ทฤษฎีบทคาเมรอน-มาร์ติน

ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทคาเมรอน-มาร์ตินหรือสูตรคาเมรอน-มาร์ติน (ตั้งชื่อตามโรเบิร์ต ฮอร์ตัน คาเมรอนและดับเบิลยูที มาร์ติน ) เป็นทฤษฎีบทในทฤษฎีการวัดที่อธิบายว่าการวัดแบบไวเนอร์เชิงนามธรรมเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรภายใต้การเลื่อน โดยองค์ประกอบบางอย่างของ ปริภูมิฮิลเบิร์ตคาเมรอน-มาร์ติน

แรงจูงใจ

มาตรวัดเกาส์เซียน มาตรฐานบนปริภูมิยู คลิดมิติ n ไม่คงสภาพภายใต้ การเลื่อน (อันที่จริง มีมาตรวัดเรดอน ที่คงสภาพ ภายใต้การเลื่อนเพียงหนึ่งเดียวตามทฤษฎีบทของฮาร์ นั่น คือ มาตรวัดเลเบสมิติn ซึ่งในที่นี้ใช้สัญลักษณ์) แต่เซตย่อยที่วัดได้จะมีมาตรวัดเกาส์เซียน $\gamma ^{n}$ $n$ $\mathbf {R} ^{n}$ $n$ $dx$ $A$

\gamma _{n}(A)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{A}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\langle x,x\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}\right)\,dx.

ในที่นี้หมายถึงผลคูณดอทแบบ ยุคลิดมาตรฐาน ในการวัดแบบเกาส์เซียนของการเลื่อนของโดยเวกเตอร์คือ $\langle x,x\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}$ $\mathbf {R} ^{n}$ $A$ $h\in \mathbf {R} ^{n}$

{\begin{aligned}\gamma _{n}(Ah)&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{A}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\langle xh,xh\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}\right)\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{A}\exp \left({\frac {2\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-\langle h,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}}{2}}\right)\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\langle x,x\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}\right)\,dx.\end{aligned}}

ดังนั้น ภายใต้การแปลผ่านค่าการวัดแบบเกาส์เซียนจะถูกปรับขนาดตามฟังก์ชันการกระจายที่ปรากฏในการแสดงผลครั้งสุดท้าย: $h$

\exp \left({\frac {2\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-\langle h,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}}{2}}\right)=\exp \left(\langle x,h\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-{\tfrac {1}{2}}\|h\|_{\mathbf {R} ^{n}}^{2}\right)

มาตรวัดที่เชื่อมโยงจำนวน กับเซต คือมาตรวัดแบบพุชฟอร์เวิร์ดซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ โดยที่หมายถึงแผนที่การแปล: การคำนวณข้างต้นแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์เรดอน-นิโคดิมของมาตรวัดแบบพุชฟอร์เวิร์ดเทียบกับมาตรวัดเกาส์เซียนดั้งเดิมนั้นกำหนดโดย $A$ $\gamma _{n}(อา)$ $(T_{h})_{*}(\gamma ^{n}).$ $T_{h}:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}$ $T_{h}(x)=x+h$

{\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}{\mathrm {d} \gamma ^{n}}}(x)=\exp \left(\left\langle h,x\right\rangle _{\mathbf {R} ^{n}}-{\tfrac {1}{2}}\|h\|_{\mathbf {R} ^{n}}^{2}\right)

การวัดแบบ Wiener นามธรรมบนปริภูมิ Banach ที่แยกส่วนได้โดยที่เป็นปริภูมิ Wiener นามธรรมก็เป็น "การวัดแบบ Gaussian" ในความหมายที่เหมาะสมเช่นกัน การวัดนี้เปลี่ยนแปลงอย่างไรภายใต้การเลื่อน? ปรากฏว่าสูตรที่คล้ายกับสูตรข้างต้นยังคงใช้ได้ หากเราพิจารณาเฉพาะการเลื่อนโดยองค์ประกอบของปริภูมิย่อยหนาแน่น เท่านั้น $\gamma$ $E$ $i:H\to E$ $i(H)\subseteq E$

คำแถลงของทฤษฎีบท

สำหรับปริภูมิไวเนอร์แบบนามธรรม

ให้เป็นปริภูมิเวียนเนอร์นามธรรมที่มีการวัดเวียนเนอร์นามธรรมสำหรับกำหนดโดยแล้วจะเทียบเท่ากับโดยมีอนุพันธ์เรดอน-นิโคดิม $i:H\to E$ ${\displaystyle \gamma$ $h\in H$ $T_{h}:E\to E$ $T_{h}(x)=x+i(h)$ $(T_{h})_{*}(\gamma )$ $\gamma$

{\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma )}{\mathrm {d} \gamma }}(x)=\exp \left(\langle h,x\rangle ^{\sim }-{\tfrac {1}{2}}\|h\|_{H}^{2}\right),

ที่ไหน

\langle h,x\rangle ^{\sim }=i(h)(x)

หมายถึงปริพันธ์Paley–Wiener

สูตรคาเมรอน-มาร์ตินใช้ได้เฉพาะกับการเลื่อนตำแหน่งโดยองค์ประกอบของปริภูมิย่อยหนาแน่นซึ่งเรียกว่าปริภูมิคาเมรอน-มาร์ตินและไม่ใช่โดยองค์ประกอบใดๆ ของถ้าสูตรคาเมรอน-มาร์ตินใช้ได้กับการเลื่อนตำแหน่งใดๆ ก็จะขัดแย้งกับผลลัพธ์ต่อไปนี้: $i(H)\subseteq E$ $E$

ถ้าเป็นปริภูมิบานาคที่แยกส่วนได้ และเป็นมาตรวัดบอเรล แบบจำกัดเฉพาะที่ บนซึ่งเทียบเท่ากับการผลักดันไปข้างหน้าของตัวเองภายใต้การแปลใดๆ แล้ว จะมีมิติจำกัด หรือเป็นมาตรวัดที่ไม่สำคัญ (ศูนย์) (ดูมาตรวัดกึ่งไม่แปรเปลี่ยน )

E

\mu

E

E

\mu

อันที่จริงแล้วจะแทบไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนโดยองค์ประกอบก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ในบางครั้งเรียกว่าทิศทางคาเมรอน-มาร์ติน $\gamma$ $v$ $v\in i(H)$ $i(H)$

เวอร์ชันสำหรับปริภูมิเวกเตอร์นูนเฉพาะที่

พิจารณาปริภูมิเวกเตอร์นูนเฉพาะที่ ที่มีการวัดแบบเกาส์ เซียน บนพีชคณิต σ ทรงกระบอก และให้แทนการเลื่อนตำแหน่งสำหรับองค์ประกอบ ในปริภูมิคู่เชิงทอพอโลยีกำหนดระยะห่างไปยังค่าเฉลี่ย และให้ แทนการปิดในกำหนดตัวดำเนินการความแปรปรวนร่วมที่ขยายไปยังการปิดเป็น $E$ $\gamma$ $\sigma (\operatorname {Cyl} (E,E'))$ $\gamma _{m}:=\gamma (\cdot -m)$ $m\in E$ $f\in E'$ $t_{\gamma }(f):=f-\mathbb {E} _{\gamma }[f],$ $L^{2}(E,\gamma )$ $E_{a}^{\gamma }:=\operatorname {clos} \left\{(t_{\gamma }(f_{n}))_{n}\colon \ f\in E'\right\}$ ${\overline {R_{\gamma }}}:E_{a}^{\gamma }\to (E')^{*}$

{\overline {R_{\gamma }}}(f)(g)=\langle f,g-\mathbb {E} _{\gamma }[g]\rangle _{L^{2}(\gamma )}

.

กำหนดบรรทัดฐาน

\|h\|_{H_{\gamma }}:=\sup\{f(h)\colon f\in E',\;{\overline {R_{\gamma }}}(f)(f)\leq 1\},

จากนั้นช่องว่างคาเมรอน-มาร์ติน ของในคือ $H_{\gamma }$ $\gamma$ $E$

H_{\gamma }=\{h\in E\colon \|h\|_{H_{\gamma }}<\infty \}

.

ถ้ามีอยู่จริงที่ทำให้แล้วและนอกจากนี้ยังมีความสมมูลกับความหนาแน่นของ Radon-Nikodým $h\in E$ $g\in E_{a}^{\gamma }$ $h={\overline {R_{\gamma }}}(g)$ $h\in H_{\gamma }$ $\|h\|_{H_{\gamma }}=\|g\|_{L^{2}(\gamma )}$ $\gamma _{h}\sim \gamma$

{\frac {d\gamma _{h}}{d\gamma }}=\exp \left(g(x)-{\frac {1}{2}}\|h\|_{H_{\gamma }}^{2}\right).

ถ้ามาตรการทั้งสองเป็นเอกพจน์^[¹^] $h\not \in H_{\gamma }$

การบูรณาการโดยใช้ส่วนประกอบ

สูตร Cameron–Martin ก่อให้เกิด สูตร การอินทิเกรตโดยส่วนบน: ถ้า มีอนุพันธ์ Fréchet ที่มีขอบเขตการอินทิเกรตสูตร Cameron–Martin เทียบกับมาตรวัด Wiener ทั้งสองข้างจะให้ $E$ $F:E\to \mathbf {R}$ $\mathrm {D} F:E\to \operatorname {Lin} (E;\mathbf {R} )=E^{*}$

\int _{E}F(x+ti(h))\,\mathrm {d} \gamma (x)=\int _{E}F(x)\exp \left(t\langle h,x\rangle ^{\sim }-{\tfrac {1}{2}}t^{2}\|h\|_{H}^{2}\right)\,\mathrm {d} \gamma (x)

สำหรับค่าใดๆการหาอนุพันธ์อย่างเป็นทางการเทียบกับและการประเมินค่าที่จะได้สูตรการอินทิเกรตโดยส่วน $t\in \mathbf {R}$ $t$ $t=0$

\int _{E}\mathrm {D} F(x)(i(h))\,\mathrm {d} \gamma (x)=\int _{E}F(x)\langle h,x\rangle ^{\sim }\,\mathrm {d} \gamma (x).

เมื่อเปรียบเทียบกับทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ของแคลคูลัสเวกเตอร์พบว่า

\mathop {\mathrm {div} } [V_{h}](x)=-\langle h,x\rangle ^{\sim },

โดยที่เป็นค่าคงที่ " สนามเวกเตอร์ " สำหรับทุก ๆ ความปรารถนาที่จะพิจารณาสนามเวกเตอร์ทั่วไปมากขึ้น และการคิดถึงปริพันธ์เชิงสุ่มว่าเป็น "ไดเวอร์เจนซ์" นำไปสู่การศึกษาเกี่ยวกับกระบวนการเชิงสุ่มและแคลคูลัสของ Malliavinและโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบท Clark–Oconeและสูตรการอินทิเกรตโดยส่วนที่เกี่ยวข้อง $V_{h}:E\to E$ $V_{h}(x)=i(h)$ $x\in E$

แอปพลิเคชัน

โดยใช้ทฤษฎีบทของคาเมรอน-มาร์ติน เราสามารถพิสูจน์ได้ (ดู Liptser และ Shiryayev 1977, หน้า 280) ว่าสำหรับ เมทริก ซ์สมมาตรที่ไม่เป็นลบแน่นอนซึ่งมีองค์ประกอบต่อเนื่องและเป็นไปตามเงื่อนไข $q\times q$ $H(t)$ $H_{j,k}(t)$

\int _{0}^{T}\sum _{j,k=1}^{q}|H_{j,k}(t)|\,dt<\infty ,

มันใช้ได้กับกระบวนการ Wienerมิติ − ที่ $q$ $w(t)$

E\left[\exp \left(-\int _{0}^{T}w(t)^{*}H(t)w(t)\,dt\right)\right]=\exp \left[{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{T}\operatorname {tr} (G(t))\,dt\right],

โดยที่เป็นเมทริกซ์ที่ไม่เป็นบวกแน่นอน ซึ่งเป็นคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ริคคาติแบบเมทริกซ์ $G(t)$ $q\times q$

{\frac {dG(t)}{dt}}=2H(t)-G^{2}(t)

โดยมีเงื่อนไขขอบเขต $G(T)=0$

ในกรณีพิเศษของการเคลื่อนที่แบบบราวน์หนึ่งมิติ โดยที่คำตอบเฉพาะคือและเรามีสูตรดั้งเดิมตามที่ Cameron และ Martin ได้กำหนดไว้: $H(t)=1/2$ $G(t)=\tanh(t-T)$ $E\left[\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{T}w(t)^{2}\,dt\right)\right]={\frac {1}{\sqrt {\cosh T}}}.$

ดูเพิ่มเติม

ทฤษฎีบทของ Girsanov – ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงในกระบวนการสุ่ม
ทฤษฎีบทของซาโซนอฟ

[