ในการวิเคราะห์ฟูริเยร์เซปสตรัม ( / ˈ k ɛ p s t r ʌ m , ˈ s ɛ p -, - s t r ə m / ; พหูพจน์cepstra , คำคุณศัพท์cepstral ) คือผลลัพธ์ของการคำนวณการแปลงฟูริเยร์ผกผัน (IFT) ของลอการิทึมของสเปกตรัมสัญญาณ ที่ประมาณค่าได้ วิธีนี้เป็นเครื่องมือสำหรับการตรวจสอบโครงสร้างเป็นคาบในสเปกตรัมความถี่เซปสตรัมกำลังมีการประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์ คำ พูด ของมนุษย์

คำว่าcepstrumได้มาจากการสลับตัวอักษร 4 ตัวแรกของคำว่า spectrumการดำเนินการกับ cepstra เรียกว่าquefrency analysis (หรือquefrency alanysis ^{[ 1 ]} ) lifteringหรือcepstral analysisสามารถออกเสียงได้ 2 วิธี โดยวิธีที่สองมีข้อดีคือช่วยหลีกเลี่ยงความสับสนกับ kepstrum

แนวคิดของเซปสตรัมได้รับการแนะนำในปี พ.ศ. 2506 โดย BP Bogert, MJ Healy และJW Tukey [ ^{1 ] มัน}ทำหน้าที่เป็นเครื่องมือในการตรวจสอบโครงสร้างเป็นคาบในสเปกตรัมความถี่^{[ 2 ]}ผลกระทบดังกล่าวเกี่ยวข้องกับเสียงสะท้อนหรือการสะท้อน ที่สังเกตได้ ในสัญญาณ หรือการเกิดความถี่ฮาร์มอนิก ( ส่วนย่อย เสียง โอเวอร์โทน ) ในทางคณิตศาสตร์ มันเกี่ยวข้องกับปัญหาการแยกสัญญาณในพื้นที่ความถี่^{[ 3 ]}

การอ้างอิงถึงบทความของ Bogert ในบรรณานุกรม มักมีการแก้ไขที่ไม่ถูกต้อง คำว่า "quefrency", "alanysis", "cepstrum" และ "saphe" เป็นคำที่ผู้เขียนคิดค้นขึ้นโดยการเรียงตัวอักษรใหม่ในคำว่า frequency, analysis, spectrum และ phase คำที่คิดค้นขึ้นใหม่เหล่านี้ได้รับการนิยามโดยเปรียบเทียบกับคำศัพท์เดิม

เซปสตรัมเป็นผลลัพธ์ของลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้:

• การแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณจากโดเมนเวลาไปยังโดเมนความถี่
• การคำนวณลอการิทึมของแอมพลิจูดสเปกตรัม
• การแปลงฟูริเยร์ผกผันไปยังโดเมนเวลา โดยที่ตัวแปรอิสระสุดท้ายคือความถี่ ซึ่งมีมาตราส่วนเวลา^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

เซปสตรัมถูกนำไปใช้ในหลายรูปแบบ ที่สำคัญที่สุดได้แก่:

• เซปสตรัมกำลัง: ค่าลอการิทึมได้มาจาก "สเปกตรัมกำลัง"
• เซปสตรัมเชิงซ้อน: ค่าลอการิทึมได้มาจากสเปกตรัม ซึ่งคำนวณโดยใช้การวิเคราะห์ฟูริเยร์

สูตรต่างๆ ใช้ตัวย่อต่อไปนี้เพื่ออธิบายเซปสตรัม:

คำย่อ	คำอธิบาย
${\displaystyle f(t)}$	สัญญาณ ซึ่งเป็นฟังก์ชันของเวลา
${\displaystyle C}$	เซปสตรัม
${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	การแปลงฟูริเยร์ : ตัวย่อนี้สามารถหมายถึงการแปลงฟูริเยร์แบบต่อเนื่องการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง ( DFT) หรือแม้แต่การแปลง zเนื่องจากการแปลง z เป็นการขยายความของ DFT [ 3 ]
${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$	การแปลงฟูริเยร์ผกผัน
${\displaystyle \log(x)}$	ลอการิทึมของxการเลือกฐานbขึ้นอยู่กับผู้ใช้ ในบางบทความไม่ได้ระบุฐาน ในขณะที่บางบทความนิยมใช้ฐาน 10 หรือ  eการเลือกฐานไม่มีผลกระทบต่อกฎการคำนวณพื้นฐาน แต่บางครั้งฐานeอาจทำให้เกิดการลดรูป (ดู "เซปสตรัมเชิงซ้อน")
${\displaystyle \left|x\right|}$	ค่าสัมบูรณ์หรือขนาดของค่าเชิงซ้อนซึ่งคำนวณได้จากส่วนจริงและส่วนจินตนาการโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
${\displaystyle \left|x\right|^{2}}$	กำลังสองสัมบูรณ์
${\displaystyle \varphi }$	มุมเฟสของค่าเชิงซ้อน

"เซปสตรัม" เดิมทีถูกกำหนดให้เป็นเซปสตรัมกำลังโดยความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้: ^{[ 1 ] [ 3 ]}

${\displaystyle C_{p}=\left|{\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log \left(\left|{\mathcal {F}}\{f(t)\}\right|^{2}\right)\right\}\right|^{2}}$

เซปสตรัมกำลังมีการใช้งานหลักในการวิเคราะห์สัญญาณเสียงและการสั่นสะเทือน เป็นเครื่องมือเสริมสำหรับการวิเคราะห์สเปกตรัม^{[ 2 ]}

บางครั้งก็มีการกำหนดไว้ดังนี้: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle C_{p}=\left|{\mathcal {F}}\left\{\log \left(\left|{\mathcal {F}}\{f(t)\}\right|^{2}\right)\right\}\right|^{2}}$

เนื่องจากสูตรนี้ เซปสตรัมจึงบางครั้งเรียกว่าสเปกตรัมของสเปกตรัมสามารถแสดงได้ว่าทั้งสองสูตรมีความสอดคล้องกัน เนื่องจากการกระจายสเปกตรัมความถี่ยังคงเหมือนเดิม ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือปัจจัยการปรับขนาด^{[ 2 ]}ซึ่งสามารถนำไปใช้ในภายหลังได้ บทความบางฉบับนิยมใช้สูตรที่สอง^{[ 2 ] [ 4 ]}

สามารถใช้สัญลักษณ์อื่นได้เนื่องจากลอการิทึมของสเปกตรัมกำลังเท่ากับลอการิทึมของสเปกตรัมหากมีการใช้ตัวประกอบการปรับขนาด 2: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \log |{\mathcal {F}}|^{2}=2\log |{\mathcal {F}}|}$

ดังนั้น:

${\displaystyle C_{p}=\left|{\mathcal {F}}^{-1}\left\{2\log |{\mathcal {F}}|\right\}\right|^{2},{\text{ หรือ}}}$

${\displaystyle C_{p}=4\cdot \left|{\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log |{\mathcal {F}}|\right\}\right|^{2},}$

ซึ่งให้ความสัมพันธ์กับเซปสตรัมจริง (ดูด้านล่าง)

นอกจากนี้ ควรสังเกตว่าการดำเนินการยกกำลังสองขั้นสุดท้ายในสูตรสำหรับเซปสตรัมกำลังบางครั้งเรียกว่าไม่จำเป็น^{[ 3 ]}และบางครั้งจึงถูกละเว้น^{[ 4 ] [ 2 ]}${\displaystyle C_{p}}$

เซปสตรัมจริงมีความสัมพันธ์โดยตรงกับเซปสตรัมกำลัง:

${\displaystyle C_{p}=4\cdot C_{r}^{2}}$

ได้มาจากเซปสตรัมเชิงซ้อน (นิยามไว้ด้านล่าง) โดยการละทิ้งข้อมูลเฟส (ที่มีอยู่ในส่วนจินตนาการของลอการิทึมเชิงซ้อน ) ^{[ 4 ]} โดยมุ่งเน้นที่ผลกระทบเป็นระยะในแอมพลิจูดของสเปกตรัม: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle C_{r}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log({\mathcal {|{\mathcal {F}}\{f(t)\}|}})\right\}}$

เซปสตรัมเชิงซ้อนถูกกำหนดโดยออปเพนไฮม์ในการพัฒนาทฤษฎีระบบโฮโมมอร์ฟิกของเขา^{[ 7 ] [ 8 ]}สูตรนี้ยังมีอยู่ในเอกสารอื่นอีกด้วย^{[ 2 ]}

${\displaystyle C_{c}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log({\mathcal {F}}\{f(t)\})\right\}}$

เนื่องจากค่า log เป็นจำนวนเชิงซ้อน จึงสามารถเขียนพจน์ log ในรูปผลคูณของขนาดและเฟส และต่อมาในรูปผลรวมได้ การลดรูปให้ง่ายขึ้นอีกนั้นเห็นได้ชัดเจน หาก log เป็นลอการิทึมธรรมชาติที่มีฐานเป็น  e : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \log({\mathcal {F}})=\log({\mathcal {|F|\cdot e^{i\varphi }}})}$

${\displaystyle \log _{e}({\mathcal {F}})=\log _{e}({\mathcal {|F|}})+\log _{e}(e^{i\varphi })=\log _{e}({\mathcal {|F|}})+i\varphi }$

ดังนั้น: เซปสตรัมเชิงซ้อนสามารถเขียนได้อีกแบบว่า: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle C_{c}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log _{e}({\mathcal {|F|}})+i\varphi \right\}}$

เซปสตรัมเชิงซ้อนจะเก็บข้อมูลเกี่ยวกับเฟสไว้ ดังนั้นจึงสามารถกลับจากโดเมนความถี่ไปยังโดเมนเวลาได้เสมอโดยใช้การดำเนินการผกผัน: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{b^{\left({\mathcal {F}}\{C_{c}\}\right)}\right\},}$

โดยที่bคือฐานของลอการิทึมที่ใช้

การใช้งานหลักคือการปรับเปลี่ยนสัญญาณในโดเมนความถี่ (การยก) เป็นการดำเนินการแบบอนาล็อกกับการกรองในโดเมนความถี่สเปกตรัม^{[ 2 ] [ 3 ]}ตัวอย่างเช่น การลดผลกระทบของเสียงสะท้อนโดยการลดความถี่บางค่า^{[ 2 ]}

เซปสตรัมเฟส (หลังจากสเปกตรัมเฟส ) มีความสัมพันธ์กับเซปสตรัมเชิงซ้อนดังนี้

สเปกตรัมเฟส = (เซปสตรัมเชิงซ้อน − การย้อนกลับเวลาของเซปสตรัมเชิงซ้อน) ²

ตัวแปรอิสระของกราฟเซปสตรัมเรียกว่าค่าความถี่ (quefrency ) ^{[ 10 ]}ค่าความถี่เป็นการวัดเวลา แม้ว่าจะไม่ใช่ในแง่ของสัญญาณในโดเมนเวลาก็ตาม ตัวอย่างเช่น หากอัตราการสุ่มตัวอย่างของสัญญาณเสียงคือ 44100 Hz และมีจุดสูงสุดขนาดใหญ่ในเซปสตรัมที่มีค่าความถี่เท่ากับ 100 ตัวอย่าง จุดสูงสุดนี้บ่งชี้ถึงการมีอยู่ของความถี่พื้นฐานซึ่งคือ 44100/100 = 441 Hz จุดสูงสุดนี้เกิดขึ้นในเซปสตรัมเนื่องจากฮาร์โมนิกในสเปกตรัมเป็นคาบ และคาบนั้นสอดคล้องกับความถี่พื้นฐาน เนื่องจากฮาร์โมนิกเป็นผลคูณจำนวนเต็มของความถี่พื้นฐาน^{[ 11 ]}

เคปสตรัมซึ่งย่อมาจาก "การตอบสนองเวลาอนุกรมกำลังสมการโคลโมโกโรฟ" มีลักษณะคล้ายกับเซปสตรัมและมีความสัมพันธ์เช่นเดียวกับค่าที่คาดหวังกับค่าเฉลี่ยทางสถิติ กล่าวคือ เซปสตรัมเป็นปริมาณที่วัดได้จากประสบการณ์ ในขณะที่เคปสตรัมเป็นปริมาณทางทฤษฎี มันถูกใช้งานมาก่อนเซปสตรัม^{[ 12 ] [ 13 ]}

ออโตเซปสตรัม (Autocepstrum) ถูกนิยามว่าเป็นเซปสตรัมของการหาความสัมพันธ์อัตโนมัติ (Autocorrelation ) ออโตเซปสตรัมมีความแม่นยำกว่าเซปสตรัม (Cepstrum) ในการวิเคราะห์ข้อมูลที่มีสัญญาณสะท้อน (Echoes)

หากจะเล่นคำต่อจากนี้ ตัวกรองที่ทำงานกับเซปสตรัมอาจเรียกว่าตัวยก (lifter ) ตัวยกแบบโลว์พาส (low-pass lifter) คล้ายกับตัวกรองโลว์พาสในโดเมนความถี่สามารถนำไปใช้ได้โดยการคูณด้วยหน้าต่างในโดเมนความถี่ แล้วแปลงกลับไปยังโดเมนความถี่ ส่งผลให้ได้สัญญาณที่ปรับเปลี่ยนแล้ว กล่าวคือ สัญญาณสะท้อนลดลง

เซปสตรัมสามารถมองได้ว่าเป็นข้อมูลเกี่ยวกับอัตราการเปลี่ยนแปลงในแถบสเปกตรัมต่างๆ เดิมทีคิดค้นขึ้นเพื่อใช้ในการจำแนกลักษณะของเสียงสะท้อนแผ่นดินไหวและ การระเบิด ของระเบิดนอกจากนี้ยังใช้ในการกำหนดความถี่พื้นฐานของเสียงพูดของมนุษย์และวิเคราะห์ สัญญาณสะท้อน จากเรดาร์การกำหนดระดับเสียงเซปสตรัมมีประสิทธิภาพเป็นพิเศษเนื่องจากผลกระทบของการกระตุ้นเสียง (ระดับเสียง) และทางเดินเสียง (ฟอร์แมนต์) เป็นแบบบวกในลอการิทึมของสเปกตรัมกำลังและแยกออกจากกันได้อย่างชัดเจน^{[ 14 ]}

เซปสตรัม (Cepstrum) เป็นรูปแบบการแสดงผลที่ใช้ในการประมวลผลสัญญาณแบบโฮโมมอร์ฟิก (Homomorphic Signal Processing ) เพื่อแปลงสัญญาณที่รวมกันโดยการคอนโวลูชัน (เช่น แหล่งกำเนิดและตัวกรอง) ให้เป็นผลรวมของเซปสตรัม เพื่อการแยกเชิงเส้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซปสตรัมกำลัง (Power Cepstrum) มักถูกใช้เป็นเวกเตอร์คุณลักษณะเพื่อแสดงเสียงพูดของมนุษย์และสัญญาณดนตรี สำหรับการใช้งานเหล่านี้ สเปกตรัมมักจะถูกแปลงก่อนโดยใช้มาตราส่วนเมล (Mel Scale) ผลลัพธ์ที่ได้เรียกว่าเซปสตรัมความถี่เมล หรือ MFC (สัมประสิทธิ์ของมันเรียกว่า สัมประสิทธิ์เซปสตรัมความถี่เมล หรือ MFCC) มันถูกใช้สำหรับการระบุเสียงการตรวจจับระดับเสียงและอื่นๆ อีกมากมาย เซปสตรัมมีประโยชน์ในการใช้งานเหล่านี้เนื่องจากการกระตุ้นเป็นคาบความถี่ต่ำจากสายเสียงและ การกรอง ฟอร์ แมนต์ ของช่องเสียงซึ่งคอนโวลูชันในโดเมนเวลาและคูณกันในโดเมนความถี่เป็นแบบบวกและอยู่ในภูมิภาคที่แตกต่างกันในโดเมนความถี่

โปรดทราบว่า คลื่นไซน์บริสุทธิ์ไม่สามารถใช้ทดสอบเซปสตรัมเพื่อกำหนดระดับเสียงจากความถี่ได้ เนื่องจากคลื่นไซน์บริสุทธิ์ไม่มีฮาร์โมนิกและไม่ทำให้เกิดยอดความถี่ แต่ควรใช้สัญญาณทดสอบที่มีฮาร์โมนิก (เช่น ผลรวมของคลื่นไซน์อย่างน้อยสองคลื่น โดยที่คลื่นไซน์ที่สองเป็นฮาร์โมนิก (ตัวคูณ) ของคลื่นไซน์แรก หรือที่ดีกว่านั้นคือสัญญาณที่มีรูปคลื่นสี่เหลี่ยมหรือสามเหลี่ยม เนื่องจากสัญญาณดังกล่าวให้โอเวอร์โทนจำนวนมากในสเปกตรัม)

คุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของโดเมนเซปสตรัมคือ การสังเคราะห์สัญญาณสองสัญญาณสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของเซปสตรัมเชิงซ้อนของสัญญาณทั้งสอง:

${\displaystyle x_{1}*x_{2}\mapsto x'_{1}+x'_{2}.}$

แนวคิดของเซปสตรัมนำไปสู่การประยุกต์ใช้มากมาย: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

• เกี่ยวข้องกับการอนุมานจากการสะท้อน (เรดาร์, การประยุกต์ใช้โซนาร์, ธรณีวิทยาแผ่นดินไหว)
• การประมาณค่าความถี่พื้นฐาน (ระดับเสียง) ของลำโพง
• การวิเคราะห์และการจดจำเสียงพูด
• การประยุกต์ใช้ทางการแพทย์ในการวิเคราะห์คลื่นไฟฟ้าสมอง (EEG) และคลื่นสมอง
• การวิเคราะห์การสั่นสะเทือนของเครื่องจักรโดยอิงตามรูปแบบฮาร์มอนิก (ความผิดพลาดของเกียร์บ็อกซ์ ความล้มเหลวของใบพัดกังหัน ...) ^{[ 2 ] [ 4 ] [ 5 ]}

เมื่อเร็วๆ นี้ มีการใช้การแยกส่วนแบบเซปสตรัมกับสัญญาณอิเล็กโทรไมโอแกรมพื้นผิว เพื่อกำจัดผลกระทบของชุดแรงกระตุ้นแบบสุ่มซึ่งเป็นต้นกำเนิดของ สัญญาณ sEMGจากสเปกตรัมกำลังของสัญญาณ sEMG เอง ด้วยวิธีนี้ จะเหลือเพียงข้อมูลเกี่ยวกับรูปร่างและแอมพลิจูดของศักยภาพการกระทำของหน่วยมอเตอร์ (MUAP) เท่านั้น ซึ่งจากนั้นจะถูกนำมาใช้เพื่อประมาณค่าพารามิเตอร์ของแบบจำลองโดเมนเวลาของ MUAP เอง^{[ 15 ]}

Schroeder และ Noll ได้เสนอการวิเคราะห์เซปสตรัมช่วงเวลาสั้นในทศวรรษ 1960 เพื่อนำไปประยุกต์ใช้ในการกำหนดระดับเสียงพูดของมนุษย์^{[ 16 ] [ 17 ] [ 14 ]}

• Childers, DG; Skinner, DP; Kemerait, RC (1977). "เซปสตรัม: คู่มือการประมวลผล". Proceedings of the IEEE . 65 (10). Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE): 1428– 1443. Bibcode : 1977IEEEP..65.1428C . doi : 10.1109/proc.1977.10747 . ISSN  0018-9219 . S2CID  6108941 .
• Oppenheim, AV; Schafer, RW (2004). "ประวัติ DSP - จากความถี่สู่ความถี่เชิงมุม: ประวัติของเซปสตรัม" IEEE Signal Processing Magazine . 21 (5). สถาบันวิศวกรรมไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์ (IEEE): 95– 106. Bibcode : 2004ISPM...21...95O . doi : 10.1109/msp.2004.1328092 . ISSN  1053-5888 . S2CID  1162306 .
• " การวิเคราะห์สัญญาณเสียง "
• " การวิเคราะห์คำพูด: การวิเคราะห์เซปสตรัมเทียบกับ LPC " www.advsolned.com
• " คู่มือเกี่ยวกับ Cepstrum และ LPCCs "