ในสาขาคณิตศาสตร์เรขาคณิตและโทโพโลยีโครงสร้างหยาบในเซตXคือกลุ่มของเซตย่อยของผลคูณคาร์ทีเซียนX × Xที่มีคุณสมบัติบางประการ ซึ่งช่วยให้สามารถกำหนด โครงสร้างขนาดใหญ่ของปริภูมิเมตริกและปริภูมิโทโพโลยี ได้

ความสนใจของเรขาคณิตและโทโพโลยีแบบดั้งเดิมนั้นอยู่ที่โครงสร้างระดับเล็กของปริภูมิ: คุณสมบัติเช่นความต่อเนื่องของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับว่าภาพผกผันของเซตเปิด ขนาดเล็ก หรือบริเวณใกล้เคียงนั้นเป็นเซตเปิดหรือไม่ คุณสมบัติระดับใหญ่ของปริภูมิ—เช่นความมีขอบเขตหรือระดับความเป็นอิสระของปริภูมิ—ไม่ขึ้นอยู่กับคุณลักษณะดังกล่าวเรขาคณิตและโทโพโลยีแบบหยาบให้เครื่องมือสำหรับการวัดคุณสมบัติระดับใหญ่ของปริภูมิ และเช่นเดียวกับที่เมตริกหรือโทโพโลยีมีข้อมูลเกี่ยวกับโครงสร้างระดับเล็กของปริภูมิ โครงสร้างแบบหยาบก็มีข้อมูลเกี่ยวกับคุณสมบัติระดับใหญ่ของมันเช่นกัน

โดยทั่วไปแล้ว โครงสร้างหยาบไม่ใช่โครงสร้างเชิงทอพอโลยีในขนาดใหญ่ แต่เป็นโครงสร้าง สม่ำเสมอ

เอโครงสร้างหยาบในเซต คือ การรวบรวมเซตย่อยของนั้น(ดังนั้นจึงจัดอยู่ในหมวดหมู่ทั่วไปของความสัมพันธ์ทวิภาคบนเซตนั้น) เรียกว่า${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle X}$เซตควบคุม sและด้วยเหตุนี้จึงมีความสัมพันธ์เอกลักษณ์ปิดภายใต้การหาเซตย่อย เซตผกผัน และการรวมกันแบบจำกัด และปิดภายใต้การประกอบความสัมพันธ์กล่าวคือ: ${\displaystyle \mathbf {E} }$

1. เอกลักษณ์/แนวทแยง :

   เส้นทแยงมุม เป็นสมาชิกของความสัมพันธ์เอกลักษณ์${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$${\displaystyle \mathbf {E} }$

2. ปิดภายใต้การดำเนินการย่อย :

   ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$${\displaystyle F\subseteq E,}$${\displaystyle F\in \mathbf {E} .}$

3. ปิดภายใต้การดำเนินการผกผัน :

   ถ้าเช่นนั้นตัวผกผัน (หรือตัวสลับแถวและคอลัมน์ ) เป็นสมาชิกของความสัมพันธ์ผกผันนั้น${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$${\displaystyle E^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in E\}}$${\displaystyle \mathbf {E} }$

4. สหภาพแรงงานที่ปิดตัวลง :

   ถ้าเช่นนั้นสหภาพแรงงาน ของพวกเขา เป็นสมาชิกของ${\displaystyle E,F\in \mathbf {E} }$${\displaystyle E\cup F}$${\displaystyle \mathbf {E} .}$

5. ปิดรับงานแล้ว :

   ถ้าเช่นนั้นผลิตภัณฑ์ ของพวกเขา เป็นสมาชิกของ— องค์ประกอบของความสัมพันธ์${\displaystyle E,F\in \mathbf {E} }$${\displaystyle E\circ F=\{(x,y):{\text{ มี }}z\in X{\text{ ที่ }}(x,z)\in E{\text{ และ }}(z,y)\in F\}}$${\displaystyle \mathbf {E} }$

เซตที่มีโครงสร้างหยาบคือ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {E} }$พื้นที่หยาบ

ให้เป็นเซตควบคุม สำหรับเซตย่อยของเซตนั้นถูกกำหนดให้เป็นเรากำหนด${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle E[K]}$${\displaystyle \{x\in X:(x,k)\in E{\text{ สำหรับบาง }}k\in K\}.}$ส่วนของเซตที่แสดงด้วยสัญลักษณ์ สัญลักษณ์นี้หมายถึงเซตสิ่งเหล่านี้เป็นรูปแบบของการฉายภาพ ${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E[\{x\}],}$${\displaystyle E_{x}.}$${\displaystyle E^{y}}$${\displaystyle E^{-1}[\{y\}].}$

เซตย่อยของกล่าวได้ว่าเป็น${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$เซตที่มีขอบเขตถ้าเป็นเซตที่ถูกควบคุม ${\displaystyle B\times B}$

เซตที่ถูกควบคุมคือเซต "เล็ก" หรือ " เซตที่ไม่สำคัญ ": เซต ที่ ถูกควบคุมนั้น ถือว่าไม่สำคัญ ในขณะที่ฟังก์ชัน ที่กราฟของมันถูกควบคุมนั้น "ใกล้เคียง" กับเอกลักษณ์ ในโครงสร้างหยาบที่มีขอบเขต เซตเหล่านี้คือเซตที่มีขอบเขต และฟังก์ชันคือฟังก์ชันที่อยู่ห่างจากเอกลักษณ์ในเมตริกเอกรูปเป็น ระยะทางจำกัด${\displaystyle A}$${\displaystyle A\times A}$${\displaystyle f:X\to X}$

เมื่อกำหนดเซตและโครงสร้างหยาบแล้วเรากล่าวว่าแผนที่และคือ${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f:S\to X}$${\displaystyle g:S\to X}$ปิดหากเป็นชุดควบคุม ${\displaystyle \{(f(s),g(s)):s\in S\}}$

สำหรับโครงสร้างหยาบและเรากล่าวว่านั่นคือ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle f:X\to Y}$แผนที่หยาบหากสำหรับแต่ละเซตที่มีขอบเขตของเซตนั้นมีขอบเขตในและสำหรับแต่ละเซตที่ควบคุมของเซตนั้นถูกควบคุมใน ^{[ 1 ]}และกล่าวกันว่าเป็น${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{-1}(B)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (f\times f)(E)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$เทียบเท่ากันอย่างหยาบๆหากมีแผนที่หยาบๆและเช่นนั้น ที่อยู่ใกล้เคียงกับและอยู่ใกล้กับ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to X}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle \operatorname {id} _{X}.}$

• เดอะโครงสร้างหยาบที่มีขอบเขตบนปริภูมิเมตริก คือกลุ่มเซตย่อยทั้งหมดของโดยที่มีจำนวนจำกัดด้วยโครงสร้างนี้แลตทิซจำนวนเต็มจึงเทียบเท่ากับปริภูมิยุคลิดในเชิงหยาบ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle E}$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle \sup _{(x,y)\in E}d(x,y)}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle n}$
• พื้นที่ที่มีการควบคุมเรียกว่า...${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times X}$ปริภูมิที่มีขอบเขต ปริภูมิเช่นนี้เทียบเท่ากับจุดอย่างคร่าวๆ ปริภูมิเมตริกที่มีโครงสร้างหยาบที่มีขอบเขตจะมีขอบเขต (ในฐานะปริภูมิหยาบ) ก็ต่อเมื่อมีขอบเขต (ในฐานะปริภูมิเมตริก)
• โครงสร้างหยาบที่ไม่ซับซ้อนนั้นประกอบด้วยเพียงแนวทแยงและเซตย่อยของมันเท่านั้น ในโครงสร้างนี้ ฟังก์ชันหนึ่งจะเป็นสมมูลแบบหยาบก็ต่อเมื่อมันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (ของเซต)
• เดอะ${\displaystyle C_{0}}$โครงสร้างหยาบในปริภูมิเมตริกคือ การรวบรวมเซตย่อยทั้งหมดของโดยที่สำหรับทุกจะมีเซตกระชับของโดยที่สำหรับทุกหรืออีกนัยหนึ่งคือ การรวบรวมเซตย่อยทั้งหมดของโดยที่เป็นเซตกระชับ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle K}$${\displaystyle E}$${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon }$${\displaystyle (x,y)\in E\setminus K\times K.}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle {\overline {\{(x,y)\in E:d(x,y)\geq \varepsilon \}}}}$
• เดอะโครงสร้างหยาบแบบไม่ต่อเนื่องบนเซตประกอบด้วยเส้นทแยงมุมพร้อมกับเซตย่อยซึ่งนอกเส้นทแยงมุมเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น${\displaystyle X}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle E}$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle (x,y)}$
• ถ้าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีแล้ว${\displaystyle X}$โครงสร้างหยาบที่ไม่แยกส่วนบนประกอบด้วยแท้ของซึ่งหมายถึงเซตย่อยทั้งหมดที่และเป็นเซตกระชับสัมพัทธ์เมื่อใดก็ตามที่เป็นเซตกระชับสัมพัทธ์${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times X,}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E[K]}$${\displaystyle E^{-1}[K]}$${\displaystyle K}$

ให้เป็นชุดของเซตที่มีขอบเขตทั้งหมดของปริภูมิหยาบเรียกโครงสร้างหยาบบนว่าเชื่อมต่อแบบหยาบ^{[ 1 ]}ถ้าสำหรับทุกแล้วเป็นบอร์โนโลยีบนก็ต่อเมื่อเชื่อมต่อแบบหยาบ ตัวอย่างเช่น ถ้ามีจุดอย่างน้อยสองจุด และเป็นโครงสร้างหยาบที่ไม่สำคัญ แล้วไม่ใช่บอร์โนโลยี โครงสร้างหยาบที่มีขอบเขต แบบไม่ต่อเนื่อง และแบบไม่ต่อเนื่อง เชื่อมต่อแบบหยาบ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B\subseteq X:B\times B\in \mathbf {E} \}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{(x,y)\}\in \mathbf {E} }$${\displaystyle (x,y)\in X\times X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

• บอร์โนโลยี  – การสรุปเชิงคณิตศาสตร์ของความมีขอบเขต
• ไอโซเมตรีเสมือน  – ฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเมตริกสองปริภูมิที่เคารพเฉพาะเรขาคณิตขนาดใหญ่ของปริภูมิเหล่านั้นเท่านั้น
• ปริภูมิเอกรูป  – ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีแนวคิดเกี่ยวกับคุณสมบัติเอกรูป