ให้เส้นโค้งCกำหนดโดย โดยที่จุดกำเนิดคือOให้Aเป็นจุด( a , b )ถ้าเป็นจุดบนเส้นโค้ง ระยะทางจากKถึงAคือ${\displaystyle r=f(\theta ),}$${\displaystyle K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )}$

${\displaystyle d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}.}$

จุดต่างๆ บนเส้นตรงOKมีมุมเชิงขั้วθและจุดที่อยู่ห่างจากK เป็นระยะ dบนเส้นตรงนี้จะอยู่ห่างจากจุดกำเนิดเป็นระยะ ดังนั้น สมการของสโทรฟอยด์จึงกำหนดโดย${\displaystyle f(\theta )\pm d}$

${\displaystyle r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}}$

ให้Cกำหนดโดยพาราเมตริก( x ( t ), y ( t ))ให้Aเป็นจุด( a , b )และให้Oเป็นจุด( p , q )จากนั้น โดยการประยุกต์ใช้สูตรเชิงขั้วโดยตรง สโตรฟอยด์จะกำหนดโดยพาราเมตริกดังนี้:

${\displaystyle u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),\ v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t)),}$

ที่ไหน

${\displaystyle n(t)={\sqrt {\frac {(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}{(x(t)-p)^{2}+(y(t)-q)^{2}}}}.}$

สูตรที่กล่าวมาข้างต้นมีความซับซ้อน จึงจำกัดประโยชน์ในการใช้งานในบางกรณี อย่างไรก็ตาม มีสูตรอีกรูปแบบหนึ่งซึ่งบางครั้งอาจใช้งานง่ายกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่Cเป็นเซกทริกซ์ของแมคลาอรินที่มีขั้วOและA

ให้Oเป็นจุดกำเนิด และAเป็นจุด( a , 0)ให้Kเป็นจุดบนเส้นโค้งθคือมุมระหว่างOKกับ แกน xและ⁠ ⁠${\displaystyle \vartheta }$ คือ มุมระหว่างAKกับ แกน xสมมติว่า⁠ ⁠${\displaystyle \vartheta }$สามารถกำหนดได้ในรูปฟังก์ชันของθเช่นให้ψเป็นมุมที่Kดังนั้นเราสามารถหาค่าrในรูปของl ได้ โดยใช้กฎของไซน์เนื่องจาก${\displaystyle \vartheta =l(\theta )}$${\displaystyle \psi =\vartheta -\theta .}$

${\displaystyle {r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}.}$

ให้P และP เป็นจุดบนOKที่อยู่ห่างจากK เป็นระยะ AKโดยกำหนดหมายเลขให้และ△ P KAเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมยอดψดังนั้นมุมที่เหลือ⁠ ⁠และ⁠ ⁠คือมุมระหว่างAPกับ แกน xคือ${\displaystyle \psi =\มุม P_{1}KA}$${\displaystyle \pi -\psi =\มุม AKP_{2}.}$${\displaystyle \angle AP_{1}K}$${\displaystyle \มุม KAP_{1},}$${\displaystyle {\tfrac {\pi -\psi }{2}}.}$

${\displaystyle l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2.}$

ด้วยเหตุผลที่คล้ายกัน หรือเพียงแค่ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าAPและAPตั้งฉากกัน มุมระหว่างAPกับ แกน xก็คือ

${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2.}$

สมการเชิงขั้วสำหรับสโทรฟอยด์สามารถหาได้จากl และl จากสูตรข้างต้น:

${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}\\&r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}\end{aligned}}}$

Cคือเซกทริกซ์ของแมคลาลินที่มีขั้วOและAเมื่อlอยู่ในรูปแบบนั้น ในกรณีนั้นl และl จะมีรูปแบบเดียวกัน ดังนั้นสโทรฟอยด์จึงเป็นเซกทริกซ์ของแมคลาลินอีกอันหนึ่งหรือเป็นคู่ของเส้นโค้งดังกล่าว ในกรณีนี้ยังมีสมการเชิงขั้วแบบง่ายสำหรับสมการเชิงขั้วหากจุดกำเนิดถูกเลื่อนไปทางขวาเป็นระยะa${\displaystyle q\theta +\theta _{0},}$

ให้Cเป็นเส้นตรงที่ผ่านAแล้ว ในสัญลักษณ์ที่ใช้ข้างต้นโดยที่αเป็นค่าคงที่ ดังนั้นและสมการเชิงขั้วของสโทรฟอยด์ที่ได้ ซึ่งเรียกว่าสโทรฟอยด์เฉียง โดยมีจุดกำเนิดอยู่ที่Oคือ${\displaystyle l(\theta )=\alpha }$${\displaystyle l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2}$${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2.}$

${\displaystyle r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}}$

และ

${\displaystyle r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}.}$

ตรวจสอบได้ง่ายๆ ว่าสมการเหล่านี้อธิบายถึงเส้นโค้งเดียวกัน

การย้ายจุดกำเนิดไปที่A (ดูSectrix ของ Maclaurin อีกครั้ง ) และการแทนที่−aด้วยaจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}},}$

และการหมุนนั้นก่อให้เกิดผลลัพธ์ที่แตกต่างกันออกไป${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}.}$

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงค่าพารามิเตอร์คงที่ จะได้ดังนี้

${\displaystyle y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy.}$

นี่คือเส้นโค้งลูกบาศก์ และจากการแสดงในระบบพิกัดเชิงขั้ว เส้นโค้งนี้เป็นเส้นโค้งตรรกยะ มีจุดตัดแกน y ที่(0, 0)และเส้นตรงy = bเป็นเส้นกำกับ

การใส่เข้าไป${\displaystyle \alpha =\pi /2}$

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}}$

ให้

${\displaystyle r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta ).}$

นี่เรียกว่าเส้นโค้งสตรอฟอยด์ด้านขวาและสอดคล้องกับกรณีที่Cคือ แกน y , Aคือจุดกำเนิด และOคือจุด( a , 0 )

สม การ คาร์ทีเซียนคือ

${\displaystyle y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x).}$

เส้นโค้งมีลักษณะคล้ายกับFolium ของ Descartes ^{[ 1 ]}และเส้นx = – aเป็นเส้นกำกับของสองสาขา เส้นโค้งมีเส้นกำกับอีกสองเส้นในระนาบที่มีพิกัดเชิงซ้อน ซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle x\pm iy=-a.}$

เส้นโค้งนี้ผ่านจุดวงกลมสองจุดที่ระยะอนันต์และเป็นกรณีพิเศษของลูกบาศก์แวนรีส์แบบวงกลมที่มีจุดโฟกัส

ให้Cเป็นวงกลมที่ผ่านOและAโดยที่Oคือจุดกำเนิด และAคือจุด( a , 0)ในสัญลักษณ์ที่ใช้ข้างต้น โดยที่เป็นค่าคงที่ ดังนั้นและสมการเชิงขั้วของสโทรฟอยด์ที่ได้ ซึ่งเรียกว่าสโทรฟอยด์เฉียง โดยมีจุดกำเนิดอยู่ที่Oคือ${\displaystyle l(\theta )=\alpha +\theta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2}$${\displaystyle l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2.}$

${\displaystyle r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}}$

และ

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(\theta +\alpha /2)}{\sin(\alpha /2)}}.}$

นี่คือสมการของวงกลมสองวงที่ผ่านจุดOและAและทำมุมกับจุดC ที่จุดเหล่านั้น${\displaystyle \pi /4}$