ในทางคณิตศาสตร์ข้อสันนิษฐานเรื่องฟังก์ชันโทเทียนต์ของคาร์ไมเคิลเกี่ยวข้องกับความหลากหลายของค่าของฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์${\displaystyle \varphi (n)}$ซึ่งนับจำนวนเต็มที่น้อยกว่าและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ${\displaystyle n}$ระบุว่า สำหรับทุกๆ${\displaystyle n}$มีจำนวนเต็มอื่นอย่างน้อยหนึ่งจำนวน${\displaystyle m\neq n}$โดยที่${\displaystyle \varphi (m)=\varphi (n)}$โร เบิร์ต คาร์ไมเคิล เป็นคนแรกที่กล่าวถึง ข้อสันนิษฐานนี้ในปี 1907 แต่ในฐานะทฤษฎีบท มากกว่าข้อสันนิษฐาน อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์ของเขามีข้อบกพร่อง และในปี 1922 เขาจึงถอนคำกล่าวอ้างของเขาและ ระบุว่าข้อสันนิษฐานนี้เป็นปัญหาที่ยังไม่มีคำตอบ

ฟังก์ชันโทเทียนต์${\displaystyle \varphi (n)}$เท่ากับ 2 เมื่อ${\displaystyle n}$คือค่าใดค่าหนึ่งในสามค่า ได้แก่ 3, 4 และ 6 ดังนั้น ถ้าเราเลือกค่าใดค่าหนึ่งในสามค่านี้เป็น${\displaystyle n}$จากนั้นสามารถใช้ค่าใดค่าหนึ่งจากสองค่าที่เหลือเป็นค่าได้${\displaystyle m}$ซึ่ง${\displaystyle \varphi (m)=\varphi (n)}$.

ในทำนองเดียวกัน ค่าโทเทียนต์จะเท่ากับ 4 เมื่อ${\displaystyle n}$คือค่าหนึ่งในสี่ค่า ได้แก่ 5, 8, 10 และ 12 และมีค่าเท่ากับ 6 เมื่อ${\displaystyle n}$คือค่าใดค่าหนึ่งในสี่ค่า ได้แก่ 7, 9, 14 และ 18 ในแต่ละกรณีจะมีค่ามากกว่าหนึ่งค่า${\displaystyle n}$มีค่าเท่ากันของ${\displaystyle \varphi (n)}$.

ข้อสันนิษฐานนี้กล่าวว่าปรากฏการณ์ค่าซ้ำนี้เกิดขึ้นกับทุกๆ${\displaystyle n}$.

${\displaystyle k}$	ค่านิยม${\displaystyle n}$โดยที่${\displaystyle \varphi (n)=k}$(ลำดับA032447ในOEIS )	จำนวนค่าดังกล่าว(ลำดับA014197ในOEIS )
1	1, 2	2
2	3, 4, 6	3
4	5, 8, 10, 12	4
6	7, 9, 14, 18	4
8	15, 16, 20, 24, 30	5
10	11, 22	2
12	13, 21, 26, 28, 36, 42	6
16	17, 32, 34, 40, 48, 60	6
18	19, 27, 38, 54	4
20	25, 33, 44, 50, 66	5
22	23, 46	2
24	35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84, 90	10
28	29, 58	2
30	31, 62	2
32	51, 64, 68, 80, 96, 102, 120	7
36	37, 57, 63, 74, 76, 108, 114, 126	8
40	41, 55, 75, 82, 88, 100, 110, 132, 150	9
42	43, 49, 86, 98	4
44	69, 92, 138	3
46	47, 94	2
48	65, 104, 105, 112, 130, 140, 144, 156, 168, 180, 210	11
52	53, 106	2
54	81, 162	2
56	87, 116, 174	3
58	59, 118	2
60	61, 77, 93, 99, 122, 124, 154, 186, 198	9
64	85, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240	8
66	67, 134	2
70	71, 142	2
72	73, 91, 95, 111, 117, 135, 146, 148, 152, 182, 190, 216, 222, 228, 234, 252, 270	17

มีขอบเขตล่างที่ สูงมาก สำหรับข้อสันนิษฐานของคาร์ไมเคิล ซึ่งค่อนข้างง่ายต่อการกำหนด คาร์ไมเคิลเองได้พิสูจน์แล้วว่าตัวอย่างค้านใดๆ ต่อข้อสันนิษฐานของเขา (นั่นคือ ค่า)${\displaystyle n}$โดยที่${\displaystyle \varphi (n)}$ค่า (ซึ่งแตกต่างจากค่า totient ของจำนวนอื่นๆ ทั้งหมด) จะต้องมีค่าอย่างน้อย^10³⁷และวิกเตอร์ คลีได้ขยายผลลัพธ์นี้ไปถึง^10⁴⁰⁰ขอบเขตล่างของ${\displaystyle 10^{10^{7}}}$ได้รับมาจาก Schlafly และWagonและขอบเขตล่างของ${\displaystyle 10^{10^{10}}}$ได้รับการตัดสินโดยเควิน ฟอร์ดในปี 1998 ^{[ 1 ]}

เทคนิคการคำนวณที่อยู่เบื้องหลังขอบเขตล่างเหล่านี้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์สำคัญบางประการของ Klee ซึ่งทำให้สามารถแสดงได้ว่าตัวอย่างค้านที่เล็กที่สุดจะต้องหารลงตัวด้วยกำลังสองของจำนวนเฉพาะที่หารค่าโทเทียนต์ของมัน ผลลัพธ์ของ Klee บ่งชี้ว่า 8 และจำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์ (จำนวนเฉพาะในรูปแบบ )${\displaystyle 2^{2^{k}}+1}$) ยกเว้น 3 ไม่สามารถหารตัวอย่างค้านที่เล็กที่สุดได้ ดังนั้น การพิสูจน์ข้อสันนิษฐานจึงเทียบเท่ากับการพิสูจน์ว่าข้อสันนิษฐานนั้นเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมดที่สอดคล้องกับ 4  (mod  8)

ฟอร์ดพิสูจน์แล้วว่าหากมีตัวอย่างค้านต่อข้อสันนิษฐาน สัดส่วนบวก (ในแง่ของความหนาแน่นเชิงอะซิมโทติก) ของจำนวนเต็มก็ถือเป็นตัวอย่างค้านเช่นกัน^{[ 1 ]}

แม้ว่าข้อสันนิษฐานนี้จะเป็นที่เชื่อกันอย่างกว้างขวาง แต่คาร์ล โพเมอรองซ์ได้ให้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับจำนวนเต็ม${\displaystyle n}$เพื่อเป็นตัวอย่างค้านต่อข้อสันนิษฐาน( Pomerance 1974 )ตามเงื่อนไขนี้${\displaystyle n}$เป็นตัวอย่างค้าน ถ้าสำหรับจำนวนเฉพาะทุกตัว${\displaystyle p}$โดยที่${\displaystyle p-1}$แบ่งแยก${\displaystyle \varphi (n)}$,${\displaystyle p^{2}}$แบ่งแยก${\displaystyle n}$อย่างไรก็ตามโพเมอรองซ์แสดงให้เห็นว่าการมีอยู่ของจำนวนเต็มดังกล่าวเป็นไปได้ยากมาก โดยพื้นฐานแล้ว สามารถแสดงได้ว่าถ้าเงื่อนไขแรกเป็นจริง${\displaystyle k}$จำนวนเฉพาะ${\displaystyle p}$สอดคล้องกับ 1  (มอด ${\displaystyle q}$) (ที่ไหน${\displaystyle q}$(เป็นจำนวนเฉพาะ) ทั้งหมดมีค่าน้อยกว่า${\displaystyle q^{k+1}}$ดังนั้น จำนวนเต็มดังกล่าวจะต้องหารลงตัวด้วยจำนวนเฉพาะทุกจำนวน และด้วยเหตุนี้จึงไม่มีอยู่จริง ไม่ว่าในกรณีใด การพิสูจน์ว่าตัวอย่างค้านของ Pomerance ไม่มีอยู่จริงนั้นยังห่างไกลจากการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของ Carmichael มาก อย่างไรก็ตาม หากมันมีอยู่จริง ก็จะมีตัวอย่างค้านมากมายนับไม่ถ้วนตามที่ Ford กล่าวไว้

อีกวิธีหนึ่งในการกล่าวถึงสมมติฐานของคาร์ไมเคิลคือ ถ้า ${\displaystyle A(f)}$หมายถึงจำนวนเต็มบวก${\displaystyle n}$ซึ่ง${\displaystyle \varphi (n)=f}$, แล้ว${\displaystyle A(f)}$ไม่สามารถเท่ากับ 1 ได้เลย ในทำนองเดียวกันวาคลาฟ เซียร์ปินสกีตั้งข้อสันนิษฐานว่า จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่ไม่ใช่ 1 จะปรากฏเป็นค่าของ${\displaystyle A(f)}$ซึ่งเป็นข้อสันนิษฐานที่ได้รับการพิสูจน์ในปี 1999 โดยเควิน ฟอร์ด^{[ 2 ]}

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "ข้อสันนิษฐานฟังก์ชันโทเทียนต์ของคาร์ไมเคิล" , MathWorld