นจำนวนจำกัดหรืออนันต์ ค่าคงที่ของบรุนจะเป็นจำนวนอตรรกยะได้ก็ต่อเมื่อมีจำนวนเฉพาะคู่แฝดอยู่เป็นอนันต์เท่านั้น

อนุกรมลู่เข้าช้ามาก โทมัส ไนซ์ลีย์ตั้งข้อสังเกตว่าหลังจากรวมเทอมแรกพันล้าน (10 ⁹ ) เทอมแล้ว ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ยังคงมากกว่า 5% ^{[ 1 ]}

โดยการคำนวณจำนวนเฉพาะคู่แฝดจนถึง 10 ¹⁴ (และค้นพบข้อบกพร่องของ Pentium FDIVระหว่างทาง) Nicely ประมาณค่าคงที่ของ Brun ไว้ที่ 1.902160578 ^{[ 1 ]} Nicely ได้ขยายการคำนวณของเขาไปถึง 1.6 × 10^{มีจำนวน 15 รายการ}ณ วันที่ 18 มกราคม 2553 แต่ไม่ใช่การคำนวณที่ใหญ่ที่สุดในประเภทเดียวกันนี้

ในปี พ.ศ. 2545 Pascal SebahและPatrick Demichelใช้จำนวนเฉพาะแฝดทั้งหมดจนถึง 10 ¹⁶เพื่อให้ได้ค่าประมาณ^{[ 2 ]}ว่าB   ≈  1.902160583104 ดังนั้น

ข้อสุดท้ายนี้อิงตามการคาดการณ์จากผลรวม 1.830484424658... สำหรับจำนวนเฉพาะคู่แฝดที่ต่ำกว่า 10 ¹⁶ Dominic Klyve ได้แสดงให้เห็นแบบมีเงื่อนไข (ในวิทยานิพนธ์ที่ยังไม่ได้ตีพิมพ์) ว่าB   <  2.1754 โดยสมมติสมมติฐาน Riemann แบบขยายจากนั้นในปี 2025 Lachlan Dunn ได้แสดงให้เห็นว่าB   <  2.1609 โดยสมมติสมมติฐาน Riemann แบบทั่วไป^{[ 3 ]} Richard CrandallและCarl Pomeranceได้แสดงให้เห็นแบบไม่มีเงื่อนไขว่าB   <  2.347 ^{[ 4 ]}

นอกจากนี้ยังมีค่าคงที่ของ Brun สำหรับกลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัวกลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัวคือคู่ของจำนวนเฉพาะแฝดสองคู่ที่อยู่ห่างกัน 4 (ระยะทางที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้) กลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัวแรกคือ (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109) ค่าคงที่ของ Brun สำหรับกลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัว ซึ่งเขียนแทนด้วยB₄คือผลรวมของส่วนกลับของกลุ่มจำนวนเฉพาะสี่ตัวทั้งหมด

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$

คุ้มค่า:

บี  = 0.870 588 3800  ± 0.000 000 0005ซึ่งเป็นช่วงข้อผิดพลาดที่มีระดับความเชื่อมั่น 99% ตามที่ Nicely ระบุ^{[ 1 ]}

ค่าคงที่นี้ไม่ควรสับสนกับค่าคงที่ของ Brun สำหรับจำนวนเฉพาะที่เป็นญาติกันเช่น คู่จำนวนเฉพาะในรูปแบบ ( p , p + 4) ซึ่งเขียนได้อีกแบบว่าB Wolf ได้ประมาณค่าผลรวมแบบ Brun B ไว้ที่4/ n    

อนุญาต${\displaystyle C_{2}=0.6601\ldots }$(ลำดับA005597ในOEIS )จะเป็นค่าคงที่ของจำนวนเฉพาะคู่แฝดจากนั้นจึงคาดการณ์ว่า

${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

${\displaystyle \pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon ){\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$

สำหรับทุกๆ${\displaystyle \varepsilon >0}$และxที่ มีขนาดใหญ่เพียงพอทั้งหมด

มีการพิสูจน์กรณีพิเศษหลายกรณีของข้อข้างต้นแล้ว เจียหวู่พิสูจน์ว่าสำหรับค่าx ที่ มากพอ

${\displaystyle \pi _{2}(x)\leq 3.3996\cdot 2C_{2}\,{\frac {x}{(\log x)^{2}}}<4.5\,{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

• ไดเวอร์เจนซ์ของผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะ
• ค่าคงที่ Meissel–Mertens

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ค่าคงที่ของบรุน" . แมธเวิลด์ .
• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ทฤษฎีบทของบรูน" . แมทเวิลด์ .
• ค่าคง ที่ของ Brun ที่PlanetMath
• Sebah, Pascal และ Xavier Gourdon, บทนำเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะคู่และการคำนวณค่าคงที่ของ Brun , 2002 การตรวจสอบอย่างละเอียดในยุคปัจจุบัน
• บทความของ Wolf เกี่ยวกับผลรวมแบบ Brun