ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทของบูดานเป็นทฤษฎีบทสำหรับกำหนดขอบเขตของจำนวนรากจริงของพหุนามในช่วงหนึ่ง และคำนวณความเป็นคู่หรือคี่ของจำนวนนั้น ทฤษฎีบทนี้ได้รับการตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1807 โดยฟรองซัวส์ บูดาน เดอ บัวส์ลอรองต์

ทฤษฎีบทที่คล้ายกันนี้ได้รับการตีพิมพ์โดยอิสระโดยโจเซฟ ฟูริเยร์ในปี ค.ศ. 1820 ทฤษฎีบทแต่ละข้อนี้เป็นผลลัพธ์ที่ได้จากอีกทฤษฎีบทหนึ่ง ข้อความของฟูริเยร์ปรากฏบ่อยกว่าในเอกสารของศตวรรษที่ 19 และถูกเรียกขานในชื่อต่างๆ เช่น ทฤษฎีบท ของฟูริเยร์ , บูดาน-ฟูริเยร์ , ฟูริเยร์-บูดานและแม้กระทั่งทฤษฎีบทของบูดาน

สูตรดั้งเดิมของบูดานถูกนำมาใช้ในอัลกอริธึมสมัยใหม่ที่รวดเร็วสำหรับการแยกรากจริงของพหุนาม

ให้เป็นลำดับจำกัดของจำนวนจริง การ เปลี่ยนแปลงเครื่องหมายหรือการเปลี่ยนเครื่องหมายในลำดับ คือคู่ดัชนีi < jที่ทำให้และj = i + 1หรือสำหรับทุกkที่i < k < j${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2},\ldots c_{k}}$${\displaystyle c_{i}c_{j}<0,}$${\displaystyle c_{k}=0}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ จะเกิดการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายในลำดับ ณ จุดที่เครื่องหมายเปลี่ยน โดยไม่นับรวมศูนย์

ในการศึกษาหาค่ารากจริงของพหุนามนั้น สามารถใช้จำนวนการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของลำดับต่างๆ ได้ สำหรับทฤษฎีบทของบูดาน จะใช้ลำดับของสัมประสิทธิ์ สำหรับทฤษฎีบทของฟูริเยร์ จะใช้ลำดับของค่าอนุพันธ์ที่ต่อเนื่องกัน ณ จุดหนึ่ง และสำหรับทฤษฎีบทของสเติร์มจะใช้ลำดับของค่าในลำดับสเติร์มณ จุดหนึ่ง

ผลลัพธ์ทั้งหมดที่กล่าวถึงในบทความนี้อ้างอิงจากกฎแห่งเครื่องหมายของเดส์การ์ต

ถ้าp ( x )เป็นพหุนามเอกตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์จริง ให้เรากำหนด# ( p )เป็นจำนวนรากจริงบวก โดยนับรวมความซ้ำซ้อน^{[ 1 ]}และกำหนดv ( p )เป็นจำนวนการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายในลำดับของสัมประสิทธิ์ กฎของเครื่องหมายของ เดส์การ์ตกล่าวว่า

v ( p ) – # ( p )เป็นจำนวนเต็ม คู่ที่ไม่เป็น ลบ

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าv ( p ) ≤ 1แล้วจะได้# ( p ) = v ( p )

กำหนดให้พหุนามเอกตัวแปรp ( x )ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ให้เราใช้สัญลักษณ์# ( p )แทนจำนวนรากจริงที่นับรวมความซ้ำซ้อน^{[ 1 ]}ของpในช่วงครึ่งเปิด( ℓ , r ] (โดยที่ℓ < rเป็นจำนวนจริง) ให้เราใช้สัญลักษณ์v ( p ) แทน จำนวนการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายในลำดับของสัมประสิทธิ์ของพหุนามp ( x ) = p ( x + h )โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราจะได้v ( p ) = v ( p )ตามสัญลักษณ์ในส่วนก่อนหน้า

ทฤษฎีบทของบูดานมีดังนี้:

${\displaystyle v_{\ell }(p)-v_{r}(p)-\#_{(\ell ,r]}}$เป็นจำนวนเต็มคู่ที่ไม่เป็นลบ

เนื่องจากค่านี้ไม่ใช่ค่าลบ จึงหมายความว่า${\displaystyle \#_{(\ell ,r]}}$${\displaystyle v_{\ell }(p)\geq v_{r}(p)}$

นี่เป็นการขยายความของกฎเครื่องหมายของเดส์การ์ต เนื่องจากหากเลือกrให้มีค่ามากพอ มันจะมีค่ามากกว่ารากจริงทั้งหมดของpและสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของ r จะเป็นบวก นั่นคือดังนั้นr = r + ...${\displaystyle p_{r}(x)}$${\displaystyle v_{r}(p)=0.}$${\displaystyle v_{0}(p)=v_{0}(p)-v_{r}(p),}$${\displaystyle \#_{+}=\#_{(0,r)},}$

สำหรับกฎของเดส์การ์ตเรื่องเครื่องหมาย ถ้าหากเรามีสิ่งนี้ หมายความว่า ถ้าหากเรามี "การทดสอบรากศูนย์" และ "การทดสอบรากเดียว"${\displaystyle v_{\ell }(p)-v_{r}(p)\leq 1,}$${\displaystyle \#_{(\ell ,r]}=v_{\ell }(p)-v_{r}(p).}$${\displaystyle v_{\ell }(p)-v_{r}(p)\leq 1}$

ทฤษฎีบทของฟูริเยร์เกี่ยวกับรากจริงของพหุนามหรือที่เรียกว่าทฤษฎีบทฟูริเยร์-บูดานหรือทฤษฎีบทบูดาน-ฟูริเยร์ (บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทของบูดาน เฉยๆ ) นั้นเหมือนกับทฤษฎีบทของบูดานทุกประการ ยกเว้นว่า สำหรับh = lและrลำดับของสัมประสิทธิ์ของp ( x + h )จะถูกแทนที่ด้วยลำดับของอนุพันธ์ของpที่h

แต่ละทฤษฎีบทเป็นผลลัพธ์ที่ได้จากทฤษฎีบทอื่น ซึ่งเป็นผลมาจากการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{\deg p}{\frac {p^{(i)}(h)}{i!}}(xh)^{i}}$

ของพหุนามpที่hซึ่งหมายความว่าสัมประสิทธิ์ของx ⁱในp ( x + h )คือผลหารของx i !ซึ่งเป็นจำนวนบวก ดังนั้นลำดับที่พิจารณาในทฤษฎีบทของฟูริเยร์และในทฤษฎีบทของบูดานจึงมีจำนวนการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายเท่ากัน${\displaystyle p^{(i)}(h)}$

ความสัมพันธ์ที่แน่นแฟ้นระหว่างทฤษฎีบททั้งสองนี้ อาจอธิบายถึงข้อโต้แย้งเรื่องลำดับความสำคัญที่เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 19 และการใช้ชื่อหลายชื่อสำหรับทฤษฎีบทเดียวกัน ในการใช้งานสมัยใหม่ สำหรับการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ โดยทั่วไปแล้วจะนิยมใช้ทฤษฎีบทของบูดานมากกว่า เนื่องจากลำดับในทฤษฎีบทของฟูริเยร์มีสัมประสิทธิ์ที่ใหญ่กว่าในทฤษฎีบทของบูดานมาก อันเนื่องมาจากตัวประกอบแฟกทอเรี ยล

เนื่องจากทฤษฎีบทแต่ละข้อเป็นผลลัพธ์ที่ได้จากทฤษฎีบทอื่น จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทของฟูริเยร์ได้

การพิสูจน์:

ให้เป็นดีกรีของโดยที่เป็นพหุนามที่ไม่ใช่ค่าคงที่ เป็นค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ และเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ทั้งหมด${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f,f',...,f^{(n-1)}}$${\displaystyle f^{(n)}}$${\displaystyle f^{(n+1)},...}$

เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของเครื่องหมายสามารถเปลี่ยนแปลงได้เฉพาะที่รากอย่างน้อยหนึ่งรากของ${\displaystyle t,}$${\displaystyle v_{t}(f)}$${\displaystyle f,f',...,f^{(n-1)}.}$

ถ้าค่า เปลี่ยนแปลงไปตาม แล้วสำหรับบางค่าจะมีรากอยู่ที่และแต่ละค่าจะไม่มีรากอยู่ที่${\displaystyle v_{t}(f)}$${\displaystyle t=r}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f^{(k)}(x)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle f,f',...,f^{(k-1)}}$${\displaystyle t}$

ถ้าเช่นนั้นสำหรับบางค่าและพหุนามบางตัวที่สอดคล้องกับเงื่อนไขโดยการคำนวณอย่างชัดเจนที่และสำหรับค่าเล็กๆเราจะได้${\displaystyle k=0}$${\displaystyle f(x)=(xr)^{s}p(xr)}$${\displaystyle s\geq 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p(0)\neq 0}$${\displaystyle f,f',...,f^{(n)}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r-\epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle v_{r}(f)=v_{r-\epsilon }(f)-s-2s',\quad \exists s'\geq 0.}$

ในสมการนี้ เทอมเกิดจากการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายจากเป็น เทอมเกิดจากเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสูงกว่าอาจกลายเป็นศูนย์${\displaystyle -s}$${\displaystyle f,f',...,f^{(s)}}$${\displaystyle (-1)^{s}\operatorname {sign} (p(0)),(-1)^{s-1}\operatorname {sign} (p(0)),...,-\operatorname {sign} (p(0)),\operatorname {sign} (p(0))}$${\displaystyle 0,0,...,0,\operatorname {sign} (p(0))}$${\displaystyle -2s',\quad \exists s'\geq 0}$

ถ้าเช่นนั้น เนื่องจากอนุพันธ์บางตัวเป็นศูนย์ที่แต่ทั้งและยังคงไม่เป็นศูนย์ เราจึงสูญเสียการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายเพียงจำนวนคู่เท่านั้น:${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle f^{(k-1)}(x)}$${\displaystyle f^{(n)}(x)}$

$${\displaystyle v_{r}(f)=v_{r-\epsilon }(f)-2s',\quad \exists s'\geq 0}$$

ถ้าค่าแปรผันตาม แล้วเมื่อใช้เหตุผลในทำนองเดียวกัน เราจะพบว่าในทั้งสองกรณี เราสามารถเลือกค่าเล็กๆ ได้เช่นนั้น${\displaystyle v_{t}(f)}$${\displaystyle t=l}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle v_{l+\epsilon }(f)=v_{l}(f)}$

ปัญหาการนับและระบุตำแหน่งของรากจริงของพหุนามเริ่มได้รับการศึกษาอย่างเป็นระบบในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 เท่านั้น

ในปี พ.ศ. 2350 François Budan de Boislaurentค้นพบวิธีการขยายกฎของเครื่องหมายของ Descartes —ซึ่งใช้ได้กับช่วง(0, +∞) —ไปยังช่วงใดๆ ก็ได้^{[ 2 ]}

โจเซฟ ฟูริเยร์ได้ตีพิมพ์ทฤษฎีบทที่คล้ายกันในปี พ.ศ. 2363 ^{[ 3 ]}ซึ่งเขาใช้เวลาทำงานมากกว่ายี่สิบปี^{[ 4 ]}

เนื่องจากความคล้ายคลึงกันระหว่างทฤษฎีบททั้งสอง จึงเกิดข้อโต้แย้งเรื่องลำดับความสำคัญ^{[ 5 ] [ 6 ]}แม้ว่าทฤษฎีบททั้งสองจะถูกค้นพบโดยอิสระก็ตาม^{[ 4 ]}โดยทั่วไปแล้ว การกำหนดและการพิสูจน์ของฟูริเยร์จะถูกนำมาใช้ในตำราเรียนเกี่ยวกับทฤษฎีสมการใน ช่วงศตวรรษที่ 19

• คุณสมบัติของรากพหุนาม
• อัลกอริทึมค้นหาราก

โอคอนเนอร์, จอห์น เจ.; Robertson, Edmund F. , "Budan de Boislaurent" , MacTutor History of Mathematics Archive , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์