ในทฤษฎีจำนวนฟังก์ชันลีอูวิลล์ (Liouville function ) ซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสโจเซฟ ลีอูวิลล์และใช้สัญลักษณ์เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ที่สำคัญ ค่าของมันคือถ้าเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะคู่และถ้า เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะคี่ ${\displaystyle \lambda (n)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle -1}$

ตามทฤษฎีบทพื้นฐานทางเลขคณิตจำนวนเต็ม บวกใดๆสามารถแสดงได้อย่างไม่ซ้ำกันในรูปผลคูณของกำลังของจำนวนเฉพาะ: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$,

โดยที่เป็นจำนวนเฉพาะ และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกฟังก์ชัน prime omegaจะนับจำนวนเฉพาะในการแยกตัวประกอบของโดยมีจำนวนซ้ำ: ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Omega (n)=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}}$.

ดังนั้น ฟังก์ชัน Liouville จึงถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\โอเมก้า (n)}}$

(ลำดับA008836ในOEIS )

เนื่องจากเป็นตัวบวก โดยสมบูรณ์ กล่าว คือ ดังนั้นจึงเป็นตัวคูณโดยสมบูรณ์เนื่องจากไม่มีตัวประกอบเฉพาะดังนั้น จึงเป็น ตัวคูณโดยสมบูรณ์${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle \Omega (ab)=\Omega (a)+\Omega (b)}$${\displaystyle \lambda (n)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \Omega (1)=0}$${\displaystyle \lambda (1)=1}$

${\displaystyle \lambda (n)}$นอกจากนี้ยังมีความเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันโมเบียสด้วย กล่าวคือ ถ้าเราเขียนเป็น โดยที่เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง แล้ว ${\displaystyle \mu (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=a^{2}b}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle \lambda (n)=\mu (b)}$

ผลรวมของฟังก์ชัน Liouville เหนือตัวหารของคือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของกำลังสอง : ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{ถ้า }}n{\text{ เป็นกำลังสองสมบูรณ์,}}\\0&{\text{มิเช่นนั้น.}}\end{cases}}}$

การผกผันโมเบียสของสูตรนี้จะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).}$

ฟังก์ชันผกผันแบบดิริชเลต์ของฟังก์ชันลิอูวิลล์คือค่าสัมบูรณ์ของฟังก์ชันโมเบียสซึ่งเป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง ${\displaystyle \lambda ^{-1}(n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n)}$

อนุกรมDirichletสำหรับฟังก์ชัน Liouville มีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันซีตาของ Riemannโดย

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

อีกด้วย:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)\ln n}{n}}=-\zeta (2)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

ชุดLambertสำหรับฟังก์ชัน Liouville คือ

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),}$

ฟังก์ชันเธต้าของจาโคบี อยู่ที่ไหน${\displaystyle \vartheta _{3}(q)}$

ปัญหาของโปลยาเป็นคำถามที่จอร์จ โปลยา ตั้งขึ้น ในปี ค.ศ. 1919 การนิยามปัญหา

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)}$(ลำดับA002819ในOEIS )

ปัญหาถามว่าL ( n ) ≤ 0 สำหรับทุกn  > 1 หรือไม่ คำตอบคือไม่ใช่ ตัวอย่างค้านที่เล็กที่สุดคือn  = 906150257 ซึ่งพบโดย Minoru Tanaka ในปี 1980 ต่อมาได้มีการแสดงให้เห็นว่าL ( n ) > 0.0618672√n สำหรับจำนวนเต็มบวกnที่ เป็นอนันต์ ^{[ 1 ]}ในขณะเดียวกันก็สามารถแสดงได้โดยใช้วิธีเดียวกันว่าL ( n ) < −1.3892783√n สำหรับจำนวนเต็มบวกn ที่ เป็นอนันต์ ^{[ 2 ]}

สำหรับค่าใดๆโดยสมมติสมมติฐานของรีมันน์ เราจะได้ว่าฟังก์ชันผลรวมมีขอบเขตจำกัดโดย ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle L(x)\equiv L_{0}(x)}$

${\displaystyle L(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left(C\cdot \log ^{1/2}(x)\left(\log \log x\right)^{5/2+\varepsilon }\right)\right),}$

โดยที่เป็นค่าคงที่จำกัดสัมบูรณ์^{[ 2 ]}${\displaystyle C>0}$

กำหนดผลรวมที่เกี่ยวข้อง

${\displaystyle T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.}$

เป็นที่ถกเถียงกันอยู่ระยะหนึ่งว่าT ( n ) ≥ 0 สำหรับn ≥ n0 ที่มีค่ามากพอหรือ _ไม่ (บางครั้งมีการกล่าวอ้างว่าข้อสันนิษฐานนี้เป็นของPál Turán ซึ่งไม่ถูกต้อง ) ต่อมาHaselgrove (1958) ได้พิสูจน์หักล้างข้อสันนิษฐานนี้ โดยแสดงให้เห็นว่าT ( n ) มีค่าเป็นลบได้บ่อยอย่างไม่มีที่สิ้นสุด การยืนยันข้อสันนิษฐานเรื่องค่าบวกนี้จะนำไปสู่การพิสูจน์สมมติฐานของRiemann ดังที่ Pál Turánได้ แสดงไว้

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถพิจารณาฟังก์ชันผลรวมถ่วงน้ำหนักเหนือฟังก์ชัน Liouville ที่กำหนดสำหรับจำนวนเต็มบวกx ดังต่อไปนี้ โดยที่ (ดังข้างต้น) เรามีกรณีพิเศษและ^{[ 2 ]}${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$${\displaystyle L(x):=L_{0}(x)}$${\displaystyle T(x)=L_{1}(x)}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x):=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n^{\alpha }}}.}$

ฟังก์ชันผลรวมถ่วงน้ำหนัก เหล่านี้เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเมอร์เทนส์หรือฟังก์ชันผลรวมถ่วงน้ำหนักของฟังก์ชันโมเบียสอันที่จริง เราพบว่าฟังก์ชันที่เรียกว่าไม่ถ่วงน้ำหนัก หรือฟังก์ชันธรรมดา นั้นสอดคล้องกับผลรวมอย่างแม่นยำ ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$${\displaystyle L(x)}$

${\displaystyle L(x)=\sum _{d^{2}\leq x}M\left({\frac {x}{d^{2}}}\right)=\sum _{d^{2}\leq x}\sum _{n\leq {\frac {x}{d^{2}}}}\mu (n).}$

ยิ่งไปกว่านั้น ฟังก์ชันเหล่านี้ยังสอดคล้องกับความสัมพันธ์เชิงอะซิมโทติกแบบจำกัดที่คล้ายกัน^{[ 2 ]}ตัวอย่างเช่น เมื่อใดก็ตามที่เราจะเห็นว่ามีค่าคงที่สัมบูรณ์อยู่ค่าหนึ่งเช่นนั้น ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle C_{\alpha }>0}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=O\left(x^{1-\alpha }\exp \left(-C_{\alpha }{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).}$

โดยการประยุกต์ใช้สูตรของ Perronหรือเทียบเท่าโดยการแปลง Mellin ที่สำคัญ (ผกผัน) เราจะได้ว่า

${\displaystyle {\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {L_{\alpha }(x)}{x^{s+1}}}dx,}$

ซึ่งสามารถผกผันได้โดยใช้การแปลงผกผันเพื่อแสดงว่าสำหรับและ${\displaystyle x>1}$${\displaystyle T\geq 1}$${\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{\sigma _{0}-\imath T}^{\sigma _{0}+\imath T}{\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{s}}ds+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T),}$

โดยที่เราสามารถนำและกำหนดเงื่อนไขที่เหลือไว้เพื่อให้ และเป็น${\displaystyle \sigma _{0}:=1-\alpha +1/\log(x)}$${\displaystyle E_{\alpha }(x)=O(x^{-\alpha })}$${\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\rightarrow 0}$${\displaystyle T\rightarrow \infty }$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราสมมติว่าสมมติฐานของรีมันน์( RH ) เป็นจริงและศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์...${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}+\imath \gamma }$${\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle x\geq 1}$${\displaystyle \{T_{v}\}_{v\geq 1}}$${\displaystyle v\leq T_{v}\leq v+1}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {x^{1/2-\alpha }}{(1-2\alpha )\zeta (1/2)}}+\sum _{|\gamma |<T_{v}}{\frac {\zeta (2\rho )}{\zeta ^{\prime }(\rho )}}\cdot {\frac {x^{\rho -\alpha }}{(\rho -\alpha )}}+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T_{v})+I_{\alpha }(x),}$

โดยที่ เรากำหนด สำหรับสิ่งใดก็ตามที่มีขนาดเล็กลงเรื่อยๆ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{2}}-\alpha }$

${\displaystyle I_{\alpha }(x):={\frac {1}{2\pi \imath \cdot x^{\alpha }}}\int _{\varepsilon +\alpha -\imath \infty }^{\varepsilon +\alpha +\imath \infty }{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{(s-\alpha )}}ds,}$

และในกรณีที่ระยะเวลาที่เหลือ

${\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\ll x^{-\alpha }+{\frac {x^{1-\alpha }\log(x)}{T}}+{\frac {x^{1-\alpha }}{T^{1-\varepsilon }\log(x)}},}$

ซึ่งแน่นอนว่ามีแนวโน้มเข้าสู่0เมื่อการขยายสูตรวิเคราะห์ที่แม่นยำเหล่านี้มีคุณสมบัติคล้ายคลึงกับ กรณี ฟังก์ชัน Mertens แบบถ่วงน้ำหนัก นอกจากนี้ เนื่องจากเรามีความคล้ายคลึงกันอีกประการหนึ่งในรูปแบบของในแง่ที่ว่าพจน์นำที่โดดเด่นในสูตรก่อนหน้านี้ทำนายอคติเชิงลบในค่าของฟังก์ชันเหล่านี้เหนือจำนวนธรรมชาติบวก x ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$${\displaystyle \zeta (1/2)<0}$${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$${\displaystyle M(x)}$