ทฤษฎีบทของคอคแรน

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ ทฤษฎีบทของคอคแรน

ในทางสถิติทฤษฎีบทของ Cochranซึ่งคิดค้นโดยWilliam G. Cochran เป็นทฤษฎีบทที่ใช้ในการพิสูจน์ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงความน่าจะเป็นของสถิติที่ใช้ใน การวิเคราะห์ ความแปรปรวน

Q: คำแถลง

ให้ , และ เป็น ตัวแปรสุ่มที่ มีการแจกแจงแบบปกติ มาตรฐาน แบบ อิสระ และเหมือนกัน ให้เป็น เมทริกซ์สมมาตร กำหนดให้ r เป็น อันดับ ของกำหนดให้เพื่อให้ Q เป็น รูปแบบกำลังสอง และสมมติเพิ่มเติมว่า ยู 1 , ⋯ , ยู เอ็น {\displaystyle U_{1},\cdots ,U_{N}} ยู = [ ยู 1 , . .

Q: ค่าเฉลี่ยตัวอย่างและความแปรปรวนตัวอย่าง

ถ้า X , ..., X เป็นตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ย μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ แล้ว

ในทางสถิติทฤษฎีบทของ Cochranซึ่งคิดค้นโดยWilliam G. Cochran [ ^{1 ] เป็น}ทฤษฎีบทที่ใช้ในการพิสูจน์ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงความน่าจะเป็นของสถิติที่ใช้ใน การวิเคราะห์ ความแปรปรวน^{[ 2 ]}

คำแถลง

ให้ , และ เป็น ตัวแปรสุ่มที่ มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานแบบ อิสระและเหมือนกัน ให้เป็นเมทริกซ์สมมาตรกำหนดให้r เป็นอันดับของกำหนดให้เพื่อให้Q เป็นรูปแบบกำลังสองและสมมติเพิ่มเติมว่า $U_{1},\cdots ,U_{N}$ $U=[U_{1},...,U_{N}]^{T}$ $B^{(1)},B^{(2)},\ldots ,B^{(k)}$ $B^{(i)}$ $Q_{i}=U^{T}B^{(i)}U$ $\sum _{i}Q_{i}=U^{T}U$

ทฤษฎีบทของ Cochranกล่าวว่าสิ่งต่อไปนี้เทียบเท่ากัน:

$r_{1}+\cdots +r_{k}=N$ ,
ค่าQ เป็นอิสระต่อกัน
แต่ละQ มีการแจกแจงไคกำลังสองโดยมีr องศาอิสระ^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}

โดยทั่วไปจะระบุว่า โดยที่เป็นตัวผกผันที่ยกกำลังสองได้เอง และถูกแทนที่ด้วยแต่หลังจากการแปลงเชิงตั้งฉาก จะได้และ ดังนั้นเราจึงลดรูปเป็นทฤษฎีบทข้างต้น ในที่นี้หมายถึงการแปลงแนวทแยง $\sum _{i}A_{i}=A$ $A$ $\sum _{i}r_{i}=N$ $\sum _{i}r_{i}=\operatorname {rank} (A)$ $A=\operatorname {diag} (I_{M},0)$ $\operatorname {diag}$

สูตรทางเลือก

เวอร์ชันต่อไปนี้มักพบเห็นได้เมื่อพิจารณาการถดถอยเชิงเส้น^{[ 4 ]}สมมติว่าเป็นเวกเตอร์สุ่ม ปกติหลายตัวแปร มาตรฐาน (ในที่นี้หมายถึงเมทริกซ์เอกลักษณ์n x n ) และถ้าเป็นเมทริกซ์สมมาตรn x n ทั้งหมด ที่มี แล้วเมื่อกำหนดเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งต่อไปนี้จะบ่งชี้ถึงเงื่อนไขอีกสองข้อ: $Y\sim N_{n}(0,\sigma ^{2}I_{n})$ $I_{n}$ $A_{1},\ldots ,A_{k}$ $\sum _{i=1}^{k}A_{i}=I_{n}$ $r_{i}=\operatorname {rank} (A_{i})$

$\sum _{i=1}^{k}r_{i}=n,$
$Y^{T}A_{i}Y\sim \sigma ^{2}\chi _{r_{i}}^{2}$ (ดังนั้นจึงเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด ) $A_{i}$
$Y^{T}A_{i}Y$ เป็นอิสระจากสำหรับ $Y^{T}A_{j}Y$ $i\neq j.$

ตัวอย่าง

ค่าเฉลี่ยตัวอย่างและความแปรปรวนตัวอย่าง

ถ้าX , ..., X เป็นตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยμและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานσแล้ว

U_{i}={\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}

เป็นการแจกแจงปกติมาตรฐานสำหรับแต่ละi โปรดทราบว่าค่า Qทั้งหมดเท่ากับผลรวมของ ค่า U ยกกำลังสอง ดังแสดงในที่นี้:

\sum _{i}Q_{i}=\sum _{jik}U_{j}B_{jk}^{(i)}U_{k}=\sum _{jk}U_{j}U_{k}\sum _{i}B_{jk}^{(i)}=\sum _{jk}U_{j}U_{k}\delta _{jk}=\sum _{j}U_{j}^{2}

ซึ่งเกิดจากสมมติฐานเดิมที่ว่าดังนั้นแทนที่จะเป็นเช่นนั้น เราจะคำนวณปริมาณนี้และแยกมันออกเป็นQ ในภายหลัง สามารถเขียนได้ว่า $B_{1}+B_{2}\ldots =I$

\sum _{i=1}^{n}U_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {X_{i}-{\overline {X}}}{\sigma }}\right)^{2}+n\left({\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}

(นี่คือค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง ) เพื่อดูความสัมพันธ์นี้ ให้คูณตลอดด้วยและสังเกตว่า ${\overline {X}}$ $\sigma ^{2}$

\sum (X_{i}-\mu )^{2}=\sum (X_{i}-{\overline {X}}+{\overline {X}}-\mu )^{2}

และขยายเพื่อให้

\sum (X_{i}-\mu )^{2}=\sum (X_{i}-{\overline {X}})^{2}+\sum ({\overline {X}}-\mu )^{2}+2\sum (X_{i}-{\overline {X}})({\overline {X}}-\mu ).

พจน์ที่สามเป็นศูนย์ เพราะเท่ากับค่าคงที่คูณด้วย

\sum ({\overline {X}}-X_{i})=0,

และพจน์ที่สองประกอบด้วย พจน์ที่เหมือนกัน nพจน์ที่นำมาบวกกัน ดังนั้น

\sum (X_{i}-\mu )^{2}=\sum (X_{i}-{\overline {X}})^{2}+n({\overline {X}}-\mu )^{2},

และด้วยเหตุนี้

\sum \left({\tfrac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=\sum \left({\tfrac {X_{i}-{\overline {X}}}{\sigma }}\right)^{2}+n\left({\tfrac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=\overbrace {\sum _{i}\left(U_{i}-{\tfrac {1}{n}}\sum _{j}{U_{j}}\right)^{2}} ^{Q_{1}}+\overbrace {{\tfrac {1}{n}}\left(\sum _{j}{U_{j}}\right)^{2}} ^{Q_{2}}=Q_{1}+Q_{2}.

ทีนี้มาดูเมทริกซ์ที่ มีแต่ เลข 1 ซึ่งมีอันดับ 1 โดย กำหนดให้. นิพจน์นี้สามารถหาได้โดยการกระจายในรูปแบบเมทริกซ์ สามารถแสดงได้ว่าอันดับของคือเนื่องจากผลรวมของทุกแถวเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเงื่อนไขของทฤษฎีบทของ Cochran จึงเป็นไปตามที่กำหนด $B^{(2)}={\frac {J_{n}}{n}}$ $J_{n}$ $B^{(1)}=I_{n}-{\frac {J_{n}}{n}}$ $I_{n}=B^{(1)}+B^{(2)}$ $Q_{1}$ $B^{(1)}$ $n-1$

ทฤษฎีบทของ Cochran ระบุว่าQ และQ เป็นอิสระต่อกัน โดยมีการแจกแจงไคกำลังสองที่มีองศาอิสระn − 1 และ 1 ตามลำดับ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างและ ความแปรปรวนตัวอย่างเป็นอิสระต่อกัน นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ด้วยทฤษฎีบทของ Basuและในความเป็นจริง คุณสมบัตินี้เป็นลักษณะเฉพาะของการแจกแจงปกติ เนื่องจากไม่มีการแจกแจงอื่นใดที่ค่าเฉลี่ยตัวอย่างและความแปรปรวนตัวอย่างเป็นอิสระต่อกัน^{[ 5 ]}

การแจกจ่าย

ผลลัพธ์ของการแจกแจงจะเขียนในเชิงสัญลักษณ์ดังนี้

\sum \left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2}.

n({\overline {X}}-\mu )^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{1}^{2},

ตัวแปรสุ่มทั้งสองนี้เป็นสัดส่วนกับค่าความแปรปรวนที่แท้จริงแต่ไม่ทราบค่าσ² ดังนั้นอัตราส่วนของตัวแปรสุ่มทั้ง ^สองจึงไม่ขึ้นอยู่กับσ² และเนื่องจากตัวแปรสุ่มทั้ง ^สองเป็นอิสระทางสถิติ การแจกแจงของอัตราส่วนของตัวแปรสุ่มทั้งสองจึงกำหนดโดย

{\frac {n\left({\overline {X}}-\mu \right)^{2}}{{\frac {1}{n-1}}\sum \left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}}}\sim {\frac {\chi _{1}^{2}}{{\frac {1}{n-1}}\chi _{n-1}^{2}}}\sim F_{1,n-1}

โดยที่F คือการแจกแจง F ที่มี องศาอิสระ1 และn − 1 (ดู การแจกแจง t ของ Student ด้วย ) ขั้นตอนสุดท้ายในที่นี้คือการกำหนดนิยามของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจง F อย่างมีประสิทธิภาพ

การประมาณค่าความแปรปรวน

ในการประมาณค่าความแปรปรวนσ² ^นั้นตัวประมาณค่าหนึ่งที่บางครั้งใช้คือ ตัวประมาณ ค่าความน่าจะเป็นสูงสุดของความแปรปรวนของการแจกแจงแบบปกติ

{\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}.

ทฤษฎีบทของคอคแรนแสดงให้เห็นว่า

{\frac {n{\widehat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}

และคุณสมบัติของการแจกแจงไคกำลังสองแสดงให้เห็นว่า

{\begin{aligned}E\left({\frac {n{\widehat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)&=E\left(\chi _{n-1}^{2}\right)\\{\frac {n}{\sigma ^{2}}}E\left({\widehat {\sigma }}^{2}\right)&=(n-1)\\E\left({\widehat {\sigma }}^{2}\right)&={\frac {\sigma ^{2}(n-1)}{n}}\end{aligned}}

การพิสูจน์

ข้ออ้าง : ให้เป็นการแจกแจงแบบเกาส์เซียนมาตรฐานใน แล้วสำหรับเมทริกซ์สมมาตรใดๆถ้าและมีการแจกแจงแบบเดียวกัน แล้วจะมีค่าไอเกนเดียวกัน (โดยไม่คำนึงถึงความซ้ำซ้อน) $X$ $\mathbb {R} ^{n}$ $Q,Q'$ $X^{T}QX$ $X^{T}Q'X$ $Q,Q'$

การพิสูจน์

ให้ค่าไอเกนของเป็นแล้วคำนวณฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของซึ่งจะได้เป็น $Q$ $\lambda _{1},...,\lambda _{n}$ $X^{T}QX$

$\phi (t)=\left(\prod _{j}(1-2i\lambda _{j}t)\right)^{-1/2}$

(ในการคำนวณ ขั้นแรกให้แปลงเมทริกซ์ให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมเปลี่ยนไปใช้กรอบอ้างอิงนั้น แล้วใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของผลรวมของตัวแปรอิสระคือผลคูณของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของตัวแปรเหล่านั้น) $Q$

เพื่อให้และเท่ากัน ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของทั้งสองต้องเท่ากัน ดังนั้นจึงมีค่าไอเกนเดียวกัน (โดยไม่คำนึงถึงความซ้ำซ้อน) $X^{T}QX$ $X^{T}Q'X$ $Q,Q'$

เรียกร้อง : . $I=\sum _{i}B_{i}$

การพิสูจน์

$U^{T}(I-\sum _{i}B_{i})U=0$ เนื่องจากเมทริกซ์สมมาตร และตามข้ออ้างก่อนหน้านี้เมทริกซ์จึงมีค่าไอเกนเดียวกันกับ 0 $(I-\sum _{i}B_{i})$ $U^{T}(I-\sum _{i}B_{i})U=^{d}U^{T}0U$ $(I-\sum _{i}B_{i})$

บทตั้ง : ถ้า เมทริกซ์ และ เป็นเมทริกซ์สมมาตร ทั้งหมดและมีค่าไอเกนเป็น 0 และ 1 แล้วเมทริกซ์ทั้งสามนี้จะสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้พร้อมกัน $\sum _{i}M_{i}=I$ $M_{i}$

การพิสูจน์

กำหนดค่า i ให้คงที่ และพิจารณาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ v ของเมทริกซ์ โดยที่. จากนั้นเราจะได้. เราสังเกตว่าเมทริกซ์ s เป็นเมทริกซ์กึ่งบวก เนื่องจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ทั้งหมดเป็นค่าที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น สำหรับทุกs เราต้องมี. ดังนั้นเราจึงได้การแยกของ เมทริก ซ์ ออกเป็นโดยที่ปริภูมิเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ 1 มิติของ เมทริกซ์ อยู่ในปริภูมิเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ 0 มิติของ เมทริกซ์ สำหรับ. ตอนนี้ให้ทำการอุปนัยโดยการย้ายเข้าไปในเมทริกซ์ถ้าสำหรับทุกs แล้วฐานที่ทำให้เมทริกซ์ แต่ละเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมพร้อมกันจะกำหนดโดย โดยที่คือฐานของปริภูมิเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ 1 มิติของเมทริกซ์. $M_{i}$ $M_{i}v=v$ $v^{T}v=v^{T}Iv=v^{T}v+\sum _{j\neq i}v^{T}M_{j}v$ $M_{j}$ $j$ $v^{T}M_{j}v=0$ $\mathbb {R} ^{N}$ $V\oplus V^{\perp }$ $V$ $M_{i}$ $M_{j}$ $j\neq i$ $V^{\perp }$ $M_{i}\neq 0$ $i$ $M_{i}$ $(v_{1,1},\dots ,v_{r_{1},1},\dots ,v_{1,k},\dots ,v_{r_{k},k})$ $(v_{1,i},\dots ,v_{r_{i},i})$ $M_{i}$

ต่อไปนี้เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทเดิม เราจะพิสูจน์ว่าทั้งสามกรณีนั้นเทียบเท่ากันโดยการพิสูจน์ว่าแต่ละกรณีบ่งชี้ถึงกรณีถัดไปในวัฏจักร ( ) $1\to 2\to 3\to 1$

การพิสูจน์

กรณีศึกษา : ทุกอย่างเป็นอิสระต่อกัน $Q_{i}$

กำหนดค่าคงที่บางอย่างกำหนดเมทริกซ์และทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมโดยใช้การแปลงเชิงตั้งฉากจากนั้นพิจารณาเมทริกซ์ ซึ่งก็ถูกทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมเช่นกัน $i$ $C_{i}=I-B_{i}=\sum _{j\neq i}B_{j}$ $B_{i}$ $O$ $OC_{i}O^{T}=I-OB_{i}O^{T}$

ให้แล้วมันก็จะเป็นแบบเกาส์เซียนมาตรฐานเช่นกัน ดังนั้นเราจึงมี $W=OU$

$Q_{i}=W^{T}(OB_{i}O^{T})W;\quad \sum _{j\neq i}Q_{j}=W^{T}(I-OB_{i}O^{T})W$

ตรวจสอบค่าในแนวทแยงมุมของเมทริกซ์เหล่านั้น เพื่อดูว่าค่าในแนวทแยงมุมที่ไม่เป็นศูนย์นั้นมีค่าใดบ้างที่ไม่ทับซ้อนกัน $Q_{i}\perp \sum _{j\neq i}Q_{j}$

ดังนั้นค่าไอเกนทั้งหมดของ จึงเป็น 0 และ 1 ดังนั้น จึงเป็นการแจกแจงที่มีระดับความเป็นอิสระ $B_{i}$ $Q_{i}$ $\chi ^{2}$ $r_{i}$

กรณีศึกษา : แต่ละกรณีเป็นการแจกแจง $Q_{i}$ $\chi ^{2}(r_{i})$

กำหนดค่าใดๆ ให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมโดยใช้การแปลงเชิงตั้งฉากแล้วจัดเรียงดัชนีใหม่เพื่อให้ จากนั้นสำหรับบางค่าการ หมุนทรงกลมของ $i$ $O$ $OB_{i}O^{T}=diag(\lambda _{1},...,\lambda _{r_{i}},0,...,0)$ $Q_{i}=\sum _{j}\lambda _{j}{U'}_{j}^{2}$ $U'_{j}$ $U_{i}$

เนื่องจากเราจึงได้ทั้งหมดดังนั้นทั้งหมดและ มีค่าไอเกน $Q_{i}\sim \chi ^{2}(r_{i})$ $\lambda _{j}=1$ $B_{i}\succeq 0$ $0,1$

ดังนั้นให้หาค่าทแยงมุมพร้อมกัน แล้วบวกเข้าด้วยกัน เพื่อหาค่า. $\sum _{i}r_{i}=N$

กรณี : . $r_{1}+\cdots +r_{k}=N$

ขั้น แรก เราจะแสดงให้เห็นว่าเมทริกซ์B ^{( i )}สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมพร้อมกันได้ด้วยเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก และค่าไอเกน ที่ไม่เป็นศูนย์ของเมทริกซ์เหล่านั้น ทั้งหมดมีค่าเท่ากับ +1 เมื่อแสดงให้เห็นเช่นนั้นแล้ว ให้ใช้การแปลงเชิงตั้งฉากนี้กับฐานไอเกน พร้อมกัน ซึ่งเวกเตอร์สุ่มจะกลายเป็นแต่ทั้งหมดก็ยังคงเป็นอิสระและเป็นแบบเกาส์เซียนมาตรฐาน จากนั้นผลลัพธ์ก็จะตามมา $[U_{1},...,U_{N}]^{T}$ $[U'_{1},...,U'_{N}]^{T}$ $U_{i}'$

แต่ละเมทริกซ์B ^{( i )}มีอันดับrᵢและมีค่าลักษณะเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์ rᵢ จำนวนแต่ละ i ผลจะมีอันดับอย่างมากที่สุดเนื่องจากดังนั้นC ⁽ⁱ⁾มีอันดับเท่ากับN − rᵢพอดี $C^{(i)}\equiv \sum _{j\neq i}B^{(j)}$ $\sum _{j\neq i}r_{j}=N-r_{i}$ $B^{(i)}+C^{(i)}=I_{N\times N}$

ดังนั้นB ^{( i )}และC ^{( i )}สามารถทำให้เป็นแนวทแยงพร้อมกันได้ซึ่งสามารถแสดงได้โดยการทำให้B ^{( i )} เป็นแนวทแยงก่อน โดยใช้ทฤษฎีบทสเปกตรัมในฐานนี้ จะมีรูปแบบดังนี้:

{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0&\cdots &\cdots &&0\\0&\lambda _{2}&0&\cdots &\cdots &&0\\0&0&\ddots &&&&\vdots \\\vdots &\vdots &&\lambda _{r_{i}}&&\\\vdots &\vdots &&&0&\\0&\vdots &&&&\ddots \\0&0&\ldots &&&&0\end{bmatrix}}.

ดังนั้นแถวล่างจึงเป็นศูนย์ เนื่องจากจึงสรุปได้ว่าแถวเหล่านี้ในC ⁽ⁱ⁾ในฐานนี้มีบล็อกด้านขวาซึ่งเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ โดยมีค่าเป็นศูนย์ในแถวที่เหลือ แต่เนื่องจากC ⁽ⁱ⁾มีอันดับN − riจึงต้องมีค่าเป็นศูนย์ที่อื่น ดังนั้นจึงเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมในฐานนี้เช่นกัน สรุปได้ว่าค่าลักษณะเฉพาะ ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด ของทั้งB ⁽ⁱ⁾และC ⁽ⁱคือ +1 ข้อโต้แย้งนี้ใช้ได้กับi ทุกตัว ดังนั้นB ⁽ⁱ⁾ ทุกตัวจึง เป็นเมทริกซ์กึ่งบวก ^{แน่นอน} $(N-r_{i})$ $C^{(i)}=I-B^{(i)}$ $(N-r_{i})\times (N-r_{i})$

ยิ่งไปกว่านั้น การวิเคราะห์ข้างต้นสามารถทำซ้ำได้ในฐานแนวทแยงสำหรับในฐานนี้คือเอกลักษณ์ของปริภูมิเวกเตอร์ ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าทั้งB ⁽²⁾และสามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้พร้อมกันในปริภูมิเวกเตอร์นี้ (และด้วยเหตุนี้จึงรวมถึงB ⁽¹⁾ ด้วย ) โดยการทำซ้ำจะสรุปได้ว่าB ทั้งหมด สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้พร้อมกัน $C^{(1)}=B^{(2)}+\sum _{j>2}B^{(j)}$ $C^{(1)}$ $(N-r_{1})\times (N-r_{1})$ $\sum _{j>2}B^{(j)}$

ดังนั้นจึงมีเมทริกซ์เชิงตั้งฉากอยู่เมทริกซ์หนึ่ง ซึ่งสำหรับทุกค่าจะเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม โดยที่ค่าใดๆที่มีดัชนี, , จะเท่ากับ 1 ในขณะที่ค่าใดๆ ที่มีดัชนีอื่นๆ จะเท่ากับ 0 $S$ $i$ $S^{\mathrm {T} }B^{(i)}S\equiv B^{(i)\prime }$ $B_{x,y}^{(i)\prime }$ $x=y$ $\sum _{j=1}^{i-1}r_{j}<x=y\leq \sum _{j=1}^{i}r_{j}$