ในทางเรขาคณิตส่วนตัดวงกลมคือวงกลมบน พื้นผิว ควอดริก (เช่นทรงรีหรือไฮเปอร์โบโลอิด ) มันเป็นส่วน ตัดระนาบพิเศษของพื้นผิวควอดริก เนื่องจากวงกลมนี้เป็นจุดตัดของระนาบที่บรรจุวงกลมกับพื้นผิวควอดริกนั้น

ส่วนตัดระนาบใดๆ ของทรงกลมจะเป็นส่วนตัดวงกลม ถ้ามีจุดอย่างน้อย 2 จุดอยู่บนส่วนตัด นั้น รูปทรงควอดริกใด ๆ ที่เกิดจากการหมุนรอบแกน จะมีวงกลมเป็นส่วนตัดกับระนาบที่ตั้งฉากกับแกนของมัน แต่จะไม่มีวงกลมอื่นๆ ถ้าไม่ใช่ทรงกลม วงกลมบนรูปทรงควอดริกอื่นๆ เช่น ทรงรีสามแกน ทรงกระบอกวงรี เป็นต้น จะซ่อนอยู่มากกว่า อย่างไรก็ตาม เป็นความจริงที่ว่า:

• พื้นผิวควอดริกใดๆ ที่ประกอบด้วยวงรี ก็ประกอบด้วยวงกลมด้วยเช่นกัน

ในทำนองเดียวกัน พื้นผิวควอดริกทั้งหมดประกอบด้วยวงกลม ยกเว้นทรงกระบอก พาราโบลาและไฮเปอร์โบลา และพาราโบ โลอิดไฮเปอร์โบ ลา

ถ้าเส้นโค้งควอดริกประกอบด้วยวงกลมแล้ว จุดตัดทุกจุดของเส้นโค้งควอดริกกับระนาบที่ขนานกับวงกลมนั้นก็จะเป็นวงกลมด้วยเช่นกัน โดยมีเงื่อนไขว่าจุดตัดนั้นต้องมีอย่างน้อยสองจุด ยกเว้นทรงกลม วงกลมที่อยู่ในเส้นโค้งควอดริก (ถ้ามี) จะขนานกับระนาบใดระนาบหนึ่งในสองระนาบที่กำหนดไว้ (ซึ่งเท่ากันในกรณีของเส้นโค้งควอดริกที่เกิดจากการหมุน)

ส่วนตัดวงกลมใช้ในวิชาผลึกศาสตร์^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

ส่วนตัดวงกลมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกำลังสองสามารถคำนวณได้จากสมการโดยปริยายของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกำลังสอง ดังที่จะทำในส่วนต่อไปนี้ นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดลักษณะและศึกษาได้โดยใช้เรขาคณิตเชิงฉาย สังเคราะห์

ให้Cเป็นจุดตัดของพื้นผิวควอดริกQและระนาบPในส่วนนี้QและC เป็นพื้นผิวใน ปริภูมิยุคลิดสามมิติซึ่งขยายไปยังปริภูมิเชิง โปรเจกทีฟ เหนือจำนวนเชิงซ้อนภายใต้สมมติฐานเหล่านี้ เส้นโค้งCเป็นวงกลมก็ต่อเมื่อจุดตัดของมันกับระนาบที่อนันต์รวมอยู่ในเส้นโค้งออมบิลิก (เส้นโค้งที่อนันต์ของสมการ) ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$

กรณีแรกที่ต้องพิจารณาคือ เมื่อจุดตัดของQกับระนาบที่ระยะอนันต์ประกอบด้วยเส้นตรงจริงหนึ่งหรือสองเส้น นั่นคือเมื่อQเป็นพาราโบโลอิดไฮเปอร์โบ ลิก ทรงกระบอก พาราโบลิกหรือทรงกระบอกไฮเปอร์โบลิกในกรณีนี้ จุดที่ระยะอนันต์ของCเป็นจำนวนจริง (จุดตัดของระนาบจริงกับเส้นตรงจริง) ดังนั้น ส่วนตัดของระนาบQ จึง ไม่สามารถเป็นวงกลม (หรือวงรี ) ได้

ถ้าQเป็นทรงกลมจุดตัดระหว่างทรงกลมกับระนาบที่ระยะอนันต์จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และส่วนตัดบนระนาบทั้งหมดจะเป็นวงกลม

ถ้าQเป็นพื้นผิวของการหมุนรอบแกน การตัดกันระหว่างพื้นผิว Q กับพื้นผิว ombilic จะประกอบด้วยจุด คู่ที่เป็น จำนวนเชิงซ้อนสังยุค (ซึ่งเป็น จุดคู่ ) ระนาบจริงจะประกอบด้วยจุดทั้งสองนี้ก็ต่อเมื่อระนาบนั้นตั้งฉากกับแกนของการหมุนรอบแกน ดังนั้น ส่วนตัดวงกลมจึงเป็นส่วนตัดระนาบโดยระนาบที่ตั้งฉากกับแกน ซึ่งมีจุดจริงอย่างน้อยสองจุด

ในกรณีอื่นๆ จุดตัดของเส้นโค้งQกับระนาบออมบิลิกประกอบด้วยจุดคู่เชิงซ้อนสังยุคที่แตกต่างกันสองคู่ เนื่องจาก เส้นโค้ง Cเป็นเส้นโค้งดีกรีสอง จุดตัดของเส้นโค้ง C กับระนาบที่ระยะอนันต์จึงประกอบด้วยจุดสองจุด ซึ่งอาจเท่ากัน เส้นโค้งCจึงเป็นวงกลม ถ้าจุดสองจุดนี้เป็นหนึ่งในสองคู่ของจุดคู่เชิงซ้อนสังยุคบนระนาบออมบิลิก แต่ละคู่ของจุดเหล่านี้กำหนดเส้นตรงจริง (ที่ผ่านจุดเหล่านั้น) ซึ่งเป็นจุดตัดของเส้นโค้งPกับระนาบที่ระยะอนันต์ ดังนั้น จะมีภาคตัดขวางเป็นวงกลมก็ต่อเมื่อเส้นโค้งCมีจุดจริงอย่างน้อยสองจุด และ เส้นโค้ง Pมีเส้นตรงจริงเส้นใดเส้นหนึ่งที่ระยะอนันต์ (นั่นคือ ถ้าเส้น โค้ง Pขนานกับทิศทางใดทิศทางหนึ่งจากสองทิศทางที่กำหนดโดยเส้นตรงจริงที่ระยะอนันต์)

ในการหาระนาบที่ประกอบด้วยส่วนตัดวงกลมของรูปควอดริกที่กำหนดให้ จะใช้ข้อความต่อไปนี้:

(S:)ถ้าจุดร่วมของเส้นโค้งควอดริกกับทรงกลมอยู่ในระนาบสองระนาบ เส้นโค้งที่ตัดกันจะประกอบด้วยวงกลมสองวง

(P:)ถ้าจุดตัดระหว่างระนาบกับเส้นโค้งควอดริกเป็นวงกลมแล้ว ระนาบขนานใดๆ ที่ผ่านจุดอย่างน้อยสองจุดของเส้นโค้งควอดริกนั้น ก็จะตัดกับเส้นโค้งควอดริกเป็นวงกลมด้วยเช่นกัน

ดังนั้นกลยุทธ์ในการตรวจจับส่วนตัดวงกลมจึงเป็นดังนี้:

1) จงหาทรงกลมที่ตัดกับเส้นโค้งควอดริกในระนาบสองระนาบ

2) ระนาบที่ขนานกับระนาบที่ตรวจพบจะให้ส่วนวงกลมที่เหลืออยู่

สำหรับทรงรีที่มีสมการ

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$

และแกนกึ่ง หนึ่งใช้ทรงกลมเสริมที่มีสมการ ${\displaystyle a>b>c>0}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ .}$

ต้องเลือกขนาดรัศมีของทรงกลมเพื่อให้จุดตัดกับทรงรีอยู่ในระนาบสองระนาบที่ผ่านจุดกำเนิด การคูณสมการของทรงรีด้วยและลบด้วยสมการของทรงกลมจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle r^{2}}$

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}+\left({\frac {r^{2}}{c^{2}}}-1\right)\;z^{2}=0\ .}$

สมการนี้อธิบายถึงระนาบสองระนาบ ถ้าสัมประสิทธิ์ตัวใดตัวหนึ่งใน 3 ตัวเป็นศูนย์ ในกรณีที่ หรือสมการนี้จะเป็นจริงได้เฉพาะกับแกน x หรือแกน z เท่านั้น เฉพาะในกรณีที่ เท่านั้นที่จะได้ระนาบสองระนาบที่มีสมการ ${\displaystyle \ r=a\ }$${\displaystyle \ r=c\ }$${\displaystyle \ r=b\ }$

• ${\displaystyle \left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {b^{2}}{c^{2}}}-1\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\tfrac {c}{a}}{\sqrt {\tfrac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}-c^{2}}}}\;x\ ,}$

เนื่องจากในกรณีนี้เท่านั้นที่สัมประสิทธิ์ที่เหลือมีเครื่องหมายต่างกัน (เนื่องจาก: ) ${\displaystyle a>b>c}$

แผนภาพนี้แสดงให้เห็นถึงจุดตัดทั่วไประหว่างทรงกลมและทรงรี และเน้นกรณีพิเศษที่เป็นวงกลม (สีน้ำเงิน)

ถ้าค่าของแกนกึ่งหลักเข้าใกล้กัน กลุ่มระนาบ (และวงกลม) ทั้งสองกลุ่มก็จะเข้าใกล้กันด้วยเช่นกัน เนื่องจากระนาบทั้งหมดตั้งฉากกับแกน z (แกนหมุน) ${\displaystyle a=b}$

สำหรับไฮเปอร์โบโลอิดของแผ่นเดียวที่มีสมการ

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,c>0}$

ในทำนองเดียวกัน จะได้สมการสำหรับจุดตัดกับทรงกลม ${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ }$

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-\left({\frac {r^{2}}{c^{2}}}+1\right)\;z^{2}=0\ .}$

มีเพียงคนเดียวเท่านั้นที่จะได้รับเครื่องบินสองลำ: ${\displaystyle \ r=a\ }$

${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-\left({\frac {a^{2}}{c^{2}}}+1\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {c}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+c^{2}}}}\;y\ ,\ }$

สำหรับทรงกระบอก วงรี ที่มีสมการ

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,}$

ได้สมการหนึ่ง

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\ .}$

มีเพียงคนเดียวเท่านั้นที่จะได้รับเครื่องบินสองลำ: ${\displaystyle \ r=a\ }$

${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}\;y\ .\ }$

สำหรับพาราโบโล อิดวงรี ที่มีสมการ

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}-z=0\ ,\quad a{\color {red}{<}}b\ ,}$

เราเลือกทรงกลมที่บรรจุจุดยอด (จุดกำเนิด) และมีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกน (แกน z) :

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(zr)^{2}=r^{2}\quad \leftrightarrow \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-2rz=0\ .}$

หลังจากตัดส่วนที่เป็นเชิงเส้นออกแล้วจะได้สมการ

${\displaystyle (2ra-1)\;x^{2}+(2rb-1)\;y^{2}-z^{2}=0\ .}$

มีเพียงคนเดียวเท่านั้นที่จะได้รับเครื่องบินสองลำ : ${\displaystyle r={\tfrac {1}{2a}}}$

${\displaystyle \left({\frac {b}{a}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\sqrt {\frac {b-a}{a}}}\;y\ .\ }$

ไฮเปอร์โบโลอิดของแผ่นสองแผ่นที่มีสมการ

${\displaystyle -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,\ c>0\ ,}$

ในตอนแรกจะเลื่อนจุดยอดหนึ่งไปจนจุดยอดนั้นเป็นจุดกำเนิด (ดูแผนภาพ):

${\displaystyle -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(z+c)^{2}}{c^{2}}}=1\quad \leftrightarrow \quad \ -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}+{\frac {2z}{c}}=0\ .}$

ในทำนองเดียวกันกับกรณีของพาราโบโลอิด เราเลือกทรงกลมที่บรรจุจุดกำเนิดโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกน z:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-r)^{2}=r^{2}\quad \leftrightarrow \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-2zr=0\ .}$

หลังจากตัดส่วนที่เป็นเชิงเส้นออกแล้วจะได้สมการ

${\displaystyle \left(-{\frac {r}{a^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;x^{2}+\left(-{\frac {r}{b^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;y^{2}+\left({\frac {r}{c^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)z^{2}=0\ .}$

มีเพียง คนเดียวเท่านั้นที่จะได้รับเครื่องบินสองลำ: ${\displaystyle r={\tfrac {a^{2}}{c}}}$

${\displaystyle \left(-{\frac {a^{2}}{b^{2}c}}+{\frac {1}{c}}\right)\;y^{2}+\left({\frac {a^{2}}{c^{3}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {c}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+c^{2}}}}\;y\ .}$

กรวยวงรีที่มีสมการ

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z^{2}=0\ ,\quad a>b\ ,}$

มีการเลื่อนตำแหน่งเพื่อให้จุดยอดไม่ อยู่ ที่จุดกำเนิด (ดูแผนภาพ):

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-(z-1)^{2}=0\quad \leftrightarrow \quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z^{2}+2z=1.}$

ในกรณีนี้ ทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดจึงเหมาะสม:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ .}$

การกำจัดผลผลิต: ${\displaystyle x^{2}}$

${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-(1+a^{2})\;z^{2}+2a^{2}z=a^{2}-r^{2}\ .}$

ในกรณีนี้ การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์จะได้:

${\displaystyle {\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\;y^{2}-(1+a^{2})\left(z-{\frac {a^{2}}{1+a^{2}}}\right)^{2}=a^{2}-{\frac {a^{4}}{1+a^{2}}}-r^{2}\ .}$

เพื่อให้ได้สมการของระนาบสองระนาบ ส่วนด้านขวาของสมการจะต้องเป็นศูนย์ ซึ่งเป็นจริงสำหรับ คำตอบสำหรับ z คือ: ${\displaystyle r={\tfrac {a}{\sqrt {1+a^{2}}}}\ .}$

${\displaystyle z={\frac {a^{2}}{1+a^{2}}}\pm {\frac {1}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{1+a^{2}}}}\;y\ .}$

• ส่วนของโลก

• H. Wiener, P. Treutlein: แบบจำลองของทรงรีสามแกนและพาราโบโลอยด์วงรีโดยใช้ส่วนวงกลม (ดูหน้า 15) [1] (PDF)