ในทางคณิตศาสตร์จำนวนการหมุนเป็นค่าคงที่ของ การแปลงโฮมีโอเมอร์ฟิซึมของวงกลม

แนวคิด นี้ได้รับการนิยามครั้งแรกโดยอองรี ปวงกาเรในปี 1885 โดยเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ของจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดของ วงโคจรของ ดาวเคราะห์ต่อมาปวงกาเรได้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่บ่งบอกถึงการมีอยู่ของวงโคจรเป็นคาบโดยอาศัยความเป็นเหตุเป็นผลของเลขการหมุน

สมมติว่า f เป็นโฮ มีโอเมอร์ฟิซึมที่รักษา ทิศทาง ของวงกลมจากนั้นfสามารถยกขึ้นเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมของเส้นจำนวนจริงได้ โดยสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\displaystyle f:S^{1}\to S^{1}}$${\displaystyle S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} .}$${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle F(x+m)=F(x)+m}$

สำหรับจำนวนจริงx ทุกตัว และจำนวนเต็มm ทุก ตัว

หมายเลขการหมุนของfถูกกำหนดในแง่ของค่าการวนซ้ำของF :

${\displaystyle \omega (f)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}}.}$

อองรี ปวงกาเรพิสูจน์ว่าลิมิตมีอยู่จริงและไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกจุดเริ่มต้นxลิฟต์F มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวเมื่อ พิจารณา โมดูลัสของจำนวนเต็ม ดังนั้นเลขการหมุนจึงเป็นองค์ประกอบที่กำหนดไว้อย่างดีของโดย สัญชาตญาณ แล้ว${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} .}$มันวัดมุมการหมุนเฉลี่ยตามวงโคจรของf

ถ้าเป็นการหมุนด้วย(โดยที่) แล้ว ${\displaystyle f}$${\displaystyle 2\pi N}$${\displaystyle 0<N<1}$

${\displaystyle F(x)=x+N,}$

และเลขการหมุนของมันคือ(ดูการหมุนที่ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ ) ${\displaystyle N}$

จำนวนการหมุนไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสมมูลเชิงทอพอโลยีและแม้กระทั่งการสมมูลกึ่ง เชิงทอพอโลยีแบบโมโนโทน : ถ้าfและgเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมสองตัวของวงกลมและ

${\displaystyle h\circ f=g\circ h}$

สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องเอกภาคhที่แปลงจากวงกลมไปยังตัวมันเอง (ไม่จำเป็นต้องเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึม) แล้วfและg จะมีเลขการหมุนเท่ากัน Poincaré และ Arnaud Denjoyใช้หลักการนี้ในการจำแนกประเภททางโทโพโลยีของโฮมีโอเมอร์ฟิซึมของวงกลม ซึ่งมีสองความเป็นไปได้ที่แตกต่างกัน

• จำนวนการหมุนของfคือจำนวนตรรกยะp/q (ในรูปอย่างง่ายที่สุด) ดังนั้นf จึง มีวงโคจรเป็นคาบ โดย ที่ วงโคจรเป็นคาบทุกวงจะมีคาบqและลำดับของจุดบนวงโคจรแต่ละวงจะตรงกับลำดับของจุดสำหรับการหมุนด้วยp/qยิ่งไปกว่านั้น วงโคจรไปข้างหน้าทุกวงของfจะลู่เข้าสู่วงโคจรเป็นคาบ เช่นเดียวกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับ วงโคจร ไปข้างหลังซึ่งสอดคล้องกับการวนซ้ำของf ^–1แต่ว่าวงโคจรเป็นคาบที่จำกัดในทิศทางไปข้างหน้าและข้างหลังอาจแตกต่างกัน
• จำนวนรอบการหมุนของfคือจำนวนอตรรกยะθดังนั้นf จึง ไม่มีวงโคจรคาบ (ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องมาจากการพิจารณาจุดคาบxของf ทันที ) มีสองกรณีย่อย

1. มีวงโคจรหนาแน่นอยู่ ในกรณีนี้fเป็นฟังก์ชันคู่สมเชิงโทโพโลยีกับการหมุนแบบอตรรกยะด้วยมุมθและวงโคจรทั้งหมดมีความหนาแน่นเดนจอยพิสูจน์แล้วว่าความเป็นไปได้นี้เกิดขึ้นได้เสมอเมื่อfเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์อันดับสองได้อย่างต่อเนื่อง
2. มีเซตแคนเตอร์Cที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้f อยู่ ดังนั้นC จึง เป็นเซตขั้นต่ำที่ไม่ซ้ำกัน และวงโคจรของทุกจุดทั้งในทิศทางไปข้างหน้าและย้อนกลับจะลู่เข้าสู่Cในกรณีนี้fเป็นเซมิคอนจูเกตกับการหมุนแบบอตรรกยะด้วยθและแผนที่เซมิคอนจูเก ต h ที่มีดีกรี 1 จะมีค่าคง ที่บนส่วนประกอบของส่วนเติมเต็มของC

จำนวนการหมุนมีความต่อเนื่องเมื่อมองว่าเป็นแผนที่จากกลุ่มโฮมีโอเมอร์ฟิซึม (ที่มี โทโพโลยี C ⁰ ) ของวงกลมไปยังวงกลม

• แผนที่วงกลม
• เดนจอย ดิฟฟีโอมอร์ฟิซึม
• ส่วนปวงกาเร
• การเกิดซ้ำของปวงกาเร
• ทฤษฎีบทปวงกาเร-เบนดิกซ์สัน

• มิคาล มิซิอูเรวิช (บรรณาธิการ) "ทฤษฎีการหมุน" . สกอลาร์พีเดีย .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เลขการวนของแผนที่"จาก MathWorld--แหล่งข้อมูลเว็บของ Wolfram