ในทฤษฎีกราฟซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ผลรวมคลิก (หรือclique-sum ) คือวิธีการรวมกราฟสองกราฟเข้าด้วยกันโดยการเชื่อมต่อที่คลิกคล้ายกับ การดำเนินการ ผลรวมที่เชื่อมต่อกันในทางโทโพโลยีถ้ากราฟGและHแต่ละกราฟมีคลิกขนาดเท่ากัน ผลรวมคลิกของGและHจะเกิดจากการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันโดยการระบุคู่ของจุดยอดในคลิกทั้งสองนี้เพื่อสร้างคลิกที่ใช้ร่วมกันเพียงคลิกเดียว จากนั้นลบขอบทั้งหมดของคลิก (นิยามดั้งเดิม ซึ่งอิงตามแนวคิดของผลรวมเซต ) หรืออาจลบขอบบางส่วนของคลิก (การคลายนิยาม) ผลรวมคลิก kคือผลรวมคลิกในคลิกทั้งสองที่คลิกมีจุดยอดเท่ากัน (หรือบางครั้งอย่างมากที่สุด) k จุด นอกจาก นี้ยังสามารถสร้างผลรวมคลิกและ ผลรวมคลิก kของกราฟมากกว่าสองกราฟได้ โดยการใช้การดำเนินการผลรวมคลิกซ้ำๆ

แหล่งข้อมูลต่างๆ มีความเห็นไม่ตรงกันเกี่ยวกับขอบที่ควรถูกลบออกในการดำเนินการหาผลรวมของคลิก ในบางบริบท เช่น การแยกส่วนของกราฟคอร์ดัลหรือกราฟที่ถูกบีบรัดขอบทั้งหมดไม่ควรถูกลบออก ในบริบทอื่นๆ เช่น การแยกส่วนของกราฟเป็น ต้นไม้ SPQRออกเป็นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันด้วย 3 จุดยอด ขอบทั้งหมดควรถูกลบออก และในบริบทอื่นๆ เช่นทฤษฎีบทโครงสร้างกราฟสำหรับตระกูลกราฟแบบง่ายที่ปิดด้วยไมเนอร์ เป็นเรื่องปกติที่จะอนุญาตให้ระบุชุดของขอบที่จะถูกลบออกเป็นส่วนหนึ่งของการดำเนินการ

ผลรวมของคลิกมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับtreewidth : ถ้ากราฟสองกราฟมี treewidth ไม่เกินkผลรวมของคลิกkของกราฟทั้งสองก็จะเป็น k เช่นกัน ต้นไม้ ทุกต้น เป็นผลรวมของคลิก 1 ตัวของขอบของมันกราฟอนุกรมขนานทุกกราฟหรือโดยทั่วไปแล้วกราฟทุกกราฟที่มีtreewidthไม่เกินสอง อาจถูกสร้างขึ้นเป็นผลรวมของคลิก 2 ตัวของรูปสามเหลี่ยม ผลลัพธ์ประเภทเดียวกันนี้ขยายไปยังค่าk ที่มากขึ้น : กราฟทุกกราฟที่มีtreewidthไม่เกินkอาจถูกสร้างขึ้นเป็นผลรวมของคลิกของกราฟที่มีจุดยอดไม่เกินk  + 1 จุด ซึ่งจำเป็นต้องเป็นผลรวมของคลิกk ^{[ 1 ]}

นอกจากนี้ยังมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดระหว่างผลรวมของคลิกและการเชื่อมต่อของกราฟกล่าวคือ หากกราฟไม่ เชื่อมต่อกันด้วยจุดยอด ( k  + 1) จุด (กล่าวคือ มีเซตของ จุดยอด kจุด ซึ่งหากลบออกจะทำให้กราฟขาดการเชื่อมต่อ) กราฟนั้นอาจแสดงได้ในรูป ผลรวมของคลิก kจุดของกราฟขนาดเล็กกว่า ตัวอย่างเช่นต้นไม้ SPQRของกราฟที่เชื่อมต่อกันสองจุด เป็นการแสดงกราฟในรูปผลรวมของคลิก 2 จุดของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันสามจุด

ผลรวมของคลิกมีความสำคัญในทฤษฎีโครงสร้างกราฟ โดยใช้เพื่อจำแนกลักษณะของกราฟบางตระกูลว่าเป็นกราฟที่เกิดจากผลรวมของคลิกของกราฟที่เรียบง่ายกว่า ผลลัพธ์แรกของประเภทนี้^{[ 2 ]}คือทฤษฎีบทของWagner (1937)ซึ่งพิสูจน์ว่ากราฟที่ไม่มีกราฟสมบูรณ์ห้าจุดยอดเป็นไมเนอร์คือผลรวมของคลิก 3 จุดยอดของกราฟระนาบ ที่มี กราฟ Wagnerแปดจุดยอดทฤษฎีบทโครงสร้างนี้สามารถใช้เพื่อแสดงว่าทฤษฎีบทสี่สีเทียบเท่ากับกรณีk  = 5 ของข้อสันนิษฐานของ Hadwigerกราฟคอร์ดัลคือกราฟที่สามารถสร้างขึ้นได้จากผลรวมของคลิกของคลิกโดยไม่ลบขอบใดๆ และกราฟที่ถูกบีบรัดคือกราฟที่สามารถสร้างขึ้นได้จากผลรวมของคลิกของคลิกและกราฟระนาบสูงสุดโดยไม่ลบขอบ^{[ 3 ]}กราฟที่วัฏจักรเหนี่ยวนำทุกวัฏจักรที่มีความยาวสี่หรือมากกว่านั้นก่อให้เกิดตัวแยกขั้นต่ำของกราฟ (การลบตัวแยกนี้จะแบ่งกราฟออกเป็นสองส่วนหรือมากกว่าที่ไม่เชื่อมต่อกัน และไม่มีเซตย่อยใดของวัฏจักรที่มีคุณสมบัติเดียวกัน) คือผลรวมของคลิกและกราฟระนาบ สูงสุด โดยไม่มีการลบขอบ^{[ 4 ]} Johnson & McKee (1996) ใช้ผลรวมของคลิกของกราฟคอร์ดัลและกราฟอนุกรม-ขนานเพื่อกำหนดลักษณะของเมท ริกซ์บางส่วนที่มีการเติมเต็ม แบบบวกแน่นอน

เป็นไปได้ที่จะสร้างการแยกส่วนผลรวมคลิกสำหรับตระกูลกราฟใดๆ ที่ปิดภายใต้การดำเนินการย่อยของกราฟ: กราฟในตระกูลที่ปิดด้วยการดำเนินการย่อยทุกตระกูลอาจถูกสร้างขึ้นจากผลรวมคลิกของกราฟที่ "เกือบฝัง" บนพื้นผิวที่มีจีนัส จำกัด ซึ่งหมายความว่าการฝังอนุญาตให้ละเว้น จุดยอดจำนวนเล็กน้อย(จุดยอดที่อาจเชื่อมต่อกับเซตย่อยใดๆ ของจุดยอดอื่นๆ) และกระแสน้ำวน (กราฟที่มีความกว้างเส้นทาง ต่ำ ที่แทนที่หน้าของการฝังพื้นผิว) ^{[ 5 ]}ลักษณะเฉพาะเหล่านี้ถูกใช้เป็นเครื่องมือสำคัญในการสร้างอัลกอริธึมการประมาณและอัลกอริธึมที่แม่นยำในเวลาต่ำกว่าเลขชี้กำลังสำหรับ ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ NP-completeบนตระกูลกราฟที่ปิดด้วย การดำเนินการย่อย ^{[ 6 ]}

ทฤษฎีผลรวมคลิกอาจขยายจากกราฟไปยังแมทรอยด์ได้ เช่นกัน ^{[ 1 ]}ที่น่าสังเกตคือทฤษฎีบทการแยกส่วนของ Seymourระบุลักษณะของแมทรอยด์ปกติ (แมทรอยด์ที่แสดงโดยเมทริกซ์แบบ unimodular ทั้งหมด ) เป็นผลรวม 3 ของแมทรอยด์กราฟิก (แมทรอยด์ที่แสดงต้นไม้แผ่ขยายในกราฟ) แมทรอยด์โคกราฟิก และแมทรอยด์ 10 องค์ประกอบบางอย่าง^{[ 1 ] [ 7 ]}