ในทางสถิติสัมประสิทธิ์ RV ^{[ 1 ]} เป็นการ ขยาย ทั่วไปของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เพียร์สันกำลังสองแบบหลายตัวแปร (เนื่องจากสัมประสิทธิ์ RV มีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1) ^{[ 2 ]} มันวัดความใกล้ชิดของชุดจุดสองชุดที่แต่ละชุดอาจแสดงในเมทริกซ์

แนวทางหลักในการวิเคราะห์ข้อมูลหลายตัวแปรทางสถิติสามารถนำมารวมกันในกรอบงานทั่วไปได้ โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ RV จะถูกทำให้สูงสุดภายใต้ข้อจำกัดที่เกี่ยวข้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วิธีการทางสถิติเหล่านี้ได้แก่: ^{[ 1 ]}

• การวิเคราะห์ส่วนประกอบหลัก
• การวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงแคนอนิก
• การถดถอยหลายตัวแปร
• การจำแนกประเภททางสถิติ ( การจำแนกเชิงเส้น )

การประยุกต์ใช้สัมประสิทธิ์ RV อย่างหนึ่งคือในการถ่ายภาพประสาทเชิงฟังก์ชันซึ่งสามารถวัดความคล้ายคลึงกันระหว่างชุดการสแกนสมองของบุคคลสองคน^{[ 3 ]} หรือระหว่างการสแกนที่แตกต่างกันของบุคคลเดียวกัน^{[ 4 ]}

นิยามของสัมประสิทธิ์ RV ใช้แนวคิด^{[ 5 ]} เกี่ยวกับนิยามของปริมาณค่าสเกลาร์ที่เรียกว่า "ความแปรปรวน" และ "ความแปรปรวนร่วม" ของตัวแปรสุ่ม ค่าเวกเตอร์ โปรดทราบว่าการใช้งานมาตรฐานคือการมีเมทริกซ์สำหรับความแปรปรวนและความแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่มเวกเตอร์ เมื่อพิจารณานิยามใหม่เหล่านี้ สัมประสิทธิ์ RV จึงเป็นเพียงสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ที่กำหนดในวิธีปกติ

สมมติว่าXและYเป็นเมทริกซ์ของเวกเตอร์สุ่มที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ (เวกเตอร์คอลัมน์) โดยมีเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมกำหนดโดย

${\displaystyle \Sigma _{XY}=\operatorname {E} (XY^{\top })\,,}$

จากนั้นค่าความแปรปรวนร่วมแบบสเกลาร์ (ระบุด้วย COVV) จะถูกกำหนดโดย^{[ 5 ]}

${\displaystyle \operatorname {COVV} (X,Y)=\operatorname {Tr} (\Sigma _{XY}\Sigma _{YX})\,.}$

ค่าความแปรปรวนแบบสเกลาร์จะถูกกำหนดดังนี้:

${\displaystyle \operatorname {VAV} (X)=\operatorname {Tr} (\Sigma _{XX}^{2})\,.}$

ด้วยคำจำกัดความเหล่านี้ ความแปรปรวนและความแปรปรวนร่วมมีคุณสมบัติการบวกบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับการสร้างปริมาณเวกเตอร์ใหม่โดยการขยายเวกเตอร์ที่มีอยู่ด้วยองค์ประกอบของเวกเตอร์อื่น^{[ 5 ]}

จากนั้นค่าสัมประสิทธิ์ RV จะถูกกำหนดโดย^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mathrm {RV} (X,Y)={\frac {\operatorname {COVV} (X,Y)}{\sqrt {\operatorname {VAV} (X)\operatorname {VAV} (Y)}}}\,.}$

แม้ว่าสัมประสิทธิ์จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 ตามการสร้าง แต่ก็แทบจะไม่ถึงค่าที่ใกล้เคียงกับ 1 เนื่องจากตัวส่วนมักจะมีขนาดใหญ่เกินไปเมื่อเทียบกับค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของตัวส่วน^{[ 6 ]}

เมื่อกำหนดบล็อกแนวทแยงที่ทราบแล้วและมีมิติและ ตามลำดับ โดยสมมติว่าโดยไม่เสียความเป็นทั่วไป ได้มีการพิสูจน์แล้ว^{[ 7 ]}ว่าตัวเศษสูงสุดที่สามารถเข้าถึงได้คือ โดยที่(ตามลำดับ) หมายถึงเมทริกซ์แนวทแยงของค่าลักษณะเฉพาะของ(ตามลำดับ) ที่เรียงลำดับจากมากไปน้อยจากมุมซ้ายบนสุดไปยังมุมขวาล่างสุด และ คือเมทริกซ์ ${\displaystyle \Sigma _{XX}}$${\displaystyle \Sigma _{YY}}$${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle q\times q}$${\displaystyle p\leq q}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (\Lambda _{X}\Pi \Lambda _{Y}),}$${\displaystyle \Lambda _{X}}$${\displaystyle \Lambda _{Y}}$${\displaystyle \Sigma _{XX}}$${\displaystyle \Sigma _{YY}}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle p\times q}$${\displaystyle (I_{p}\ 0_{p\times (q-p)})}$

จากข้อมูลนี้ Mordant และ Segers ^{[ 7 ]}ได้เสนอเวอร์ชันปรับปรุงของสัมประสิทธิ์ RV โดยที่ตัวส่วนคือค่าสูงสุดที่ตัวเศษสามารถทำได้ โดยมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle {\bar {\operatorname {RV} }}(X,Y)={\frac {\operatorname {Tr} (\Sigma _{XY}\Sigma _{YX})}{\operatorname {Tr} (\Lambda _{X}\Pi \Lambda _{Y})}}={\frac {\operatorname {Tr} (\Sigma _{XY}\Sigma _{YX})}{\sum _{j=1}^{min(p,q)}(\Lambda _{X})_{j,j}(\Lambda _{Y})_{j,j}}}.}$

ผลกระทบของการปรับเปลี่ยนนี้เห็นได้ชัดเจนในทางปฏิบัติ^{[ 7 ]}

• สัมประสิทธิ์ความสอดคล้อง
• ความสัมพันธ์ระยะทาง