ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์แคลคูลัสของฟังก์ชันหรือแคลคูลัสของกู๊ดวิลลีคือเทคนิคสำหรับการศึกษาฟังก์ชันโดยการประมาณค่าฟังก์ชันเหล่านั้นด้วยลำดับของฟังก์ชันที่เรียบง่ายกว่า ซึ่งเป็นการขยายแนวคิดของการสร้างชีฟของพรีชีฟลำดับของการประมาณค่านี้มีความคล้ายคลึงกันในเชิงรูปแบบกับอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันเรียบดังนั้นจึงใช้คำว่า " แคลคูลัสของฟังก์ชัน"

วัตถุสำคัญหลายอย่างในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตสามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชัน ซึ่งยากต่อการวิเคราะห์โดยตรง ดังนั้นแนวคิดคือการแทนที่ด้วยฟังก์ชันที่ง่ายกว่าซึ่งเป็นการประมาณที่ดีพอสำหรับวัตถุประสงค์บางอย่าง แคลคูลัสของฟังก์ชันได้รับการพัฒนาโดยThomas Goodwillieในชุดบทความสามฉบับในช่วงทศวรรษ 1990 และ 2000 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}และได้รับการขยายและนำไปประยุกต์ใช้ในหลายสาขาตั้งแต่นั้นมา

ตัวอย่างที่สร้างแรงบันดาลใจ ซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่งในโทโพโลยีเชิงเรขาคณิตคือ ฟังก์ชันของการฝังตัว ของ แมนิโฟลด์Mหนึ่งลงในแมนิโฟลด์N อีกแมนิโฟลด์หนึ่ง ซึ่งอนุพันธ์อันดับแรกในแง่ของแคลคูลัสของฟังก์ชัน คือ ฟังก์ชันของการฝังตัวเนื่องจากทุกการฝังตัวเป็นการฝังตัว จึงได้การรวมของฟังก์ชัน${\displaystyle \mathrm {Emb} (M,N)\to \mathrm {Imm} (M,N)}$– ในกรณีนี้ แผนที่จากฟังก์ชันไปยังค่าประมาณเรียกว่าการรวม แต่โดยทั่วไปแล้วมันก็คือแผนที่ธรรมดา

ดังที่ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็น การประมาณเชิงเส้นของฟังก์ชัน (บนปริภูมิเชิงทอพอโลยี) คือการทำให้เป็นชีฟโดยคิดว่าฟังก์ชันนั้นเป็นพรีชีฟบนปริภูมิ (ในเชิงรูปธรรม คือฟังก์ชันบนหมวดหมู่ของเซตย่อยเปิดของปริภูมิ) และชีฟก็คือฟังก์ชันเชิงเส้น

ตัวอย่างนี้ได้รับการศึกษาโดย Goodwillie และMichael Weiss ^{[ 4 ] [ 5 ]}

นี่คือตัวอย่างเปรียบเทียบ: ด้วยวิธีการอนุกรมเทย์เลอร์จากแคลคูลัส คุณสามารถประมาณรูปร่างของฟังก์ชันเรียบfรอบจุดxได้โดยใช้ลำดับของฟังก์ชันพหุนามที่มีความแม่นยำเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ในทำนองเดียวกัน ด้วยวิธีการแคลคูลัสของฟังก์ชัน คุณสามารถประมาณพฤติกรรมของฟังก์ชันF ชนิดหนึ่ง ที่วัตถุXได้โดยใช้ลำดับของฟังก์ชัน พหุนามที่มีความแม่นยำเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ

กล่าวโดยเฉพาะเจาะจง ให้Mเป็นแมนิโฟลด์เรียบและให้O(M)เป็นหมวดหมู่ของปริภูมิย่อยเปิดของMกล่าวคือ หมวดหมู่ที่วัตถุคือปริภูมิย่อยเปิดของMและมอร์ฟิซึมคือแผนที่การรวมให้Fเป็น ฟังก์ชัน ผกผันจากหมวดหมู่O(M)ไปยังหมวดหมู่Topของปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีมอร์ฟิซึมต่อเนื่อง ฟังก์ชันประเภทนี้เรียกว่าพรีชีฟค่าTopบนMเป็นฟังก์ชันประเภทที่คุณสามารถประมาณได้โดยใช้วิธีแคลคูลัสของฟังก์ชัน: สำหรับเซตเปิดX∈O(M) เฉพาะ คุณอาจต้องการทราบว่า F(X) เป็น ปริภูมิเชิงทอพอโลยีประเภทใดเพื่อที่คุณจะได้ศึกษาทอพอโลยีของการประมาณค่าที่แม่นยำขึ้นเรื่อยๆF (X), F (X), F (X)และอื่นๆ

ในวิธีการคำนวณฟังก์ชัน ลำดับของการประมาณค่าประกอบด้วยฟังก์ชัน (1)${\displaystyle T_{0}F,T_{1}F,T_{2}F}$และอื่นๆ รวมถึง (2) การเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติ${\displaystyle \eta _{k}\colon F\to T_{k}F}$สำหรับจำนวนเต็มk แต่ละตัว การแปลงธรรมชาติเหล่านี้จะต้องเข้ากันได้ ซึ่งหมายความว่าการประกอบกันนั้น${\displaystyle F\to T_{k+1}F\to T_{k}F}$เท่ากับแผนที่${\displaystyle F\to T_{k}F,}$และด้วยเหตุนี้จึงก่อตัวเป็นหอคอย

${\displaystyle F\to \cdots \to T_{k+1}F\to T_{k}F\to \cdots \to T_{1}F\to T_{0}F,}$

และอาจมองได้ว่าเป็น "การประมาณค่าต่อเนื่อง" เช่นเดียวกับในอนุกรมเทย์เลอร์ที่เราสามารถตัดพจน์ลำดับสูงกว่าทิ้งไปได้เรื่อยๆ

ฟังก์ชันประมาณค่าจะต้องเป็น " k - excisive " – ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าฟังก์ชันพหุนามโดยเปรียบเทียบกับพหุนามเทย์เลอร์ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่ทำให้ง่ายขึ้น และโดยคร่าวๆ หมายความว่าพหุนามเหล่านี้ถูกกำหนดโดยพฤติกรรมรอบๆ จุด kจุดในแต่ละครั้ง หรือกล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้นคือเป็นชีฟบนปริภูมิการกำหนดค่าของ จุด kจุดในปริภูมิที่กำหนด ความแตกต่างระหว่าง พหุนามลำดับที่ kและ${\displaystyle (k-1)}$st functors คือ "ฟังก์ชันเอกพันธุ์ดีกรีk " (โดยเปรียบเทียบกับพหุนามเอกพันธุ์ ) ซึ่งสามารถจำแนกประเภทได้

สำหรับฟังก์ชัน${\displaystyle T_{k}F}$เพื่อให้ได้ค่าประมาณของฟังก์ชันดั้งเดิมFแผนที่การประมาณที่ได้จึงเป็นค่าประมาณของฟังก์ชัน${\displaystyle F\to T_{k}F}$ฟังก์ชัน F ต้องเป็นฟังก์ชันเชื่อมต่อnสำหรับจำนวนn บางจำนวน ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันประมาณค่าจะประมาณค่าฟังก์ชันดั้งเดิม "ในมิติไม่เกินn " ซึ่งอาจไม่เกิดขึ้นก็ได้ นอกจากนี้ หากต้องการสร้างฟังก์ชันดั้งเดิมขึ้นใหม่ ค่าประมาณที่ได้ต้องเป็นฟังก์ชัน เชื่อมต่อ nสำหรับnที่เพิ่มขึ้นเป็นอนันต์ จากนั้นจึงเรียกFว่าฟังก์ชันวิเคราะห์และกล่าวว่า "หอคอยเทย์เลอร์ลู่เข้าสู่ฟังก์ชัน" โดยเปรียบเทียบกับอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์

แคลคูลัสของฟังก์ชันเตอร์มีสามสาขา โดยพัฒนาตามลำดับดังนี้:

• แคลคูลัสของแมนิโฟลด์ เช่น การฝังตัว (embeddings)
• แคลคูลัสโฮโมโทปี และ
• แคลคูลัสเชิงตั้งฉาก

แคลคูลัสโฮโมโทปีมีการประยุกต์ใช้ที่กว้างขวางกว่าสาขาอื่นๆ มาก

แนวคิดของชีฟและชีฟฟิฟิเคชันของพรีชีฟมีมาตั้งแต่ทฤษฎีหมวดหมู่ยุค แรก และสามารถมองได้ว่าเป็นรูปแบบเชิงเส้นของแคลคูลัสของฟังก์ชันเตอร์ รูปแบบกำลังสองสามารถมองเห็นได้ในงานของAndré Haefligerเกี่ยวกับลิงก์ของทรงกลมในปี 1965 ซึ่งเขากำหนด "ช่วงเมตาเสถียร" ซึ่งปัญหาจะง่ายขึ้น^{[ 6 ]}สิ่งนี้ถูกระบุว่าเป็นค่าประมาณกำลังสองของฟังก์ชันเตอร์การฝังตัวใน Goodwillie และ Weiss

• โทมัส กู๊ดวิลลีเก็บถาวรเมื่อ 2009-11-28 ที่Wayback Machine
• จอห์น ไคลน์
• ไมเคิล เอส. ไวส์