ในพีชคณิตเชิงเส้นเมทริกซ์คู่หูโฟ รเบนิอุส ของพหุนามเอกลักษณ์$${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$$ เมทริกซ์จัตุรัสถูกกำหนดดังนี้

$${\displaystyle C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}.}$$

นักเขียนบางคนใช้เมท ริกซ์สลับแถวและคอลัมน์ (transpose)ของเมทริกซ์นี้${\displaystyle C(p)^{T}}$ซึ่งสะดวกกว่าสำหรับบางกรณี เช่นความสัมพันธ์เวียนเกิด เชิงเส้น ( ดูด้านล่าง )

${\displaystyle C(p)}$ถูกกำหนดจากสัมประสิทธิ์ของ${\displaystyle p(x)}$ในขณะที่พหุนามลักษณะเฉพาะและพหุนามขั้นต่ำของ${\displaystyle C(p)}$เท่ากับ${\displaystyle p(x)}$[ ^{1 ]}ในแง่นี้ เมทริก^ซ์${\displaystyle C(p)}$และพหุนาม${\displaystyle p(x)}$เป็น "เพื่อนร่วมทาง"

เมทริกซ์ Aใดๆที่มีสมาชิกอยู่ในฟิลด์Fจะมีพหุนามลักษณะเฉพาะ${\displaystyle p(x)=\det(xI-A)}$ซึ่งในทางกลับกันก็มีเมทริกซ์คู่กัน${\displaystyle C(p)}$เมทริกซ์เหล่านี้มีความสัมพันธ์กันดังต่อไปนี้

ข้อความต่อไปนี้มีความหมายเทียบเท่ากัน:

• A มีลักษณะคล้ายกับF${\displaystyle C(p)}$กล่าวคือAสามารถจับคู่กับเมทริกซ์คู่ของมันได้โดยใช้เมทริกซ์ใน GL ( F );
• พหุนามลักษณะเฉพาะ${\displaystyle p(x)}$สอดคล้องกับพหุนามขั้นต่ำของAกล่าวคือ พหุนามขั้นต่ำมีดีกรีn
• การแมปเชิงเส้น${\displaystyle A:F^{n}\to F^{n}}$ทำให้${\displaystyle F^{n}}$วัฏจักร​${\displaystyle F[A]}$-โมดูล ซึ่งมีพื้นฐานเป็นแบบฟอร์ม${\displaystyle \{v,Av,\ldots ,A^{n-1}v\}}$หรือเทียบเท่า${\displaystyle F^{n}\cong F[X]/(p(x))}$เช่น${\displaystyle F[A]}$-โมดูล

ถ้าเงื่อนไขข้างต้นเป็นจริง ก็จะกล่าวได้ว่าAไม่ใช่คำที่มีความหมายเชิงลบ

ไม่ใช่ว่าเมทริกซ์จัตุรัสทุกเมทริกซ์จะคล้ายกับเมทริกซ์คู่ แต่เมทริกซ์จัตุรัสทุกเมทริกซ์จะคล้ายกับ เมทริกซ์ บล็อกแนวทแยงที่สร้างจากเมทริกซ์คู่ หากเรากำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมว่าพหุนามของแต่ละบล็อกแนวทแยงต้องหารบล็อกถัดไปลงตัว พหุนามเหล่านั้นจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยAและนี่ทำให้ได้รูปแบบมาตรฐานเชิงตรรกะของA

รากของพหุนามลักษณะเฉพาะ${\displaystyle p(x)}$คือค่าลักษณะเฉพาะของ${\displaystyle C(p)}$.

ถ้ามีค่าไอเกนที่แตกต่างกันn ค่า${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$, แล้ว${\displaystyle C(p)}$สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้ดังนี้${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$โดยที่Dคือเมทริกซ์แนวทแยง และVคือเมทริกซ์แวนเดอร์มอนด์ที่สอดคล้องกับ ค่า λ : $${\displaystyle D={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\!\!\!\cdots \!\!\!&0\\0&\lambda _{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&0\\\vdots &\vdots &\!\!\!\ddots \!\!\!&\vdots \\0&0&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{n}\end{bmatrix}},\qquad V={\begin{bmatrix}1&\lambda _{1}&\lambda _{1}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{1}^{n-1}\\1&\lambda _{2}&\lambda _{2}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{2}^{n-1}\\[-1em]\vdots &\vdots &\vdots &\!\!\!\ddots \!\!\!&\vdots \\1&\lambda _{n}&\lambda _{n}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{n}^{n-1}\end{bmatrix}}.}$$ อันที่จริง การคำนวณที่ค่อนข้างซับซ้อนแสดงให้เห็นว่าการสลับแถวและคอลัมน์${\displaystyle C(p)^{T}}$มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ${\displaystyle v_{i}=(1,\lambda _{i},\ldots ,\lambda _{i}^{n-1})}$กับ${\displaystyle C(p)^{T}\!(v_{i})=\lambda _{i}v_{i}}$ซึ่งสืบเนื่องมาจาก${\displaystyle p(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1}+\lambda _{i}^{n}=0}$ดังนั้น เมทริกซ์ เปลี่ยนฐานที่เป็น แนวทแยงมุมจึง เป็น${\displaystyle V^{T}=[v_{1}^{T}\ldots v_{n}^{T}]}$, ความหมาย${\displaystyle C(p)^{T}=V^{T}D\,(V^{T})^{-1}}$และเมื่อทำการสลับตำแหน่งทั้งสองข้างจะได้${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$เราสามารถอ่านเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ${\displaystyle C(p)}$กับ${\displaystyle C(p)(w_{i})=\แลมบ์ดา _{i}w_{i}}$จากสมการ${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$: เวกเตอร์เหล่านี้เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ของเมทริกซ์แวนเดอร์มอนด์ผกผัน${\displaystyle V^{-1}=[w_{1}^{T}\cdots w_{n}^{T}]}$เมทริกซ์นี้เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ซึ่งให้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ${\displaystyle w_{i}=(L_{0i},\ldots ,L_{(n-1)i})}$โดยมีพิกัดเท่ากับสัมประสิทธิ์ของพหุนามลากรางจ์$${\displaystyle L_{i}(x)=L_{0i}+L_{1i}x+\cdots +L_{(n-1)i}x^{n-1}=\prod _{j\neq i}{\frac {x-\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}={\frac {p(x)}{(x-\lambda _{i})\,p'(\lambda _{i})}}.}$$ หรืออีกทางหนึ่งคือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ปรับขนาดแล้ว${\displaystyle {\tilde {w}}_{i}=p'\!(\lambda _{i})\,w_{i}}$มีสัมประสิทธิ์ที่ง่ายกว่า

ถ้า${\displaystyle p(x)}$มีรากหลายราก ดังนั้น${\displaystyle C(p)}$ไม่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้ แต่รูปแบบมาตรฐานของจอร์แดนคือ${\displaystyle C(p)}$ประกอบด้วยบล็อกจอร์แดน หนึ่ง บล็อกสำหรับแต่ละรากที่แตกต่างกัน หากความซ้ำซ้อนของรากคือmบล็อกนั้นจะเป็น เมทริกซ์ขนาด m × mที่มี ${\displaystyle \lambda }$บนแนวทแยงและ 1 ในรายการเหนือแนวทแยงเล็กน้อย ในกรณีนี้Vจะกลายเป็น เมทริก ซ์Vandermonde ที่ต่อเนื่องกัน^{[ 2 ]}

ลำดับเวียนเกิดเชิงเส้นที่กำหนดโดย${\displaystyle a_{k+n}=-c_{0}a_{k}-c_{1}a_{k+1}\cdots -c_{n-1}a_{k+n-1}}$สำหรับ${\displaystyle k\geq 0}$มีพหุนามลักษณะเฉพาะ${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$ซึ่งเมทริกซ์คู่สลับตำแหน่ง${\displaystyle C(p)^{T}}$สร้างลำดับดังนี้: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n-1}\\a_{k+n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-2}\\a_{k+n-1}\end{bmatrix}}.}$$ เวกเตอร์${\displaystyle v=(1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1})}$เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นี้ โดยที่ค่าลักษณะเฉพาะคือ${\displaystyle \lambda }$เป็นรากของ${\displaystyle p(x)}$การกำหนดค่าเริ่มต้นของลำดับให้เท่ากับเวกเตอร์นี้จะทำให้ได้ลำดับเรขาคณิต${\displaystyle a_{k}=\lambda ^{k}}$ซึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด ในกรณีที่ มีค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน nค่า จะได้คำตอบใดๆ ก็ได้${\displaystyle a_{k}}$สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของผลเฉลยทางเรขาคณิตดังกล่าว และค่าลักษณะเฉพาะที่มีบรรทัดฐานเชิงซ้อนที่ใหญ่ที่สุดจะให้การประมาณเชิงอะซิมโทติก

ในทำนองเดียวกันกับกรณีการเวียนเกิดเชิงเส้นข้างต้น ให้พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นเอกพันธุ์อันดับnสำหรับฟังก์ชันสเกลาร์${\displaystyle y=y(t)}$: $${\displaystyle y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=0.}$$ สิ่งนี้สามารถอธิบายได้อย่างเทียบเท่ากันว่าเป็นระบบคู่ของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นเอกพันธุ์อันดับ 1 สำหรับฟังก์ชันเวกเตอร์${\displaystyle z(t)=(y(t),y'(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t))}$: $${\displaystyle z'=C(p)^{T}z}$$ ที่ไหน${\displaystyle C(p)^{T}}$คือเมทริกซ์คู่สลับตำแหน่งสำหรับพหุนามลักษณะเฉพาะ $${\displaystyle p(x)=x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}.}$$ นี่คือค่าสัมประสิทธิ์${\displaystyle c_{i}=c_{i}(t)}$อาจเป็นฟังก์ชันก็ได้ ไม่ใช่แค่ค่าคงที่

ถ้า${\displaystyle C(p)^{T}}$หากสามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้ การเปลี่ยนฐานที่ทำให้เป็นแนวทแยงจะแปลงสิ่งนี้ให้เป็นระบบที่แยกส่วนซึ่งเทียบเท่ากับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่งเอกพันธุ์เชิงสเกลาร์หนึ่งตัวในแต่ละพิกัด

สมการที่ไม่เป็นเอกพันธุ์ $${\displaystyle y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=f(t)}$$ เทียบเท่ากับระบบ: $${\displaystyle z'=C(p)^{T}z+F(t)}$$ โดยมีพจน์ความไม่สม่ำเสมอ${\displaystyle F(t)=(0,\ldots ,0,f(t))}$.

เช่นเดียวกัน การเปลี่ยนฐานแบบทแยงมุมจะเปลี่ยนสิ่งนี้ให้กลายเป็นระบบแยกส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่งแบบไม่เอกพันธุ์เชิงสเกลาร์

ในกรณีของ${\displaystyle p(x)=x^{n}-1}$เมื่อค่าลักษณะเฉพาะเป็นรากเชิงซ้อนของเอกภาพเมทริกซ์คู่และเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของมันจะลดลงเหลือเมทริกซ์เลื่อน วัฏจักรของซิลเวสเตอร์ ซึ่งเป็นเมทริกซ์วงกลม

พิจารณาพหุนาม${\displaystyle p(x)=x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}}$โดยมีสัมประสิทธิ์ในฟิลด์${\displaystyle F}$และสมมติว่า${\displaystyle p(x)}$ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ในวงแหวนพหุนาม${\displaystyle F[x]}$จากนั้นจึงต่อรากเข้าด้วยกัน${\displaystyle \lambda }$ของ${\displaystyle p(x)}$สร้างส่วนขยายสนาม${\displaystyle K=F(\lambda )\cong F[x]/(p(x))}$ซึ่งเป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือ ด้วยเช่นกัน${\displaystyle F}$ด้วยฐานมาตรฐาน${\displaystyle \{1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1}\}}$จากนั้น${\displaystyle F}$-การแมปการคูณเชิงเส้น

${\displaystyle m_{\lambda }:K\to K}$ กำหนดโดย ${\displaystyle m_{\lambda }(\alpha )=\lambda \alpha }$

มีเมทริกซ์ขนาดn × n${\displaystyle [m_{\lambda }]}$โดยคำนึงถึงฐานมาตรฐาน เนื่องจาก${\displaystyle m_{\lambda }(\lambda ^{i})=\lambda ^{i+1}}$และ${\displaystyle m_{\lambda }(\lambda ^{n-1})=\lambda ^{n}=-c_{0}-\cdots -c_{n-1}\lambda ^{n-1}}$นี่คือเมทริกซ์คู่ของ${\displaystyle p(x)}$: $${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p).}$$ สมมติว่าส่วนขยายนี้สามารถแยกส่วนได้ (ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle F}$มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์หรือเป็นฟิลด์จำกัด )${\displaystyle p(x)}$มีรากฐานที่ชัดเจน${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$กับ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda }$ดังนั้น $${\displaystyle p(x)=(x-\lambda _{1})\cdots (x-\lambda _{n}),}$$ และมีสนามแยก${\displaystyle L=F(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$. ตอนนี้${\displaystyle m_{\lambda }}$ไม่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้เหนือ${\displaystyle F}$แต่เราต้องขยายมันไปสู่${\displaystyle L}$-แผนที่เชิงเส้นบน${\displaystyle L^{n}\cong L\otimes _{F}K}$ปริภูมิเวกเตอร์เหนือ${\displaystyle L}$ด้วยฐานมาตรฐาน${\displaystyle \{1{\otimes }1,\,1{\otimes }\lambda ,\,1{\otimes }\lambda ^{2},\ldots ,1{\otimes }\lambda ^{n-1}\}}$ซึ่งประกอบด้วยเวกเตอร์${\displaystyle w=(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})=\beta _{1}{\otimes }1+\cdots +\beta _{n}{\otimes }\lambda ^{n-1}}$การแมปแบบขยายถูกกำหนดโดย${\displaystyle m_{\lambda }(\beta \otimes \alpha )=\beta \otimes (\lambda \alpha )}$.

เมทริกซ์${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p)}$ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง แต่ดังที่กล่าวมาข้างต้น สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้โดยใช้เมทริกซ์ที่มีค่าอยู่ใน${\displaystyle L}$: $${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p)=V^{-1}\!DV,}$$ สำหรับเมทริกซ์แนวทแยง${\displaystyle D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$และ เมทริก ซ์Vandermonde ที่สอดคล้องกับ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in L}$สูตรที่ชัดเจนสำหรับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (เวกเตอร์คอลัมน์ที่ปรับขนาดแล้วของเมทริกซ์ผกผันแวนเดอร์มอนด์)${\displaystyle V^{-1}}$) สามารถเขียนได้ดังนี้: $${\displaystyle {\tilde {w}}_{i}=\beta _{0i}{\otimes }1+\beta _{1i}{\otimes }\lambda +\cdots +\beta _{(n-1)i}{\otimes }\lambda ^{n-1}=\prod _{j\neq i}(1{\otimes }\lambda -\lambda _{j}{\otimes }1)}$$ ที่ไหน${\displaystyle \beta _{ij}\in L}$คือสัมประสิทธิ์ของพหุนามลากรางจ์ที่ปรับขนาดแล้ว $${\displaystyle {\frac {p(x)}{x-\lambda _{i}}}=\prod _{j\neq i}(x-\lambda _{j})=\beta _{0i}+\beta _{1i}x+\cdots +\beta _{(n-1)i}x^{n-1}.}$$

เป็นไปได้ที่จะคำนวณเมทริกซ์คู่ควบได้อย่างรวดเร็วโดยใช้อัลกอริธึมการคูณเมทริกซ์ที่รวดเร็วภายในเวลาที่กำหนด${\displaystyle O({n^{\omega }})}$สำหรับ${\displaystyle ~2.37\leq \omega <3}$อัลกอริทึมที่เกี่ยวข้องจะได้รับจาก^{[ 3 ]}

• เอนโดมอร์ฟิซึมของฟรอเบนิอุส
• ทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตัน
• ปริภูมิย่อยครีลอฟ