ปกติที่ซับซ้อน
พารามิเตอร์	${\displaystyle \mathbf {\mu } \in \mathbb {C} ^{n}}$— ตำแหน่ง — เมทริกซ์ความแปรปรวน ร่วม ( เมทริกซ์กึ่งบวก ) ${\displaystyle \Gamma \in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle C\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$— เมทริกซ์ความสัมพันธ์ ( เมทริกซ์สมมาตรเชิงซ้อน )
สนับสนุน	${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
พีดี	ซับซ้อน โปรดดูรายละเอียดในเนื้อหา
หมายถึง	${\displaystyle \mathbf {\mu } }$
โหมด	${\displaystyle \mathbf {\mu } }$
ความแปรปรวน	${\displaystyle \Gamma }$
ซีเอฟ	${\displaystyle \exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}}}$

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ตระกูลของการแจกแจงปกติเชิงซ้อนซึ่งแสดงด้วยหรือแสดงถึงตัวแปรสุ่มเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงและส่วนจินตนาการเป็นแบบปกติร่วมกัน[ 1 ^{]ตระกูลปกติ}เชิงซ้อนมีพารามิเตอร์สามตัว ได้แก่พารามิเตอร์ตำแหน่งμเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมและเมทริกซ์ความสัมพันธ์ ปกติ เชิงซ้อนมาตรฐานคือการแจกแจงแบบเอกตัวแปรที่มี, , และ ${\displaystyle {\mathcal {CN}}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \Gamma =1}$${\displaystyle C=0}$

กลุ่มย่อยที่สำคัญของตระกูลปกติเชิงซ้อนเรียกว่าปกติเชิงซ้อนแบบสมมาตรวงกลม (ศูนย์กลาง)และสอดคล้องกับกรณีของเมทริกซ์ความสัมพันธ์เป็นศูนย์และค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์: และ [ ^{2 ] กรณี}นี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในการประมวลผลสัญญาณ ซึ่งบางครั้ง ในเอกสาร จะเรียกว่าปกติเชิงซ้อน เฉยๆ${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle C=0}$

ตัวแปรสุ่มปกติเชิงซ้อนมาตรฐานหรือตัวแปรสุ่มเกาส์เซียนเชิงซ้อนมาตรฐานคือตัวแปรสุ่มเชิงซ้อน ที่มีส่วนจริงและส่วนจินตนาการเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติ ที่เป็นอิสระต่อกัน โดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวน^{[ 3 ] : หน้า 494 [ 4 ] : หน้า 501} ในทางทฤษฎี ${\displaystyle Z}$${\displaystyle 1/2}$

${\displaystyle Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)\quad \iff \quad \Re (Z)\perp \!\!\!\perp \Im (Z){\text{ and }}\Re (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2){\text{ and }}\Im (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2)}$

สมการที่ 1

โดยที่หมายถึงความเป็นอิสระ และหมายถึงว่าเป็นตัวแปรสุ่มปกติเชิงซ้อนมาตรฐาน ${\displaystyle \perp \!\!\!\perp }$${\displaystyle Z\sim {\คณิตศาสตร์ {CN}}(0,1)}$${\displaystyle Z}$

สมมติว่าและเป็นตัวแปรสุ่มจริง โดยที่ เป็น เวกเตอร์สุ่มปกติ 2 มิติแล้วตัวแปรสุ่มเชิงซ้อนเรียกว่าตัวแปรสุ่มปกติเชิงซ้อนหรือ ตัวแปร สุ่มเกาส์เซียนเชิงซ้อน^{[ 3 ] : หน้า 500} ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X,Y)^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle Z=X+iY}$

${\displaystyle Z{\text{ ตัวแปรสุ่มปกติเชิงซ้อน}}\quad \iff \quad (\Re (Z),\Im (Z))^{\mathrm {T} }{\text{ เวกเตอร์สุ่มปกติจริง}}}$

สมการที่ 2

เวกเตอร์สุ่มเชิงซ้อน n มิติคือเวกเตอร์สุ่มปกติมาตรฐานเชิงซ้อนหรือเวกเตอร์สุ่มเกาส์เซียนมาตรฐานเชิงซ้อนหากส่วนประกอบของมันเป็นอิสระต่อกัน และส่วนประกอบทั้งหมดเป็นตัวแปรสุ่มปกติเชิงซ้อนมาตรฐานตามที่กำหนดไว้ข้างต้น^{[ 3 ] : หน้า 502 [ 4 ] : หน้า 501} นั่นคือ เวกเตอร์สุ่มปกติเชิงซ้อนมาตรฐานจะถูกแสดงด้วย ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldสัญลักษณ์ {I}__{n})}$

${\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})\quad \iff (Z_{1},\ldots ,Z_{n}){\text{ เป็นอิสระ}}{\text{ และสำหรับ }}1\leq i\leq n:Z_{i}\sim {\mathcal {CN}}(0,1)}$

สมการที่ 3

ถ้าและเป็นเวกเตอร์สุ่มในโดยที่เป็นเวกเตอร์สุ่มปกติที่มีส่วนประกอบ แล้วเรากล่าวว่าเวกเตอร์สุ่มเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,}$

เป็นเวกเตอร์สุ่มปกติเชิงซ้อนหรือเวกเตอร์สุ่มเกาส์เซียนเชิงซ้อน

${\displaystyle \mathbf {Z} {\text{ เวกเตอร์สุ่มปกติเชิงซ้อน}}\quad \iff \quad (\Re (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }),\Im (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }))^{\mathrm {T} }=(\Re (Z_{1}),\ldots ,\Re (Z_{n}),\Im (Z_{1}),\ldots ,\Im (Z_{n}))^{\mathrm {T} }{\text{ เวกเตอร์สุ่มปกติจริง}}}$

สมการที่ 4

การกระจายแบบเกาส์เซียนที่ซับซ้อนสามารถอธิบายได้ด้วยพารามิเตอร์ 3 ตัว: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],}$

โดยที่หมายถึงการสลับตำแหน่งของ เมทริกซ์ของ และหมายถึงการสลับตำแหน่งแบบสังยุค [ ^{3 ] :หน้า 504 [ 4 ] : หน้า 500} ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }}$

ในที่นี้พารามิเตอร์ตำแหน่ง เป็นเวกเตอร์เชิงซ้อน n มิติเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเป็น เมทริก ซ์เฮอร์มิเชียนและไม่เป็นลบแน่นอนและเมทริกซ์ความสัมพันธ์หรือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเทียมเป็น เมทริกซ์ สมมาตร เวกเตอร์สุ่มปกติเชิงซ้อนสามารถแสดงได้ดังนี้นอกจากนี้ เมทริกซ์และมีคุณสมบัติว่าเมทริกซ์ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$$${\displaystyle \mathbf {Z} \ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\ \Gamma ,\ C).}$$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle C}$

${\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-{C}^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}C}$

ยังเป็นค่าบวกที่ไม่เป็นลบด้วย โดยที่^แทนค่าสังยุคเชิงซ้อนของ[ ^{5 ]}${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$${\displaystyle \Gamma }$

สำหรับเวกเตอร์สุ่มเชิงซ้อนใดๆ เมทริกซ์และสามารถเชื่อมโยงกับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของและ ได้ผ่านทางนิพจน์ ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )}$${\displaystyle \mathbf {Y} =\Im (\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}}$

และในทางกลับกัน

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma =V_{XX}+V_{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{aligned}}}$

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นสำหรับการแจกแจงปกติเชิงซ้อนสามารถคำนวณได้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{bmatrix}}^{\mathrm {H} }{\begin{bmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{bmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{bmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{bmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}}$

ที่ไหนและ. ${\displaystyle R=C^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}}$${\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-RC}$

ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการกระจายปกติเชิงซ้อนกำหนดโดย^{[ 5 ]}

${\displaystyle \varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},}$

โดยที่อาร์กิวเมนต์เป็น เวกเตอร์เชิงซ้อน nมิติ ${\displaystyle w}$

• ถ้าเป็นเวกเตอร์ปกติเชิงซ้อนn มิติ , เมท ริกซ์ m×nและ เวกเตอร์ คงที่m มิติ การแปลงเชิงเส้นก็จะมีการกระจายแบบปกติเชิงซ้อนเช่นกัน:${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b}$

${\displaystyle Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })}$

• ถ้าเป็นเวกเตอร์ปกติเชิงซ้อนn มิติ แล้ว${\displaystyle \mathbf {Z} }$

${\displaystyle 2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)}$

• ทฤษฎีบทลิมิตกลางถ้าเป็นตัวแปรสุ่มเชิงซ้อนที่เป็นอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกันแล้ว${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{T}}$

${\displaystyle {\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),}$

ที่ไหนและ.${\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]}$${\displaystyle C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]}$

• ค่าสัมบูรณ์ของตัวแปรสุ่มปกติเชิงซ้อนเป็นไปตาม การแจกแจง ของHoyt ^{[ 6 ]}

เวกเตอร์สุ่มเชิงซ้อนเรียกว่าสมมาตรแบบวงกลมถ้าสำหรับเวกเตอร์กำหนดทุกตัวการกระจายของเวกเตอร์นั้นเท่ากับการกระจายของเวกเตอร์[ ^{4 ] :หน้า 500–501} ${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi )}$${\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Z} }$

เวกเตอร์สุ่มเชิงซ้อนปกติส่วนกลางที่มีสมมาตรแบบวงกลมมีความน่าสนใจเป็นพิเศษ เนื่องจากสามารถระบุได้อย่างสมบูรณ์โดยเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม ${\displaystyle \Gamma }$

การแจกแจงปกติเชิงซ้อนแบบสมมาตรวงกลม (ศูนย์กลาง)สอดคล้องกับกรณีที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และเมทริกซ์ความสัมพันธ์เป็นศูนย์ กล่าวคือและ[ ^{3 ] :หน้า 507 [ 7 ]}โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์นี้ ${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle C=0}$

${\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma )}$

ถ้าเวกเตอร์นั้นเป็นเวกเตอร์ปกติเชิงซ้อนแบบสมมาตรวงกลม (แบบศูนย์กลาง) แล้ว เวกเตอร์นั้นจะเป็นเวกเตอร์ปกติหลายตัวแปรที่มีโครงสร้างความแปรปรวนร่วม ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$${\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {X} \\\mathbf {Y} \end{pmatrix}}\ \sim \ {\mathcal {N}}{\Big (}{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},\ {\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\Gamma &-\operatorname {Im} \,\Gamma \\\operatorname {Im} \,\Gamma &\operatorname {Re} \,\Gamma \end{bmatrix}}{\Big )}}$

ที่ไหน. ${\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }]}$

สำหรับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมที่ไม่เอกฐานการกระจายของมันสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ดังนี้^{[ 3 ] : หน้า 508} ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle f_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )={\tfrac {1}{\pi ^{n}\det(\Gamma )}}\,e^{-(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )}}$.

ดังนั้น หากไม่ทราบค่าเฉลี่ยที่ไม่เป็นศูนย์และเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมฟังก์ชันความน่าจะเป็นล็อกที่เหมาะสมสำหรับเวกเตอร์การสังเกตเดี่ยวจะเป็นดังนี้ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \ln(L(\mu ,\Gamma ))=-\ln(\det(\Gamma ))-{\overline {(z-\mu )}}'\Gamma ^{-1}(z-\mu )-n\ln(\pi ).}$

การแจกแจงปกติเชิงซ้อนมาตรฐาน (กำหนดไว้ในสมการที่ 1 ) สอดคล้องกับการแจกแจงของตัวแปรสุ่มสเกลาร์ที่มี, และดังนั้น การแจกแจงปกติเชิงซ้อนมาตรฐานจึงมีความหนาแน่น ${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle C=0}$${\displaystyle \Gamma =1}$

${\displaystyle f_{Z}(z)={\tfrac {1}{\pi }}e^{-{\overline {z}}z}={\tfrac {1}{\pi }}e^{-|z|^{2}}.}$

นิพจน์ข้างต้นแสดงให้เห็นว่าเหตุใดกรณีนี้จึงเรียกว่า “สมมาตรแบบวงกลม” ฟังก์ชันความหนาแน่นขึ้นอยู่กับขนาดของแต่ไม่ขึ้นอยู่กับตัวแปรต้นดังนั้น ขนาดของตัวแปรสุ่มปกติเชิงซ้อนมาตรฐานจะมีการกระจายแบบเรย์ลีและขนาดกำลังสองจะมีการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียลในขณะที่ตัวแปรต้นจะมีการกระจายแบบเอกรูป บน${\displaystyle C=0}$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle z}$${\displaystyle |z|}$${\displaystyle |z|^{2}}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

ถ้าเวกเตอร์สุ่มแบบปกติเชิงซ้อนวงกลมn มิติ ที่เป็นอิสระและมีการกระจายเหมือนกันโดยที่ แล้วค่ากำลังสองของนอร์มสุ่ม ${\displaystyle \left\{\mathbf {Z} _{1},\ldots ,\mathbf {Z} _{k}\right\}}$${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle Q=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} _{j}=\sum _{j=1}^{k}\|\mathbf {Z} _{j}\|^{2}}$

มีการแจกแจงไคกำลังสองทั่วไปและเมทริกซ์สุ่ม

${\displaystyle W=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }}$

มีการแจกแจงแบบ Wishart ที่ซับซ้อนโดยมีระดับความเป็นอิสระ การแจกแจงนี้สามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันความหนาแน่น ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(w)={\frac {\det(\Gamma ^{-1})^{k}\det(w)^{k-n}}{\pi ^{n(n-1)/2}\prod _{j=1}^{k}(k-j)!}}\ e^{-\operatorname {tr} (\Gamma ^{-1}w)}}$

โดยที่และเป็นเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบแน่นอน ${\displaystyle k\geq n}$${\displaystyle w}$${\displaystyle n\times n}$

• การกระจายอัตราส่วนปกติที่ซับซ้อน
• สถิติเชิงทิศทาง § การกระจายของค่าเฉลี่ย (รูปแบบเชิงขั้ว)
• การกระจายแบบปกติ
• การแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปร (การแจกแจงปกติเชิงซ้อนคือการแจกแจงปกติแบบสองตัวแปร)
• การแจกแจงไคกำลังสองทั่วไป
• การจัดจำหน่ายวิชาร์ต
• ตัวแปรสุ่มเชิงซ้อน