ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในระบบพลวัตลิ้นอาร์โนลด์ ( ตั้งชื่อตามวลาดิมีร์ อาร์โนลด์ ) ^{[ 1 ] [ 2 ]}เป็นปรากฏการณ์ภาพที่เกิดขึ้นเมื่อมองเห็นว่าเลขการหมุนของระบบพลวัต หรือคุณสมบัติคง ที่อื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง เปลี่ยนแปลงไปตามพารามิเตอร์สองตัวขึ้นไป บริเวณที่มีเลขการหมุนคงที่ สำหรับระบบพลวัตบางระบบ พบว่ามีรูปร่างทางเรขาคณิตที่คล้ายลิ้น ซึ่งในกรณีนี้เรียกว่าลิ้นอาร์โนลด์^{[ 3 ]}

ลิ้นอาร์โนลด์พบได้ในปรากฏการณ์ทางธรรมชาติหลากหลายประเภทที่เกี่ยวข้องกับปริมาณที่สั่น เช่น ความเข้มข้นของเอนไซม์และสารตั้งต้นในกระบวนการทางชีวภาพ^{[ 4 ]}และคลื่นไฟฟ้าหัวใจบางครั้งความถี่ของการสั่นขึ้นอยู่กับ หรือถูกจำกัด (เช่นเฟสล็อกหรือโหมดล็อกในบางบริบท) โดยอาศัยปริมาณบางอย่าง และมักเป็นที่น่าสนใจที่จะศึกษาความสัมพันธ์นี้ ตัวอย่างเช่น การเริ่มต้นของเนื้องอกกระตุ้นให้เกิดการสั่นของสาร (ส่วนใหญ่เป็นโปรตีน) ในบริเวณนั้น ซึ่งมีปฏิสัมพันธ์กัน การจำลองแสดงให้เห็นว่าปฏิสัมพันธ์เหล่านี้ทำให้เกิดลิ้นอาร์โนลด์ขึ้น นั่นคือ ความถี่ของการสั่นบางอย่างจำกัดการสั่นอื่นๆ และสามารถใช้สิ่งนี้ในการควบคุมการเติบโตของเนื้องอกได้^{[ 3 ]}

ตัวอย่างอื่นๆ ที่สามารถพบลิ้นของอาร์โนลด์ได้ ได้แก่ความไม่สอดคล้องกันของเครื่องดนตรีการสั่นพ้องของวงโคจรและการล็อกกระแสน้ำขึ้นน้ำลงของดวงจันทร์ที่โคจรการล็อกโหมดในใยแก้วนำแสงและวงจรล็อกเฟส และ ออสซิลเลเตอร์อิเล็กทรอนิกส์อื่นๆรวมถึงจังหวะการเต้นของหัวใจภาวะหัวใจเต้นผิดจังหวะและวงจรเซลล์^{[ 5 ]}

หนึ่งในแบบจำลองทางกายภาพที่ง่ายที่สุดที่แสดงให้เห็นถึงการล็อกโหมด คือ แผ่นดิสก์หมุนสองแผ่นที่เชื่อมต่อกันด้วยสปริงอ่อนๆ แผ่นหนึ่งหมุนได้อย่างอิสระ และอีกแผ่นหนึ่งถูกขับเคลื่อนด้วยมอเตอร์ การล็อกโหมดเกิดขึ้นเมื่อแผ่นดิสก์ที่หมุนอย่างอิสระหมุนด้วยความถี่ที่เป็น จำนวนตรรกยะเท่าของ ความถี่ของแผ่นดิสก์ที่ถูกขับเคลื่อน

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดที่แสดงให้เห็นถึงการล็อกโหมดคือแผนที่วงกลม ซึ่งพยายามจับภาพการเคลื่อนที่ของแผ่นดิสก์ที่หมุนในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่องกัน

ลิ้นของอาร์โนลด์ปรากฏบ่อยที่สุดเมื่อศึกษาปฏิสัมพันธ์ระหว่างออสซิลเลเตอร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่ออสซิลเลเตอร์ตัวหนึ่งขับเคลื่อนอีกตัวหนึ่ง นั่นคือ ออสซิลเลเตอร์ตัวหนึ่งขึ้นอยู่กับอีกตัวหนึ่ง แต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน ดังนั้นพวกมันจึงไม่มีอิทธิพลต่อกันและกันเหมือนที่เกิดขึ้นในแบบจำลองคุราโมโตะเป็นต้น นี่เป็นกรณีพิเศษของออสซิลเลเตอร์ที่ถูกขับเคลื่อนโดยมีแรงขับเคลื่อนที่มีพฤติกรรมเป็นคาบ ตัวอย่างในทางปฏิบัติเซลล์หัวใจ (ออสซิลเลเตอร์ภายนอก) สร้างสัญญาณไฟฟ้าเป็นคาบเพื่อกระตุ้นการหดตัวของหัวใจ (ออสซิลเลเตอร์ที่ถูกขับเคลื่อน) ในที่นี้ การกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างความถี่ของออสซิลเลเตอร์อาจเป็นประโยชน์ในการออกแบบเครื่องกระตุ้นหัวใจเทียม ที่ดีขึ้น ตระกูลแผนที่วงกลมทำหน้าที่เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์สำหรับปรากฏการณ์ทางชีววิทยานี้ เช่นเดียวกับปรากฏการณ์อื่นๆ อีกมากมาย^{[ 6 ]}

ตระกูลของแผนที่วงกลมเป็นฟังก์ชัน (หรือเอนโดมอร์ฟิซึม ) ของวงกลมไปยังตัวมันเอง ในทางคณิตศาสตร์จะง่ายกว่าหากพิจารณาจุดในวงกลมว่าเป็นจุดบนเส้นจำนวนจริงที่ควรตีความโมดูลัสซึ่งแสดงถึงมุมที่จุดนั้นตั้งอยู่บนวงกลม เมื่อโมดูลัสมีค่าอื่นที่ไม่ใช่ผลลัพธ์ยังคงแสดงถึงมุม แต่ต้องทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้สามารถแสดงช่วงทั้งหมดได้ด้วยเหตุนี้ ตระกูลของแผนที่วงกลมจึงกำหนดโดย: ^{[ 7 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle [0,2\pi ]}$

${\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega }$

โดยที่คือความถี่ "ธรรมชาติ" ของออสซิลเลเตอร์ และคือฟังก์ชันคาบที่แสดงถึงอิทธิพลที่เกิดจากออสซิลเลเตอร์ภายนอก โปรดสังเกตว่า ถ้าสำหรับทุกค่า อนุภาคจะเคลื่อนที่ไปรอบวงกลมด้วยระยะทาง หน่วยในแต่ละครั้ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นจำนวนอตรรกยะ การแปลงจะลดลงเหลือเพียงการหมุนแบบอตรรกยะ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle g}$${\displaystyle g(\theta )=\theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

แผนที่วงกลมเฉพาะที่อาร์โนลด์ศึกษาในตอนแรก^{[ 8 ]}และยังคงมีประโยชน์แม้ในปัจจุบัน คือ:

${\displaystyle \theta _{i+1}=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i})}$

โดยที่เรียกว่าความแข็งแรงของการเชื่อมต่อและควรตีความแบบโมดูลัสแผนภาพนี้แสดงพฤติกรรมที่หลากหลายมาก ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์และ; ถ้าเรากำหนดค่า ให้คงที่และเปลี่ยนแปลง จะได้ แผนภาพการแยกสาขาที่อยู่รอบๆ ย่อหน้านี้ ซึ่งเราสามารถสังเกตวงโคจรเป็นคาบการแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่ารวมถึงพฤติกรรมอลวน ที่เป็นไป ได้ ${\displaystyle K}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega =1/3}$${\displaystyle K}$

อีกวิธีหนึ่งในการดูแผนที่วงกลมคือดังนี้ พิจารณาฟังก์ชันที่ลดลงเชิงเส้นด้วยความชันเมื่อถึงศูนย์ ค่าของมันจะถูกรีเซ็ตเป็นค่าแกว่งตัวค่าหนึ่ง ซึ่งอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันตอนนี้เราสนใจลำดับของเวลาที่ y(t) ถึงศูนย์ ${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle z(t)=c+b\sin(2\pi t)}$${\displaystyle \{t_{n}\}}$

แบบจำลองนี้บอกเราว่า ณ เวลาt เป็นจริงที่. จากจุดนี้จะลดลงอย่างเป็นเส้นตรงจนถึง t = t ซึ่งฟังก์ชันมีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงได้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle t_{n-1}}$${\displaystyle y(t_{n-1})=c+b\sin(2\pi t_{n-1})}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=y(t_{n-1})-a\cdot (t_{n}-t_{n-1})\\[0.5em]0&=\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]-at_{n}+at_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&={\frac {1}{a}}\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]+t_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&=t_{n-1}+{\frac {c}{a}}+{\frac {b}{a}}\sin(2\pi t_{n-1})\end{aligned}}}$

และโดยการเลือกเราจะได้แผนที่วงกลมที่กล่าวถึงไปก่อนหน้านี้: ${\displaystyle \Omega =c/a}$${\displaystyle K=2\pi b/a}$

${\displaystyle t_{n}=t_{n-1}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi t_{n-1}).}$

Glass, L. (2001)โต้แย้งว่าแบบจำลองง่ายๆ นี้สามารถนำไปใช้กับระบบชีวภาพบางระบบได้ เช่น การควบคุมความเข้มข้นของสารในเซลล์หรือเลือด โดยที่ข้างต้นแสดงถึงความเข้มข้นของสารบางชนิด ${\displaystyle y(t)}$

ในแบบจำลองนี้ การล็อกเฟสจะหมายความว่าจะถูกรีเซ็ตอย่างแม่นยำครั้งทุก ๆรอบของไซนูซอยด์ตัวเลขการหมุนจะเป็นผลหาร^{[ 7 ]}${\displaystyle N:M}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle z(t)}$${\displaystyle N/M}$

พิจารณาตระกูลทั่วไปของเอนโดมอร์ฟิซึมวงกลม:

${\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega }$

โดยสำหรับแผนที่วงกลมมาตรฐาน เราจะได้ว่าบางครั้ง การแสดงแผนที่วงกลมในรูปของการแมปก็อาจสะดวกกว่าเช่นกัน: ${\displaystyle g(\theta )=\theta +(K/2\pi )\sin(2\pi \theta )}$${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle \theta _{i+1}=f(\theta _{i})=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i}).}$

ต่อไปนี้เราจะกล่าวถึงคุณสมบัติที่น่าสนใจบางประการของเอนโดมอร์ฟิซึมวงกลมเหล่านี้

P1. มีค่าเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องสำหรับดังนั้นสำหรับค่าเหล่านี้การวนซ้ำจะเคลื่อนที่ไปข้างหน้าในวงกลมเท่านั้น ไม่ถอยหลัง เพื่อให้เห็นภาพนี้ โปรดสังเกตว่าอนุพันธ์ของคือ: ${\displaystyle f}$${\displaystyle K<1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f'(\theta )=1+K\cos(2\pi \theta )}$

ซึ่งถือเป็นผลดีตราบใดที่... ${\displaystyle K<1}$

P2.เมื่อขยายความสัมพันธ์เวียนเกิด จะได้สูตรสำหรับ: ${\displaystyle \theta _{n}}$

${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}+n\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n-1}\sin(2\pi \theta _{i}).}$

P3.สมมติว่าดังนั้นจุดคงที่แบบคาบของคาบเนื่องจากไซน์สั่นด้วยความถี่ 1 Hz จำนวนการสั่นของไซน์ต่อรอบของจะเป็นดังนั้นจึงมีลักษณะการล็อกเฟสของ^{[ 7 ]}${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}{\bmod {1}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle M=(\theta _{n}-\theta _{0})\cdot 1}$${\displaystyle n:M}$

P4.สำหรับค่าใดๆ ก็ตามเป็นจริงที่ว่าซึ่งหมายความว่าด้วยเหตุนี้ สำหรับหลายๆ กรณี จึงไม่สำคัญว่าค่าที่วนซ้ำจะถูกหาค่าโมดูลัสหรือไม่ ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta )+p}$${\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta ){\bmod {1}}}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle 1}$

P5 (สมมาตรการแปล) ^{[ 9 ] [ 7 ]}สมมติว่าสำหรับค่าที่กำหนดมีการล็อกเฟสในระบบ ดังนั้น สำหรับค่าจำนวนเต็มจะมีการล็อกเฟส นอกจากนี้ยังหมายความว่า ถ้าเป็นวงโคจรคาบสำหรับพารามิเตอร์แล้ว ก็เป็นวงโคจรคาบสำหรับค่าใดๆด้วย ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle n:M}$${\displaystyle \Omega '=\Omega +p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n:(M+np)}$${\displaystyle \theta _{0},\dots ,\theta _{n}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega '=\Omega +p,p\in \mathbb {N} }$

เพื่อให้เห็นภาพนี้ โปรดสังเกตว่าความสัมพันธ์เวียนเกิดในคุณสมบัติที่ 2 จะกลายเป็นดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{n}'&=\theta _{0}+n\Omega '+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{0}+n(\Omega +p)+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{n}+np,\end{aligned}}}$

ดังนั้นเนื่องจากการล็อกเฟสเดิม ตอนนี้เราจึงจะมี.${\displaystyle \theta _{n}-\theta _{0}=M}$${\displaystyle \theta _{n}'-\theta _{0}=\theta _{n}+np-\theta _{0}=M+np}$

P6.เพราะจะเกิดการล็อกเฟสเมื่อใดก็ตามที่เป็นจำนวนตรรกยะ ยิ่งไปกว่านั้น ให้แล้วการล็อกเฟสจะเป็น ${\displaystyle K=0}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega =p/q\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle q:p}$

เมื่อพิจารณาความสัมพันธ์เวียนเกิดในคุณสมบัติที่ 2 จำนวนตรรกยะจะบ่งชี้ว่า: ${\displaystyle \Omega =p/q}$

${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}+n{\frac {p}{q}}}$

และความเท่าเทียมกันของโมดูลัสจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อเป็นจำนวนเต็ม และจำนวนเต็มที่ตรงตามเงื่อนไขนี้คือดังนั้น: ${\displaystyle 1}$${\displaystyle n(p/q)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=q}$

${\displaystyle \theta _{q}=\theta _{0}+p}$

${\displaystyle (\theta _{q}-\theta _{0})=p}$

หมายถึงการล็อกเฟส ${\displaystyle q:p}$

สำหรับจำนวนอตรรกยะ(ซึ่งนำไปสู่การหมุนแบบอตรรกยะ ) จะต้องมีสำหรับจำนวนเต็มและแต่ในกรณีนั้นและจะเป็นจำนวนตรรกยะ ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานเริ่มต้น${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle n\Omega =k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Omega =k/n}$${\displaystyle \Omega }$

สำหรับค่าK ที่มีขนาดเล็กถึงปานกลาง (กล่าวคือ ในช่วงK  = 0 ถึงประมาณK  = 1) และค่า Ω บางค่า แผนที่นี้แสดงปรากฏการณ์ที่เรียกว่าการล็อกโหมดหรือการล็อกเฟสในบริเวณที่มีการล็อกเฟส ค่าθ _nจะเปลี่ยนแปลงไปตามผลคูณเชิง ตรรกะ ของn โดยพื้นฐานแล้ว แม้ว่าการเปลี่ยนแปลงนั้นอาจเกิดขึ้นอย่างอลหม่านในระดับเล็กก็ตาม

พฤติกรรมที่จำกัดในบริเวณที่มีการล็อกโหมดจะถูกกำหนดโดยเลขการหมุน

${\displaystyle \omega =\lim _{n\to \infty }{\frac {\theta _{n}}{n}}.}$^{[ 10 ]}

ซึ่งบางครั้งก็เรียกอีกอย่างว่าหมายเลขการวนรอบแผนที่

บริเวณที่มีการล็อกเฟส หรือที่เรียกว่าลิ้นอาร์โนลด์ แสดงด้วยสีเหลืองในรูปด้านขวา แต่ละบริเวณรูปตัว V ดังกล่าวจะแตะค่าตรรกยะ Ω =  ⁠พี/qในกรณีที่K → 0  ค่าของ ( K , Ω) ในบริเวณ ใดบริเวณหนึ่งเหล่านี้จะส่งผลให้เกิดการเคลื่อนที่โดยที่เลขการหมุนω  = พี/qตัวอย่างเช่น ค่าทั้งหมดของ ( K , Ω) ในบริเวณรูปตัว V ขนาดใหญ่ตรงกลางด้านล่างของรูป สอดคล้องกับเลขการหมุนω  = 1/2เหตุผลหนึ่งที่ใช้คำว่า "การล็อก" คือ ค่าแต่ละค่า_θnสามารถถูกรบกวนได้ด้วยการรบกวนแบบสุ่มที่ค่อนข้างมาก (มากถึงความกว้างของลิ้น สำหรับค่าK ที่กำหนด) โดยไม่รบกวนจำนวนการหมุนที่จำกัด นั่นคือ ลำดับยังคง "ล็อก" กับสัญญาณ แม้ว่าจะมีการเพิ่มสัญญาณรบกวนจำนวนมากเข้าไปในอนุกรมθn _{ก็ตาม}ความสามารถในการ "ล็อก" ในขณะที่มีสัญญาณรบกวนนี้เป็นหัวใจสำคัญของประโยชน์ใช้สอยของวงจรอิเล็กทรอนิกส์แบบลูปล็อกเฟส

มีบริเวณล็อกโหมดสำหรับจำนวนตรรกยะทุกจำนวนพี/qบางครั้งกล่าวกันว่าแผนที่วงกลมจะแปลงเซตของจำนวนตรรกยะ ซึ่งเป็นเซตที่มีขนาดเป็นศูนย์ที่K  = 0 ไปเป็นเซตที่มีขนาดไม่เป็นศูนย์สำหรับK  ≠ 0 ลิ้นที่ใหญ่ที่สุด เรียงตามขนาด จะเกิดขึ้นที่เศษส่วนของ Fareyการกำหนดค่าKและการตัดขวางภาพนี้ โดยที่ωถูกพล็อตเป็นฟังก์ชันของ Ω จะได้ "บันไดปีศาจ" ซึ่งมีรูปร่างคล้ายกับฟังก์ชัน Cantor โดยทั่วไป สามารถแสดงได้ว่าสำหรับK<1แผนที่วงกลมเป็นการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียล มีเพียงคำตอบที่เสถียรเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น อย่างไรก็ตาม เมื่อK>1สิ่งนี้จะไม่เป็นจริงอีกต่อไป และสามารถพบพื้นที่ที่มีบริเวณการล็อกที่ทับซ้อนกันสองบริเวณ สำหรับแผนที่วงกลม สามารถแสดงได้ว่าในบริเวณนี้ พื้นที่การล็อกโหมดที่เสถียรไม่เกินสองบริเวณสามารถทับซ้อนกันได้ แต่ยังไม่ทราบว่ามีขีดจำกัดใด ๆ สำหรับจำนวนลิ้น Arnold ที่ทับซ้อนกันสำหรับระบบซิงโครไนซ์ทั่วไปหรือไม่

แผนผังวงกลมยังแสดงให้เห็นเส้นทางย่อยฮาร์มอนิกไปสู่ความโกลาหล นั่นคือ การเพิ่มคาบเป็นสองเท่าในรูปแบบ 3, 6, 12, 24,...

แผนที่มาตรฐานของชิริคอฟมีความเกี่ยวข้องกับแผนที่วงกลม โดยมีความสัมพันธ์เวียนเกิดที่คล้ายคลึงกัน ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{n+1}&=\theta _{n}+p_{n}+{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{n})\\p_{n+1}&=\theta _{n+1}-\theta _{n}\end{aligned}}}$

โดยทั้งสองค่าที่วนซ้ำจะถูกคำนวณแบบโมดูลัส 1 โดยพื้นฐานแล้ว แผนที่มาตรฐานจะแนะนำโมเมนตัมp _nซึ่งสามารถเปลี่ยนแปลงได้แบบไดนามิก แทนที่จะถูกบังคับให้คงที่เหมือนในแผนที่วงกลม แผนที่มาตรฐานนี้ได้รับการศึกษาในทางฟิสิกส์โดยใช้ แฮ มิ ลโทเนียนโรเตอร์แบบเตะ

ลิ้นของอาร์โนลด์ถูกนำมาใช้ในการศึกษาเรื่อง

• จังหวะการเต้นของหัวใจ - ดูGlass, L. et al. (1983)และMcGuinness, M. et al. (2004)
• การซิงโครไนซ์ของออสซิลเลเตอร์ไดโอดอุโมงค์เรโซแนนซ์^{[ 11 ]}

• วงจรล็อกเฟส
• คุราโมโตะ โมเดล
• คำศัพท์สตูร์เมียน

• แผนที่วงกลมพร้อมแอปเพล็ต Java แบบโต้ตอบ