วิถีกระสุนภายนอกหรือวิถีกระสุนภายนอกเป็นส่วนหนึ่งของวิถีกระสุนที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของกระสุนในระหว่างการบิน โดยเกี่ยวข้องกับกระสุนที่อยู่ภายใต้อิทธิพลของสนามโน้มถ่วง ซึ่งรวมถึงกระสุนที่มีกำลังและไม่มีกำลัง กระสุนนำวิถีและไม่มีการนำวิถี กระสุนที่หมุนและกระสุนที่รักษาเสถียรภาพด้วยครีบ และกระสุนที่บินผ่านชั้นบรรยากาศและในสุญญากาศของอวกาศ^{[ 1 ]}

กระสุนที่ยิงจากปืนอาจไม่มีแรงขับ โดยได้รับความเร็วทั้งหมดจาก การจุดระเบิดของ เชื้อเพลิงจนกระทั่งกระสุนออกจากลำกล้องปืน^{[ 2 ]}อย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์วิถีโคจรภายนอกยังเกี่ยวข้องกับวิถีของกระสุนที่ยิงจากปืนโดยใช้จรวดช่วย และจรวดที่ยิงจากปืนและจรวดที่ได้รับความเร็ววิถีทั้งหมดจากวิถีโคจรภายในของระบบขับเคลื่อนบนตัวจรวด ไม่ว่าจะเป็นเครื่องยนต์จรวดหรือเครื่องยนต์ไอพ่น ทั้งในช่วงระยะเร่งความเร็วและหลังจากเครื่องยนต์เผาไหม้หมด วิถีโคจรภายนอกยังเกี่ยวข้องกับการบินอิสระของกระสุนอื่นๆ เช่นลูกบอลลูกศรเป็นต้น

เมื่อวัตถุอยู่ในอากาศ แรงหลักหรือแรง สำคัญ ที่กระทำต่อวัตถุได้แก่แรงโน้มถ่วงแรงต้านอากาศและหากมี แรงลมหากเป็นการบินโดยใช้เครื่องยนต์ แรงขับดัน และหากเป็นการบินแบบควบคุมทิศทาง แรงที่เกิดจากพื้นผิวควบคุมจะส่งผลต่อวัตถุ

ในการคำนวณวิถีกระสุนภายนอกสำหรับอาวุธปืนขนาดเล็ก แรงโน้มถ่วงจะทำให้กระสุนเร่งความเร็วลง ทำให้กระสุนเบี่ยงเบนจากแนวสายตาแรง ต้านอากาศจะทำให้กระสุนช้าลงด้วยแรงที่แปรผันตรงกับกำลังสองของความเร็ว และลมจะทำให้กระสุนเบี่ยงเบนจากวิถีโคจร ในระหว่างการบิน แรงโน้มถ่วง แรงต้านอากาศ และลมมีผลกระทบอย่างมากต่อวิถีของกระสุน และต้องนำมาพิจารณาเมื่อคาดการณ์ว่ากระสุนจะเคลื่อนที่ไปอย่างไร

สำหรับระยะกลางถึงระยะไกลและระยะเวลาการบิน นอกจากแรงโน้มถ่วง แรงต้านอากาศ และลมแล้ว ยังต้องคำนึงถึงตัวแปรระดับกลางหรือตัวแปรเมโซอีกหลายตัวที่อธิบายไว้ใน หัวข้อ ปัจจัยภายนอกสำหรับอาวุธปืนขนาดเล็ก ตัวแปรเมโซอาจมีความสำคัญสำหรับผู้ใช้อาวุธปืนที่ต้องเผชิญกับสถานการณ์การยิงในมุมเฉียงหรือระยะไกล แต่แทบจะไม่เกี่ยวข้องกับระยะการล่าสัตว์และการยิงเป้าทั่วไป

สำหรับระยะยิงและระยะเวลาการบินของกระสุนปืนขนาดเล็กที่ไกลถึงไกลมาก ผลกระทบและแรงเล็กน้อยต่างๆ เช่นที่อธิบายไว้ใน หัวข้อ ปัจจัยระยะไกลจะมีความสำคัญและต้องนำมาพิจารณาด้วย ผลกระทบในทางปฏิบัติของตัวแปรเล็กน้อยเหล่านี้โดยทั่วไปแล้วไม่สำคัญสำหรับผู้ใช้ปืนส่วนใหญ่ เนื่องจากความคลาดเคลื่อนของกลุ่มกระสุนตามปกติในระยะสั้นและระยะกลางนั้นมีอิทธิพลมากกว่าผลกระทบเหล่านี้ที่มีต่อวิถีกระสุน

ในระยะไกลมาก ๆปืนใหญ่ต้องยิงกระสุนไปตามวิถีที่ไม่เป็นเส้นตรงเสียด้วยซ้ำ แต่จะมีลักษณะเป็นพาราโบลา มากกว่า แม้ว่าแรงต้านอากาศจะมีผลต่อวิถีนี้ก็ตาม กระสุนที่ยิงในระยะไกลมาก ๆ อาจเบี่ยงเบนไปจากแนวที่พุ่งไปยังเป้าหมายอย่างมาก ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ และต้องคำนึงถึงปัจจัยภายนอกและปัจจัยระยะไกล ทั้งหมดเมื่อทำการเล็ง ในกรณี ของปืนใหญ่ขนาดใหญ่ มาก ๆ เช่นปืนปารีสผลกระทบที่ละเอียดอ่อนมาก ๆ ซึ่งไม่ได้กล่าวถึงในบทความนี้ อาจช่วยปรับปรุงการเล็งให้ดียิ่งขึ้นไปอีก

ในกรณีของขีปนาวุธระดับความสูงที่เกี่ยวข้องก็มีผลอย่างมากเช่นกัน โดยส่วนหนึ่งของการบินเกิดขึ้นในสภาวะเกือบเป็นสุญญากาศเหนือพื้นโลกที่หมุนอยู่ ทำให้เป้าหมายเคลื่อนที่ออกจากตำแหน่งเดิมขณะปล่อยอย่างต่อเนื่อง

สามารถใช้สองวิธีในการรักษาเสถียรภาพของวัตถุที่ไม่เป็นทรงกลมระหว่างการบิน:

• กระสุนปืน เช่นลูกศรหรือหัวกระสุนคล้ายลูกศรเช่นกระสุนเจาะเกราะ M829 ที่มีครีบช่วยทรงตัวและปลอกกระสุนหลุดออกได้ (APFSDS)จะมีเสถียรภาพในการบินโดยการบังคับให้จุดศูนย์กลางแรงดัน (CP) อยู่ด้านหลังจุดศูนย์กลางมวล (CM) ด้วยพื้นผิวหาง สภาวะที่ CP อยู่ด้านหลัง CM จะทำให้กระสุนปืนบินได้อย่างมีเสถียรภาพ หมายความว่ากระสุนปืนจะไม่พลิกคว่ำระหว่างการบินผ่านชั้นบรรยากาศเนื่องจากแรงทางอากาศพลศาสตร์
• กระสุนปืนขนาดเล็กและกระสุนปืนใหญ่ต้องเผชิญกับปัญหาจุดศูนย์กลางมวล (CP) อยู่ด้านหน้าจุดศูนย์กลางความนิ่ง (CM) ซึ่งทำให้กระสุนเสียสมดุลขณะบิน เพื่อให้กระสุนมีความเสถียรมากขึ้น จึงต้องหมุนกระสุนรอบแกนตามยาว (จากด้านหน้าไปด้านหลัง) มวลที่หมุนจะสร้างแรงไจโรสโคปที่ช่วยให้แกนยาวของกระสุนต้านทานแรงบิดที่ทำให้เสียสมดุลเนื่องจากจุดศูนย์กลางมวลอยู่ด้านหน้าจุดศูนย์กลางความนิ่ง

ผลกระทบของแรงโน้มถ่วงต่อกระสุนขณะบินมักเรียกว่า การตกของกระสุน หรือการตกของลูกกระสุน การเข้าใจผลกระทบของแรงโน้มถ่วงมีความสำคัญเมื่อ ทำการ ปรับศูนย์เล็งของปืน เพื่อวางแผนรับมือกับการตกของกระสุนและชดเชยอย่างเหมาะสม จำเป็นต้องเข้าใจวิถีกระสุนที่มีรูปร่างเป็น พาราโบลา

เพื่อให้กระสุนกระทบเป้าหมายที่อยู่ไกลออกไปได้ ลำกล้องปืนจะต้องเอียงทำมุมเงยเป็นบวกเมื่อเทียบกับเป้าหมาย เนื่องจากกระสุนจะเริ่มตอบสนองต่อแรงโน้มถ่วงทันทีที่มันหลุดพ้นจากข้อจำกัดทางกลของลำกล้อง เส้นสมมุติที่ลากจากแกนกลางของลำกล้องไปจนถึงอนันต์เรียกว่าเส้นเริ่มต้น (line of departure) ซึ่งเป็นเส้นที่กระสุนออกจากลำกล้อง เนื่องจากแรงโน้มถ่วง กระสุนจึงไม่สามารถกระทบเป้าหมายที่สูงกว่าเส้นเริ่มต้นได้ เมื่อกระสุนที่เอียงทำมุมเป็นบวกเคลื่อนที่ไปข้างหน้า มันจะโค้งลงต่ำกว่าเส้นเริ่มต้นเนื่องจากแรงโน้มถ่วงเบี่ยงเบนออกจากเส้นทางเดิม ระยะตกของกระสุน (Projectile/Bullet drop) คือระยะทางในแนวดิ่งของกระสุนที่อยู่ต่ำกว่าเส้นเริ่มต้นจากลำกล้อง แม้ว่าเส้นเริ่มต้นจะเอียงขึ้นหรือลง ระยะตกของกระสุนก็ยังคงถูกกำหนดให้เป็นระยะทางระหว่างกระสุนกับเส้นเริ่มต้น ณ จุดใด ๆ ตามวิถีการเคลื่อนที่ การตกของวัตถุไม่ได้อธิบายถึงวิถีการเคลื่อนที่ที่แท้จริงของวัตถุ อย่างไรก็ตาม ความรู้เกี่ยวกับการตกของวัตถุนั้นมีประโยชน์เมื่อทำการเปรียบเทียบวัตถุสองชนิดที่แตกต่างกันโดยตรงในแง่ของรูปร่างวิถีการเคลื่อนที่ และเปรียบเทียบผลกระทบของตัวแปรต่างๆ เช่น ความเร็วและพฤติกรรมการต้านทานอากาศ

สำหรับการยิงเป้าหมายที่อยู่ไกล จำเป็นต้องใช้มุมเงยที่เหมาะสม ซึ่งทำได้โดยการปรับแนวสายตาจากตาของผู้ยิงผ่านเส้นศูนย์กลางของระบบเล็งลงไปยังแนวการยิง สามารถทำได้โดยการปรับศูนย์เล็งลงด้วยกลไก หรือโดยการยึดระบบเล็งทั้งหมดเข้ากับฐานรองที่มีความลาดเอียงลงที่ทราบ หรือโดยการผสมผสานทั้งสองวิธี ขั้นตอนนี้จะทำให้ปากกระบอกปืนสูงขึ้น เมื่อต้องยกกระบอกปืนขึ้นในภายหลังเพื่อจัดแนวศูนย์เล็งให้ตรงกับเป้าหมาย กระสุนที่ออกจากปากกระบอกปืนด้วยมุมเงยที่กำหนด จะเคลื่อนที่ตามวิถีกระสุนซึ่งลักษณะเฉพาะขึ้นอยู่กับปัจจัยต่างๆ เช่น ความเร็วของกระสุน แรงโน้มถ่วง และแรงต้านอากาศ วิถีกระสุนนี้เรียกว่า เส้นทางกระสุน หากกระสุนมีการหมุนเพื่อรักษาเสถียรภาพ แรงต้านอากาศจะทำให้วิถีกระสุนโค้งไปทางขวาเล็กน้อย หากลำกล้องปืนมีเกลียวแบบ "บิดขวา" ลำกล้องปืนบางกระบอกถูกดัดงอไปทางซ้าย ทำให้กระสุนจะโค้งไปทางซ้าย ดังนั้น เพื่อชดเชยการเบี่ยงเบนของวิถีกระสุน จึงจำเป็นต้องปรับศูนย์เล็งไปทางซ้ายหรือขวาตามลำดับ ลมที่พัดอย่างต่อเนื่องก็ส่งผลต่อวิถีกระสุนเช่นกัน โดยจะผลักกระสุนไปทางซ้ายหรือขวาเล็กน้อย และขึ้นลงเล็กน้อย ขึ้นอยู่กับทิศทางลม ขนาดของการเบี่ยงเบนเหล่านี้ยังได้รับผลกระทบจากว่ากระสุนอยู่บนทางลาดขึ้นหรือลงของวิถีกระสุน เนื่องจากปรากฏการณ์ที่เรียกว่า "การเบี่ยงเบนจากจุดศูนย์กลาง" (yaw of repose) ซึ่งกระสุนที่หมุนอยู่มีแนวโน้มที่จะเบี่ยงเบนจากจุดศูนย์กลางของวิถีกระสุนอย่างค่อยเป็นค่อยไปและคาดการณ์ได้ อย่างไรก็ตาม การรบกวนวิถีกระสุนเหล่านี้สามารถคาดการณ์ได้เมื่อกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ทางอากาศพลศาสตร์ของกระสุนแล้ว โดยใช้การผสมผสานระหว่างแบบจำลองเชิงวิเคราะห์โดยละเอียดและการวัดในสนามทดสอบ

การวิเคราะห์วิถีกระสุน/วิถีลูกปืนมีประโยชน์อย่างมากสำหรับนักยิงปืน เพราะช่วยให้พวกเขาสร้างตารางวิถีกระสุนที่จะทำนายว่าต้องปรับแก้การยกตัวในแนวดิ่งและการเบี่ยงเบนในแนวนอนมากน้อยเพียงใดสำหรับแนวเล็งในการยิงที่ระยะทางต่างๆ ที่ทราบ ตารางวิถีกระสุนที่ละเอียดที่สุดนั้นพัฒนาขึ้นสำหรับปืนใหญ่ระยะไกลและอิงตามการวิเคราะห์วิถีกระสุนแบบหกองศาอิสระ ซึ่งคำนึงถึงพฤติกรรมทางอากาศพลศาสตร์ตามทิศทางแกนทั้งสาม ได้แก่ การยกตัว ระยะทาง และการเบี่ยงเบน และทิศทางการหมุนทั้งสาม ได้แก่ การเอียง การหัน และการหมุนรอบแกนตั้ง สำหรับการใช้งานกับอาวุธขนาดเล็ก การสร้างแบบจำลองวิถีกระสุนมักจะสามารถลดความซับซ้อนลงได้โดยการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับเพียงสี่องศาอิสระเหล่านี้ โดยรวมผลกระทบของการเอียง การหัน และการหมุนรอบแกนตั้งเข้ากับผลกระทบของการหันเหเพื่อคำนึงถึงการเบี่ยงเบนของวิถีกระสุน เมื่อสร้างตารางระยะทางที่ละเอียดแล้ว นักยิงปืนสามารถปรับศูนย์เล็งได้อย่างรวดเร็วตามระยะทางไปยังเป้าหมาย ลม อุณหภูมิและความชื้นในอากาศ และข้อพิจารณาทางเรขาคณิตอื่นๆ เช่น ความแตกต่างของระดับความสูงของภูมิประเทศ

ค่าวิถีกระสุนถูกกำหนดโดยทั้งความสูงของเส้นเล็ง หรือระยะห่างของเส้นเล็งเหนือศูนย์กลางลำกล้อง และระยะที่ตั้งศูนย์เล็ง ซึ่งจะกำหนดมุมเงย กระสุนที่เคลื่อนที่ตามวิถีโค้งแบบบัลลิสติกจะมีทั้งการเคลื่อนที่ไปข้างหน้าและในแนวดิ่ง การเคลื่อนที่ไปข้างหน้าจะช้าลงเนื่องจากแรงต้านอากาศ และในการจำลองมวลจุด การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งจะขึ้นอยู่กับมุมเงยและแรงโน้มถ่วง ในตอนแรก กระสุนจะพุ่งขึ้นเมื่อเทียบกับเส้นเล็งหรือระนาบเล็งแนวนอน ในที่สุดกระสุนจะถึงจุดสูงสุด (จุดสูงสุดในวิถีโค้งพาราโบลา) ซึ่งความเร็วในแนวดิ่งจะลดลงเหลือศูนย์ภายใต้ผลของแรงโน้มถ่วง จากนั้นจะเริ่มลดระดับลงและตกกระทบพื้นโลก ยิ่งระยะทางไปยังเป้าหมายไกลเท่าใด มุมเงยก็จะยิ่งมากขึ้นและจุดสูงสุดก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น

วิถีกระสุนตัดกับระนาบเล็งแนวนอนสองครั้ง จุดที่ใกล้ปืนที่สุดเกิดขึ้นขณะที่กระสุนกำลังพุ่งขึ้นผ่านแนวสายตา และเรียกว่าจุดใกล้ศูนย์ (near zero) จุดที่สองเกิดขึ้นขณะที่กระสุนกำลังลดระดับลงผ่านแนวสายตา เรียกว่าจุดไกลศูนย์ (far zero) และกำหนดระยะเล็งปัจจุบันของปืน วิถีกระสุนอธิบายด้วยตัวเลขเป็นระยะทางเหนือหรือใต้ระนาบเล็งแนวนอน ณ จุดต่างๆ ตามวิถีกระสุน ซึ่งแตกต่างจากการตกของกระสุนซึ่งอ้างอิงกับระนาบที่ประกอบด้วยเส้นเริ่มต้นโดยไม่คำนึงถึงมุมเงย เนื่องจากพารามิเตอร์ทั้งสองนี้ใช้จุดอ้างอิงที่แตกต่างกัน จึงอาจทำให้เกิดความสับสนอย่างมาก เพราะแม้ว่ากระสุนจะเคลื่อนที่ต่ำกว่าเส้นเริ่มต้นมาก แต่ก็ยังอาจเพิ่มระดับความสูงที่แท้จริงและมีนัยสำคัญเมื่อเทียบกับเส้นสายตาและพื้นผิวโลกในกรณีของการยิงแนวนอนหรือใกล้แนวนอนบนพื้นที่ราบ

ความรู้เกี่ยวกับการตกและวิถีของกระสุนมีประโยชน์ในทางปฏิบัติสำหรับนักยิงปืน แม้ว่าจะไม่ได้อธิบายวิถีที่แท้จริงของกระสุนก็ตาม ตัวอย่างเช่น หากตำแหน่งแนวตั้งของกระสุนในช่วงระยะหนึ่งอยู่ในความสูงแนวตั้งของพื้นที่เป้าหมายที่นักยิงปืนต้องการยิง จุดเล็งไม่จำเป็นต้องปรับในช่วงระยะนั้น กระสุนถือว่ามี วิถี ระยะยิงประชิด ที่ราบเรียบเพียงพอ สำหรับเป้าหมายนั้น^{[ 3 ]}ระยะยิงประชิดสูงสุด หรือที่รู้จักกันในชื่อ "ศูนย์รบ" ก็มีความสำคัญต่อกองทัพเช่นกัน ทหารได้รับคำสั่งให้ยิงเป้าหมายใดๆ ภายในระยะนี้โดยเพียงแค่เล็งปืนไปที่จุดศูนย์กลางมวลของเป้าหมายศัตรู ข้อผิดพลาดใดๆ ในการประมาณระยะทางนั้นไม่มีความสำคัญทางยุทธวิธี เนื่องจากกระสุนที่เล็งได้ดีจะโดนลำตัวของทหารศัตรู แนวโน้มปัจจุบันของศูนย์เล็งที่สูงขึ้นและกระสุนที่มีความเร็วสูงขึ้นในปืนไรเฟิลจู่โจมนั้นส่วนหนึ่งเกิดจากความต้องการที่จะขยายระยะยิงประชิดสูงสุด ซึ่งทำให้ปืนใช้งานง่ายขึ้น^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เช่นพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณถูกนำมาใช้ในการคำนวณผลกระทบของแรงต้านหรือแรงต้านอากาศ แบบจำลองเหล่านี้ค่อนข้างซับซ้อนและยังไม่น่าเชื่อถืออย่างสมบูรณ์ แต่การวิจัยยังคงดำเนินต่อไป^{[ 7 ]}ดังนั้น วิธีที่น่าเชื่อถือที่สุดในการกำหนดคุณสมบัติทางอากาศพลศาสตร์ของวัตถุที่จำเป็นเพื่ออธิบายวิถีการบินได้อย่างถูกต้อง คือ การวัดเชิงประจักษ์

การใช้ตารางวิถีกระสุนหรือซอฟต์แวร์วิถีกระสุนโดยอิงตาม วิธีการของ Mayevski/Siacciและแบบจำลองแรงต้านอากาศ G1ซึ่งได้รับการแนะนำในปี 1881 เป็นวิธีการที่ใช้กันทั่วไปในการทำงานกับวิถีกระสุนภายนอก กระสุนจะถูกอธิบายด้วยค่าสัมประสิทธิ์วิถีกระสุนหรือ BC ซึ่งรวมแรงต้านอากาศของรูปทรงกระสุน ( ค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านอากาศ ) และความหนาแน่นตามหน้าตัด (ฟังก์ชันของมวลและเส้นผ่านศูนย์กลางของกระสุน)

ความหน่วงเนื่องจากแรงต้านที่กระสุนที่มีมวลmความเร็วvและเส้นผ่านศูนย์กลางdจะได้รับนั้นเป็นสัดส่วนกับ 1/BC, 1/ m , v²และd² BC แสดงถึงอัตราส่วนของประสิทธิภาพขีปนาวิถีเมื่อเทียบกับกระสุนมาตรฐาน G1 ซึ่งเป็นกระสุนสมมติที่มีฐานแบน ความยาว 3.28 คาลิเบอร์/เส้นผ่านศูนย์กลาง และรัศมีส่วนโค้งสัมผัสที่ปลาย 2 คาลิเบอร์/เส้นผ่านศูนย์กลาง กระสุนมาตรฐาน G1 มาจากกระสุนอ้างอิงมาตรฐาน "C" ที่กำหนดโดยKrupp ผู้ผลิตเหล็ก กระสุน และอาวุธยุทโธปกรณ์ของเยอรมัน ในปี 1881 กระสุนมาตรฐานรุ่น G1 มีค่า BC เท่ากับ 1 ^{[ 8 ]}คณะกรรมการ Gâvre ของฝรั่งเศสตัดสินใจใช้กระสุนนี้เป็นกระสุนอ้างอิงแรกของพวกเขา จึงตั้งชื่อว่า G1 ^{[ 9 ] [ 10 ]}

กระสุนปืนกีฬาที่มีขนาดลำกล้อง ตั้งแต่ 0.177 ถึง 0.50 นิ้ว (4.50 ถึง12.7 มม. ) มีค่า BC ของ G1 อยู่ในช่วง 0.12 ถึงมากกว่า 1.00 เล็กน้อย โดย 1.00 เป็นค่าที่ลู่ลมมากที่สุด และ 0.12 เป็นค่าที่ลู่ลมน้อยที่สุดกระสุนที่มีแรงต้านต่ำมากที่มีค่า BC ≥ 1.10 สามารถออกแบบและผลิตได้บนเครื่องกลึง CNC ที่มีความแม่นยำสูงจากแท่งโลหะชิ้นเดียว แต่มักจะต้องยิงจากปืนไรเฟิลขนาดลำกล้องเต็มที่ทำขึ้นเองโดยเฉพาะที่มีลำกล้องพิเศษ^{[ 11 ]}

ความหนาแน่นภาคตัดขวางเป็นลักษณะที่สำคัญมากของกระสุนหรือวัตถุที่ถูกยิง และสำหรับวัตถุทรงกลมเช่นกระสุนปืน ความหนาแน่นภาคตัดขวางคืออัตราส่วนของพื้นที่หน้าตัด (ครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางกระสุนปืนยกกำลังสอง คูณด้วยค่าพาย ) ต่อมวลของกระสุนปืน เนื่องจากสำหรับรูปทรงกระสุนปืนที่กำหนด พื้นที่หน้าตัดจะเพิ่มขึ้นตามกำลังสองของขนาดลำกล้อง และมวลจะเพิ่มขึ้นตามกำลังสามของเส้นผ่านศูนย์กลาง ดังนั้นความหนาแน่นภาคตัดขวางจึงเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงตามเส้นผ่านศูนย์กลางลำกล้อง เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์การต้านทาน (BC) รวมรูปทรงและความหนาแน่นภาคตัดขวางเข้าด้วยกันแบบจำลองขนาด ครึ่งหนึ่ง ของวัตถุที่ถูกยิงแบบ G1 จะมีค่า BC เท่ากับ 0.5 และแบบจำลองขนาดหนึ่งในสี่จะมีค่า BC เท่ากับ 0.25

เนื่องจากรูปทรงของกระสุนที่แตกต่างกันจะตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงความเร็วแตกต่างกัน (โดยเฉพาะอย่างยิ่งระหว่างความเร็วเหนือเสียงและ ความเร็ว ต่ำกว่าเสียง ) ค่าสัมประสิทธิ์การต้านทาน (BC) ที่ผู้ผลิตกระสุนให้มาจึงเป็นค่า BC เฉลี่ยที่แสดงถึงช่วงความเร็วทั่วไปของกระสุนนั้น สำหรับ กระสุนปืน ไรเฟิลความเร็วนี้มักจะเป็น ความเร็ว เหนือเสียง สำหรับกระสุนปืนพก ความเร็วนี้มักจะเป็นความเร็วต่ำกว่าเสียง สำหรับกระสุนที่เคลื่อนที่ผ่าน ช่วง ความเร็วเหนือเสียงความเร็วใกล้เคียงเสียงและความเร็วต่ำกว่าเสียง ค่า BC ไม่สามารถประมาณได้ด้วยค่าคงที่เพียงค่าเดียว แต่ถือว่าเป็นฟังก์ชันBC(M)ของเลขมัค M โดยที่ M เท่ากับความเร็วของกระสุนหารด้วยความเร็วเสียงในระหว่างการบินของกระสุน ค่า M จะลดลง และดังนั้น (ในกรณีส่วนใหญ่) ค่า BC ก็จะลดลงด้วย

ตารางหรือซอฟต์แวร์ทางด้านขีปวิทยาโดยส่วนใหญ่จะถือว่าฟังก์ชันแรงต้านเฉพาะตัวหนึ่งสามารถอธิบายแรงต้านและลักษณะการบินของกระสุนได้อย่างถูกต้อง โดยสัมพันธ์กับค่าสัมประสิทธิ์ขีปวิทยา (BC) แบบจำลองเหล่านั้นไม่ได้แยกแยะความแตกต่างระหว่าง กระสุนประเภทต่างๆ เช่น กระสุนหัวตัดกระสุนฐานแบน กระสุนหัวแหลม กระสุนท้ายเรือกระสุนแรงต้านต่ำมากฯลฯ แต่จะถือว่ามีฟังก์ชันแรงต้านคงที่เพียงฟังก์ชันเดียวตามที่ระบุไว้ในค่า BC ที่เผยแพร่

อย่างไรก็ตาม มีแบบจำลองเส้นโค้งแรงต้านหลายแบบที่ได้รับการปรับให้เหมาะสมสำหรับรูปทรงกระสุนมาตรฐานหลายแบบ แบบจำลองเส้นโค้งแรงต้านคงที่ที่ได้สำหรับรูปทรงหรือประเภทกระสุนมาตรฐานหลายแบบนั้นเรียกว่า:

• G1 หรือ Ingalls (ฐานแบน ปลายทู่ ขนาด 2 คาลิเบอร์ - เป็นแบบที่ได้รับความนิยมมากที่สุด)
• G2 (กระสุนปืน Aberdeen J)
• G5 (ปลายลำกล้องสั้น 7.5° รูปทรงหางเรือปลายลำกล้อง ยาว 6.19 คาลิเบอร์ )
• G6 (ฐานแบน, ซีแคน ท์ยาว 6 คาลิเบอร์ )
• G7 (หางเรือยาว 7.5° รูปทรงโค้งสัมผัส 10 คาลิเบอร์ ซึ่งเป็นที่นิยมในหมู่ผู้ผลิตบางรายสำหรับกระสุนที่มีแรงต้านต่ำมาก^{[ 12 ]} )
• G8 (ฐานแบน, ปลายตัดเฉียงยาว 10 คาลิเบอร์)
• GL (หัวตะกั่วทู่)

วิธีที่ความเร็วที่แตกต่างกันส่งผลต่อกระสุนปืนไรเฟิลขนาด .338 สามารถดูได้จากโบรชัวร์ผลิตภัณฑ์ . 338 Lapua Magnum ซึ่งระบุข้อมูล G1 BC ที่กำหนดโดยเรดาร์ดอปเปลอร์ ^{[ 13 ] [ 14 ]}เหตุผลในการเผยแพร่ข้อมูลเช่นในโบรชัวร์นี้คือแบบจำลอง Siacci/Mayevski G1 ไม่สามารถปรับแต่งสำหรับพฤติกรรมการลากของกระสุนเฉพาะที่มีรูปร่างเบี่ยงเบนอย่างมากจากรูปร่างกระสุนอ้างอิงที่ใช้ นักออกแบบซอฟต์แวร์ขีปนาวิถีบางรายซึ่งสร้างโปรแกรมของตนโดยอิงจากแบบจำลอง Siacci/Mayevski G1 ให้ผู้ใช้สามารถป้อนค่าคงที่ G1 BC ที่แตกต่างกันหลายค่าสำหรับความเร็วที่แตกต่างกันเพื่อคำนวณการคาดการณ์ขีปนาวิถีที่ตรงกับพฤติกรรมการบินของกระสุนในระยะไกลได้ดีกว่าเมื่อเทียบกับการคำนวณที่ใช้ค่าคงที่ BC เพียงค่าเดียว

ตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็นถึงปัญหาหลักของแบบจำลองเส้นโค้งแรงต้านคงที่ แบบจำลองเหล่านี้จะให้การคาดการณ์ที่แม่นยำเพียงพอตราบใดที่กระสุนที่สนใจมีรูปร่างเหมือนกับกระสุนอ้างอิงหรือมีรูปร่างที่คล้ายคลึงกับกระสุนอ้างอิง การเบี่ยงเบนใดๆ จากรูปร่างของกระสุนอ้างอิงจะส่งผลให้การคาดการณ์มีความแม่นยำน้อยลง^{[ 15 ] [ 16 ]}ความแตกต่างของรูปร่างกระสุนกับกระสุนอ้างอิงที่ใช้จะถูกแสดงทางคณิตศาสตร์ด้วยปัจจัยรูปร่าง ( i ) ^{[ 17 ]}ปัจจัยรูปร่างสามารถใช้เพื่อเปรียบเทียบแรงต้านที่กระสุนที่สนใจประสบกับแรงต้านที่กระสุนอ้างอิงที่ใช้ประสบที่ความเร็ว (ระยะ) ที่กำหนด ปัญหาที่ว่าเส้นโค้งแรงต้านจริงของกระสุนอาจเบี่ยงเบนไปจากเส้นโค้งแรงต้านคงที่ของกระสุนอ้างอิงที่ใช้อย่างมีนัยสำคัญ ทำให้วิธีการสร้างแบบจำลองแรงต้านแบบดั้งเดิมมีข้อจำกัด อย่างไรก็ตาม ความเรียบง่ายทำให้สามารถอธิบายและเข้าใจได้โดยสาธารณชนทั่วไปที่ยิงปืน และด้วยเหตุนี้จึงเป็นที่นิยมในหมู่นักพัฒนาซอฟต์แวร์การคาดการณ์ขีปนาวิถีและผู้ผลิตกระสุนที่ต้องการทำการตลาดผลิตภัณฑ์ของตน

แม้ว่าจะไม่เป็นที่รู้จักมากเท่ากับแบบจำลอง Pejsa แต่แบบจำลองขีปนาวิถีทางเลือกเพิ่มเติมได้รับการนำเสนอในปี 1989 โดยพันเอก Duff Manges ^{[ 18 ]} เดิมทีคิดค้นขึ้นเพื่อจำลองแรงต้านของกระสุนปืนใหญ่รถถังขนาด 120 มม.สูตรสัมประสิทธิ์แรงต้านแบบใหม่นี้ได้ถูกนำไปใช้กับวิถีขีปนาวิถีของกระสุนปืนไรเฟิลแบบจุดชนวนกลางในภายหลัง โดยให้ผลลัพธ์ที่เทียบเคียงได้กับผลลัพธ์ที่อ้างไว้สำหรับแบบจำลอง Pejsa

แบบจำลองของ Manges ใช้แนวทางทฤษฎีจากหลักการพื้นฐานที่ละทิ้งเส้นโค้ง "G" และ "สัมประสิทธิ์ขีปนาวิถี" ที่อิงตามเส้นโค้ง G1 มาตรฐานและเส้นโค้งความคล้ายคลึงอื่นๆ คำอธิบายทางทฤษฎีมีสามส่วนหลัก ส่วนแรกคือการพัฒนาและแก้สมการเชิงอนุพันธ์สองมิติของการเคลื่อนที่ที่ควบคุมวิถีราบของวัตถุมวลจุด โดยการกำหนดชุดของการคำนวณเชิงตัวเลขทางคณิตศาสตร์ที่อนุญาตให้มีคำตอบในรูปแบบปิดสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ของวิถี มีการสร้างลำดับของฟังก์ชันสัมประสิทธิ์แรงต้านโดยประมาณที่ต่อเนื่องกันซึ่งลู่เข้าสู่ข้อมูลแรงต้านที่สังเกตได้จริงอย่างรวดเร็ว แบบจำลองวิถีสุญญากาศ อากาศพลศาสตร์แบบง่าย แบบจำลองกฎแรงต้านของ d'Antonio และ Euler เป็นกรณีพิเศษ กฎแรงต้านของ Manges จึงมีอิทธิพลในการรวมเป็นหนึ่งเดียวกับแบบจำลองก่อนหน้านี้ที่ใช้ในการหาคำตอบในรูปแบบปิดสองมิติสำหรับสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุมวลจุด วัตถุประสงค์ที่สามของบทความนี้คือการอธิบายขั้นตอนการปรับค่าแบบกำลังสองน้อยที่สุดสำหรับการหาฟังก์ชันแรงต้านใหม่จากข้อมูลการทดลองที่สังเกตได้ ผู้เขียนอ้างว่าผลลัพธ์แสดงให้เห็นถึงความสอดคล้องอย่างยอดเยี่ยมกับการคำนวณเชิงตัวเลขที่มีหกองศาอิสระสำหรับกระสุนรถถังสมัยใหม่ และตารางการยิงที่เผยแพร่แล้วสำหรับกระสุนปืนไรเฟิลแบบจุดชนวนกลางที่มีรูปทรงและขนาดหลากหลาย

มีการสร้างโปรแกรม Microsoft Excel ที่ใช้การปรับค่าแบบกำลังสองน้อยที่สุด (least squares fits) กับค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านอากาศจาก ตารางที่ได้จาก อุโมงค์ลมหรืออาจใช้ข้อมูลวิถีกระสุนที่ผู้ผลิตจัดหาให้ หรือข้อมูลความเร็วที่ได้จากระบบดอปเปลอร์มาปรับเทียบแบบจำลองก็ได้ จากนั้นโปรแกรม Excel จะใช้คำสั่งมาโครแบบกำหนดเองเพื่อคำนวณตัวแปรวิถีกระสุนที่สนใจ โดย ใช้ อัลกอริธึมการอินทิเกรต Runge–Kutta อันดับที่ 4 ที่ได้รับการดัดแปลง เช่นเดียวกับ Pejsa พันเอก Manges อ้างว่าปืนไรเฟิลแบบยิงจากตรงกลางมีความแม่นยำถึงหนึ่งในสิบของนิ้วสำหรับตำแหน่งกระสุน และความเร็วของกระสุนถึงฟุตต่อวินาที

นอกจากนี้ยังมีแบบจำลองขีปนาวิถีระดับมืออาชีพขั้นสูง เช่นPRODASซึ่งใช้ การคำนวณแบบ 6 องศาอิสระ (6 DoF) การสร้างแบบจำลอง 6 DoF จะพิจารณาตำแหน่ง x, y และ z ในอวกาศพร้อมกับอัตราการเอียง การหมุน และการกลิ้งของกระสุน การสร้างแบบจำลอง 6 DoF ต้องการข้อมูลป้อนเข้าที่ซับซ้อน ความรู้เกี่ยวกับกระสุนที่ใช้ และวิธีการรวบรวมและตรวจสอบข้อมูลที่มีราคาแพง ทำให้ไม่สามารถใช้งานได้จริงสำหรับนักขีปนาวิถีที่ไม่ใช่มืออาชีพ^{[ 19 ]}แต่ก็ไม่ใช่เรื่องที่เป็นไปไม่ได้สำหรับผู้ที่สนใจ มีความรู้ด้านคอมพิวเตอร์ และมีความถนัดทางคณิตศาสตร์ แบบจำลองการทำนายทางอากาศพลศาสตร์แบบกึ่งเชิงประจักษ์ได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อลดข้อมูลการทดสอบในสนามทดสอบที่กว้างขวางเกี่ยวกับรูปร่างกระสุนที่หลากหลาย ปรับรูปทรงเรขาคณิตของข้อมูลป้อนเข้าให้เป็นมาตรฐานตามขนาดลำกล้อง พิจารณาความยาวและรัศมีของหัวกระสุน ความยาวลำตัว และขนาดของส่วนท้าย และอนุญาตให้ประมาณค่าสัมประสิทธิ์ทางอากาศพลศาสตร์ 6 องศาอิสระได้ทั้งหมด การวิจัยในช่วงแรกเกี่ยวกับซอฟต์แวร์การทำนายทางอากาศพลศาสตร์ที่เสถียรด้วยการหมุนส่งผลให้เกิดโปรแกรมคอมพิวเตอร์ SPINNER ^{[ 20 ]} รหัสการทำนายทางอากาศพลศาสตร์ FINNER คำนวณอินพุต 6-dof สำหรับกระสุนที่ทรงตัวด้วยครีบ^{[ 21 ]} ซอฟต์แวร์การสร้างแบบจำลองของแข็งที่กำหนดพารามิเตอร์ของกระสุน เช่น มวล จุดศูนย์ถ่วง โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนและแนวขวางที่จำเป็นสำหรับการวิเคราะห์เสถียรภาพ ก็มีให้ใช้งานได้ง่ายและเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ได้ง่าย^{[ 22 ]} สุดท้ายนี้ อัลกอริทึมสำหรับการบูรณาการเชิงตัวเลข 6-dof ที่เหมาะสมกับ Runge-Kutta อันดับที่ 4 ก็มีให้ใช้งานได้ง่าย^{[ 23 ]}สิ่งที่นักขีปนาวิทยาผู้เชี่ยวชาญต้องการเพื่อตรวจสอบรายละเอียดเชิงวิเคราะห์ที่ละเอียดกว่าของวิถีกระสุน พร้อมกับพฤติกรรมการสั่นไหวและ การหมุน ควงของ กระสุน คือ การกำหนดโปรแกรมคอมพิวเตอร์ อย่างไรก็ตาม สำหรับผู้ที่ชื่นชอบอาวุธปืนขนาดเล็ก นอกเหนือจากความอยากรู้อยากเห็นทางวิชาการแล้ว พวกเขาจะพบว่าความสามารถในการทำนายวิถีกระสุนด้วยความแม่นยำ 6-dof นั้นอาจไม่มีความสำคัญในทางปฏิบัติมากนัก เมื่อเทียบกับวิถีกระสุนแบบจุดมวลที่ง่ายกว่าโดยอิงจากค่าสัมประสิทธิ์ขีปนาวิทยาของกระสุนที่เผยแพร่แล้ว โดยทั่วไปแล้ว ระบบ 6 องศาอิสระ (6 DoF) จะถูกใช้โดยอุตสาหกรรมการบินและอวกาศและการป้องกันประเทศ รวมถึงองค์กรทางทหารที่ศึกษาพฤติกรรมขีปนาวิถีของกระสุนปืนจำนวนจำกัด (ที่ตั้งใจจะใช้ในทางทหาร) แนวโน้ม 6 องศาอิสระที่คำนวณได้สามารถนำมาใช้เป็นตารางแก้ไขในโปรแกรมซอฟต์แวร์ขีปนาวิถีแบบดั้งเดิมได้

แม้ว่าการสร้างแบบจำลอง 6 DoF และแอปพลิเคชันซอฟต์แวร์จะถูกใช้โดยองค์กรมืออาชีพที่มีอุปกรณ์ครบครันมานานหลายทศวรรษแล้ว แต่ข้อจำกัดด้านกำลังการประมวลผลของอุปกรณ์คอมพิวเตอร์พกพาเช่น อุปกรณ์ ผู้ช่วยดิจิทัลส่วนบุคคล (ที่ทนทาน) คอมพิวเตอร์แท็บเล็ตหรือสมาร์ทโฟนทำให้การใช้งานภาคสนามเป็นไปได้ยาก เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วการคำนวณจะต้องทำแบบเรียลไทม์ ในปี 2016 ผู้ผลิตกระสุนปืนชาวสแกนดิเนเวียNammo Lapua Oyได้เปิดตัวซอฟต์แวร์คำนวณขีปนาวิถีแบบ 6 DoF ที่ชื่อว่า Lapua Ballistics (ตั้งชื่อตามโรงงานผลิตกระสุน Lapua ) ซอฟต์แวร์นี้เผยแพร่ในรูปแบบแอปพลิเคชันมือถือเท่านั้น และใช้งานได้กับอุปกรณ์ Android และ iOS ^{[ 24 ]}อย่างไรก็ตาม แบบจำลอง 6 DoF ที่ใช้มีข้อจำกัดเฉพาะกระสุน Lapua เท่านั้น เนื่องจากตัวแก้ปัญหา 6 DoF ต้องการข้อมูลสัมประสิทธิ์แรงต้าน (Cd)/เรดาร์ดอปเปลอร์เฉพาะกระสุน และมิติทางเรขาคณิตของกระสุนที่สนใจ สำหรับกระสุนอื่นๆ ตัวแก้ปัญหา Lapua Ballistics จะมีข้อจำกัดและอิงตามสัมประสิทธิ์ขีปนาวิถี G1 หรือ G7 และวิธีการ Mayevski/Siacci

องค์กรทางทหารได้พัฒนารูปแบบขีปนาวิถี เช่น NATO Armament Ballistic Kernel (NABK) สำหรับระบบควบคุมการยิงปืนใหญ่ เช่นSG2 Shareable (Fire Control) Software Suite (S4)จาก NATO Army Armaments Group (NAAG) NATO Armament Ballistic Kernel เป็นแบบจำลองจุดมวลที่ดัดแปลง 4-DoF ซึ่งเป็นการประนีประนอมระหว่างแบบจำลองจุดมวลแบบง่ายและแบบจำลอง 6-DoF ที่ต้องใช้การคำนวณอย่างมาก^{[ 25 ]} มาตรฐานหกและเจ็ดองศาอิสระที่เรียกว่า BALCO ได้รับการพัฒนาขึ้นภายในกลุ่มทำงานของ NATO เช่นกัน BALCO เป็นโปรแกรมจำลองวิถีการเคลื่อนที่โดยอิงจากแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดโดยข้อแนะนำมาตรฐานของ NATO หมายเลข 4618 เป้าหมายหลักของ BALCO คือการคำนวณวิถีการเคลื่อนที่ที่มีความแม่นยำสูงสำหรับทั้งกระสุนแบบสมมาตรตามแกนทั่วไปและกระสุนนำวิถีที่มีความแม่นยำสูงที่มีพื้นผิวควบคุม แบบจำลองวิถีการเคลื่อนที่ของ BALCO เป็น โปรแกรม FORTRAN 2003 ที่ใช้คุณสมบัติต่อไปนี้:

• สมการการเคลื่อนที่ 6/7 องศาอิสระ
• ลำดับที่ 7 การบูรณาการ Runge‐Kutta‐Fehlberg
• แบบจำลองโลก
• แบบจำลองบรรยากาศ
• แบบจำลองตามหลักอากาศพลศาสตร์
• โมเดลแรงขับและการเผาไหม้พื้นฐาน
• แบบจำลองแอคทูเอเตอร์^{[ 26 ]}

การคาดการณ์ที่แบบจำลองเหล่านี้ให้มานั้นขึ้นอยู่กับการศึกษาเปรียบเทียบ^{[ 27 ]}

เพื่อการกำหนดผลกระทบของแรงต้านอากาศต่อวิถีกระสุนอย่างแม่นยำจำเป็นต้องใช้การวัด ด้วย เรดาร์ดอปเปลอร์ เรดาร์ดอปเปลอร์ Weibel 1000e หรือ Infinition BR-1001 ถูกใช้โดยรัฐบาล นักขีปนาวิทยาผู้เชี่ยวชาญ กองกำลังป้องกันประเทศ และผู้ผลิตกระสุนบางราย เพื่อรวบรวมข้อมูลจริงเกี่ยวกับพฤติกรรมการบินของกระสุนที่พวกเขาสนใจ การวัดด้วยเรดาร์ดอปเปลอร์ที่ทันสมัยและถูกต้อง สามารถกำหนดพฤติกรรมการบินของกระสุนขนาดเล็ก เช่น กระสุนปืนลม ในพื้นที่สามมิติได้อย่างแม่นยำภายในไม่กี่มิลลิเมตร ข้อมูลที่รวบรวมได้เกี่ยวกับการชะลอตัวของกระสุนสามารถนำมาคำนวณและแสดงได้หลายวิธี เช่น ค่าสัมประสิทธิ์ขีปนาวิทยา (BC) หรือค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านอากาศ ( _Cd ) เนื่องจากวัตถุที่หมุนจะเกิดการหมุนควงและการหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวลขณะบิน จึงจำเป็นต้องมีการลดทอนข้อมูลเพิ่มเติมจากการวัดด้วยเรดาร์ดอปเปลอร์ เพื่อแยกค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านและแรงยกที่เกิดจากการหมุนรอบแกนตั้งออกจากค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านเมื่อไม่มีการหมุนรอบแกนตั้ง เพื่อให้การวัดสามารถนำไปใช้ในการวิเคราะห์วิถีการเคลื่อนที่ 6 องศาอิสระได้อย่างเต็มที่

ผลการวัดด้วยเรดาร์ดอปเปลอร์ของกระสุนขนาด .50 BMG แบบตันชิ้นเดียว ที่กลึงด้วยเครื่องกลึง (กระสุน Lost River J40 ขนาด .510-773 เกรน แบบตันชิ้นเดียว / อัตราการหมุนเกลียว 1:15 นิ้ว) มีลักษณะดังนี้:

ค่า BC ที่เพิ่มขึ้นในตอนแรกนั้นเกิดจากการที่กระสุนมีการหมุนและเคลื่อนที่ออกจากลำกล้องอยู่ตลอดเวลา ผลการทดสอบได้มาจากการเฉลี่ยผลการยิงหลายครั้ง แม้ว่าจะไม่ทราบปริมาณที่แน่นอนก็ตาม บริษัทผู้ผลิตกระสุน Lost River Ballistic Technologies กำหนดค่า BC ของกระสุนไว้ที่ 1.062

ผลการวัดด้วยเรดาร์ดอปเปลอร์ของกระสุนปืน Lapua GB528 Scenar ขนาด 19.44 กรัม (300 เกรน) 8.59 มม. (0.338 นิ้ว) ที่มีแรงต้านต่ำมากมีดังนี้:

กระสุนที่ทดสอบนี้จะมีค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านสูงสุดเมื่อเข้าสู่ช่วงการบินเหนือเสียงที่ความเร็วประมาณ Mach 1.200

ด้วยความช่วยเหลือจากการวัดด้วยเรดาร์ดอปเปลอร์ สามารถสร้างแบบจำลองแรงต้านเฉพาะของกระสุนได้ ซึ่งมีประโยชน์มากที่สุดเมื่อยิงในระยะไกลที่ความเร็วของกระสุนลดลงจนถึงช่วงความเร็วทรานโซนิกใกล้ความเร็วเสียง ในกรณีนี้ แรงต้านของกระสุนที่ทำนายโดยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อาจแตกต่างจากแรงต้านจริงที่กระสุนได้รับอย่างมีนัยสำคัญ นอกจากนี้ การวัดด้วยเรดาร์ดอปเปลอร์ยังใช้เพื่อศึกษาผลกระทบเล็กน้อยระหว่างการบินของโครงสร้างกระสุนต่างๆ^{[ 28 ]}

รัฐบาล ผู้เชี่ยวชาญด้านขีปนาวิทยา กองกำลังป้องกันประเทศ และผู้ผลิตกระสุน สามารถเสริมการวัดด้วยเรดาร์ดอปเปลอร์ด้วยการวัดที่รวบรวมได้จากหัววัดโทรมาตรที่ติดตั้งบนกระสุนขนาดใหญ่กว่า

โดยทั่วไป กระสุนหัวแหลมจะมีค่าสัมประสิทธิ์แรงต้าน (Cd ₎หรือค่าสัมประสิทธิ์วิถี (BC) ที่ดีกว่ากระสุนหัวกลม และกระสุนหัวกลมจะมีค่า Cd _หรือ BC ที่ดีกว่ากระสุนหัวแบน ส่วนโค้งรัศมีขนาดใหญ่ ส่งผลให้มุมปลายกระสุนตื้นขึ้น จะทำให้แรงต้านลดลง โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ความเร็วเหนือเสียง กระสุน หัวกลวงมีพฤติกรรมคล้ายกับ กระสุนหัวแบนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางปลายเท่ากัน กระสุนที่ออกแบบมาสำหรับการใช้งานเหนือเสียงมักจะมีฐานที่เรียวเล็กน้อยที่ด้านหลัง เรียกว่า " หางเรือ " ซึ่งช่วยลดแรงต้านอากาศขณะบิน^{[ 29 ]}ประโยชน์ของ "ส่วนท้ายที่เรียว" สำหรับการยิงระยะไกลนั้นได้รับการยอมรับอย่างดีแล้วตั้งแต่ต้นทศวรรษ 1870 ^{[ 30 ]}แต่ปัญหาทางเทคโนโลยีทำให้ไม่สามารถนำไปใช้กันอย่างแพร่หลายจนกระทั่งถึงศตวรรษที่ 20 ร่องซึ่งเป็นวงแหวนที่เว้าเข้าไปรอบกระสุนที่ใช้สำหรับบีบกระสุนให้แน่นกับปลอกกระสุน จะทำให้แรงต้านเพิ่มขึ้น

ซอฟต์แวร์วิเคราะห์ได้รับการพัฒนาโดยห้องปฏิบัติการวิจัยขีปนาวิถี – ซึ่งต่อมาเรียกว่าห้องปฏิบัติการวิจัยกองทัพบก – ซึ่งลดข้อมูลระยะการทดสอบจริงให้เป็นความสัมพันธ์เชิงพารามิเตอร์สำหรับการทำนายค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านของกระสุน^{[ 31 ]} ปืนใหญ่ขนาดใหญ่ยังใช้กลไกการลดแรงต้านนอกเหนือจากรูปทรงที่ลื่นไหลกระสุนที่ใช้จรวดช่วยจะใช้มอเตอร์จรวดขนาดเล็กที่จุดระเบิดเมื่อออกจากปากกระบอกปืน ทำให้เกิดแรงขับเพิ่มเติมเพื่อเอาชนะแรงต้านอากาศพลศาสตร์ การใช้จรวดช่วยจะมีประสิทธิภาพมากที่สุดกับกระสุนปืนใหญ่ความเร็วต่ำกว่าเสียง สำหรับปืนใหญ่ระยะไกลความเร็วเหนือเสียง ซึ่งแรงต้านฐานมีบทบาทสำคัญ จะใช้การระบายแก๊สที่ฐาน การระบายแก๊สที่ฐานเป็นรูปแบบหนึ่งของเครื่องกำเนิดแก๊สที่ไม่ให้แรงขับอย่างมีนัยสำคัญ แต่จะเติมแก๊สเข้าไปในบริเวณความดันต่ำด้านหลังกระสุน ทำให้ลดแรงต้านฐานและค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านโดยรวมของกระสุนได้อย่างมีประสิทธิภาพ

กระสุนที่ยิงด้วย ความเร็วปากกระบอก ปืนเหนือเสียงจะชะลอความเร็วลงจนเข้าใกล้ความเร็วเสียงในบางช่วง ใน บริเวณความเร็วทราน โซนิก (ประมาณมัค 1.2–0.8) จุดศูนย์กลางความดัน (CP) ของกระสุนส่วนใหญ่ที่ไม่เป็นทรงกลมจะเลื่อนไปข้างหน้าเมื่อกระสุนชะลอความเร็วลง การเลื่อนของ CP นี้ส่งผลต่อเสถียรภาพ (พลวัต) ของกระสุน หากกระสุนไม่ได้รับการรักษาเสถียรภาพที่ดี มันจะไม่สามารถคงทิศทางไปข้างหน้าได้ในบริเวณความเร็วทรานโซนิก (กระสุนจะเริ่มแสดงการเคลื่อนที่แบบ หมุนวน หรือการเคลื่อนที่แบบกรวยที่ไม่พึงประสงค์ที่เรียกว่าการหมุนรอบแกนจำกัด ซึ่งหากไม่ลดทอนลง อาจจบลงด้วยการหมุนอย่างควบคุมไม่ได้ตามแกนยาว) อย่างไรก็ตาม แม้ว่ากระสุนจะมีเสถียรภาพเพียงพอ (ทั้งแบบสถิตและพลวัต) ที่จะสามารถบินผ่านบริเวณความเร็วทรานโซนิกและคงทิศทางไปข้างหน้าได้ มันก็ยังได้รับผลกระทบอยู่ดี การเปลี่ยนแปลงจุดควบคุม (CP) ที่ไม่แน่นอนและฉับพลัน รวมถึงการลดลง (ชั่วคราว) ของเสถียรภาพทางพลศาสตร์ อาจทำให้เกิดการกระจายตัวอย่างมาก (และส่งผลให้ความแม่นยำลดลงอย่างมาก) แม้ว่าวิถีการบินของกระสุนจะกลับมาเป็นปกติอีกครั้งเมื่อเข้าสู่ ช่วง ความเร็วต่ำกว่าเสียงก็ตาม สิ่งนี้ทำให้การทำนายพฤติกรรมทางขีปนาวิถีของกระสุนในช่วงความเร็วใกล้เคียงเสียงได้อย่างแม่นยำเป็นเรื่องยากมาก

ด้วยเหตุนี้ นักแม่นปืนจึงมักจำกัดตัวเองให้ยิงเป้าหมายที่อยู่ใกล้พอที่กระสุนจะยังคงมีความเร็วเหนือเสียง^{[หมายเหตุ 1 ]}ในปี 2558 ไบรอัน ลิตซ์ นักขีปวิทยาชาวอเมริกัน ได้นำเสนอแนวคิด "ระยะไกลพิเศษ" เพื่อกำหนดการยิงปืนไรเฟิลในระยะที่กระสุน (ปืนไรเฟิล) ที่ยิงด้วยความเร็วเหนือเสียงเข้าสู่ช่วงความเร็วทรานโซนิก ตามที่ลิตซ์กล่าวไว้ว่า "ระยะไกลพิเศษเริ่มต้นเมื่อใดก็ตามที่กระสุนชะลอตัวลงจนถึงช่วงความเร็วทรานโซนิก เมื่อกระสุนชะลอตัวลงจนเข้าใกล้ Mach 1 มันจะเริ่มพบกับผลกระทบทรานโซนิก ซึ่งมีความซับซ้อนและยากต่อการพิจารณามากกว่าเมื่อเทียบกับระยะความเร็วเหนือเสียงที่กระสุนมีพฤติกรรมค่อนข้างดี" ^{[ 32 ]}

ความหนาแน่นของอากาศโดยรอบมีผลอย่างมากต่อเสถียรภาพแบบไดนามิกในระหว่างการเปลี่ยนผ่านความเร็วเหนือเสียง แม้ว่าความหนาแน่นของอากาศโดยรอบจะเป็นปัจจัยด้านสิ่งแวดล้อมที่เปลี่ยนแปลงได้ แต่ผลกระทบจากการเปลี่ยนผ่านความเร็วเหนือเสียงที่ไม่พึงประสงค์สามารถลดทอนได้ดีกว่าเมื่อกระสุนเคลื่อนที่ผ่านอากาศที่มีความหนาแน่นน้อยกว่า เมื่อเทียบกับการเคลื่อนที่ผ่านอากาศที่มีความหนาแน่นมากกว่า ความยาวของกระสุนหรือลูกปืนก็มีผลต่อการหมุนรอบขีดจำกัดเช่นกัน กระสุนที่ยาวกว่าจะมีการหมุนรอบขีดจำกัดมากกว่ากระสุนที่สั้นกว่าที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน คุณลักษณะอีกอย่างหนึ่งของการออกแบบกระสุนที่พบว่ามีผลต่อการเคลื่อนที่ของการหมุนรอบขีดจำกัดที่ไม่พึงประสงค์คือการลบมุมที่ฐานของกระสุน ที่ฐานหรือส้นของกระสุนหรือลูกปืน จะมีการลบมุมหรือรัศมีขนาด 0.25 ถึง 0.50 มม. (0.01 ถึง 0.02 นิ้ว) การมีอยู่ของรัศมีนี้ทำให้กระสุนบินด้วยมุมการหมุนรอบขีดจำกัดที่มากขึ้น^{[ 33 ]}ร่องเกลียวในลำกล้องปืนก็อาจมีผลเล็กน้อยต่อการหมุนรอบขีดจำกัด เช่นกัน ^{[ 34 ]}โดยทั่วไปแล้ว กระสุนที่หมุนเร็วขึ้นจะมีการหมุนรอบขีดจำกัดน้อยลง

เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาความเร็วเหนือเสียงที่พบในกระสุนที่ใช้การหมุนเพื่อรักษาเสถียรภาพ ในทางทฤษฎีแล้วสามารถควบคุมทิศทางของกระสุนได้ระหว่างการบินห้องปฏิบัติการแห่งชาติแซนเดียประกาศในเดือนมกราคม 2012 ว่าได้ทำการวิจัยและทดสอบยิงกระสุนนำวิถีอัตโนมัติต้นแบบขนาด 4 นิ้ว (102 มม.) สำหรับปืนขนาดเล็กแบบลำกล้องเรียบ ซึ่งสามารถยิงเป้าหมายที่กำหนดด้วยเลเซอร์ได้ในระยะทางมากกว่าหนึ่งไมล์ (ประมาณ 1,610 เมตร หรือ 1,760 หลา) กระสุนเหล่านี้ไม่ได้ใช้การหมุนเพื่อรักษาเสถียรภาพ และสามารถควบคุมทิศทางการบินได้ภายในขอบเขตที่จำกัดด้วยตัวกระตุ้นแม่เหล็กไฟฟ้า 30 ครั้งต่อวินาที นักวิจัยยังอ้างว่าพวกเขามีวิดีโอที่แสดงให้เห็นว่ากระสุนเอียงอย่างมากขณะออกจากลำกล้อง และเอียงน้อยลงเมื่อบินไปไกล ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่ถกเถียงกันในหมู่ผู้เชี่ยวชาญด้านอาวุธปืนระยะไกลว่า "เหมือนกำลังหลับ" เนื่องจากวิถีการเคลื่อนที่ของกระสุนจะนิ่งลงเมื่อบินนานขึ้น ความแม่นยำจึงดีขึ้นในระยะไกล นักวิจัยของแซนเดีย เรด โจนส์ กล่าว “ไม่มีใครเคยเห็นมาก่อน แต่เรามีวิดีโอความเร็วสูงที่แสดงให้เห็นว่ามันเป็นความจริง” เขากล่าว^{[ 35 ]}การทดสอบล่าสุดบ่งชี้ว่าอาจกำลังเข้าใกล้หรือบรรลุความสามารถในการปฏิบัติงานเบื้องต้นแล้ว^{[ 36 ]}

เนื่องจากข้อจำกัดทางปฏิบัติที่ไม่สามารถทราบล่วงหน้าและชดเชยตัวแปรทั้งหมดของการบินได้ การจำลองด้วยซอฟต์แวร์ใดๆ ก็ตาม แม้จะล้ำหน้าเพียงใด ก็จะไม่สามารถให้ผลการทำนายที่ตรงกับวิถีการบินในโลกแห่งความเป็นจริงได้อย่างสมบูรณ์เสมอไป อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะได้ผลการทำนายที่ใกล้เคียงกับพฤติกรรมการบินจริงมาก

โปรแกรมคอมพิวเตอร์ทำนายวิถีกระสุนที่ออกแบบมาสำหรับระยะไกลมาก ๆ สามารถประเมินได้โดยการทดสอบภาคสนามในช่วงเปลี่ยนผ่านจากความเร็วเหนือเสียงไปสู่ความเร็วต่ำกว่าเสียง (10 ถึง 20% สุดท้ายของช่วงความเร็วเหนือเสียงของปืน/กระสุน/หัวกระสุน) ตัวอย่างเช่น สำหรับปืนไรเฟิล .338 Lapua Magnum ทั่วไป ที่ยิงกระสุน Lapua Scenar GB488 ขนาดมาตรฐาน 16.2 กรัม (250 เกรน) ด้วยความเร็วปากกระบอกปืน 905 เมตร/วินาที (2969 ฟุต/วินาที) การทดสอบภาคสนามของซอฟต์แวร์ควรทำที่ระยะประมาณ 1200-1300 เมตร (1312-1422 หลา) ภายใต้สภาวะบรรยากาศมาตรฐานสากลที่ ระดับน้ำทะเล ( ความหนาแน่นของอากาศ ρ = 1.225 กก./ลบ.ม.) เพื่อตรวจสอบว่าซอฟต์แวร์ทำนายวิถีกระสุนได้ดีเพียงใดในระยะสั้นถึงปานกลาง ต้องทำการทดสอบภาคสนามที่ 20, 40 และ 60% ของช่วงความเร็วเหนือเสียง ในระยะสั้นถึงปานกลาง ปัญหาความเร็วเหนือเสียงและวิถีกระสุนที่ไม่เป็นไปตามที่คาดไว้ไม่น่าจะเกิดขึ้น และค่าสัมประสิทธิ์การต้านทานอากาศ (BC) ก็มีโอกาสน้อยที่จะเปลี่ยนแปลง การทดสอบคุณสมบัติการทำนายของซอฟต์แวร์ในระยะไกล (ไกลมาก) นั้นมีค่าใช้จ่ายสูงเพราะสิ้นเปลืองกระสุน ต้องวัดความเร็วปากกระบอกปืนที่แท้จริงของกระสุนทุกนัดที่ยิงออกไปเพื่อให้สามารถสรุปผลทางสถิติได้อย่างน่าเชื่อถือ กลุ่มตัวอย่างที่มีจำนวนกระสุนน้อยกว่า 24 นัดอาจไม่ได้รับช่วงความเชื่อมั่น ที่มีนัยสำคัญทางสถิติตามที่ ต้องการ

รัฐบาล นักขีปนาวิทยาผู้เชี่ยวชาญ กองกำลังป้องกันประเทศ และผู้ผลิตกระสุนบางรายใช้เรดาร์ดอปเปลอร์และ/หรือโพรบวัดระยะทางที่ติดตั้งกับกระสุนขนาดใหญ่เพื่อรับข้อมูลจริงที่แม่นยำเกี่ยวกับพฤติกรรมการบินของกระสุนที่พวกเขาสนใจ จากนั้นจึงเปรียบเทียบข้อมูลจริงที่รวบรวมได้กับการคาดการณ์ที่คำนวณโดยโปรแกรมคอมพิวเตอร์ขีปนาวิทยา อย่างไรก็ตาม ผู้ที่ชื่นชอบการยิงปืนหรืออากาศพลศาสตร์ทั่วไปไม่สามารถเข้าถึงอุปกรณ์วัดระดับมืออาชีพที่มีราคาแพงเช่นนี้ได้ หน่วยงานและผู้ผลิตกระสุนมักไม่เต็มใจที่จะแบ่งปันผลการทดสอบเรดาร์ดอปเปลอร์และค่าสัมประสิทธิ์แรงต้าน (Cd ₎ ที่ได้จากการทดสอบ ของกระสุนกับสาธารณชนทั่วไป ประมาณปี 2020 อุปกรณ์เรดาร์ดอปเปลอร์ที่มีราคาไม่แพงแต่มีความสามารถน้อยกว่า (สำหรับมือสมัครเล่น) เพื่อกำหนดค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านในการบินอิสระก็เริ่มมีให้สาธารณชนทั่วไปใช้งานได้^{[ 37 ]}

ในเดือนมกราคม พ.ศ. 2552 ผู้ผลิตกระสุนปืนชาวสแกนดิเนเวีย Nammo/Lapua ได้เผยแพร่ข้อมูลสัมประสิทธิ์แรงต้านที่ได้จากการทดสอบเรดาร์ดอปเปลอร์สำหรับกระสุนปืนไรเฟิลส่วนใหญ่ของพวกเขา^{[ 38 ] [ 39 ]} ในปี พ.ศ. 2558 ผู้ผลิตกระสุนปืนของสหรัฐฯ Berger Bullets ประกาศการใช้เรดาร์ดอปเปลอร์ร่วมกับซอฟต์แวร์ PRODAS 6 DoF เพื่อสร้างโซลูชันวิถีกระสุน^{[ 40 ]} ในปี พ.ศ. 2559 ผู้ผลิตกระสุนปืนของสหรัฐฯHornadyประกาศการใช้ข้อมูลแรงต้านที่ได้จากเรดาร์ดอปเปลอร์ในซอฟต์แวร์ที่ใช้แบบจำลองจุดมวลที่ดัดแปลงเพื่อสร้างโซลูชันวิถีกระสุน^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]} ด้วยข้อมูล C _d ที่ได้จากการวัด วิศวกรสามารถสร้างอัลกอริทึมที่ใช้ทั้งแบบจำลองขีปนาวิถีทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักและข้อมูลตารางเฉพาะการทดสอบร่วมกันได้ เมื่อใช้ซอฟต์แวร์ทำนายผลเช่นQuickTARGET Unlimited , Lapua Edition, ^{[ 45 ]} Lapua Ballistics ^{[ 46 ]}หรือ Hornady 4DOF ข้อมูลสัมประสิทธิ์แรงต้านที่ได้จากการทดสอบเรดาร์ดอปเปลอร์สามารถใช้สำหรับการทำนายวิถีกระสุนภายนอกที่แม่นยำยิ่งขึ้น

ข้อมูลสัมประสิทธิ์แรงต้านอากาศที่ Lapua จัดหามาบางส่วนแสดงให้เห็นถึงการเพิ่มขึ้นอย่างมากของแรงต้านอากาศที่วัดได้ในช่วงความเร็วการบินประมาณหรือต่ำกว่า Mach 1 พฤติกรรมนี้พบในกระสุนปืนขนาดเล็กส่วนใหญ่ที่วัดได้ แต่ไม่ค่อยพบในกระสุนปืนขนาดใหญ่ ซึ่งหมายความว่ากระสุนปืนบางชนิด (ส่วนใหญ่เป็นขนาดเล็ก) แสดงให้เห็นถึงการหมุนวน (การโก่งตัวและ/หรือการหมุน) มากขึ้นในช่วงความเร็วการบินทรานโซนิก/ซับโซนิก ข้อมูลเกี่ยวกับพฤติกรรมการบินทรานโซนิก/ซับโซนิกที่ไม่พึงประสงค์สำหรับกระสุนปืนบางชนิดที่ทดสอบนั้นมีความสำคัญ นี่เป็นปัจจัยจำกัดสำหรับการใช้งานยิงระยะไกล เนื่องจากผลกระทบของการหมุนวนนั้นคาดเดาได้ยากและอาจก่อให้เกิดความเสียหายร้ายแรงแม้แต่กับแบบจำลองและซอฟต์แวร์การทำนายวิถีกระสุนที่ดีที่สุด

ข้อมูล C _d ที่นำเสนอ ไม่สามารถนำไปใช้กับปืนและกระสุนทุกแบบได้โดยตรง เนื่องจากเป็นการวัดสำหรับลำกล้องความเร็วการหมุน (สปิน)และล็อตกระสุนที่ผู้ทดสอบ Lapua ใช้ในการทดสอบยิง ตัวแปรต่างๆ เช่น ความแตกต่างในร่องเกลียว (จำนวนร่อง ความลึก ความกว้าง และคุณสมบัติเชิงมิติอื่นๆ) อัตราการบิด และ/หรือความเร็วปากลำกล้อง ส่งผลให้ความเร็วการหมุน (สปิน) และรอยร่องเกลียวบนกระสุนแตกต่างกัน การเปลี่ยนแปลงในตัวแปรดังกล่าวและความแปรปรวนของล็อตการผลิตกระสุนอาจทำให้เกิดปฏิสัมพันธ์กับอากาศที่กระสุนผ่านไปในระยะไกลแตกต่างกัน ซึ่งอาจส่งผลให้พฤติกรรมการบินเปลี่ยนแปลงไป (เล็กน้อย) ปัจจุบัน (2009) สาขาขีปนาวิถีภายนอกเฉพาะด้านนี้ยังไม่ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดหรือเข้าใจอย่างดี^{[ 47 ]}

วิธีการที่ใช้ในการสร้างแบบจำลองและทำนายพฤติกรรมขีปนาวิถีภายนอกอาจให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันไปตามระยะทางและเวลาบินที่เพิ่มขึ้น เพื่อแสดงให้เห็นถึงเรื่องนี้ วิธีการทำนายพฤติกรรมขีปนาวิถีภายนอกหลายวิธีสำหรับกระสุนปืนไรเฟิล Lapua Scenar GB528 ขนาด 8.59 มม. (0.338 นิ้ว) น้ำหนัก 19.44 กรัม (300.0 เกรน) ที่ มีค่าสัมประสิทธิ์ขีปนาวิถี (BC) G1ที่ผู้ผลิตระบุไว้คือ 0.785 ยิงด้วยความเร็วปากกระบอกปืน 830 ม./วินาที (2,723 ฟุต/วินาที) ภายใต้ สภาวะ บรรยากาศมาตรฐานสากลที่ระดับน้ำทะเล ( ความหนาแน่นของอากาศ ρ = 1.225 กก./ลบ.ม., Mach 1 = 340.3 ม./วินาที, Mach 1.2 = 408.4 ม./วินาที) ได้ทำนายความเร็วและเวลาบินของกระสุนจาก 0 ถึง 3,000 ม. (0 ถึง 3,281 หลา) ดังนี้: ^{[หมายเหตุ 2 ]}

แบบจำลองการทำนายที่ดีคาดว่าจะให้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันในระบะการบินเหนือเสียง แบบจำลองตัวอย่างทั้งห้าแบบที่ระดับความสูงถึง 1,200 เมตร (1,312 หลา) ทำนายความเร็วของวัตถุที่ความเร็วเหนือเสียง Mach 1.2 ขึ้นไป^และความแตกต่างของระยะตกโดยรวมอยู่ในช่วง 51 เซนติเมตร (20.1 นิ้ว) ในระบะการบินใกล้เสียงที่ระดับความสูง 1,500 เมตร (1,640 หลา) แบบจำลองทำนายความเร็วของวัตถุที่ประมาณ Mach 1.0 ถึง Mach 1.1 และความแตกต่างของระยะตกโดยรวมอยู่ในช่วงที่กว้างกว่ามากถึง 150 เซนติเมตร (59.1 นิ้ว)

ตารางแสดงให้เห็นว่าวิธีการทำนายค่าสัมประสิทธิ์แรงต้าน (Cd ₎ที่ได้จากการทดสอบเรดาร์ดอปเปลอร์และผลการทำนายจากแอป Lapua Ballistics 6 DoF ปี 2017 ให้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกัน การสร้างแบบจำลอง 6 DoF ประมาณค่าความเสถียรของกระสุน (Sd _และ Sg ₎ซึ่งมีแนวโน้มไปสู่ความเสถียรที่สูงเกินไปสำหรับระยะทางมากกว่า 2,400 เมตร (2,625 หลา) สำหรับกระสุนชนิดนี้ ที่ระยะ 2,400 เมตร (2,625 หลา) การทำนายการตกทั้งหมดจะคลาดเคลื่อน 47.5 เซนติเมตร (19.7 นิ้ว) หรือ 0.20 มิล (0.68 moa ) ที่ละติจูด 50° และที่ระยะสูงสุด 2,700 เมตร (2,953 หลา) การทำนายการตกทั้งหมดจะอยู่ในช่วง 0.30 มิล (1 moa) ที่ละติจูด 50° ผลการคาดการณ์จากแอปพลิเคชัน Lapua Ballistics 6 DoF เวอร์ชันปี 2016 นั้นใกล้เคียงกับผลการทดสอบเรดาร์ดอปเปลอร์มากยิ่งขึ้น

วิธีการทำนายค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านของแบบจำลอง Pejsa ในรูปแบบปิด โดยไม่ต้องปรับแต่งค่าคงที่ความชันอย่างละเอียด ให้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันมากในระบะการบินเหนือเสียง เมื่อเทียบกับวิธีการทำนายค่าสัมประสิทธิ์แรงต้าน (Cd) ที่ได้จากการทดสอบด้วยเรดาร์ดอปเปลอร์_ที่ระยะ 1,500 เมตร (1,640 หลา) การทำนายความเร็วของกระสุนปืนจะคลาดเคลื่อนไป 10 เมตร/วินาที (32.8 ฟุต/วินาที) ซึ่งเทียบเท่ากับความแตกต่างของระยะตกทั้งหมดที่ทำนายได้ 23.6 เซนติเมตร (9.3 นิ้ว) หรือ 0.16 มิล (0.54 โมอา) ที่ละติจูด 50°

แบบจำลองทั้งสองนี้ตั้งอยู่บนสมมติฐาน (ที่แตกต่างกัน) เกี่ยวกับรูปทรงของกระสุนปืน

โดยทั่วไปแล้ว วิธีการทำนายค่าสัมประสิทธิ์แรงต้าน G1 ของ Siacci/Mayevski แบบดั้งเดิมจะให้ผลลัพธ์ที่มองโลกในแง่ดีมากกว่าเมื่อเทียบกับวิธีการทำนายค่าสัมประสิทธิ์แรงต้าน (Cd) _{ที่ ได้จากการทดสอบเรดาร์ดอปเปลอร์สมัยใหม่} ^{[หมายเหตุ 3 ]}ที่ระยะ 300 เมตร (328 หลา) ความแตกต่างแทบจะไม่สังเกตเห็นได้ แต่ที่ระยะ 600 เมตร (656 หลา) และไกลกว่านั้น ความแตกต่างจะเพิ่มขึ้นตามความเร็วของกระสุนที่มากกว่า 10 เมตร/วินาที (32.8 ฟุต/วินาที) และค่อยๆ มีความสำคัญมากขึ้น ที่ระยะ 1,500 เมตร (1,640 หลา) การทำนายความเร็วของกระสุนจะเบี่ยงเบนไป 25 เมตร/วินาที (82.0 ฟุต/วินาที) ซึ่งเทียบเท่ากับความแตกต่างของการตกทั้งหมดที่ทำนายได้ 125.6 เซนติเมตร (49.4 นิ้ว) หรือ 0.83 มิล (2.87 โมอา) ที่ละติจูด 50°

วิธีการทำนายค่าแรงต้านอากาศโดยใช้แบบจำลองเส้นโค้งแรงต้าน G7 (ซึ่งผู้ผลิตบางรายแนะนำสำหรับกระสุนปืนไรเฟิลรูปทรงแรงต้านต่ำมาก) เมื่อใช้ค่าสัมประสิทธิ์ขีปนาวิถี (BC) ของ G7 เท่ากับ 0.377 จะให้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันมากในระบะการบินเหนือเสียง เมื่อเทียบกับวิธีการทำนายค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านอากาศ (Cd) ที่ได้จากการทดสอบด้วยเรดาร์ดอปเปลอร์_ที่ระยะ 1,500 เมตร (1,640 หลา) การทำนายความเร็วของกระสุนมีค่าเบี่ยงเบนสูงสุด 10 เมตร/วินาที (32.8 ฟุต/วินาที) ความแตกต่างของการตกทั้งหมดที่ทำนายได้ที่ระยะ 1,500 เมตร (1,640 หลา) คือ 0.4 เซนติเมตร (0.16 นิ้ว) ที่ละติจูด 50° ความแตกต่างของการตกทั้งหมดที่ทำนายได้ที่ระยะ 1,800 เมตร (1,969 หลา) คือ 45.0 เซนติเมตร (17.7 นิ้ว) ซึ่งเท่ากับ 0.25 มิล (0.86 moa)

ลมมีผลกระทบหลายอย่าง ผลกระทบแรกคือการทำให้กระสุนเบี่ยงเบนไปด้านข้าง (การเบี่ยงเบนในแนวนอน) จากมุมมองทางวิทยาศาสตร์ "ลมที่ผลักไปด้านข้างของกระสุน" ไม่ใช่สาเหตุของการเบี่ยงเบนในแนวนอน สาเหตุของการเบี่ยงเบนในแนวนอนคือแรงต้าน แรงต้านทำให้กระสุนหันเข้าหาลม คล้ายกับกังหันลม ทำให้จุดศูนย์กลางความดันอากาศอยู่ตรงส่วนหัวของกระสุน จากมุมมองของผู้ยิง สิ่งนี้ทำให้ส่วนหัวของกระสุนหันเข้าหาลมและส่วนท้ายหันออกจากลม ผลของการหันนี้คือแรงต้านผลักกระสุนไปตามทิศทางลมจากส่วนหัวไปยังส่วนท้าย

ลมยังทำให้เกิดการกระโดดทางอากาศพลศาสตร์ ซึ่งเป็นส่วนประกอบในแนวดิ่งของการเบี่ยงเบนลมขวางที่เกิดจากแรงกระตุ้นด้านข้าง (ลม) ที่เกิดขึ้นระหว่างการบินอิสระของกระสุนหรือที่ปากกระบอกปืนหรือใกล้ปากกระบอกปืนมาก ทำให้เกิดความไม่สมดุลแบบไดนามิก^{[ 48 ]}ปริมาณการกระโดดทางอากาศพลศาสตร์ขึ้นอยู่กับความเร็วลมขวาง ความเสถียรของไจโรสโคปของกระสุนที่ปากกระบอกปืน และว่าการบิดลำกล้องเป็นตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา เช่นเดียวกับทิศทางลม การกลับทิศทางการบิดจะทำให้ทิศทางการกระโดดทางอากาศพลศาสตร์กลับทิศทางด้วย

ผลกระทบที่เห็นได้ไม่ชัดเจนนักอีกอย่างหนึ่งคือลมปะทะหรือลมส่ง ลมปะทะจะทำให้ความเร็วสัมพัทธ์ของกระสุนเพิ่มขึ้นเล็กน้อย และเพิ่มแรงต้านและการตกของกระสุนตามไปด้วย ในขณะที่ลมส่งจะลดแรงต้านและการตกของกระสุน ในความเป็นจริง ลมปะทะหรือลมส่งอย่างเดียวเกิดขึ้นได้ยาก เนื่องจากลมมักไม่คงที่ทั้งในด้านความแรงและทิศทาง และโดยปกติแล้วจะมีการปฏิสัมพันธ์กับภูมิประเทศที่ลมพัดผ่าน ทำให้การยิงในระยะไกลมาก ๆ ในสภาวะที่มีลมปะทะหรือลมส่งทำได้ยาก

มุมแนวดิ่ง (หรือระดับความสูง ) ของการยิงจะมีผลต่อวิถีกระสุนด้วย ตารางวิถีกระสุนสำหรับกระสุนขนาดเล็ก (ที่ยิงจากปืนพกหรือปืนไรเฟิล) สมมติว่าเส้นสายตาระหว่างผู้ยิงและเป้าหมายเป็นแนวนอน โดยแรงโน้มถ่วงกระทำตั้งฉากกับพื้นโลก ดังนั้น หากมุมระหว่างผู้ยิงกับเป้าหมายเป็นขึ้นหรือลง (ทิศทางของส่วนประกอบแรงโน้มถ่วงไม่เปลี่ยนแปลงตามทิศทางของความลาดชัน) ความเร่งที่ทำให้วิถีกระสุนโค้งงอเนื่องจากแรงโน้มถ่วงจะน้อยลงตามสัดส่วนของโคไซน์ของมุมเอียง ผลก็คือ กระสุนที่ยิงขึ้นหรือลงในสิ่งที่เรียกว่า "ระยะเอียง" จะเลยเป้าหมายในระยะเดียวกันบนพื้นราบ ผลกระทบนี้มีขนาดใหญ่พอที่นักล่าจะต้องปรับการเล็งเป้าหมายให้เหมาะสมในภูมิประเทศที่เป็นภูเขา สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับการปรับระยะเอียงให้เข้ากับระยะแนวนอนเรียกว่ากฎของพลแม่นปืน กฎของพลปืนและกฎของพลปืนที่ปรับปรุงแล้วซึ่งมีความซับซ้อนกว่าและไม่ค่อยเป็นที่รู้จักนั้น ให้ผลการทำนายที่แม่นยำเพียงพอสำหรับการใช้งานอาวุธขนาดเล็กหลายประเภท อย่างไรก็ตาม แบบจำลองการทำนายแบบง่ายๆ นั้นละเลยผลกระทบของแรงโน้มถ่วงเล็กน้อยเมื่อยิงขึ้นเนินหรือลงเนิน วิธีเดียวที่จะชดเชยสิ่งนี้ได้ในทางปฏิบัติคือการใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ขีปนาวิถี นอกจากแรงโน้มถ่วงที่มุมชันมากในระยะทางไกลแล้ว ผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นของอากาศที่กระสุนพบเจอระหว่างการบินก็กลายเป็นปัญหา^{[ 49 ]} แบบจำลองการทำนายทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่สำหรับสถานการณ์การยิงแบบเอียง ขึ้นอยู่กับปริมาณและทิศทาง (ขึ้นเนินหรือลงเนิน) ของมุมเอียงและระยะทาง จะให้ระดับความคาดหวังความแม่นยำที่แตกต่างกัน^{[ 50 ]} โปรแกรมคอมพิวเตอร์ขีปนาวิถีที่ล้ำหน้าน้อยกว่าจะทำนายวิถีเดียวกันสำหรับการยิงขึ้นเนินและลงเนินที่มุมแนวตั้งและระยะทางเดียวกัน โปรแกรมที่ล้ำหน้ากว่าจะคำนึงถึงผลกระทบเล็กน้อยของแรงโน้มถ่วงต่อการยิงขึ้นเนินและลงเนิน ส่งผลให้วิถีแตกต่างกันเล็กน้อยที่มุมแนวตั้งและระยะทางเดียวกัน ปัจจุบัน (ปี 2017) ยังไม่มีโปรแกรมคอมพิวเตอร์คำนวณวิถีกระสุนใดที่เปิดให้ใช้งานได้ทั่วไป ซึ่งสามารถอธิบายปรากฏการณ์ที่ซับซ้อนของการเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นของอากาศที่กระสุนต้องเผชิญระหว่างการบินได้

การเปลี่ยนแปลงของ ความดันอากาศอุณหภูมิและความชื้นส่งผลให้เกิดความหนาแน่นของอากาศ โดยรอบ ความชื้นมีผลกระทบที่ตรงกันข้ามกับที่คาดการณ์ไว้ เนื่องจากไอน้ำมีความหนาแน่น 0.8 กรัมต่อลิตร ในขณะที่อากาศแห้งมีความหนาแน่นเฉลี่ยประมาณ 1.225 กรัมต่อลิตร ความชื้นที่สูงขึ้นจึงทำให้ความหนาแน่นของอากาศลดลง และด้วยเหตุนี้จึงลดแรงต้านอากาศลง

การตกของฝนสามารถทำให้เกิดการหมุนตัวและการเบี่ยงเบนอย่างมีนัยสำคัญเมื่อกระสุนปืนชนกับหยาดฝน ยิ่งการชนกันโดยบังเอิญดังกล่าวเกิดขึ้นไกลออกไปเท่าใด การเบี่ยงเบนบนเป้าหมายก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น น้ำหนักของหยาดฝนและกระสุนปืนยังมีอิทธิพลต่อปริมาณการหมุนตัวที่เกิดขึ้นระหว่างการชนดังกล่าวด้วยหยาดฝน ขนาดใหญ่ และหนักกับกระสุนปืนที่เบาจะทำให้เกิดการหมุนตัวสูงสุด กระสุนปืนที่หนักกว่าที่ชนกับหยาดฝนที่มีน้ำหนักเท่ากันจะประสบกับการหมุนตัวน้อยกว่าอย่างมีนัยสำคัญ^{[ 51 ]}

การเบี่ยงเบนเนื่องจากแรงไจโรสโคปเป็นปฏิสัมพันธ์ระหว่างมวลและหลักอากาศพลศาสตร์ของกระสุนกับบรรยากาศที่มันกำลังบินอยู่ แม้ในอากาศที่สงบนิ่งอย่างสมบูรณ์โดยไม่มีการเคลื่อนที่ของอากาศด้านข้างเลย กระสุนที่ทรงตัวด้วยการหมุนก็จะยังคงมีการเคลื่อนที่ด้านข้างที่เกิดจากปรากฏการณ์ไจโรสโคปที่เรียกว่า "การเบี่ยงเบนสมดุล" (yaw of repose) สำหรับทิศทางการหมุนตามเข็มนาฬิกา การเคลื่อนที่นี้จะไปทางขวาเสมอ สำหรับทิศทางการหมุนทวนเข็มนาฬิกา การเคลื่อนที่นี้จะไปทางซ้ายเสมอ นี่เป็นเพราะแกนตามยาวของกระสุน (แกนการหมุน) และทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล (CG) เบี่ยงเบนไปเล็กน้อย ซึ่งเรียกว่าการเบี่ยงเบน สมดุล หรือการเบี่ยงเบนสมดุล ขนาดของมุมการเบี่ยงเบนสมดุลโดยทั่วไปจะน้อยกว่า 0.5 องศา^{[ 52 ]}เนื่องจากวัตถุที่หมุนจะตอบสนองด้วยเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุม 90 องศาจากเวกเตอร์แรงบิดที่ใช้ แกนสมมาตรของกระสุนจึงเคลื่อนที่ด้วยส่วนประกอบในระนาบแนวตั้งและส่วนประกอบในระนาบแนวนอน สำหรับกระสุนที่หมุนขวา (ตามเข็มนาฬิกา) แกนสมมาตรของกระสุนจะเบี่ยงเบนไปทางขวาและขึ้นเล็กน้อยเมื่อเทียบกับทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว ขณะที่กระสุนเคลื่อนที่ไปตามส่วนโค้งขีปนาวิถี ผลจากการเอียงเล็กน้อยนี้ ทำให้เกิดกระแสลมอย่างต่อเนื่อง ซึ่งมีแนวโน้มที่จะเบี่ยงเบนกระสุนไปทางขวา ดังนั้นการเกิดการเอียงของจุดพักจึงเป็นสาเหตุที่ทำให้กระสุนลอยไปทางขวา (สำหรับการหมุนขวา) หรือไปทางซ้าย (สำหรับการหมุนซ้าย) ซึ่งหมายความว่ากระสุนกำลัง "ลื่นไถล" ไปด้านข้างในทุกช่วงเวลา และจึงประสบกับส่วนประกอบด้านข้าง^{[ 53 ] [ 54 ]}

ตัวแปรต่อไปนี้มีผลต่อขนาดของการเบี่ยงเบนของไจโรสโคป:

• ความยาวของกระสุน: กระสุนที่มีความยาวมากกว่าจะเกิดการเบี่ยงเบนจากแรงหมุนรอบแกน (gyroscopic drift) มากกว่า เนื่องจากจะสร้าง "แรงยก" ด้านข้างมากกว่าสำหรับมุมการหันเห (yaw angle) ที่กำหนด
• อัตราการหมุน: อัตราการหมุนที่เร็วขึ้นจะทำให้เกิดการเบี่ยงเบนจากแรงไจโรสโคปมากขึ้น เนื่องจากส่วนหัวจะชี้ไปด้านข้างมากขึ้น
• ระยะทาง เวลาในการบิน และความสูงของวิถีโคจร: การเบี่ยงเบนของไจโรสโคปจะเพิ่มขึ้นตามตัวแปรเหล่านี้ทั้งหมด
• ความหนาแน่นของชั้นบรรยากาศ: อากาศที่หนาแน่นขึ้นจะทำให้การเคลื่อนตัวตามแรงไจโรสโคปเพิ่มขึ้น

ผลการวัดด้วยเรดาร์ดอปเปลอร์เกี่ยวกับการเบี่ยงเบนแบบไจโรสโคปของกระสุนปืนทางทหารของสหรัฐฯ และกระสุนปืนที่มีแรงต้านต่ำมาก อื่นๆ ที่ระยะ 1,000 หลา (914.4 เมตร) มีลักษณะดังนี้:

ตารางแสดงให้เห็นว่าการเบี่ยงเบนเนื่องจากแรงไจโรสโคปนั้นไม่สามารถคาดการณ์ได้จากน้ำหนักและเส้นผ่านศูนย์กลางเพียงอย่างเดียว ในการคาดการณ์การเบี่ยงเบนเนื่องจากแรงไจโรสโคปอย่างแม่นยำ จำเป็นต้องพิจารณารายละเอียดต่างๆ ทั้งด้านขีปวิทยาภายนอกและภายใน ปัจจัยต่างๆ เช่น อัตราการหมุนของลำกล้อง ความเร็วของกระสุนขณะออกจากปากลำกล้อง การสั่นสะเทือนของลำกล้อง และสภาพบรรยากาศ ล้วนมีส่วนทำให้วิถีของกระสุนเปลี่ยนแปลงไป

กระสุนที่หมุนเพื่อรักษาเสถียรภาพจะได้รับผลกระทบจากปรากฏการณ์แม็กนัสซึ่งการหมุนของกระสุนจะสร้างแรงกระทำขึ้นหรือลง ตั้งฉากกับเวกเตอร์ด้านข้างของลม ในกรณีง่ายๆ ของลมแนวนอนและทิศทางการหมุนแบบทวนเข็มนาฬิกา ความแตกต่างของความดันที่เกิดจากปรากฏการณ์แม็กนัสรอบๆ กระสุนจะทำให้เกิดแรงลง (ลมจากทางขวา) หรือแรงขึ้น (ลมจากทางซ้าย) เมื่อมองจากจุดที่ยิง กระทำต่อกระสุน ส่งผลต่อจุดที่กระสุนตกกระทบ^{[ 55 ]}ค่าการเบี่ยงเบนในแนวดิ่งมักจะน้อยเมื่อเทียบกับส่วนประกอบการเบี่ยงเบนที่เกิดจากลมในแนวนอน แต่ถึงกระนั้นก็อาจมีนัยสำคัญในลมที่เกิน 4 ม./วินาที (14.4 กม./ชม. หรือ 9 ไมล์/ชม.)

ผลของแม็กนัสมีบทบาทสำคัญในการรักษาเสถียรภาพของกระสุน เนื่องจากแรงแม็กนัสไม่ได้กระทำต่อจุดศูนย์ถ่วงของกระสุน แต่กระทำต่อจุดศูนย์ความดันที่ส่งผลต่อการหมุนของกระสุน ผลของแม็กนัสจะทำหน้าที่เป็น แรงที่ทำให้กระสุน เสียเสถียรภาพ หาก จุดศูนย์ความดันอยู่ด้านหน้าจุดศูนย์ถ่วง ในทางกลับกันจะทำหน้าที่เป็น แรงที่ทำให้กระสุน มีเสถียรภาพหากจุดศูนย์ความดันอยู่ด้านหลังจุดศูนย์ถ่วง ตำแหน่งของจุดศูนย์ความดันขึ้นอยู่กับโครงสร้างของสนามการไหล กล่าวอีกนัยหนึ่งคือขึ้นอยู่กับว่ากระสุนอยู่ในสภาวะการบินเหนือเสียง ทรานโซนิก หรือต่ำกว่าเสียง ความหมายในทางปฏิบัติขึ้นอยู่กับรูปร่างและคุณลักษณะอื่นๆ ของกระสุน ไม่ว่าในกรณีใด แรงแม็กนัสจะส่งผลต่อเสถียรภาพอย่างมากเพราะมันพยายาม "บิด" กระสุนไปตามเส้นทางการบิน^{[ 56 ] [ 57 ]}

ในทางตรงกันข้ามกระสุนที่มีแรงต้านอากาศต่ำมากกลับมีแนวโน้มที่จะแสดงข้อผิดพลาดในการลดเสถียรภาพตามทฤษฎีแม็กนัสมากขึ้น เนื่องจากมีพื้นที่ผิวสัมผัสกับอากาศที่พุ่งเข้ามามากกว่า ทำให้ประสิทธิภาพทางอากาศพลศาสตร์ลดลง ผลกระทบเล็กน้อยนี้เป็นหนึ่งในเหตุผลที่ทำให้ค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านอากาศ (Cd) หรือค่าสัมประสิทธิ์การต้านทานอากาศ (BC) ที่คำนวณจากรูปร่างและความหนาแน่นของหน้าตัดนั้น_มีประโยชน์จำกัด

สาเหตุเล็กน้อยอีกประการหนึ่งของการเบี่ยงเบน ซึ่งขึ้นอยู่กับว่าส่วนหัวของกระสุนอยู่เหนือวิถีการเคลื่อนที่หรือไม่ คือปรากฏการณ์ปัวซง (Poisson Effect) หากเกิดขึ้นจริง ปรากฏการณ์นี้จะส่งผลในทิศทางเดียวกับการเบี่ยงเบนเนื่องจากแรงไจโรสโคป และมีความสำคัญน้อยกว่าปรากฏการณ์แม็กนัส (Magnus Effect) สมมติฐานคือ ส่วนหัวที่เอียงขึ้นของกระสุนจะทำให้เกิดชั้นอากาศขึ้นใต้กระสุน และยังสมมติว่ามีแรงเสียดทานเพิ่มขึ้นระหว่างชั้นอากาศนี้กับกระสุน ทำให้กระสุนหมุนและมีแนวโน้มที่จะกลิ้งออกจากชั้นอากาศและเคลื่อนที่ไปด้านข้าง

คำอธิบายง่ายๆ นี้ค่อนข้างเป็นที่นิยม อย่างไรก็ตาม ไม่มีหลักฐานใดแสดงให้เห็นว่าความดันที่เพิ่มขึ้นหมายถึงแรงเสียดทานที่เพิ่มขึ้น และหากไม่เป็นเช่นนั้น ก็จะไม่มีผลกระทบใดๆ เกิดขึ้น แม้ว่าจะมีอยู่จริง ผลกระทบนั้นก็ต้องน้อยมากเมื่อเทียบกับการเคลื่อนตัวแบบไจโรสโคปและโคริโอลิส

ทั้งปรากฏการณ์ปัวซงและปรากฏการณ์แม็กนัสจะเปลี่ยนทิศทางการเบี่ยงเบนหากส่วนหัวของเครื่องบินต่ำกว่าวิถีโคจร เมื่อส่วนหัวเอียงไปด้านใดด้านหนึ่ง เช่น ในภาวะสมดุลการหมุนรอบแกนแนวดิ่ง ปรากฏการณ์เหล่านี้จะทำให้ระยะการเบี่ยงเบนเปลี่ยนแปลงไปเล็กน้อย

ปรากฏการณ์โคริโอลิสทำให้เกิดการเบี่ยงเบนโคริโอลิสในทิศทางตั้งฉากกับแกนโลก สำหรับสถานที่ส่วนใหญ่บนโลกและทิศทางการยิง การเบี่ยงเบนนี้ประกอบด้วยส่วนประกอบในแนวนอนและแนวตั้ง การเบี่ยงเบนจะอยู่ทางด้านขวาของวิถีกระสุนในซีกโลกเหนือ ไปทางซ้ายในซีกโลกใต้ ขึ้นด้านบนสำหรับการยิงไปทางทิศตะวันออก และลงด้านล่างสำหรับการยิงไปทางทิศตะวันตก การเบี่ยงเบนโคริโอลิสในแนวตั้งนี้เรียกอีกอย่างว่าปรากฏการณ์เออทเวิส (Eötvös effect ) การเบี่ยงเบนโคริโอลิสไม่ใช่ผลทางอากาศพลศาสตร์ แต่เป็นผลมาจากการหมุนของโลก

ผลกระทบของโคริโอลิสมีขนาดเล็ก สำหรับอาวุธขนาดเล็กผลกระทบของโคริโอลิสโดยทั่วไปไม่มีนัยสำคัญ (สำหรับปืนไรเฟิลกำลังสูง อาจมีค่าประมาณ 10 เซนติเมตร (3.9 นิ้ว) ที่ระยะ 1,000 เมตร (1,094 หลา)) แต่สำหรับกระสุนปืนที่มีระยะเวลาบินนาน เช่น กระสุนปืนไรเฟิลระยะไกลมากปืน ใหญ่ และจรวดเช่นขีปนาวุธข้ามทวีป ผลกระทบของโคริโอลิสเป็นปัจจัยสำคัญในการคำนวณวิถีกระสุน ขนาดของการเบี่ยงเบนขึ้นอยู่กับตำแหน่งการยิงและเป้าหมายมุมอะซิมุธของการยิง ความเร็วของกระสุน และระยะเวลาบิน

เมื่อพิจารณาจากกรอบอ้างอิงที่ไม่หมุน (กล่าวคือ ไม่หมุนไปพร้อมกับโลก) และไม่คำนึงถึงแรงโน้มถ่วงและแรงต้านอากาศ กระสุนจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง เมื่อพิจารณาจากกรอบอ้างอิงที่คงที่เมื่อเทียบกับโลก วิถีตรงนั้นจะดูเหมือนโค้งไปด้านข้าง ทิศทางของความโค้งในแนวนอนนี้จะไปทางขวาในซีกโลกเหนือและไปทางซ้ายในซีกโลกใต้ และไม่ขึ้นอยู่กับมุมอะซิมุธของการยิง ความโค้งในแนวนอนจะมีค่ามากที่สุดที่ขั้วโลกและลดลงเหลือศูนย์ที่เส้นศูนย์สูตร^{[ 58 ]}

ปรากฏการณ์Eötvösเปลี่ยนแปลงการรับรู้แรงดึงดูดของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่โดยอาศัยความสัมพันธ์ระหว่างทิศทางและความเร็วของการเคลื่อนที่และทิศทางการหมุนของโลก^{[ 59 ] [ 60 ]}

ปรากฏการณ์เออทเวิส (Eötvös effect) จะมีค่ามากที่สุดที่เส้นศูนย์สูตรและลดลงจนเป็นศูนย์ที่ขั้วโลก ปรากฏการณ์นี้ทำให้วัตถุที่เคลื่อนที่ไปทางทิศตะวันออกเบี่ยงเบนขึ้นด้านบน และวัตถุที่เคลื่อนที่ไปทางทิศตะวันตกเบี่ยงเบนลงด้านล่าง ผลกระทบจะน้อยลงสำหรับวิถีโคจรในทิศทางอื่น และเป็นศูนย์สำหรับวิถีโคจรที่มุ่งตรงไปยังทิศเหนือหรือทิศใต้ ในกรณีที่มีการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมอย่างมาก เช่น การปล่อยยานอวกาศขึ้นสู่วงโคจรของโลก ผลกระทบนี้จะมีความสำคัญอย่างมาก มันมีส่วนช่วยให้เส้นทางสู่วงโคจรที่เร็วที่สุดและประหยัดเชื้อเพลิงที่สุด นั่นคือ การปล่อยจากเส้นศูนย์สูตรที่โค้งไปทางทิศตะวันออกโดยตรง

แม้ว่าปัจจัยเหล่านี้จะไม่ใช่แรงที่กระทำต่อวิถีการเคลื่อนที่ของกระสุน แต่ก็มีปัจจัยบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับอุปกรณ์ซึ่งส่งผลต่อวิถีการเคลื่อนที่ เนื่องจากปัจจัยเหล่านี้อาจทำให้เกิดพฤติกรรมการบินของกระสุนที่ผิดปกติซึ่งไม่สามารถอธิบายได้ จึงจำเป็นต้องกล่าวถึงโดยสังเขป

การกระดอนด้านข้างเกิดจากการเคลื่อนที่ด้านข้างและการหมุนเล็กน้อยของลำกล้องปืนในขณะที่ยิง มีผลทำให้ทิศทางคลาดเคลื่อนเล็กน้อย แต่โดยทั่วไปจะละเลยผลกระทบนี้ เนื่องจากมีขนาดเล็กและแตกต่างกันไปในแต่ละรอบการยิง

การเบี่ยงเบนด้านข้างเกิดจากความไม่สมดุลของมวลในกระสุนปืนที่ใช้การหมุนเพื่อรักษาเสถียรภาพ หรือความไม่สมดุลของความดันในช่วงระยะเปลี่ยนผ่านของการบินเมื่อกระสุนออกจากลำกล้องปืนโดยเบี่ยงเบนจากแกน ทำให้เกิดความไม่สมดุลทางสถิต หากเกิดขึ้นจะทำให้เกิดการกระจายตัว ผลกระทบนั้นคาดเดาได้ยาก เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วจะมีขนาดเล็กและแตกต่างกันไปในแต่ละกระสุน แต่ละนัด และ/หรือแต่ละลำกล้องปืน

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างตารางวิถีกระสุนสำหรับกระสุนปืน Speer ขนาด .30 คาลิเบอร์ น้ำหนัก 169 เกรน (11 กรัม) ปลายแหลมแบบ Boat Tail สำหรับการแข่งขัน โดยมีค่า BC เท่ากับ 0.480 โดยสมมติว่าใช้ศูนย์เล็งที่อยู่สูงกว่าแนวลำกล้อง 1.5 นิ้ว (38 มม.) และปรับศูนย์เล็งเพื่อให้จุดเล็งและจุดกระทบตรงกันที่ระยะ 200 หลา (183 ม.) และ 300 หลา (274 ม.) ตามลำดับ

ตารางนี้แสดงให้เห็นว่า แม้จะใช้กระสุนที่มีรูปทรงตามหลักอากาศพลศาสตร์ค่อนข้างดีและยิงด้วยความเร็วสูง "การตกของกระสุน" หรือการเปลี่ยนแปลงจุดตกกระทบก็ยังมีความสำคัญ การเปลี่ยนแปลงจุดตกกระทบนี้มีผลกระทบสำคัญสองประการ ประการแรก การประมาณระยะห่างไปยังเป้าหมายมีความสำคัญอย่างยิ่งในระยะไกล เนื่องจากความแตกต่างของจุดตกกระทบระหว่าง 400 และ 500 หลา (460 เมตร) คือ 25-32 นิ้ว (ขึ้นอยู่กับศูนย์เล็ง) กล่าวคือ หากผู้ยิงประมาณว่าเป้าหมายอยู่ห่างออกไป 400 หลา ในขณะที่ความเป็นจริงอยู่ห่างออกไป 500 หลา กระสุนจะตกกระทบต่ำกว่าจุดที่เล็งไว้ ​​25-32 นิ้ว (635-813 มิลลิเมตร) ซึ่งอาจทำให้พลาดเป้าหมายไปเลยก็ได้ ประการที่สอง ควรตั้งศูนย์ปืนให้เหมาะสมกับระยะยิงเป้าหมายโดยทั่วไป เพราะผู้ยิงอาจต้องเล็งสูงกว่าเป้าหมายมากเพื่อชดเชยการตกของกระสุน ทำให้มองไม่เห็นเป้าหมายเลย (เช่น อยู่นอกขอบเขตการมองเห็นของกล้องเล็ง) ในตัวอย่างปืนที่ตั้งศูนย์ไว้ที่ 200 หลา (180 เมตร) ผู้ยิงจะต้องเล็งสูงกว่าจุดตกของกระสุน 49 นิ้ว หรือมากกว่า 4 ฟุต (1.2 เมตร) สำหรับเป้าหมายที่ระยะ 500 หลา

• วิถีกระสุนภายใน - พฤติกรรมของกระสุนและดินปืนก่อนออกจากลำกล้องปืน
• วิถีกระสุนช่วงเปลี่ยนผ่าน - พฤติกรรมของกระสุนตั้งแต่เวลาที่ออกจากปากลำกล้องจนกระทั่งความดันด้านหลังกระสุนเท่ากัน
• วิถีกระสุนเมื่อกระทบเป้าหมาย - พฤติกรรมของกระสุนเมื่อกระทบเป้าหมาย
• วิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุ - สูตรทางคณิตศาสตร์พื้นฐานทางด้านขีปนาวิถีภายนอก
• กฎของพลปืน - ขั้นตอนหรือ "กฎ" สำหรับพลปืนในการเล็งเป้าหมายในระยะไกล ไม่ว่าจะเป็นทางขึ้นเนินหรือทางลงเนิน
• แฟรงคลิน แวร์ แมนน์ - การศึกษาทางวิทยาศาสตร์เบื้องต้นเกี่ยวกับวิถีกระสุนภายนอก
• ตารางแสดงขนาดกระสุนปืนพกและปืนไรเฟิล
• การปรับตั้งศูนย์เล็ง - การปรับเทียบศูนย์เล็งของอาวุธระยะไกลเพื่อให้จุดเล็งตัดกับวิถีกระสุนที่ระยะที่กำหนด ทำให้ผู้ใช้สามารถยิงเป้าหมายที่เล็งไว้ได้อย่างสม่ำเสมอ

วิถีกระสุนภายนอกทั่วไป

• Tan, A.; Frick, CH & Castillo, O. (1987). "วิถีการเคลื่อนที่ของลูกลอย: แนวทางเก่าที่นำมาพิจารณาใหม่". American Journal of Physics . 55 (1): 37. Bibcode : 1987AmJPh..55...37T . doi : 10.1119/1.14968 .(การคำนวณอย่างง่ายของการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ถูกแรงต้านอากาศแปรผันตรงกับกำลังสองของความเร็ว)
• "ช็อตบาสเก็ตบอลที่สมบูรณ์แบบ" (PDF) (PDF) . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อวันที่ 5 มีนาคม 2549 . เรียกดูเมื่อวันที่ 26 กันยายน 2548 .- วิถีกระสุนในกีฬาบาสเกตบอล

วิถีกระสุนภายนอกของอาวุธปืนขนาดเล็ก

• ซอฟต์แวร์สำหรับคำนวณวิถีกระสุน
• กระสุนบินได้อย่างไร? โดย Ruprecht Nennstiel, วีสบาเดิน, เยอรมนี
• บทความจาก Exterior Ballistics.com ที่เก็บถาวรไว้เมื่อวันที่ 6 มีนาคม 2013 ในWayback Machine
• หลักสูตรระยะสั้นเกี่ยวกับวิถีกระสุนภายนอก
• บทความเกี่ยวกับการยิงปืนระยะไกล โดย ไบรอัน ลิตซ์
• การวิเคราะห์เขตการใช้กำลังอาวุธ (WEZ) เชิงความน่าจะเป็น ภาพรวมเชิงแนวคิด โดย ไบรอัน ลิตซ์เก็บถาวรเมื่อ 23 กันยายน 2015 ที่Wayback Machine
• Weite Schüsse - ตอนที่ 4 คำอธิบายพื้นฐานของแบบจำลอง Pejsa โดย Lutz Möller (ภาษาเยอรมัน)
• โปรแกรมคำนวณวิถีกระสุนของ Patagonia Ballistics
• JBM Small Arms Ballistics พร้อมเครื่องคำนวณวิถีกระสุนออนไลน์
• เครื่องคำนวณวิถีกระสุนออนไลน์ Bison Ballistics Point Mass ถูกเก็บถาวรไว้เมื่อวันที่ 15 พฤษภาคม 2011 ที่Wayback Machine
• การทดลองอุโมงค์ลมเสมือนจริงเพื่อศึกษาลักษณะทางอากาศพลศาสตร์ของกระสุนปืนขนาดเล็ก - พอล ไวน์นาคท์ ห้องปฏิบัติการวิจัยกองทัพบกสหรัฐฯ ณ สนามทดสอบอาเบอร์ดีน รัฐแมริแลนด์

วิถีกระสุนภายนอกของปืนใหญ่

• ระบบควบคุมการยิงปืนใหญ่ของอังกฤษ - ขีปวิทยาและข้อมูล
• ปืนใหญ่สนาม เล่ม 6 วิถีกระสุนและกระสุนปืน
• การจัดทำตารางการยิงสำหรับปืนใหญ่ รายงาน BRL หมายเลข 1371 โดย Elizabeth R. Dickinson กองบัญชาการจัดหาวัสดุของกองทัพบกสหรัฐฯ ห้องปฏิบัติการวิจัยขีปนาวิถี พฤศจิกายน 1967
• ชุดตารางวิถีกระสุนรุ่นใหม่ที่ใช้ NABK (NATO Armament Ballistic Kernel) การประชุมวิชาการนานาชาติว่าด้วยวิถีกระสุน ครั้งที่ 23 เมืองตาร์ราโกนา ประเทศสเปน 16-20 เมษายน 2550
• โปรแกรมคำนวณวิถีการเคลื่อนที่ในภาษา C++ ที่สามารถคำนวณฟังก์ชันแรงต้านจากตารางการยิงได้

• Ballistic_XLR (สเปรดชีต MS Excel) - การปรับปรุงและแก้ไขครั้งสำคัญของสเปรดชีต Pejsa (ด้านล่าง)
• GNU Exterior Ballistics Computer (GEBC) - โปรแกรมคำนวณวิถีกระสุนแบบ 3DOF โอเพนซอร์ส สำหรับ Windows, Linux และ Mac - รองรับโมเดลแรงต้านอากาศ G1, G2, G5, G6, G7 และ G8 สร้างและดูแลโดย Derek Yates
• ส่วนการคำนวณวิถีกระสุนของ 6mmbr.comมีลิงก์ไปยัง/เป็นแหล่งรวบรวมโปรแกรมคำนวณวิถีกระสุนภายนอกแบบฟรีแวร์ 4 โปรแกรม
• PointBlank Ballistics (ไฟล์ zip) - โมเดลจำลองแรงต้านอากาศ Siacci/Mayevski G1
• โปรแกรมคำนวณวิถีกระสุน Remington Shoot!สำหรับกระสุนปืนจากโรงงาน Remington (อ้างอิงจากซอฟต์แวร์ Shoot! ของ Pinsoft ) - แบบจำลองแรงต้านอากาศ Siacci/Mayevski G1
• เครื่องคำนวณวิถีกระสุนปืนขนาดเล็กของ JBMเครื่องคำนวณวิถีกระสุนออนไลน์ - รองรับ G1, G2, G5, G6, G7 (สำหรับกระสุนบางชนิด ค่าสัมประสิทธิ์วิถีกระสุน G7 ที่วัดได้จากการทดลอง), G8, GI, GL และสำหรับกระสุนบางชนิด แบบจำลองแรงต้านที่ได้จากการทดสอบเรดาร์ดอปเปลอร์ (C _d ) ^{[ 1 ]}
• ข้อมูลวิถีกระสุนของเปจซา (ไฟล์สเปรดชีต MS Excel) - แบบจำลองเปจซา
• โปรแกรม Sharpshooter Friend (สำหรับ Palm PDA) - รุ่น Pejsa
• Quick Target Unlimited, Lapua Edition - ซอฟต์แวร์คำนวณวิถีกระสุน QuickTARGET Unlimitedเวอร์ชันหนึ่ง(ต้องลงทะเบียนฟรีเพื่อดาวน์โหลด) - รองรับแบบจำลองแรงต้าน (Cd) ที่ได้จากการทดสอบเรดาร์ดอปเปลอร์สำหรับกระสุน G1, G2, G5, G6, G7, G8, GL, GS Spherical 9/16"SAAMI, GS Spherical Don Miller, RA4, Soviet 1943, British 1909 Hatches Notebook และสำหรับกระสุน Lapua บางรุ่น
• ซอฟต์แวร์คำนวณวิถีกระสุนLapua Ballistics Exterior สำหรับโทรศัพท์มือถือระบบ Java หรือ Android สร้างขึ้นจากแบบจำลองแรงต้านอากาศ (Cd) ที่ได้จากการทดสอบด้วยเรดาร์ดอปเปลอร์ สำหรับกระสุนและปลอกกระสุนของ Lapua
• แอป Lapua Ballisticsรุ่น 6 DoF จำกัดเฉพาะกระสุน Lapua สำหรับ Android และ iOS
• BfX - Ballistics for Excelชุดฟังก์ชันเสริมสำหรับ MS Excel - รองรับโมเดลแรงต้านอากาศ G1, G2, G5, G6, G7 G8 และ RA4 และ Pejsa รวมถึงโมเดลสำหรับกระสุนปืนลม สามารถรองรับโมเดลที่ผู้ใช้จัดหามาได้ เช่น โมเดลที่ได้จากการทดสอบเรดาร์ดอปเปลอร์ของกระสุน Lapua (Cd)
• BallisticSimulator "โปรแกรมจำลองวิถีกระสุน" ฟรีสำหรับ Windows
• 5H0Tโปรแกรมคำนวณวิถีกระสุนออนไลน์ฟรี ใช้งานได้บนเว็บ พร้อมความสามารถในการส่งออกข้อมูลและสร้างแผนภูมิ
• SAKO Ballistics ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 15 มีนาคม 2016 ในWayback Machineเครื่องคำนวณวิถีกระสุนออนไลน์ฟรีจาก SAKO เครื่องคำนวณนี้ยังมีให้ใช้งานในรูปแบบแอปพลิเคชันบน Android (อาจมีบน ​​iOS ด้วย แต่ไม่แน่ใจ) ในชื่อ "SAKO Ballistics"
• py-ballisticcalcไลบรารี Python ที่ได้รับอนุญาตภายใต้ LGPL สำหรับการคำนวณวิถีกระสุนของจุดมวล