ในทฤษฎีจำนวน ฟังก์ชันของจำนวนเต็มบวกที่เคารพผลคูณนั้นมีความสำคัญและเรียกว่าฟังก์ชันคูณสมบูรณ์หรือฟังก์ชันคูณโดยสมบูรณ์เงื่อนไขที่อ่อนกว่านั้นก็มีความสำคัญเช่นกัน คือ ฟังก์ชันที่เคารพเฉพาะผลคูณของ จำนวนเฉพาะ สัมพัทธ์และฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าฟังก์ชันคูณนอกเหนือจากทฤษฎีจำนวนแล้ว คำว่า "ฟังก์ชันคูณ" มักถูกตีความว่ามีความหมายเหมือนกับ "ฟังก์ชันคูณสมบูรณ์" ตามที่นิยามไว้ในบทความนี้

ฟังก์ชันการคูณอย่างสมบูรณ์ (หรือฟังก์ชันการคูณทั้งหมด) คือฟังก์ชันเลขคณิต (นั่นคือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวก ) โดยที่f (1) = 1และf ( ab ) = f ( a ) f ( b )เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวกa และ b ทั้งหมด^{[ 1 ]}

ในสัญกรณ์ตรรกะ: f (1) = 1และ∀ a , b ∈ domain( f ), f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) .

หากไม่มีข้อกำหนดว่าf (1) = 1ก็อาจจะมีf (1) = 0ซึ่งจะหมายความว่าf ( a ) = f (1 ⋅ a ) = f (1) ⋅ f ( a ) = 0 ⋅ f ( a ) = 0สำหรับจำนวนเต็มบวกa ทั้งหมด ซึ่งเป็นกรณีที่ไม่สำคัญและถูกยกเว้นโดยนิยามที่เลือกไว้

นิยามข้างต้นสามารถเรียบเรียงใหม่ได้โดยใช้ภาษาพีชคณิต: ฟังก์ชันการคูณโดยสมบูรณ์คือโฮโมมอร์ฟิซึมจากโมโนอิด (นั่นคือจำนวนเต็มบวกภายใต้การคูณ) ไปยังโมโนอิดอื่น ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{>0},\cdot )}$

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชันการคูณโดยสมบูรณ์คือ เอก นามที่มีสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1: สำหรับจำนวนเต็มบวกn ใดๆ ให้กำหนดf ( a ) = a ⁿแล้วf ( bc ) = ( bc ) ⁿ = b ⁿ c ⁿ = f ( b ) f ( c )และf (1) = 1 ⁿ = 1

ฟังก์ชันLiouvilleเป็นตัวอย่างที่ไม่ธรรมดาของฟังก์ชันการคูณโดยสมบูรณ์ เช่นเดียวกับอักขระ Dirichletสัญลักษณ์Jacobiและสัญลักษณ์ Legendre

ฟังก์ชันการคูณโดยสมบูรณ์จะถูกกำหนดโดยค่าของมันที่จำนวนเฉพาะอย่างสมบูรณ์ ซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทพื้นฐานทางเลขคณิตดังนั้น ถ้าnเป็นผลคูณของกำลังของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน เช่นn = p ^a q ^b ...แล้วf ( n ) = f ( p ) ^a f ( q ) ^b ...

ถึงแม้ว่าการสังเคราะห์แบบดิริชเลต์ของฟังก์ชันคูณสองฟังก์ชันจะเป็นแบบคูณ แต่การสังเคราะห์แบบดิริชเลต์ของฟังก์ชันคูณสมบูรณ์สองฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเป็นแบบคูณสมบูรณ์เสมอไป ฟังก์ชันเลขคณิตที่สามารถเขียนได้ในรูปการสังเคราะห์แบบดิริชเลต์ของฟังก์ชันคูณสมบูรณ์สองฟังก์ชัน เรียกว่า ฟังก์ชันกำลังสอง หรือฟังก์ชันคูณพิเศษ ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันเลขคณิตเชิงตรรกะอันดับ(2, 0)และเป็นไปตามเอกลักษณ์ของบุสเช-รามานุจัน

มีข้อความหลากหลายเกี่ยวกับฟังก์ชันที่เทียบเท่ากับการที่ฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันคูณโดยสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ถ้าฟังก์ชันfเป็นฟังก์ชันคูณ ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันคูณโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันผกผัน Dirichlet ของมัน คือμ ⋅ fโดยที่μคือฟังก์ชันMöbius ^{[ 2 ]}

ฟังก์ชันการคูณอย่างสมบูรณ์ยังสอดคล้องกับกฎการกระจายด้วย ถ้าfเป็นฟังก์ชันการคูณอย่างสมบูรณ์แล้ว โดย ที่*หมายถึงผลคูณแบบ Dirichletและ ⋅ หมายถึงการคูณแบบจุดต่อจุด [ ^{3 ] ผล} ที่ตามมาประการหนึ่งของเรื่องนี้คือ สำหรับฟังก์ชันการคูณอย่างสมบูรณ์fใดๆ จะมี ซึ่งสามารถอนุมานได้จากข้างต้นโดยการใส่g = h = 1โดยที่1( n ) = 1เป็นฟังก์ชันคงที่ในที่นี้τคือฟังก์ชันตัวหาร $${\displaystyle f\cdot (g*h)=(f\cdot g)*(f\cdot h),}$$$${\displaystyle f*f=\tau \cdot f}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot \left(g*h\right)(n)&=f(n)\cdot \sum _{d|n}g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)\\&=\sum _{d|n}f(n)\cdot (g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right))\\&=\sum _{d|n}(f(d)f\left({\frac {n}{d}}\right))\cdot (g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right))\\&=\sum _{d|n}(f(d)g(d))\cdot (f\left({\frac {n}{d}}\right)h\left({\frac {n}{d}}\right))\\&=(f\cdot g)*(f\cdot h).\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชัน L ของอนุกรม Dirichlet แบบคูณ โดยสมบูรณ์ (หรือทั้งหมด) a ( n ) สอดคล้องกับ เงื่อนไขที่ว่า ผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดเท่ากับผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมด $${\displaystyle L(s,a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=\prod _{p}{\biggl (}1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}{\biggr )}^{-1},}$$

• ฟังก์ชันเลขคณิต
• ฟังก์ชัน L ของ Dirichlet
• ซีรี่ส์ Dirichlet
• ฟังก์ชันการคูณ