สมการกว้าน^{[ 1 ]}หรือสมการแรงเสียดทานของสายพานหรือที่รู้จักกันในชื่อสูตรออยเลอร์ - เอเทลไวน์^{[ 2 ] [ 3 ]} อธิบายถึงแรงตึงที่จำเป็นในการทำให้เกิดการลื่นไถลของสายที่ยืดหยุ่นได้ ( เช่นเชือกลวดสลิงหรือสายพาน ) ที่พันรอบกระบอกสูบและถูกดึงตึงที่ด้านตรงข้าม^{[ 4 ] [ 1 ]}สายที่ยืดหยุ่นได้ซึ่งถูกดึงตึงบนพื้นผิวโค้งจะสร้างแรงปกติและ แรง เสียดทานที่สอดคล้องกัน ส่งผลให้ต้องใช้แรงมากกว่าในการทำให้เกิดการลื่นไถลมากกว่าแรงที่ยึดให้ตึง สมการกว้านใช้ได้กับการพันเชือกหลายรอบรอบเส้นรอบวงของกระบอกสูบ และสำหรับเศษส่วนของการหมุนหนึ่งรอบดังเช่นในกรณีของการใช้งานเช่นไดรฟ์เชือกหรือเบรกแบบแถบนอกจากนี้ยังใช้ได้กับทั้งกระบอกสูบแบบคงที่ เช่นเสาผูกเรือและกว้านและกระบอกสูบแบบไดนามิกที่สามารถหมุนได้ เช่นรอกและเครื่องกว้าน มีการประยุกต์ใช้หลายด้าน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในงานทางทะเล ซึ่งใช้หลักการนี้เพื่อเพิ่มกำลังดึงของมนุษย์ เช่น การดึงเชือกที่ใช้สำหรับใบเรือและการผูกเรือ ในระบบกลไก แรงเสียดทานระหว่างสายพานและรอกหมุนยังช่วยให้สามารถส่งแรงบิดได้มากขึ้น โดยเฉพาะในระบบที่มีการดึงไว้ล่วงหน้าซึ่งช่วยเพิ่มแรงฉุดและการยึดเกาะ

สำหรับสายเคเบิลที่พันรอบทรงกระบอกโดยมีแรงเสียดทานอยู่ แรงยึดเพียงเล็กน้อยที่กระทำต่อด้านหนึ่งจะส่งผลให้เกิด แรง ดึง ที่มากขึ้น ที่อีกด้านหนึ่งก่อนที่จะเกิดการลื่นไถล

สมการของเครื่องกว้านอธิบายขนาดของแรงโหลดที่ทำให้เกิดการลื่นไถล โดยเป็นฟังก์ชันของแรงยึด:

${\displaystyle T_{\text{load}}=T_{\text{hold}}\ e^{\mu \varphi }}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle T_{\text{โหลด}}}$คือแรงที่ต้องใช้ในการทำให้เกิดการลื่นไถล
• ${\displaystyle T_{\text{hold}}}$คือแรงที่กระทำต่อปลายอีกด้านของสายเคเบิล
• ${\displaystyle \mu }$คือ ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตหรือแรงเสียดทานจลน์ระหว่างเชือกและวัสดุของเครื่องกว้าน และ
• ${\displaystyle \varphi }$คือมุมรวมที่เกิดจากการหมุนของเชือกทุกรอบ โดยวัดเป็นเรเดียน (เช่น เมื่อหมุนครบหนึ่งรอบจะได้มุม)${\displaystyle \varphi =2\pi \,}$

แรงตึงในสายเคเบิลจะเพิ่มขึ้นจากด้านที่ยึดไปยังด้านที่รับน้ำหนักตามมุมการพัน กระบอกสูบจะออกแรงปกติแบบ กระจายตัวที่แตกต่างกัน บนสายเคเบิล ทำให้เกิดแรงเสียดทานที่สอดคล้องกัน (ตามกฎแรงเสียดทานข้อแรกของอามอนตัน ) กระทำต่อสายเคเบิลตามแนวเส้นรอบวงไปทางปลายที่มีแรงตึงต่ำกว่า

จะเห็นได้ว่าความต้านทานต่อการลื่นไถลเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณตามสัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน จำนวนรอบที่หมุนรอบทรงกระบอก และมุมสัมผัส ส่วนการเพิ่มขึ้นของแรงนั้นไม่ขึ้นอยู่กับรัศมีของทรงกระบอก

โดยทั่วไปแล้ว สายเคเบิลจะไม่ลื่นบนกระบอกสูบหากอัตราส่วนของแรงดึงทั้งสองอยู่ในช่วงนี้:

${\displaystyle e^{-\mu \varphi }\leq {\frac {T_{\text{2}}}{T_{\text{1}}}}\leq e^{\mu \varphi }}$

เมื่ออัตราส่วนแรงดึงอยู่นอกช่วงนี้ แรงเสียดทานสะสมจะถูกเอาชนะ และสายเคเบิลจะเร่งความเร็วและลื่นไถลเมื่อเทียบกับกระบอกสูบ

กระบอกสูบจะต้องสร้างแรงปฏิกิริยาเพื่อต้านทานแรงสุทธิที่เกิดจากแรงดึงของเชือก ป้องกันไม่ให้กระบอกสูบเคลื่อนที่ไปข้างหน้า

สำหรับงานที่ต้องอาศัย แรงคงที่ แรง บิดปฏิกิริยาจะกระทำต่อกระบอกสูบรอบจุดศูนย์กลางเพื่อป้องกันไม่ให้กระบอกสูบหมุน

สำหรับงานที่ต้องอาศัยการเคลื่อนไหว (เช่น รอกสายพานหรือเบรก) ซึ่งกระบอกสูบสามารถหมุนได้ หากอัตราส่วนแรงดึงไม่ทำให้เกิดการลื่นไถล สายเคเบิลจะยึดกระบอกสูบและทำให้เกิดแรงบิดและความเร่งเชิงมุม แรงบิดนี้เกิดจากความแตกต่างของแรงที่กระทำ ณ รัศมีจากจุดศูนย์กลางการหมุน: ${\displaystyle T_{\text{1}}}$${\displaystyle T_{\text{2}}}$

${\displaystyle F=T_{\text{1}}-T_{\text{2}}}$

การเปรียบเทียบกับกระบอกสูบไร้แรงเสียดทาน

สายเคเบิลที่พันรอบทรงกระบอกไร้แรงเสียดทาน (เช่นเครื่องจักร Atwood ไร้แรงเสียดทาน ) ซึ่งถูกดึงด้วยแรงด้านหนึ่ง จะทำให้เกิดแรงดึงเท่ากันที่อีกด้านหนึ่ง หากระบบอยู่ในสภาวะสมดุล เมื่อแรงดึงที่มีขนาดต่างกันถูกกระทำที่ปลายแต่ละด้านของสายเคเบิล จะส่งผลให้สายเคเบิลเกิดการเร่งความเร็วสุทธิในทิศทางของแรงดึงที่มีขนาดมากกว่า และสายเคเบิลจะลื่นไถลเมื่อเทียบกับทรงกระบอกไร้แรงเสียดทาน

ออยเลอร์ตีพิมพ์ครั้งแรกRemarques sur l'effet du frottement dans l'équilibre (หมายเหตุเกี่ยวกับผลกระทบของแรงเสียดทานในสมดุล) ในบันทึกความทรงจำของBerlin Academy of Scienceในปี พ.ศ. 2312 ^{[ 5 ]} Eytelwein ได้ต่อยอดงานนี้ในภายหลังโดยจัดพิมพ์Handbuch der Statik fester Körper: mit vorzüglicher Rücksicht auf ihre Anwendung in der สถาปนิกในปี 1808 ^{[ 6 ]}

สมการกว้านจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขหลายประการจึงจะใช้ได้:

1. สายเคเบิลนั้นแทบจะไม่สามารถยืดหรือไม่มีความยืดหยุ่นในทิศทางตามยาวได้เลย
2. สายดังกล่าวไม่มี ความแข็ง แง่ในการดัดงอ ซึ่งในกรณีนี้แรงจำนวนมากจะสูญเสียไปเมื่อสายโค้งงอแน่นรอบกระบอกสูบ (สมการต้องได้รับการแก้ไขสำหรับกรณีนี้) ตัวอย่างเช่นสายโบว์เดนมีความแข็งแง่ในระดับหนึ่งและไม่เป็นไปตามหลักการของสมการกว้าน

กว้านยึดทำงานคล้ายกับกลไกเฟืองที่หมุนได้เพียงทิศทางเดียว เมื่อดึงน้ำหนักเข้าที่ในทิศทางนั้นแล้ว ก็สามารถยึดน้ำหนักนั้นไว้ได้ด้วยแรงที่น้อยกว่ามาก ส่วนกว้านขับเคลื่อน หรือที่เรียกว่าวินช์จะหมุนเพื่อให้แรงดึงที่ใช้เพิ่มขึ้นเป็นทวีคูณด้วยแรงเสียดทานระหว่างเชือกกับกว้าน บนเรือใบขนาดใหญ่กว้านยึดและกว้านขับเคลื่อนจะถูกใช้ร่วมกัน เพื่อให้สามารถใช้แรงเพียงเล็กน้อยในการยกใบเรือหนักๆ จากนั้นก็สามารถถอดเชือกออกจากกว้านขับเคลื่อนและผูกไว้ได้อย่างง่ายดาย

ในการปีนผาปรากฏการณ์นี้ช่วยให้คนที่มีน้ำหนักเบากว่าสามารถจับ ( เบเลย์ ) คนที่มีน้ำหนักมากกว่าได้เมื่อปีนแบบท็อปโรปและยังทำให้เกิดแรงเสียดทานของเชือกในระหว่าง การปี น แบบลีดไคลม์มิ่ง อีกด้วย

สายพานลำเลียงวัสดุจำนวนมากอาศัยแรงเสียดทานระหว่างสายพานและรอก ขับเคลื่อน เพื่อให้เกิดแรงฉุดที่เพียงพอวิศวกรออกแบบ สายพาน ลำเลียงใช้สมการของลูกรอกเพื่อตรวจสอบว่าไม่มีการลื่นไถลที่ไม่พึงประสงค์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในช่วงเริ่มต้นและหยุด การเพิ่มแรงดึงเริ่มต้นในสายพาน (เรียกว่าแรงดึงปรับความตึง) ช่วยให้แรงบิดในการขับเคลื่อนมากขึ้นเพื่อให้ได้แรงฉุดที่เหมาะสม ป้องกันการลื่นไถลได้ตามต้องการ

ตารางด้านล่างแสดงค่าของตัวประกอบโดย พิจารณาจากจำนวนรอบและสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานμ${\displaystyle e^{\mu \varphi }\,}$

จากตารางจะเห็นได้ชัดว่าทำไมเราจึงไม่ค่อยเห็นเชือก (เชือกที่อยู่ด้านข้างของใบเรือ) พันรอบวินช์เกินสามรอบ เพราะแรงที่ได้จะมากเกินไป นอกจากจะไม่ได้ผลแล้ว ยังเสี่ยงต่อการเกิดการพันกันของเชือกทำให้เชือกติดเป็นปมและไม่คลายออกเมื่อคลาย (โดยการคลายแรงดึงที่ปลายเชือกด้านอิสระ)

ทั้งในสมัยโบราณและสมัยใหม่ เป็นเรื่องปกติที่กว้านสมอและกว้านใบเรือจะมีฐานที่บานออกเล็กน้อย แทนที่จะเป็นทรงกระบอก เพื่อป้องกันไม่ให้เชือก ( เชือกสมอหรือเชือกใบเรือ) เลื่อนลง เชือกที่พันรอบกว้านหลายรอบสามารถเลื่อนขึ้นไปด้านบนได้ทีละน้อย โดยมีความเสี่ยงน้อยที่จะเกิดการพลิกคว่ำ หากมีการดึงปลายเชือกที่หลวมให้เรียบร้อย (ดึงปลายเชือกที่หลวมออก) ด้วยมือหรือเครื่องดึงปลายเชือกอัตโนมัติ

ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 153,552,935 ข้างต้น (จากการหมุน 5 รอบของกว้านที่มีสัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน 0.6) หมายความว่า ในทางทฤษฎีแล้ว เด็กตัวเล็กๆ คนหนึ่งจะสามารถยก (แต่ไม่สามารถเคลื่อนย้าย) น้ำหนักของเรือ บรรทุกเครื่องบิน USS  Nimitz สอง ลำ (ลำละ 97,000 ตัน แต่สำหรับเด็กแล้วจะมีน้ำหนักเพียงเล็กน้อยกว่า 1 กิโลกรัม) จำนวนรอบที่มากของการหมุนรอบกว้านประกอบกับสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานที่สูงเช่นนี้ หมายความว่าไม่จำเป็นต้องใช้แรงเพิ่มเติมมากนักในการยึดน้ำหนักที่มากเช่นนี้ไว้ ส่วนสายเคเบิลที่จำเป็นในการรองรับน้ำหนักนี้ รวมถึงความสามารถของกว้านในการทนต่อแรงกดของสายเคเบิลเหล่านั้น เป็นเรื่องที่ต้องพิจารณาแยกต่างหาก

แรงดึงที่ใช้เป็นฟังก์ชันของมุมรวมที่เชือกทำกับกว้าน เมื่อใกล้จะลื่นไถล แรงดึงนี้ก็คือแรงเสียดทาน ซึ่งตามนิยามแล้วคือเท่าของแรงปฏิกิริยาตั้งฉากโดยใช้เรขาคณิตอย่างง่าย แรงปฏิกิริยาตั้งฉากเพิ่มเติมเมื่อเพิ่มมุมขึ้นเล็กน้อยจะประมาณได้ดีด้วย เมื่อ รวมสิ่งเหล่านี้เข้าด้วยกันและพิจารณาค่าที่เล็กมาก ๆ จะได้สมการเชิงอนุพันธ์ ${\textstyle T_{\mathrm {load} }(\varphi )}$${\textstyle \mu }$${\displaystyle R(\varphi )}$${\textstyle \delta R(\varphi )=R(\varphi +\delta \varphi )-R(\varphi )}$${\textstyle \delta \varphi }$${\textstyle \delta R(\varphi )\approx T_{\mathrm {load} }(\varphi )\sin(\delta \varphi )\approx T_{\mathrm {load} }(\varphi )\delta \varphi }$${\textstyle \delta \varphi }$

${\displaystyle {\frac {dT_{\mathrm {load} }(\varphi )}{d\varphi }}=\mu T_{\mathrm {load} }(\varphi ),\qquad T_{\mathrm {load} }(0)=T_{\mathrm {hold} },}$

ซึ่งคำตอบคือ

${\displaystyle T_{\mathrm {load} }(\varphi )=T_{\mathrm {hold} }e^{\mu \varphi }}$

สมการแรงเสียดทานของสายพานสำหรับสายพานรูปตัววีคือ:

${\displaystyle T_{\text{load}}=T_{\text{hold}}e^{\mu \varphi /\sin(\alpha /2)}}$

มุม (ในหน่วยเรเดียน) ระหว่างด้านแบนทั้งสองของรอกที่สายพานตัววีกดทับอยู่คือ^{[ 7 ]}สายพานแบนมีมุมประสิทธิผล เท่ากับ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =\pi }$

วัสดุของสายพานรูปตัววีหรือสายพานเซอร์เพนไทน์ แบบหลายตัววี มีแนวโน้มที่จะยึดเข้ากับร่องที่เข้าคู่กันในรอกเมื่อภาระเพิ่มขึ้น ซึ่งช่วยปรับปรุงการส่งแรงบิด^{[ 8 ]}

สำหรับการส่งกำลังในระดับเดียวกัน สายพาน V ต้องการแรงตึงน้อยกว่าสายพานแบน ทำให้ยืดอายุการใช้งานของตลับลูกปืนได้^{[ 7 ]}

หากเชือกอยู่ในสภาวะสมดุลภายใต้แรงสัมผัสบน พื้นผิว ออร์โธโทรปิกที่ ขรุขระ เงื่อนไขทั้งสามข้อต่อไปนี้จะเป็นจริง:

1. ไม่มีการแยกตัว – ปฏิกิริยาปกติจะเป็นบวกสำหรับทุกจุดบนเส้นโค้งของเชือก: ${\displaystyle N}$

   ${\displaystyle N=-k_{n}T>0}$โดยที่คือความโค้งปกติของเส้นโค้งเชือก${\displaystyle k_{n}}$

2. ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานและมุม การลาก ต้องเป็นไปตามเกณฑ์ต่อไปนี้สำหรับทุกจุดบนเส้นโค้ง ${\displaystyle \mu _{g}}$${\displaystyle \alpha }$

   ${\displaystyle -\mu _{g}<\tan \alpha <+\mu _{g}}$

3. ค่าขีดจำกัดของแรงสัมผัส:

   แรงที่ปลายทั้งสองข้างของเชือกเป็นไปตามอสมการต่อไปนี้ ${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{0}}$

   ${\displaystyle T_{0}e^{-\int _{s}\omega \,ds}\leq T\leq T_{0}e^{\int _{s}\omega \,ds}}$

   กับ${\displaystyle \omega =\mu _{\tau }{\sqrt {k_{n}^{2}-{\frac {k_{g}^{2}}{\mu _{g}^{2}}}}}=\mu _{\tau }k{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\mu _{g}^{2}}}}},}$

   โดยที่คือความโค้งเชิงธรณีของเส้นโค้งเชือกคือความโค้งของเส้นโค้งเชือก และคือสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานในทิศทางสัมผัส${\displaystyle k_{g}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mu _{\tau }}$

   ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle \omega ={\text{constant}}}$${\displaystyle T_{0}e^{-\mu _{\tau }ks\,{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha /\mu _{g}^{2}}}}\leq T\leq T_{0}e^{\mu _{\tau }ks\,{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha /\mu _{g}^{2}}}}.}$

การสรุปทั่วไปนี้ได้รับโดย Konyukhov ^{[ 9 ] [ 10 ]}

• แรงเสียดทานของสายพาน
• กลศาสตร์การสัมผัสเสียดทาน
• เครื่องขยายแรงบิดคืออุปกรณ์ที่ใช้ประโยชน์จากปรากฏการณ์แคปสแตน (capstan effect) ในการขยายแรงบิดของเพลาหมุน

• อาร์เน คิห์ลเบิร์ก, Kompendium และ Mekanik สำหรับ E1, del II, Göteborg 1980, 60–62

• เครื่องคำนวณสมการกว้าน (Capstan equation calculator) เก็บถาวรเมื่อ 31 มีนาคม 2016 ที่Wayback Machine