ในทางเรขาคณิตซิ ส ซอยด์ ( / ˈ s ɪ s ɔɪ d / ; มาจากภาษากรีกโบราณ κισσοειδής (kissoeidēs) ' รูปทรงคล้ายไม้เลื้อย ' ) คือเส้นโค้งระนาบที่สร้างขึ้นจากเส้นโค้งสองเส้นที่กำหนดให้C , C และจุดO ( ขั้ว ) ให้Lเป็นเส้นตรงที่เปลี่ยนแปลงได้ ผ่านจุดOและตัดกับC ที่ จุด P และC ที่จุด P ให้Pเป็นจุดบนLโดยที่(จริงๆ แล้วมีจุดดังกล่าวสองจุด แต่เลือกP โดยให้ Pอยู่ในทิศทางเดียวกับที่P อยู่ในทิศทางเดียวกับP 1 ดังนั้น โลคัสของจุดP ดังกล่าว จึงถูกนิยามว่าเป็นซิสซอยด์ของเส้นโค้งC , C เทียบกับ O${\displaystyle {\overline {OP}}={\overline {P_{1}P_{2}}}.}$

ผู้เขียนหลายคนใช้คำจำกัดความที่แตกต่างกันเล็กน้อย แต่โดยพื้นฐานแล้วมีความหมายเทียบเท่ากัน ตัวอย่างเช่นPอาจถูกกำหนดให้เป็นจุดที่ ซึ่งเทียบเท่ากับคำจำกัดความอื่นหากC ถูกแทนที่ด้วยภาพสะท้อนผ่านOหรือPอาจถูกกำหนดให้เป็นจุดกึ่งกลางของP และP ซึ่งจะทำให้ได้เส้นโค้งที่เกิดจากเส้นโค้งก่อนหน้าโดยปรับขนาดด้วยปัจจัย 1/2 ${\displaystyle {\overline {OP}}={\overline {OP_{1}}}+{\overline {OP_{2}}}.}$

ถ้าC และC กำหนดในพิกัดเชิงขั้วด้วยและตามลำดับ สมการจะอธิบายซิสซอยด์ของC และC เทียบกับจุดกำเนิด อย่างไรก็ตาม เนื่องจากจุดหนึ่งอาจถูกแสดงได้หลายวิธีในพิกัดเชิงขั้ว จึงอาจมีสาขาอื่นของซิสซอยด์ที่มีสมการแตกต่างกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งC ยังกำหนดด้วย ดังนั้นซิสซอยด์จึงเป็นผลรวมของเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ สามารถกำหนดได้เป็นรายบุคคลขึ้นอยู่กับคาบของf และf ซึ่งสามารถตัดสมการใดสมการหนึ่งออกได้เนื่องจากการซ้ำซ้อน ${\displaystyle r=f_{1}(\theta )}$${\displaystyle r=f_{2}(\theta )}$${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&r=-f_{1}(\theta +\pi )\\&r=-f_{1}(\theta -\pi )\\&r=f_{1}(\theta +2\pi )\\&r=f_{1}(\theta -2\pi )\\&\qquad \qquad \vdots \end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )\\&r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta +\pi )\\&r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta -\pi )\\&r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta +2\pi )\\&r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta -2\pi )\\&\qquad \qquad \vdots \end{aligned}}}$$

ตัวอย่างเช่น ให้C และC เป็นรูปวงรี กิ่งแรกของซิสซอยด์กำหนดโดย ซึ่งก็คือจุดกำเนิด รูปวงรีก็กำหนดโดย ดังนั้นกิ่งที่สองของซิสซอยด์กำหนดโดย ซึ่งเป็นเส้นโค้งรูปวงรี $${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}.}$$$${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}-{\frac {1}{2-\cos \theta }}=0,}$$$${\displaystyle r={\frac {-1}{2+\cos \theta }},}$$$${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}+{\frac {1}{2+\cos \theta }}}$$

ถ้าC และC แต่ละตัว กำหนดโดยสมการพาราเมตริก แล้ว เส้นซิสซอยด์ที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิดจะกำหนดโดย $${\displaystyle x=f_{1}(p),\ y=px}$$$${\displaystyle x=f_{2}(p),\ y=px,}$$$${\displaystyle x=f_{2}(p)-f_{1}(p),\ y=px.}$$

เมื่อC เป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางOแล้ว ซิสซอยด์จะเป็นคอน คอยด์ของC

เมื่อC1และC2เป็นเส้นตรงขนานกัน เส้นซิสซอยด์จะเป็นเส้นตรงที่สามซึ่งขนานกับเส้นตรงทั้งสองที่

ให้C และC เป็นเส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกัน และให้Oเป็นจุดกำเนิด ให้สมการเชิงขั้วของC และC เป็น และ โดยการหมุนด้วยมุมเราสามารถสมมติได้ว่าจากนั้น ซิสซอยด์ของC และC เทียบกับจุดกำเนิดคือ การรวมค่าคงที่ เข้าด้วยกันจะได้ ซึ่งในพิกัดคาร์ทีเซียนคือ นี่คือไฮเปอร์โบลาที่ผ่านจุดกำเนิด ดังนั้น ซิสซอยด์ของเส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกันคือไฮเปอร์โบลาที่มีขั้ว การพิสูจน์ในทำนองเดียวกันแสดงให้เห็นว่า ในทางกลับกัน ไฮเปอร์โบลาใดๆ ก็เป็นซิสซอยด์ของเส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกันเทียบกับจุดใดๆ บนไฮเปอร์โบลานั้น $${\displaystyle r={\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha _{1})}}}$$$${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta -\alpha _{2})}}.}$$${\displaystyle {\tfrac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}},}$${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha ,\ \alpha _{2}=-\alpha .}$$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {a_{2}}{\cos(\theta +\alpha )}}-{\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha )}}\\&={\frac {a_{2}\cos(\theta -\alpha )-a_{1}\cos(\theta +\alpha )}{\cos(\theta +\alpha )\cos(\theta -\alpha )}}\\&={\frac {(a_{2}\cos \alpha -a_{1}\cos \alpha )\cos \theta -(a_{2}\sin \alpha +a_{1}\sin \alpha )\sin \theta }{\cos ^{2}\alpha \ \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\alpha \ \sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle r={\frac {b\cos \theta +c\sin \theta }{\cos ^{2}\theta -m^{2}\sin ^{2}\theta }}}$$$${\displaystyle x^{2}-m^{2}y^{2}=bx+cy.}$$

ซิสซอยด์ของซาห์ราดนิค (ตั้งชื่อตามคาเรล ซาห์ราดนิค ) ถูกนิยามว่าเป็นซิสซอยด์ของภาคตัดกรวยและเส้นตรงที่สัมพันธ์กับจุดใดๆ บนภาคตัดกรวยนั้น นี่คือตระกูลกว้างๆ ของเส้นโค้งลูกบาศก์เชิงตรรกะ ซึ่งประกอบด้วยตัวอย่างที่รู้จักกันดีหลายตัวอย่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

• ไตรเซกทริกซ์ของแมคลาอรินซึ่งกำหนดโดยคือ ซิสซอยด์ของวงกลมและเส้นตรงที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด$${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})}$$${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$${\displaystyle x=-{\tfrac {a}{2}}}$

• เส้นสโทรฟอยด์ด้านขวา เป็นเส้นซิสซอยด์ของวงกลมและเส้นตรงที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด$${\displaystyle y^{2}(a+x)=x^{2}(ax)}$$${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$${\displaystyle x=-a}$

• เส้นซิสซอยด์ของไดโอเคลส คือเส้นซิสซอยด์ของวงกลมและเส้นตรงที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด อันที่จริงแล้ว นี่คือเส้นโค้งที่เป็นที่มาของชื่อตระกูลเส้นโค้งนี้ และผู้เขียนบางคนเรียกเส้นโค้งนี้ว่า ซิสซอยด์ เฉยๆ$${\displaystyle x(x^{2}+y^{2})+2ay^{2}=0}$$${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$${\displaystyle x=-2a}$

• เส้นโค้งซิสซอยด์ของวงกลมและเส้นตรงโดยที่kเป็นพารามิเตอร์ เรียกว่า เส้นโค้งคอนคอยด์ของเดอ สลูซ (เส้นโค้งเหล่านี้ไม่ใช่คอนคอยด์จริงๆ) ตระกูลนี้รวมถึงตัวอย่างก่อนหน้านี้ด้วย${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$${\displaystyle x=ka,}$
• โฟเลียมของเดส์การ์ต คือซิสซอยด์ของวงรีและเส้นตรงที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด เพื่อให้เห็นภาพนี้ โปรดสังเกตว่าเส้นตรงสามารถเขียนได้เป็นและวงรีสามารถเขียนได้เป็นดังนั้นซิสซอยด์จึงกำหนดโดยซึ่งเป็นรูปแบบพาราเมตริกของโฟเลียม$${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy}$$${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}=-a(x+y)}$${\displaystyle x+y=-a}$$${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}},\ y=px}$$$${\displaystyle x=-{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}},\ y=px.}$$$${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}}+{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}}={\frac {3ap}{1+p^{3}}},\ y=px}$$

• ทรงโค้ง
• สโตรฟอยด์

• "ซิสซอยด์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ซิสซอยด์" . แมธเวิลด์ .
• เส้นโค้ง 2 มิติ