ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทรากสังยุคเชิงซ้อนระบุว่า ถ้าPเป็นพหุนามในตัวแปรเดียวที่มีสัมประสิทธิ์จริง และa  +  biเป็นรากของPโดยที่aและbเป็นจำนวนจริงแล้ว ราก สังยุคเชิงซ้อนa  −  biก็เป็นรากของPเช่น กัน ^{[ 1 ]}

จากสิ่งนี้ (และทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต ) จึงสรุปได้ว่า ถ้าดีกรีของพหุนาม จริง เป็นจำนวนคี่ พหุนามนั้นจะต้องมีรากจริงอย่างน้อยหนึ่งราก^{[ 2 ]} ข้อเท็จจริงดังกล่าวสามารถพิสูจน์ ได้ โดยใช้ทฤษฎีบท ค่ากลาง

• พหุนามนี้มีรากจินตภาพสองราก:${\displaystyle x^{2}+1=0}$${\displaystyle \pm i}$

• เมทริกซ์จัตุรัสจริงใดๆ ที่มีดีกรีเป็นเลขคี่จะมี ค่าไอเกนอย่างน้อยหนึ่งค่าที่เป็นจำนวนจริงตัวอย่างเช่น ถ้าเมทริกซ์เป็น เมทริก ซ์ตั้งฉากค่าไอเกนจะเป็น 1 หรือ −1
• พหุนาม

${\displaystyle x^{3}-7x^{2}+41x-87}$

มีรากฐานมาจาก

${\displaystyle 3,\,2+5i,\,2-5i,}$

และด้วยเหตุนี้จึงสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้

${\displaystyle (x-3)(x-2-5i)(x-2+5i).}$

ในการคำนวณผลคูณของตัวประกอบสองตัวสุดท้ายส่วนจินตภาพจะหักล้างกัน และเราจะได้

${\displaystyle (x-3)(x^{2}-4x+29).}$

ตัวประกอบที่ไม่ใช่จำนวนจริงมักมาเป็นคู่ ซึ่งเมื่อคูณกันแล้วจะได้พหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง เนื่องจากพหุนามทุกตัวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนสามารถแยกตัวประกอบได้เป็นตัวประกอบกำลัง 1 (ซึ่งเป็นวิธีหนึ่งในการกล่าวถึงทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต ) ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าพหุนามทุกตัวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงสามารถแยกตัวประกอบได้เป็นตัวประกอบที่มีดีกรีไม่เกิน 2 กล่าวคือ เป็นตัวประกอบกำลัง 1 และตัวประกอบกำลังสองเท่านั้น

• ถ้าคำตอบคือa + biและa − biแสดงว่าสมการทั้งสองเป็นสมการกำลังสอง

${\displaystyle x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2})}$.

ถ้าหากรากที่สามคือcจะได้ว่า

${\displaystyle (x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2}))(xc)}$

${\displaystyle =x^{3}+x^{2}(-2a-c)+x(2ac+a^{2}+b^{2})-c(a^{2}+b^{2})}$.

จากทฤษฎีบทปัจจุบันและทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตถ้าดีกรีของพหุนามจริงเป็นเลขคี่ พหุนามนั้นจะต้องมีรากจริงอย่างน้อยหนึ่งราก^{[ 2 ]}

สามารถพิสูจน์ได้ดังต่อไปนี้

• เนื่องจากรากเชิงซ้อนที่ไม่ใช่จำนวนจริงมาเป็นคู่สังยุค จึงมีจำนวนรากเชิงซ้อนเป็นเลขคู่
• แต่พหุนามดีกรีคี่จะมีจำนวนรากเป็นเลขคี่ ( ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต )
• ดังนั้น บางส่วนจึงต้องเป็นของจริง

วิธีนี้ต้องใช้ความระมัดระวังในกรณีที่มีรากซ้ำกันหลายรากแต่รากเชิงซ้อนและรากสังยุคของมันจะมีจำนวนรากซ้ำ เท่ากัน (และบทพิสูจน์ข้อนี้ไม่ยาก) นอกจากนี้ยังสามารถหลีกเลี่ยงปัญหานี้ได้โดยพิจารณาเฉพาะพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้พหุนามจริงใดๆ ที่มีดีกรีคี่จะต้องมีตัวประกอบที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ที่มีดีกรีคี่ ซึ่ง (เนื่องจากไม่มีรากซ้ำ) จะต้องมีรากจริงตามเหตุผลข้างต้น

บทสรุปนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยตรงโดยใช้ทฤษฎีบทค่ากลาง เช่น กัน

บทพิสูจน์หนึ่งของทฤษฎีบทมีดังนี้: ^{[ 2 ]}

พิจารณาพหุนาม

${\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}}$

โดยที่ a และ_rทั้งหมดเป็นจำนวนจริง สมมติว่าจำนวนเชิงซ้อนζ บางจำนวน เป็นรากของPนั่นคือจำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่า ${\displaystyle P(\zeta )=0}$

${\displaystyle P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=0}$

เช่นกัน.

ถ้าP ( ζ ) = 0 แล้ว

${\displaystyle a_{0}+a_{1}\zeta +a_{2}\zeta ^{2}+\cdots +a_{n}\zeta ^{n}=0}$

ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}=0.}$

ตอนนี้

${\displaystyle P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}}$

และเมื่อพิจารณาคุณสมบัติของการคอนจูเกชันเชิงซ้อนแล้ว

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\overline {\zeta ^{r}}}=\sum _{r=0}^{n}{\overline {a_{r}\zeta ^{r}}}={\overline {\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}}}.}$

เนื่องจาก

${\displaystyle {\overline {\sum _{r=0}^{n}a_{r}\zeta ^{r}}}={\overline {0}},}$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{r}={\overline {0}}=0.}$

นั่นคือ

${\displaystyle P{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}=a_{0}+a_{1}{\overline {\zeta }}+a_{2}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\big )}^{2}+\cdots +a_{n}{\big (}\,{\overline {\zeta }}\,{\ใหญ่ )}^{n}=0.}$

โปรดทราบว่าวิธีนี้ใช้ได้ผลเฉพาะในกรณีที่ค่าa และ_rเป็นจำนวนจริง นั่นคือถ้าสัมประสิทธิ์ใดๆ ไม่ใช่จำนวนจริง รากจะไม่ปรากฏเป็นคู่สังยุคเสมอไป นอกจากนี้ ยังสามารถแสดงได้ว่าสำหรับค่าใดๆ ก็ตามจะ เป็นจริงแม้ว่า${\displaystyle {\overline {a_{r}}}=a_{r}}$${\displaystyle \zeta \in \mathbb {C} }$${\displaystyle P({\overline {\zeta }})={\overline {P(\zeta )}}}$${\displaystyle P(\zeta )\neq 0}$