ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสาขาการวิเคราะห์เชิงตัวเลขที่เรียกว่า สมการเชิง อนุพันธ์ย่อยเชิง ตัวเลข สเตนซิ ลแบบกะทัดรัด เป็น สเตนซิลประเภทหนึ่งที่ใช้เพียงเก้าโหนดสำหรับ วิธี การแบ่งส่วนในสองมิติ โดยใช้เฉพาะโหนดกลางและ โหนด ที่อยู่ติดกันสำหรับกริดที่มีโครงสร้าง ใดๆ ที่ใช้สเตนซิลแบบกะทัดรัดใน 1, 2 หรือ 3 มิติจำนวนโหนด สูงสุด คือ 3, 9 หรือ 27 ตามลำดับ สเตนซิลแบบกะทัดรัดอาจเปรียบเทียบได้กับสเตนซิลแบบไม่กะทัดรัดปัจจุบันสเตนซิลแบบกะทัดรัดถูกนำไปใช้ใน โปรแกรมแก้ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย หลายตัว รวมถึงหลายตัวในหัวข้อ CFD, FEA และโปรแกรมแก้ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับ PDE ^{[ 1 ] [ 2 ]}

รูปแบบสองจุดสำหรับ การหา อนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันมีดังนี้:

$${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}-f{\left(x_{0}{-}h\right)}}{2h}}+{\mathcal {O}}{\left(h^{2}\right)}.}$$

ได้มาจากการ กระจายอนุกรม เทย์เลอร์ของอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันที่กำหนดโดย:

$${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}-f(x_{0})}{h}}-{\frac {f''(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}-{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots .}$$

เมื่อแทนที่ด้วยเราจะได้: ${\displaystyle h}$${\displaystyle -h}$

$${\displaystyle f'(x_{0})=-{\frac {f{\left(x_{0}{-}h\right)}-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots .}$$

เมื่อนำสมการทั้งสองข้างต้นมาบวกกัน จะได้ผลลัพธ์เป็นการตัดกันของพจน์ที่มีเลขชี้กำลังคี่: ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}2f'(x_{0})&={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}-f(x_{0})}{h}}-{\frac {f{\left(x_{0}{-}h\right)}-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+\cdots \\[1ex]f'(x_{0})&={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}-f{\left(x_{0}{-}h\right)}}{2h}}-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+\cdots \\&={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}-f{\left(x_{0}{-}h\right)}}{2h}}+{\mathcal {O}}{\left(h^{2}\right)}.\end{aligned}}}$$

ตัวอย่างเช่น รูปแบบสามจุดสำหรับการหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันมีดังนี้:

$${\displaystyle f''(x_{0})={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}+f{\left(x_{0}{-}h\right)}-2f(x_{0})}{h^{2}}}+{\mathcal {O}}{\left(h^{2}\right)}.}$$

ได้มาจากการ กระจายอนุกรม เทย์เลอร์ของอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันที่กำหนดโดย: $${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}-f(x_{0})}{h}}-{\frac {f''(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}-{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots .}$$

เมื่อแทนที่ด้วยเราจะได้: ${\displaystyle h}$${\displaystyle -h}$$${\displaystyle f'(x_{0})=-{\frac {f{\left(x_{0}{-}h\right)}-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots .}$$

การลบสมการทั้งสองข้างต้นส่งผลให้พจน์ที่มีกำลังคู่ของ หักล้างกัน ${\displaystyle h}$$${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f{\left(x_{0}{-}h\right)}-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots .\\[1ex]f^{(2)}(x_{0})&={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}+f{\left(x_{0}{-}h\right)}-2f(x_{0})}{h^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{2}+\cdots .\\[1ex]f^{(2)}(x_{0})&={\frac {f{\left(x_{0}{+}h\right)}+f{\left(x_{0}{-}h\right)}-2f(x_{0})}{h^{2}}}+{\mathcal {O}}{\left(h^{2}\right)}.\end{aligned}}}$$

• สเตนซิล (การวิเคราะห์เชิงตัวเลข)
• สเตนซิลแบบไม่กะทัดรัด
• สเตนซิลห้าจุด