ในทางสถิติการวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงแคนอน ( CCA ) หรือที่เรียกว่าการวิเคราะห์ตัวแปรเชิงแคนอนเป็นวิธีการอนุมานข้อมูลจากเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมหากเรามีเวกเตอร์สองตัวX  = ( X ₁ , ...,  X _n ) และY  = ( Y ₁ , ...,  Y _m ) ของตัวแปรสุ่มและมีความสัมพันธ์กันระหว่างตัวแปร การวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงแคนอนจะค้นหาการรวมเชิงเส้นของXและYที่มีความสัมพันธ์สูงสุดซึ่งกันและกัน^{[ 1 ]} TR Knapp ตั้งข้อสังเกตว่า " การทดสอบความสำคัญเชิงพาราเมตริกที่พบได้ทั่วไปเกือบทั้งหมดสามารถถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของการวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงแคนอน ซึ่งเป็นขั้นตอนทั่วไปสำหรับการตรวจสอบความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองชุด" ^{[ 2 ]}วิธีการนี้ได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยHarold Hotellingในปี พ.ศ. 2479 ^{[ 3 ]}แม้ว่าในบริบทของมุมระหว่างระนาบแนวคิดทางคณิตศาสตร์นี้ได้รับการตีพิมพ์โดยCamille Jordanในปี พ.ศ. 2418 ^{[ 4 ]}

ปัจจุบัน CCA เป็นรากฐานสำคัญของสถิติหลายตัวแปรและการเรียนรู้แบบหลายมุมมอง และมีการเสนอการตีความและการขยายมากมาย เช่น CCA แบบความน่าจะเป็น CCA แบบเบาบาง CCA แบบหลายมุมมอง CCA แบบลึก^{[ 5 ]}และ DeepGeoCCA ^{[ 6 ]}น่าเสียดายที่อาจเป็นเพราะความนิยมของมัน วรรณกรรมจึงอาจไม่สอดคล้องกันในเรื่องสัญลักษณ์ เราพยายามเน้นความไม่สอดคล้องกันดังกล่าวในบทความนี้ เพื่อช่วยให้ผู้อ่านสามารถใช้ประโยชน์จากวรรณกรรมและเทคนิคที่มีอยู่ได้อย่างเต็มที่

เช่นเดียวกับวิธี PCAซึ่งเป็นวิธีพี่น้องCCA สามารถมองได้ใน รูปแบบ ประชากร (ซึ่งสอดคล้องกับเวกเตอร์สุ่มและเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม) หรือใน รูปแบบ ตัวอย่าง (ซึ่งสอดคล้องกับชุดข้อมูลและเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของตัวอย่าง) ทั้งสองรูปแบบนี้แทบจะเหมือนกันทุกประการ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมความแตกต่างของทั้งสองรูปแบบจึงมักถูกมองข้าม แต่ทั้งสองรูปแบบอาจมีพฤติกรรมที่แตกต่างกันมากในการตั้งค่าที่มีมิติสูง^{[ 7 ]}ต่อไปเราจะให้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่ชัดเจนสำหรับปัญหาประชากรและเน้นวัตถุที่แตกต่างกันในสิ่งที่เรียกว่าการแยกส่วนแบบแคนอนิก - การทำความเข้าใจความแตกต่างระหว่างวัตถุเหล่านี้มีความสำคัญต่อการตีความเทคนิค

เมื่อกำหนด เวกเตอร์คอลัมน์ สองตัวคือ และซึ่งประกอบด้วยตัวแปรสุ่มที่มีโมเมนต์อันดับสองจำกัดเราอาจกำหนดเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมไขว้เป็นเมทริกซ์ที่มีค่าความแปรปรวนร่วมเท่ากับ ในทางปฏิบัติ เราจะประมาณเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมโดยอาศัยข้อมูลที่สุ่มมาจากและ(กล่าวคือ จากเมทริกซ์ข้อมูลสองเมทริกซ์) ${\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}}$${\displaystyle Y=(y_{1},\dots ,y_{m})^{T}}$${\displaystyle \Sigma _{XY}=\operatorname {cov} (X,Y)}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {cov} (x_{i},y_{j})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

การวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงแคนอนิกมุ่งหาลำดับของเวกเตอร์ ( ) และ( ) โดยที่ตัวแปรสุ่มและ ทำให้ ความสัมพันธ์มีค่าสูงสุดตัวแปรสุ่ม (สเกลาร์) และคือตัวแปรเชิงแคนอนิกคู่แรกจากนั้นจึงหาเวกเตอร์ที่ทำให้ความสัมพันธ์เดียวกันมีค่าสูงสุด ภายใต้เงื่อนไขที่ว่าเวกเตอร์เหล่านั้นต้องไม่มีความสัมพันธ์กับตัวแปรเชิงแคนอนิกคู่แรก ซึ่งจะได้ตัวแปรเชิงแคนอนิกคู่ที่สองกระบวนการนี้สามารถดำเนินต่อไปได้จนถึงครั้ง ${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle b_{k}}$${\displaystyle b_{k}\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle a_{k}^{T}X}$${\displaystyle b_{k}^{T}Y}$${\displaystyle \rho =\operatorname {corr} (a_{k}^{T}X,b_{k}^{T}Y)}$${\displaystyle U=a_{1}^{T}X}$${\displaystyle V=b_{1}^{T}Y}$${\displaystyle \min\{m,n\}}$

$${\displaystyle (a_{k},b_{k})={\underset {a,b}{\operatorname {argmax} }}\operatorname {corr} (a^{T}X,b^{T}Y)\quad {\text{ subject to }}\operatorname {cov} (a^{T}X,a_{j}^{T}X)=\operatorname {cov} (b^{T}Y,b_{j}^{T}Y)=0{\text{ for }}j=1,\dots ,k-1}$$

ชุดของเวกเตอร์เรียกว่าทิศทางมาตรฐานหรือเวกเตอร์น้ำหนักหรือเรียกง่ายๆ ว่าน้ำหนักชุดของเวกเตอร์ 'คู่' เรียกว่าเวกเตอร์โหลดมาตรฐานหรือเรียกง่ายๆ ว่าโหลดซึ่งมักจะตีความได้ตรงไปตรงมามากกว่าน้ำหนัก^{[ 8 ]}${\displaystyle a_{k},b_{k}}$${\displaystyle \Sigma _{XX}a_{k},\Sigma _{YY}b_{k}}$

ให้เป็นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมไขว้สำหรับตัวแปรสุ่ม (รูปทรงเวกเตอร์) สองตัวใดๆและฟังก์ชันเป้าหมายที่ต้องการเพิ่มค่าให้สูงสุดคือ ${\displaystyle \Sigma _{XY}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \rho ={\frac {a^{T}\Sigma _{XY}b}{{\sqrt {a^{T}\Sigma _{XX}a}}{\sqrt {b^{T}\Sigma _{YY}b}}}}.}$

ขั้นตอนแรกคือการกำหนดการเปลี่ยนแปลงฐานและกำหนด

${\displaystyle c=\Sigma _{XX}^{1/2}a,}$

${\displaystyle d=\Sigma _{YY}^{1/2}b,}$

โดยที่และสามารถหาได้จากการแยกส่วนประกอบค่าลักษณะเฉพาะ (หรือโดยการหาค่าเฉพาะ ): ${\displaystyle \Sigma _{XX}^{1/2}}$${\displaystyle \Sigma _{YY}^{1/2}}$

${\displaystyle \Sigma _{XX}^{1/2}=V_{X}D_{X}^{1/2}V_{X}^{\top },\qquad V_{X}D_{X}V_{X}^{\top }=\Sigma _{XX},}$

และ

${\displaystyle \Sigma _{YY}^{1/2}=V_{Y}D_{Y}^{1/2}V_{Y}^{\top },\qquad V_{Y}D_{Y}V_{Y}^{\top }=\Sigma _{YY}.}$

ดังนั้น

${\displaystyle \rho ={\frac {c^{T}\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}d}{{\sqrt {c^{T}c}}{\sqrt {d^{T}d}}}}.}$

โดยอาศัยอสมการโคชี-ชวาร์ซ

${\displaystyle \left(c^{T}\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}\right)(d)\leq \left(c^{T}\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c\right)^{1/2}\left(d^{T}d\right)^{1/2},}$

${\displaystyle \rho \leq {\frac {\left(c^{T}\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c\right)^{1/2}}{\left(c^{T}c\right)^{1/2}}}.}$

ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์และอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน นอกจากนี้ ค่าสหสัมพันธ์สูงสุดจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่มีค่าลักษณะเฉพาะสูงสุดสำหรับเมทริกซ์(ดูอัตราส่วนเรย์ลี ) คู่ถัดไปจะหาได้โดยใช้ค่าลักษณะเฉพาะที่มีขนาดลดลง ความตั้งฉากกันนั้นรับประกันได้จากความสมมาตรของเมทริกซ์สหสัมพันธ์ ${\displaystyle d}$${\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}}$

อีกวิธีหนึ่งในการมองการคำนวณนี้คือและ เป็น เวกเตอร์เอกพจน์ด้านซ้ายและด้านขวาของเมทริกซ์สหสัมพันธ์ของ X และ Y ที่สอดคล้องกับค่าเอกพจน์สูงสุด ${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$

ดังนั้นคำตอบคือ:

• ${\displaystyle c}$เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ${\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}}$
• ${\displaystyle d}$เป็นสัดส่วนกับ${\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c}$

ในทางกลับกันก็มีเช่นกัน:

• ${\displaystyle d}$เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ${\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}}$
• ${\displaystyle c}$เป็นสัดส่วนกับ${\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}d}$

เมื่อกลับทิศทางการเปลี่ยนพิกัด เราจะได้ว่า

• ${\displaystyle a}$เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ${\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}}$
• ${\displaystyle b}$เป็นสัดส่วนกับ${\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}a;}$
• ${\displaystyle b}$เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ${\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY},}$
• ${\displaystyle a}$เป็นสัดส่วนกับ${\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}b}$

ตัวแปรมาตรฐานถูกกำหนดโดย:

${\displaystyle U=c^{T}\Sigma _{XX}^{-1/2}X=a^{T}X}$

${\displaystyle V=d^{T}\Sigma _{YY}^{-1/2}Y=b^{T}Y}$

CCA สามารถคำนวณได้โดยใช้การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์บนเมทริกซ์สหสัมพันธ์^{[ 9 ]}มีให้ใช้งานเป็นฟังก์ชันใน^{[ 10 ]}

• MATLABใช้ฟังก์ชันcanoncorr ( และ ในOctave ด้วย )
• Rมีฟังก์ชันมาตรฐานคือcancorและแพ็กเกจอื่นๆ อีกหลายแพ็กเกจ รวมถึงcandisc , CCAและveganส่วนCCPใช้สำหรับการทดสอบสมมติฐานทางสถิติในการวิเคราะห์ความสัมพันธ์แบบแคนอนิก
• SASเป็นproc cancorr
• Pythonในไลบรารีscikit-learnเช่นการแยกส่วนแบบไขว้และใน statsmodels เช่นCanCorrไลบรารี CCA-Zoo ^{[ 11 ]}ดำเนินการส่วนขยาย CCA เช่น CCA แบบความน่าจะเป็น CCA แบบเบาบาง CCA แบบหลายมุมมอง และ CCA แบบลึก
• SPSSในรูปแบบมาโคร CanCorr มาพร้อมกับซอฟต์แวร์หลัก
• Julia (ภาษาโปรแกรม)ในแพ็กเกจMultivariateStats.jl

การคำนวณ CCA โดยใช้การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์บนเมทริกซ์สหสัมพันธ์เกี่ยวข้องกับโคไซน์ของมุมระหว่างระนาบ ฟังก์ชัน โคไซน์มีสภาพไม่ดี สำหรับมุมเล็ก ๆ ซึ่งนำไปสู่การคำนวณเวกเตอร์หลักที่มีความสัมพันธ์สูงใน การคำนวณเลขคณิตคอมพิวเตอร์ ที่มี ความแม่นยำ จำกัดที่ไม่แม่นยำมากเพื่อแก้ไขปัญหานี้มีอัลกอริทึมทางเลือก^{[ 12 ]}ให้เลือกใช้ใน

• SciPyเป็นฟังก์ชันพีชคณิตเชิงเส้น subspace_angles
• MATLABเป็นฟังก์ชัน FileExchange subspacea

แต่ละแถวสามารถทดสอบความสำคัญได้ด้วยวิธีต่อไปนี้ เนื่องจากค่าสหสัมพันธ์ถูกเรียงลำดับแล้ว การบอกว่าแถวนั้นเป็นศูนย์หมายความว่าค่าสหสัมพันธ์ในแถวถัดไปทั้งหมดก็เป็นศูนย์เช่นกัน หากเรามีการสังเกตที่เป็นอิสระในตัวอย่าง และคือค่าสหสัมพันธ์โดยประมาณสำหรับสำหรับแถวที่ th ค่าสถิติการทดสอบคือ: ${\displaystyle i}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\widehat {\rho }}_{i}}$${\displaystyle i=1,\dots ,\min\{m,n\}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \chi ^{2}=-\left(p-1-{\frac {1}{2}}(m+n+1)\right)\ln \prod _{j=i}^{\min\{m,n\}}(1-{\widehat {\rho }}_{j}^{2}),}$

ซึ่งมีการกระจายแบบอะซิมโทติกเป็นไคกำลังสองที่มีองศาอิสระสำหรับค่ามาก[ ^{13 ] เนื่องจาก} ความสัมพันธ์ทั้งหมดจากถึงเป็นศูนย์เชิงตรรกะ (และประมาณค่าด้วยวิธีนั้นเช่นกัน) ผลคูณสำหรับเงื่อนไขหลังจากจุดนี้จึงไม่เกี่ยวข้อง ${\displaystyle (m-i+1)(n-i+1)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \min\{m,n\}}$${\displaystyle p}$

โปรดทราบว่าในขีดจำกัดขนาดตัวอย่างเล็ก ๆนั้น เรารับประกันได้ว่าค่าสหสัมพันธ์สูงสุดจะเป็น 1 อย่างแน่นอน ดังนั้นการทดสอบจึงไม่มีความหมาย^{[ 14 ]}${\displaystyle p<n+m}$${\displaystyle m+n-p}$

การใช้งานทั่วไปของการหาความสัมพันธ์เชิงแคนอนในบริบทการทดลองคือการนำตัวแปรสองชุดมาดูว่ามีอะไรที่เหมือนกันในสองชุดนั้น^{[ 15 ]}ตัวอย่างเช่น ในการทดสอบทางจิตวิทยา เราสามารถใช้แบบทดสอบบุคลิกภาพ หลายมิติที่ได้รับการยอมรับอย่างดีสองแบบ เช่น แบบทดสอบบุคลิกภาพ Minnesota Multiphasic Personality Inventory (MMPI-2) และNEOโดยการดูว่าปัจจัยของ MMPI-2 เกี่ยวข้องกับปัจจัยของ NEO อย่างไร เราสามารถเข้าใจได้ว่ามิติใดบ้างที่เหมือนกันระหว่างแบบทดสอบ และความแปรปรวนที่ใช้ร่วมกันมีมากน้อยเพียงใด ตัวอย่างเช่น เราอาจพบว่า มิติของ การเปิดเผยตัวตนหรือความวิตกกังวลมีส่วนในการอธิบายความแปรปรวนที่ใช้ร่วมกันระหว่างแบบทดสอบทั้งสองอย่างมีนัยสำคัญ

นอกจากนี้ยังสามารถใช้การวิเคราะห์สหสัมพันธ์แบบแคนอนิกเพื่อสร้างสมการแบบจำลองที่เชื่อมโยงตัวแปรสองชุดเข้าด้วยกัน เช่น ชุดมาตรวัดประสิทธิภาพและชุดตัวแปรอธิบาย หรือชุดผลลัพธ์และชุดข้อมูลนำเข้า สามารถกำหนดข้อจำกัดให้กับแบบจำลองดังกล่าวเพื่อให้แน่ใจว่าแบบจำลองสะท้อนถึงข้อกำหนดทางทฤษฎีหรือเงื่อนไขที่ชัดเจนโดยสัญชาตญาณ แบบจำลองประเภทนี้เรียกว่าแบบจำลองสหสัมพันธ์สูงสุด^{[ 16 ]}

การแสดงผลลัพธ์ของการหาความสัมพันธ์แบบแคนอนิกมักจะแสดงด้วยแผนภูมิแท่งของสัมประสิทธิ์ของตัวแปรสองชุดสำหรับคู่ของตัวแปรแคนอนิกที่แสดงความสัมพันธ์อย่างมีนัยสำคัญ ผู้เขียนบางคนแนะนำว่าควรแสดงผลลัพธ์ด้วยแผนภูมิแบบเฮลิโอกราฟ ซึ่งเป็นรูปแบบวงกลมที่มีแท่งคล้ายรังสี โดยแต่ละครึ่งแทนตัวแปรสองชุด^{[ 17 ]}

ให้มีค่าคาดหวัง เป็นศูนย์ นั่นคือ. ${\displaystyle X=x_{1}}$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=0}$

1. ถ้าและมีความสัมพันธ์กันอย่างสมบูรณ์แบบ เช่นและดังนั้นคู่ตัวแปรเชิงมาตรฐานคู่แรก (และคู่เดียวในตัวอย่างนี้คือและ${\displaystyle Y=X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle b=1}$${\displaystyle U=X}$${\displaystyle V=Y=X}$
2. ถ้าเช่นและมีความสัมพันธ์แบบผกผันอย่างสมบูรณ์แล้ว เช่นและดังนั้นคู่ตัวแปรเชิงมาตรฐานคู่แรก (และคู่เดียวในตัวอย่างนี้คือและ)${\displaystyle Y=-X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle b=-1}$${\displaystyle U=X}$${\displaystyle V=-Y=X}$

เราสังเกตเห็นว่าในทั้งสองกรณีซึ่งแสดงให้เห็นว่าการวิเคราะห์ความสัมพันธ์แบบแคนอนิกนั้นปฏิบัติต่อตัวแปรที่มีความสัมพันธ์กันและตัวแปรที่มีความสัมพันธ์ผกผันกันในลักษณะเดียวกัน ${\displaystyle U=V}$

สมมติว่าและมีค่าคาดหวังเป็น ศูนย์ นั่น คือ เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมและสามารถมองได้ว่าเป็นเมทริกซ์แกรมในผลคูณภายในสำหรับค่าใน และตามลำดับ ในการตีความนี้ ตัวแปรสุ่ม ค่าใน และจะ ถูกมอง ว่า เป็นองค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีผลคูณภายในที่กำหนดโดยความแปรปรวนร่วมดูCovariance#Relationship to inner products${\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}}$${\displaystyle Y=(y_{1},\dots ,y_{m})^{T}}$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (Y)=0}$${\displaystyle \Sigma _{XX}=\operatorname {Cov} (X,X)=\operatorname {E} [XX^{T}]}$${\displaystyle \Sigma _{YY}=\operatorname {Cov} (Y,Y)=\operatorname {E} [YY^{T}]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y_{j}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {cov} (x_{i},y_{j})}$

นิยามของตัวแปรแคนอนิกและนั้นเทียบเท่ากับนิยามของเวกเตอร์หลักสำหรับคู่ของปริภูมิย่อยที่เกิดจากสมาชิกของ และโดยสัมพันธ์กับ ผลคูณภายใน นี้ ความสัมพันธ์แคนอนิกเท่ากับ โคไซน์ของมุมหลัก${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {corr} (U,V)}$

CCA ยังสามารถมองได้ว่าเป็นการแปลงไวท์เทนนิ่ง แบบพิเศษ โดยที่เวกเตอร์สุ่มและจะถูกแปลงพร้อมกันในลักษณะที่ความสัมพันธ์ไขว้ระหว่างเวกเตอร์ไวท์เทนนิ่งและจะเป็นแนวทแยง^{[ 18 ]} จากนั้นความสัมพันธ์แบบแคนอนิกจะถูกตีความว่าเป็นสัมประสิทธิ์การถดถอยที่เชื่อมโยงและและอาจเป็นค่าลบได้ มุมมองการถดถอยของ CCA ยังให้วิธีการสร้างแบบจำลองความน่าจะเป็นของตัวแปรแฝงสำหรับ CCA โดยมีตัวแปรซ่อนเร้นที่ไม่สัมพันธ์กันซึ่งแสดงถึงความแปรปรวนร่วมกันและไม่ร่วมกัน^{[ 19 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X^{CCA}}$${\displaystyle Y^{CCA}}$${\displaystyle X^{CCA}}$${\displaystyle Y^{CCA}}$

• ความสัมพันธ์เชิงแคนอนทั่วไป
• สัมประสิทธิ์ RV
• มุมระหว่างระนาบ
• การวิเคราะห์ส่วนประกอบหลัก
• การวิเคราะห์จำแนกเชิงเส้น
• การวิเคราะห์ความสัมพันธ์แบบแคนอนิกที่ปรับปรุงแล้ว
• การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์
• การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุดบางส่วน

• การวิเคราะห์ความสัมพันธ์แบบจำแนก (DCA) ^{[ 1 ]} ( MATLAB )
• Hardoon, DR; Szedmak, S.; Shawe-Taylor, J. (2004). "การวิเคราะห์ความสัมพันธ์แบบแคนอนิก: ภาพรวมพร้อมการประยุกต์ใช้กับวิธีการเรียนรู้". Neural Computation . 16 (12): 2639– 2664. CiteSeerX  10.1.1.14.6452 . doi : 10.1162/0899766042321814 . PMID  15516276 . S2CID  202473 .
• หมายเหตุเกี่ยวกับการวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงลำดับแบบแคนอนิกของคะแนนการจัดอันดับสองชุด (มี โปรแกรม FORTRAN ให้ด้วย ) - ใน Journal of Quantitative Economics 7(2), 2009, หน้า 173–199
• การวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงแคนอนิกที่ถูกจำกัดด้วยการแสดงแทน: การผสมผสานระหว่างการวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงแคนอนิกและการวิเคราะห์องค์ประกอบหลัก (มีโปรแกรม FORTRANด้วย) - ในวารสารวิทยาศาสตร์เศรษฐศาสตร์ประยุกต์ 4(1), 2009, หน้า 115–124