ในทางสถิติคำถามเกี่ยวกับการตรวจสอบว่าเหรียญนั้นยุติธรรมหรือไม่มีความสำคัญอยู่สองประการ ประการแรกคือ เป็นตัวอย่างปัญหาที่ง่ายสำหรับการอธิบายแนวคิดพื้นฐานของการอนุมานทางสถิติและประการที่สองคือ เป็นตัวอย่างปัญหาที่ง่ายสำหรับการเปรียบเทียบวิธีการอนุมานทางสถิติต่างๆ รวมถึงทฤษฎีการตัดสินใจปัญหาในทางปฏิบัติเกี่ยวกับการตรวจสอบว่าเหรียญนั้นยุติธรรมหรือไม่ อาจดูเหมือนแก้ไขได้ง่ายโดยการทำการทดลองจำนวนมากพอ แต่สถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็นสามารถให้คำแนะนำเกี่ยวกับคำถามสองประเภท ได้แก่ คำถามเกี่ยวกับจำนวนการทดลองที่ควรทำ และความถูกต้องของการประมาณความน่าจะเป็นของการได้หัวจากตัวอย่างการทดลองที่กำหนด

เหรียญยุติธรรมเป็นอุปกรณ์สุ่มใน อุดมคติ ที่มีสองสถานะ (โดยปกติเรียกว่า"หัว" และ "ก้อย" ) ซึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน โดยอิงจากการโยนเหรียญที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในกีฬาและสถานการณ์อื่นๆ ที่จำเป็นต้องให้ทั้งสองฝ่ายมีโอกาสชนะเท่ากัน อาจ ใช้ ชิป ที่ออกแบบมาเป็นพิเศษ หรือโดยทั่วไปแล้ว จะใช้ เหรียญธรรมดา แม้ว่าเหรียญธรรมดาอาจจะ "ไม่ยุติธรรม" เล็กน้อยเนื่องจากการกระจายน้ำหนักที่ไม่สมมาตร ซึ่งอาจทำให้สถานะหนึ่งเกิดขึ้นบ่อยกว่าอีกสถานะหนึ่ง ทำให้ฝ่ายหนึ่งได้เปรียบอย่างไม่ยุติธรรม^{[ 1 ]} ดังนั้นจึงอาจจำเป็นต้องทดสอบในเชิงทดลองว่าเหรียญนั้น "ยุติธรรม " จริงหรือไม่ นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะตกด้านใดด้านหนึ่งเมื่อโยนนั้นเท่ากับ 50% อย่างแน่นอน เป็นไปไม่ได้ที่จะตัดความเป็นไปได้ของการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากความยุติธรรมออกไป เช่น ที่อาจคาดว่าจะส่งผลกระทบต่อการโยนเพียงครั้งเดียวในชีวิตของการโยน นอกจากนี้ยังเป็นไปได้เสมอที่เหรียญที่ไม่ยุติธรรม (หรือ " ลำเอียง ") จะออกหัว 10 ครั้งพอดีใน 20 ครั้ง ดังนั้น การทดสอบความยุติธรรมใดๆ จึงต้องสร้างความมั่นใจได้เพียงระดับหนึ่งของความยุติธรรม (อคติสูงสุดที่กำหนดไว้) เท่านั้น ในแง่ที่เข้มงวดกว่านั้น ปัญหาคือการกำหนดพารามิเตอร์ของกระบวนการเบอร์นูลลีโดย พิจารณาจากตัวอย่าง การทดลองเบอร์นูลลีที่มีจำกัดเท่านั้น

บทความนี้อธิบายขั้นตอนการทดลองเพื่อตรวจสอบว่าเหรียญนั้นยุติธรรมหรือไม่ยุติธรรม มีวิธีการทางสถิติมากมายสำหรับการวิเคราะห์ขั้นตอนการทดลองดังกล่าว บทความนี้จะยกตัวอย่างสองวิธี

ทั้งสองวิธีต่างก็กำหนดให้มีการทดลอง (หรือการทดสอบ) โดยการโยนเหรียญหลายครั้งและบันทึกผลลัพธ์ของการโยนแต่ละครั้ง จากนั้นจึงนำผลลัพธ์เหล่านั้นมาวิเคราะห์ทางสถิติเพื่อตัดสินว่าเหรียญนั้น "ยุติธรรม" หรือ "อาจจะไม่ยุติธรรม"

• ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นภายหลังหรือ PDF ( แนวทางแบบเบย์เซียน ) ในขั้นต้น ความน่าจะเป็นที่แท้จริงของการได้ด้านใดด้านหนึ่งเมื่อโยนเหรียญนั้นไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด แต่ความไม่แน่นอนนั้นแสดงด้วย " การแจกแจงก่อนหน้า " ทฤษฎีการอนุมานแบบเบย์เซียนถูกนำมาใช้เพื่อหาการแจกแจงภายหลังโดยการรวมการแจกแจงก่อนหน้าและฟังก์ชันความน่าจะเป็นซึ่งแสดงถึงข้อมูลที่ได้จากการทดลอง จากนั้น ความน่าจะเป็นที่เหรียญนี้เป็น "เหรียญที่ยุติธรรม" สามารถหาได้โดยการอินทิเกรต PDF ของการแจกแจงภายหลังในช่วงที่เกี่ยวข้อง ซึ่งแสดงถึงความน่าจะเป็นทั้งหมดที่สามารถนับได้ว่าเป็น "ยุติธรรม" ในความหมายเชิงปฏิบัติ
• ตัวประมาณความน่าจะเป็นที่แท้จริง ( แนวทางความถี่ ) วิธีนี้ตั้งสมมติฐานว่าผู้ทำการทดลองสามารถตัดสินใจโยนเหรียญได้กี่ครั้งก็ได้ ผู้ทำการทดลองจะตัดสินใจก่อนว่าต้องการระดับความเชื่อมั่นเท่าใดและขอบเขตความคลาดเคลื่อนที่ยอมรับได้คือเท่าใด พารามิเตอร์เหล่านี้จะกำหนดจำนวนครั้งขั้นต่ำที่ต้องโยนเหรียญเพื่อให้การทดลองเสร็จสมบูรณ์

ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างสองแนวทางนี้คือ แนวทางแรกให้ความสำคัญกับประสบการณ์การโยนเหรียญในอดีต ในขณะที่แนวทางที่สองไม่ได้ให้ความสำคัญ ส่วนคำถามที่ว่าควรให้ความสำคัญกับประสบการณ์ในอดีตมากน้อยเพียงใด ขึ้นอยู่กับคุณภาพ (ความน่าเชื่อถือ) ของประสบการณ์นั้น จะมีการกล่าวถึงในหัวข้อทฤษฎีความน่าเชื่อถือ

วิธีหนึ่งคือการคำนวณฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะ เป็นภายหลัง ของทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์เซียน

การทดสอบจะทำโดยการโยนเหรียญNครั้ง และจดบันทึกจำนวนครั้งที่ได้หัว ( h ) และก้อย ( t ) สัญลักษณ์HและTแทนตัวแปรทั่วไปที่แสดงจำนวนครั้งที่ได้หัวและก้อยตามลำดับ ซึ่งอาจสังเกตได้ในการทดลอง ดังนั้นN = H + T = h + t

ต่อไป ให้rเป็นความน่าจะเป็นที่แท้จริงของการได้หัวในการโยนเหรียญครั้งเดียว นี่คือคุณสมบัติของเหรียญที่เรากำลังตรวจสอบ โดยใช้ทฤษฎีบทของเบย์ส ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นภายหลังของrโดยมีเงื่อนไขบนhและtสามารถแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle f(r\mid H=h,T=t)={\frac {\Pr(H=h\mid r,N=h+t)\,g(r)}{\int _{0}^{1}\Pr(H=h\mid p,N=h+t)\,g(p)\,dp}},}$

โดยที่g ( r ) แทนการกระจายความหนาแน่นความน่าจะเป็นก่อนหน้าของrซึ่งอยู่ในช่วง 0 ถึง 1

การแจกแจงความหนาแน่นความน่าจะเป็นก่อนหน้าจะสรุปสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับการแจกแจงของrในกรณีที่ไม่มีการสังเกตใดๆ เราจะสมมติว่าการแจกแจงก่อนหน้าของrเป็นแบบเอกรูปในช่วง [0,  1] นั่นคือg ( r ) = 1 (ในทางปฏิบัติ การสมมติการแจกแจงก่อนหน้าที่มีน้ำหนักมากกว่าในบริเวณรอบๆ 0.5 จะเหมาะสมกว่า เพื่อสะท้อนประสบการณ์ของเรากับเหรียญจริง)

ความน่าจะเป็นที่จะได้ หัว hครั้งในการโยนเหรียญN ครั้ง โดยที่ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวเท่ากับ rนั้น กำหนดโดยการแจกแจงทวินามดังนี้ :

${\displaystyle \Pr(H=h\mid r,N=h+t)={N \choose h}r^{h}(1-r)^{t}.}$

นำค่านี้ไปแทนในสูตรก่อนหน้า:

${\displaystyle f(r\mid H=h,T=t)={\frac {{N \choose h}r^{h}(1-r)^{t}}{\int _{0}^{1}{N \choose h}p^{h}(1-p)^{t}\,dp}}={\frac {r^{h}(1-r)^{t}}{\int _{0}^{1}p^{h}(1-p)^{t}\,dp}}.}$

อันที่จริงนี่คือการแจกแจงแบบเบตา (ซึ่ง เป็นการแจกแจง แบบก่อนหน้าคู่ควบของการแจกแจงแบบทวินาม) โดยที่ตัวส่วนสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันเบตา :

${\displaystyle f(r\mid H=h,T=t)={\frac {1}{\mathrm {B} (h+1,t+1)}}r^{h}(1-r)^{t}.}$

เนื่องจากมีการสมมติการแจกแจงความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบสม่ำเสมอ และเนื่องจากhและtเป็นจำนวนเต็ม จึงสามารถเขียนในรูปของแฟกทอเรียล ได้เช่นกัน :

${\displaystyle f(r\mid H=h,T=t)={\frac {(h+t+1)!}{h!\,t!}}r^{h}(1-r)^{t}.}$

ตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น ให้N = 10, h = 7 นั่นคือ โยนเหรียญ 10 ครั้ง และได้หัว 7 ครั้ง:

${\displaystyle f(r\mid H=7,T=3)={\frac {(10+1)!}{7!\,3!}}r^{7}(1-r)^{3}=1320\,r^{7}(1-r)^{3}.}$

กราฟทางด้านขวาแสดงฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของrเมื่อทราบว่าได้หัว 7 ครั้งจากการโยนเหรียญ 10 ครั้ง (หมายเหตุ: rคือความน่าจะเป็นที่จะได้หัวเมื่อโยนเหรียญเดิมซ้ำ 1 ครั้ง)

ความน่าจะเป็นสำหรับเหรียญที่ไม่เอนเอียง (ซึ่งในที่นี้หมายถึงเหรียญที่มีความน่าจะเป็นที่จะออกหัวอยู่ระหว่าง 45% ถึง 55%)

${\displaystyle \Pr(0.45<r<0.55)=\int _{0.45}^{0.55}f(p\mid H=7,T=3)\,dp\approx 13\%\!}$

ค่าความน่าจะ เป็นนี้มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับสมมติฐานทางเลือก (เหรียญมีอคติ) อย่างไรก็ตาม ค่านี้ไม่ได้เล็กพอที่จะทำให้เราเชื่อว่าเหรียญมีอคติอย่างมีนัยสำคัญ ความน่าจะเป็นนี้สูงกว่าสมมติฐานเบื้องต้นของเราเล็กน้อยเกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่เหรียญนั้นยุติธรรม ซึ่งสอดคล้องกับการแจกแจงความน่าจะเป็นก่อนหน้าแบบสม่ำเสมอ ซึ่งคือ 10% การใช้การแจกแจงความน่าจะเป็นก่อนหน้าที่สะท้อนถึงความรู้ก่อนหน้าของเราเกี่ยวกับเหรียญและพฤติกรรมของมัน การแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังจะไม่สนับสนุนสมมติฐานเรื่องอคติ อย่างไรก็ตาม จำนวนครั้งในการทดลองในตัวอย่างนี้ (โยน 10 ครั้ง) น้อยมาก และหากมีการทดลองมากขึ้น การเลือกการแจกแจงความน่าจะเป็นก่อนหน้าก็จะมีความสำคัญน้อยลง

เมื่อใช้ไพรเออร์แบบเอกรูป การแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังf ( r  | H = 7, T = 3) จะมีค่าสูงสุดที่r = h / ( h + t ) = 0.7; ค่านี้เรียกว่า ค่า ประมาณภายหลังสูงสุด(MAP)ของrนอกจากนี้ เมื่อใช้ไพรเออร์แบบเอกรูป ค่าที่คาดหวังของrภายใต้การแจกแจงภายหลังคือ            

${\displaystyle \operatorname {E} [r]=\int _{0}^{1}r\cdot f(r\mid H=7,T=3)\,\mathrm {d} r={\frac {h+1}{h+t+2}}={\frac {2}{3}}.}$

ตัวประมาณที่ดีที่สุดสำหรับค่าที่แท้จริง ${\displaystyle r\,\!}$คือตัวประมาณค่า${\displaystyle p\,\!={\frac {h}{h+t}}}$. ตัวประมาณค่านี้มีค่าความคลาดเคลื่อน (E) โดยที่${\displaystyle |pr|<E}$ที่ระดับความเชื่อมั่นระดับหนึ่ง

ด้วยวิธีการนี้ การตัดสินใจว่าควรโยนเหรียญกี่ครั้ง จำเป็นต้องใช้พารามิเตอร์สองตัว:

1. ระดับความเชื่อมั่นซึ่งแสดงด้วยช่วงความเชื่อมั่น (Z)
2. ค่าความคลาดเคลื่อนสูงสุด (ที่ยอมรับได้) (E)

• ระดับความเชื่อมั่นแสดงด้วยสัญลักษณ์ Z และกำหนดโดยค่า Z ของการแจกแจงปกติ มาตรฐาน ค่านี้สามารถอ่านได้จาก ตารางสถิติ คะแนนมาตรฐานสำหรับการแจกแจงปกติ ตัวอย่างเช่น:

• ข้อผิดพลาดสูงสุด (E) ถูกกำหนดโดย${\displaystyle |pr|<E}$ที่ไหน${\displaystyle p\,\!}$คือความน่าจะเป็นโดยประมาณของการได้หัว หมายเหตุ:${\displaystyle r}$คือความน่าจะเป็นจริง (ของการได้หัว) เท่ากับ ${\displaystyle r\,\!}$จากส่วนก่อนหน้าในบทความนี้
• ในทางสถิติ ค่าประมาณสัดส่วนของกลุ่มตัวอย่าง (แทนด้วยp ) จะมีค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานดังนี้:

${\displaystyle s_{p}={\sqrt {\frac {p\,(1-p)}{n}}}}$

โดยที่nคือจำนวนครั้งของการทดลอง (ซึ่งในส่วนก่อนหน้านี้ได้ใช้สัญลักษณ์N แทนไว้ )

ข้อผิดพลาดมาตรฐานนี้${\displaystyle s_{p}}$ฟังก์ชันของpมีค่าสูงสุดที่${\displaystyle p=(1-p)=0.5}$นอกจากนี้ ในกรณีของการโยนเหรียญ ค่า pน่าจะอยู่ไม่ไกลจาก 0.5 ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะใช้p = 0.5 ในตัวอย่างต่อไปนี้:

${\displaystyle s_{p}\,\!}$

${\displaystyle ={\sqrt {\frac {p\,(1-p)}{n}}}\leq {\sqrt {\frac {0.5\times 0.5}{n}}}={\frac {1}{2\,{\sqrt {n}}}}}$

ดังนั้นค่าความคลาดเคลื่อนสูงสุด (E) จึงกำหนดโดย

${\displaystyle E=Z\,s_{p}={\frac {Z}{2\,{\sqrt {n}}}}}$

การหาจำนวนครั้งในการโยนเหรียญที่ต้องการn

${\displaystyle n={\frac {Z^{2}}{4\,E^{2}}}\!}$

แนวทางอื่นๆ ในการตรวจสอบว่าเหรียญยุติธรรมหรือไม่นั้นสามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีการตัดสินใจซึ่งการประยุกต์ใช้จะต้องกำหนดฟังก์ชันการสูญเสียหรือฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่อธิบายถึงผลที่ตามมาจากการตัดสินใจที่กำหนดไว้ แนวทางที่หลีกเลี่ยงการใช้ฟังก์ชันการสูญเสียหรือความน่าจะเป็นล่วงหน้า (เช่นเดียวกับในแนวทางแบบเบย์เซียน) คือ "การสุ่มตัวอย่างการยอมรับ" ^{[ 2 ]}

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ข้างต้นเพื่อตรวจสอบว่าเหรียญนั้นยุติธรรมหรือไม่ สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในด้านอื่นๆ ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น:

• การหาอัตราส่วนของสินค้าที่ชำรุดสำหรับผลิตภัณฑ์ที่อยู่ภายใต้เงื่อนไขเฉพาะ (แต่กำหนดไว้อย่างชัดเจน) บางครั้งผลิตภัณฑ์อาจผลิตได้ยากหรือมีราคาแพงมาก นอกจากนี้ หากการทดสอบผลิตภัณฑ์ดังกล่าวจะส่งผลให้ผลิตภัณฑ์นั้นเสียหาย ควรทดสอบจำนวนสินค้าให้น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยใช้การวิเคราะห์ที่คล้ายกันนี้ เราสามารถหาฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของอัตราความชำรุดของผลิตภัณฑ์ได้
• การสำรวจความคิดเห็นแบบสองพรรค หากทำการสำรวจความคิดเห็นแบบสุ่มตัวอย่างขนาดเล็ก โดยมีเพียงสองตัวเลือกที่ไม่ซ้ำกัน การสำรวจนี้จะคล้ายกับการโยนเหรียญเดียวหลายครั้ง โดยเหรียญนั้นอาจมีความลำเอียง ดังนั้นจึงสามารถนำการวิเคราะห์ที่คล้ายกันมาใช้เพื่อหาค่าความเชื่อมั่นที่ควรมีต่ออัตราส่วนของคะแนนเสียงที่ได้รับจริง (หากอนุญาตให้ประชาชนงดออกเสียงการวิเคราะห์จะต้องคำนึงถึงเรื่องนั้นด้วย และการเปรียบเทียบกับการโยนเหรียญจะไม่ถูกต้องนัก)
• การหาอัตราส่วนเพศในกลุ่มสัตว์ขนาดใหญ่ชนิดหนึ่ง หากสุ่มตัวอย่างมาจำนวนน้อย (เช่น น้อยเมื่อเทียบกับประชากรทั้งหมด) การวิเคราะห์จะคล้ายกับการหาความน่าจะเป็นของการได้หัวในการโยนเหรียญ

• การทดสอบทวินาม
• การโยนเหรียญ
• ช่วงความเชื่อมั่น
• ทฤษฎีการประมาณค่า
• สถิติเชิงอนุมาน
• ลูกเต๋าที่ถูกดัดแปลง
• ระยะคลาดเคลื่อน
• การประมาณค่าจุด
• ความสุ่มทางสถิติ