เราสามารถลดรูปไปสู่กรณีที่... ก่อนได้${\displaystyle X}$ไม่สามารถลดทอนได้ เริ่มต้นด้วย${\displaystyle X}$เป็นโนเธอร์เรียนเนื่องจากมีประเภทจำกัดบนฐานโนเธอร์เรียน ดังนั้นจึงมีส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้จำนวนจำกัด${\displaystyle X_{i}}$และเราอ้างว่าสำหรับแต่ละ${\displaystyle X_{i}}$มีคุณสมบัติที่ไม่สามารถลดทอนได้${\displaystyle S}$-โครงการ${\displaystyle Y_{i}}$ดังนั้น${\displaystyle Y_{i}\to X}$มีภาพเชิงทฤษฎีเซต${\displaystyle X_{i}}$และเป็นไอโซมอร์ฟิซึมบนเซตย่อยหนาแน่นแบบเปิด${\displaystyle X_{i}\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}}$ของ${\displaystyle X_{i}}$เพื่อดูสิ่งนี้ ให้กำหนดคำจำกัดความ${\displaystyle Y_{i}}$เพื่อเป็นภาพเชิงทฤษฎีโครงร่างของการจุ่มแบบเปิด

${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X.}$

เนื่องจาก${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}}$เป็นโนเธอร์เรียนตามทฤษฎีเซตสำหรับแต่ละ${\displaystyle i}$แผนที่${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X}$เป็นกึ่งกระชับ และเราสามารถคำนวณภาพเชิงทฤษฎีโครงร่างนี้แบบแอฟฟินเฉพาะที่บน${\displaystyle X}$ซึ่งเป็นการพิสูจน์ข้อกล่าวอ้างทั้งสองข้อได้ทันที หากเราสามารถสร้างหลักฐานสำหรับแต่ละข้อได้${\displaystyle Y_{i}}$โปรเจคทีฟ${\displaystyle S}$-โครงการ${\displaystyle Y_{i}'}$ตามที่ระบุในข้อความของทฤษฎีบท เราจึงสามารถนำมาใช้ได้${\displaystyle X'}$เพื่อเป็นสหภาพที่ไม่เกี่ยวข้องกัน${\displaystyle \coprod Y_{i}'}$และ${\displaystyle f}$จะเป็นองค์ประกอบ${\displaystyle \coprod Y_{i}'\to \coprod Y_{i}\to X}$แผนที่นี้เป็นแผนที่เชิงโปรเจคทีฟ และเป็นไอโซมอร์ฟิซึมเหนือเซตเปิด หนาแน่น ของ${\displaystyle X}$, ในขณะที่${\displaystyle \coprod Y_{i}'}$เป็นการฉายภาพ${\displaystyle S}$-scheme เนื่องจากเป็นผลรวมจำกัดของโปรเจคทีฟ${\displaystyle S}$-แผนการต่างๆ เนื่องจากแต่ละแผน${\displaystyle Y_{i}}$เหมาะสมแล้ว${\displaystyle S}$เราได้ทำการลดทอนกรณีดังกล่าวเสร็จสิ้นแล้ว${\displaystyle X}$ไม่สามารถลดทอนได้

ต่อไป เราจะแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle X}$สามารถครอบคลุมได้ด้วยเซตย่อยเปิดจำนวนจำกัด${\displaystyle U_{i}}$เพื่อให้แต่ละคน${\displaystyle U_{i}}$เป็นกึ่งโปรเจคทีฟเหนือ${\displaystyle S}$ในการทำเช่นนี้ เราอาจใช้หลักการความกะทัดรัดแบบกึ่งสมบูรณ์เพื่อครอบคลุมก่อน${\displaystyle S}$โดยการเปิดเชิงเส้นจำนวนจำกัด${\displaystyle S_{j}}$จากนั้นจึงปิดทับภาพต้นแบบของแต่ละภาพ${\displaystyle S_{j}}$ใน${\displaystyle X}$โดยการเปิดเชิงเส้นจำนวนจำกัด${\displaystyle X_{jk}}$แต่ละอันมีการแช่ตัวแบบปิดใน${\displaystyle \mathbb {A} _{S_{j}}^{n}}$เนื่องจาก${\displaystyle X\to S}$เป็นชนิดจำกัดและดังนั้นจึงเป็นกึ่งกระชับ การประกอบแผนที่นี้กับการฝังแบบเปิด${\displaystyle \mathbb {A} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}}$และ${\displaystyle \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$เราจะเห็นว่าแต่ละ${\displaystyle X_{ij}}$เป็นสับสคีมาแบบปิดของสับสคีมาแบบเปิดของ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$. เช่น${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$เป็นแบบโนเธอร์เรียน (Noetherian) ที่ว่า สับสกีมปิดทุกอันของสับสกีมเปิด ก็เป็นสับสกีมเปิดของสับสกีมปิดด้วยเช่นกัน และดังนั้นแต่ละสับสกีมปิดก็จะเป็นสับสกีมเปิดของสับสกีมปิดด้วยเช่นกัน${\displaystyle X_{ij}}$เป็นกึ่งโปรเจคทีฟเหนือ${\displaystyle S}$.

สมมติว่าตอนนี้${\displaystyle \{U_{i}\}}$เป็นการคลุมแบบเปิดที่จำกัดของ${\displaystyle X}$โดยกึ่งโปรเจคทีฟ${\displaystyle S}$-แผนการต่างๆ พร้อมด้วย${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\to P_{i}}$การเปิดรับอย่างเปิดกว้างสู่การฉายภาพ${\displaystyle S}$-แผนการ. ตั้งค่า${\displaystyle U=\cap _{i}U_{i}}$ซึ่งไม่ว่างเปล่าเนื่องจาก${\displaystyle X}$ไม่สามารถลดทอนได้ ข้อจำกัดของ${\displaystyle \phi _{i}}$ถึง${\displaystyle U}$กำหนดมอร์ฟิซึม

${\displaystyle \phi :U\to P=P_{1}\times _{S}\cdots \times _{S}P_{n}}$

ดังนั้น${\displaystyle U\to U_{i}\to P_{i}=U{\stackrel {\phi }{\to }}P{\stackrel {p_{i}}{\to }}P_{i}}$, ที่ไหน${\displaystyle U\to U_{i}}$คือการฉีดแบบแคนอนิกและ${\displaystyle p_{i}:P\to P_{i}}$คือการฉายภาพ การปล่อยให้${\displaystyle j:U\to X}$เพื่อแสดงถึงการฝังตัวแบบเปิดมาตรฐาน เราจึงกำหนด${\displaystyle \psi =(j,\phi )_{S}:U\to X\times _{S}P}$ซึ่งเราอ้างว่าเป็นการจุ่ม (immersion) เพื่อให้เห็นภาพนี้ โปรดสังเกตว่ามอร์ฟิซึมนี้สามารถแยกตัวประกอบได้เป็นมอร์ฟิซึมของกราฟ${\displaystyle U\to U\times _{S}P}$(ซึ่งเป็นการแช่แบบปิด)${\displaystyle P\to S}$(แยกออกจากกัน) ตามด้วยการแช่แบบเปิด${\displaystyle U\times _{S}P\to X\times _{S}P}$; เช่น${\displaystyle X\times _{S}P}$หากเป็นโนเธอร์เรียน เราสามารถใช้ตรรกะเดียวกันกับที่กล่าวมาแล้วเพื่อดูว่าเราสามารถสลับลำดับของการจุ่มแบบเปิดและแบบปิดได้

เอาล่ะ ปล่อยให้${\displaystyle X'}$เป็นภาพเชิงทฤษฎีโครงร่างของ${\displaystyle \psi }$และปัจจัย${\displaystyle \psi }$เช่น

${\displaystyle \psi :U{\stackrel {\psi '}{\to }}X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P}$

ที่ไหน${\displaystyle \psi '}$เป็นการเรียนรู้แบบเปิดกว้างและ${\displaystyle h}$เป็นการแช่แบบปิด ปล่อยให้${\displaystyle q_{1}:X\times _{S}P\to X}$และ${\displaystyle q_{2}:X\times _{S}P\to P}$ให้เป็นภาพฉายมาตรฐาน กำหนด

${\displaystyle f:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{1}}{\to }}X,}$

${\displaystyle g:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{2}}{\to }}P.}$

เราจะแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle X'}$และ${\displaystyle f}$สอดคล้องกับข้อสรุปของทฤษฎีบท

เพื่อแสดง${\displaystyle f}$เนื่องจากเป็นฟังก์ชันทั่วถึง เราจึงสังเกตก่อนว่ามันเป็นเซตที่เหมาะสมและดังนั้นจึงเป็นเซตปิด เนื่องจากภาพของมันมีเซตเปิดหนาแน่นอยู่ด้วย${\displaystyle U\subset X}$เราจึงเห็นว่า${\displaystyle f}$ต้องเป็นฟังก์ชันทั่วถึง นอกจากนี้ยังเห็นได้ง่ายว่า${\displaystyle f}$เหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมบน${\displaystyle U}$เราอาจนำข้อเท็จจริงต่างๆ มาผสานรวมกันได้ดังนี้${\displaystyle f^{-1}(U)=h^{-1}(U\times _{S}P)}$และ${\displaystyle \psi }$เป็นการแปลงแบบไอโซมอร์ฟิซึมกับภาพของมัน เนื่องจาก${\displaystyle \psi }$ปัจจัยต่างๆ เช่น องค์ประกอบของอ่างแช่แบบปิดตามด้วยการแช่แบบเปิด${\displaystyle U\to U\times _{S}P\to X\times _{S}P}$ยังคงต้องแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle X'}$เป็นการฉายภาพเหนือ${\displaystyle S}$.

เราจะทำเช่นนี้โดยการแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle g:X'\to P}$เป็นการจุ่ม เรากำหนดกลุ่มย่อยแบบเปิดสี่กลุ่มต่อไปนี้:

${\displaystyle V_{i}=\phi _{i}(U_{i})\subset P_{i}}$

${\displaystyle W_{i}=p_{i}^{-1}(V_{i})\subset P}$

${\displaystyle U_{i}'=f^{-1}(U_{i})\subset X'}$

${\displaystyle U_{i}''=g^{-1}(W_{i})\subset X'.}$

เนื่องจาก${\displaystyle U_{i}}$ปิดบัง${\displaystyle X}$,${\displaystyle U_{i}'}$ปิดบัง${\displaystyle X'}$และเราต้องการแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle U_{i}''}$ครอบคลุมถึงด้วย${\displaystyle X'}$เราจะทำเช่นนี้โดยการแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle U_{i}'\subset U_{i}''}$สำหรับทุกคน${\displaystyle i}$เป็นการเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle p_{i}\circ g|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}}$เท่ากับ${\displaystyle \phi _{i}\circ f|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}}$ในฐานะแผนที่ของพื้นที่เชิงทอพอโลยี การแทนที่${\displaystyle U_{i}'}$โดยการลดรูป ซึ่งมี ปริภูมิเชิงทอพอโลยีพื้นฐานเดียวกันเราจึงได้ว่ามอร์ฟิซึมทั้งสอง${\displaystyle (U_{i}')_{red}\to P_{i}}$ทั้งสองอย่างเป็นส่วนขยายของแผนที่พื้นฐานของปริภูมิเชิงทอพอโลยี${\displaystyle U\to U_{i}\to P_{i}}$ดังนั้นโดยทฤษฎีบทลดรูปเป็นการแยก พวกมันจึงต้องเท่ากัน${\displaystyle U}$มีความหนาแน่นเชิงโทโพโลยีใน${\displaystyle U_{i}}$. ดังนั้น${\displaystyle U_{i}'\subset U_{i}''}$สำหรับทุกคน${\displaystyle i}$และข้อกล่าวอ้างนั้นได้รับการพิสูจน์แล้ว

ผลสรุปก็คือ${\displaystyle W_{i}}$ปิดบัง${\displaystyle g(X')}$และเราสามารถตรวจสอบได้ว่า${\displaystyle g}$เป็นการจุ่มตัวโดยการตรวจสอบว่า${\displaystyle g|_{U_{i}''}:U_{i}''\to W_{i}}$เป็นการดื่มด่ำสำหรับทุกคน${\displaystyle i}$สำหรับเรื่องนี้ ให้พิจารณาถึงมอร์ฟิซึม

${\displaystyle u_{i}:W_{i}{\stackrel {p_{i}}{\to }}V_{i}{\stackrel {\phi _{i}^{-1}}{\to }}U_{i}\to X.}$

เนื่องจาก${\displaystyle X\to S}$แยกออกจากกัน การแปลงกราฟ${\displaystyle \Gamma _{u_{i}}:W_{i}\to X\times _{S}W_{i}}$เป็นการจุ่มแบบปิดและกราฟ${\displaystyle T_{i}=\Gamma _{u_{i}}(W_{i})}$เป็นโครงข่ายย่อยแบบปิดของ${\displaystyle X\times _{S}W_{i}}$ถ้าเราแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle U\to X\times _{S}W_{i}}$ปัจจัยต่างๆ ผ่านกราฟนี้ (ซึ่งเราพิจารณา)${\displaystyle U\subset X'}$จากการสังเกตของเราว่า${\displaystyle f}$เป็นไอโซมอร์ฟิซึมเหนือ${\displaystyle f^{-1}(U)}$(จากก่อนหน้านี้) จากนั้นแผนที่จาก${\displaystyle U_{i}''}$นอกจากนี้ยังต้องแยกตัวประกอบผ่านกราฟนี้โดยการสร้างภาพเชิงทฤษฎีโครงร่าง เนื่องจากข้อจำกัดของ${\displaystyle q_{2}}$ถึง${\displaystyle T_{i}}$เป็นการสมมาตรไปยัง${\displaystyle W_{i}}$ข้อจำกัดของ${\displaystyle g}$ถึง${\displaystyle U_{i}''}$จะเป็นการดื่มด่ำอย่างเต็มที่${\displaystyle W_{i}}$และข้อกล่าวอ้างของเราจะได้รับการพิสูจน์ ขอให้${\displaystyle v_{i}}$เป็นการฉีดแบบแคนอนิก${\displaystyle U\subset X'\to X\times _{S}W_{i}}$เราต้องแสดงให้เห็นว่ามีมอร์ฟิซึมอยู่${\displaystyle w_{i}:U\subset X'\to W_{i}}$ดังนั้น${\displaystyle v_{i}=\Gamma _{u_{i}}\circ w_{i}}$ตามนิยามของผลิตภัณฑ์เส้นใยแล้ว การพิสูจน์ว่า${\displaystyle q_{1}\circ v_{i}=u_{i}\circ q_{2}\circ v_{i}}$หรือโดยการระบุตัวตน${\displaystyle U\subset X}$และ${\displaystyle U\subset X'}$, ที่${\displaystyle q_{1}\circ \psi =u_{i}\circ q_{2}\circ \psi }$. แต่${\displaystyle q_{1}\circ \psi =j}$และ${\displaystyle q_{2}\circ \psi =\phi }$ดังนั้นข้อสรุปที่ต้องการจึงได้มาจากนิยามของ${\displaystyle \phi :U\to P}$และ${\displaystyle g}$เป็นการจุ่มตัวลงไปในน้ำ ตั้งแต่${\displaystyle X'\to S}$เหมาะสมแล้ว ใดๆ${\displaystyle S}$-มอร์ฟิซึมจาก${\displaystyle X'}$ปิดแล้ว ดังนั้น${\displaystyle g:X'\to P}$เป็นการแช่แบบปิด ดังนั้น${\displaystyle X'}$เป็นลักษณะเชิงฉาย (projective)${\displaystyle \blacksquare }$