ในทางคณิตศาสตร์กราฟการสลับที่ของเซมิกรุปหรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งของกลุ่มคือกราฟแบบไม่มีทิศทางซึ่งจุดยอดเป็นสมาชิกของเซมิกรุป และมีเส้นเชื่อมระหว่างสมาชิกสองคู่ใดๆ ที่สลับที่ได้ (กล่าวคือ มีเส้นเชื่อมระหว่างจุดยอดxและyก็ต่อเมื่อxy = yxในเซมิกรุป) กราฟการสลับที่ถูกนำมาใช้ในการศึกษากลุ่มและเซมิกรุปโดยการค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างโครงสร้างเชิงการจัดเรียงของกราฟและโครงสร้างเชิงพีชคณิตของกลุ่มหรือเซมิกรุป

ขึ้นอยู่กับผู้เขียน เซตของจุดยอดอาจประกอบด้วยสมาชิกทุกตัวของเซมิกรุป หรือเฉพาะสมาชิกที่ไม่ใช่สมาชิกกลาง (เนื่องจากสมาชิกกลาง — สมาชิกของเซมิกรุปที่สลับที่ได้กับสมาชิกอื่นทุกตัว — จะก่อให้เกิด กราฟย่อย ที่สมบูรณ์ เสมอ โดยที่จุดยอดทุกจุดของกราฟย่อยนั้นจะอยู่ติดกับจุดยอดทุกจุดของกราฟสลับที่ได้ทั้งหมด) หากไม่รวมสมาชิกกลาง กราฟสลับที่ได้มักจะถูกกำหนดไว้เฉพาะสำหรับกลุ่มที่ไม่สลับที่และเซมิกรุปที่ไม่สลับที่ได้ (เนื่องจากในกรณีเหล่านี้ กราฟสลับที่ได้จะเป็นกราฟว่างเปล่า)

ในบทความนี้ จุดยอดของกราฟการสลับเปลี่ยนหมายถึงองค์ประกอบที่ไม่ใช่จุดศูนย์กลางเว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น

แนวคิดของกราฟการเดินทางได้รับการแนะนำสำหรับกลุ่มต่างๆ เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2498 ^{[ 1 ]}แม้ว่าคำว่า 'กราฟการเดินทาง' จะไม่ได้บัญญัติขึ้นจนกระทั่งปี พ.ศ. 2526 ^{[ 2 ]} กราฟ เหล่านี้มีบทบาทโดยปริยายใน การค้นพบ กลุ่มสปอร์าดิกของเบิร์นด์ ฟิชเชอร์ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อกลุ่มฟิชเชอร์^{[ 3 ]}

การศึกษากราฟการสลับเปลี่ยนของเซมิกรุปที่ไม่ใช่กรุปเริ่มต้นขึ้นในปี 2554 ^{[ 4 ]}

เป็นไปได้ที่กราฟการสลับเส้นทางจะไม่เชื่อมต่อกันและด้วยเหตุนี้จึงไม่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง ที่ จำกัด

สำหรับเซตจำกัดกราฟการสลับตำแหน่งของกลุ่มสมมาตรจะเชื่อมต่อกันก็ต่อเมื่อและไม่ใช่จำนวน เฉพาะ และกราฟการสลับตำแหน่งของกลุ่มสลับกันจะเชื่อมต่อกันก็ต่อเมื่อ, , และไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เมื่อเชื่อมต่อกันแล้ว กราฟการสลับตำแหน่งของและจะมีเส้นผ่านศูนย์กลางไม่เกิน 5 ^{[ 5 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$${\displaystyle |X|}$${\displaystyle |X|-1}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(X)}$${\displaystyle |X|}$${\displaystyle |X|-1}$${\displaystyle |X|-2}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(X)}$

กราฟการสลับเปลี่ยนของเซมิกรุปผกผันสมมาตร จะไม่เชื่อมต่อกันก็ต่อเมื่อเป็นจำนวนเฉพาะคี่ เมื่อไม่ใช่จำนวนเฉพาะคี่ จะมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 4 หรือ 5 และเป็นที่ทราบกันว่ามีเส้นผ่านศูนย์กลาง 4 เมื่อเป็นจำนวนคู่ และมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 5 เมื่อเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะคี่^{[ 6 ]}${\displaystyle {\mathcal {I}}(X)}$${\displaystyle |X|}$${\displaystyle |X|}$${\displaystyle |X|}$${\displaystyle |X|}$

สำหรับจำนวนธรรมชาติn ทุกจำนวน จะมีกลุ่มจำกัดที่มีกราฟการสลับเชื่อมต่อกันและมีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับn [ ^{7 ] แต่ถ้ากลุ่มจำกัดมีศูนย์กลางที่ไม่สำคัญและกราฟการสลับเชื่อมต่อกัน เส้นผ่านศูนย์กลางของกลุ่มนั้นจะ มี}ค่าไม่เกิน 10 ^{[ 8 ]}

กราฟการสลับเปลี่ยนของเซมิกรุปที่เรียบง่ายอย่างสมบูรณ์จะไม่เชื่อมต่อกันเว้นแต่จะเป็นกลุ่ม และหากไม่ใช่กลุ่มส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันจะเป็นกราฟการสลับเปลี่ยนที่รวมถึงองค์ประกอบกลางของกลุ่มย่อยสูงสุด^{[ 9 ]} (ซึ่งตามทฤษฎีบทของ Rees–Suschkewitsch จะเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน^{[ 10 ]} )

กลุ่มง่ายจำกัดที่ไม่เป็นอาเบเลียนมีลักษณะเฉพาะโดยกราฟการสลับกันของพวกมัน ในแง่ที่ว่าถ้าGเป็นกลุ่มง่ายจำกัดที่ไม่เป็นอาเบเลียนและHเป็นกลุ่ม และกราฟการสลับกันของGและกราฟการสลับกันของHเป็นไอโซมอร์ฟิก (ในฐานะกราฟ) แล้วGและHจะเป็นไอโซมอร์ฟิก (ในฐานะกลุ่ม) ผลลัพธ์นี้ถูกตั้งข้อสันนิษฐานในปี 2006 ^{[ 11 ]}และได้รับการพิสูจน์โดยผู้เขียนหลายคนสำหรับกลุ่มสปอร์าดิก^{[ 12 ]}กลุ่มสลับ^{[ 13 ]}และกลุ่มประเภท Lie ^{[ 14 ]}