คอมพิวเตอร์สำหรับปฏิบัติการที่มีฟังก์ชันการทำงาน

ในสาขา วิศวกรรมคอมพิวเตอร์และวิทยาศาสตร์ คอมพิวเตอร์ คอมพิวเตอร์สำหรับดำเนินการกับฟังก์ชัน (ทางคณิตศาสตร์) (ซึ่งแตกต่างจาก คอมพิวเตอร์ทั่วไป) จะดำเนินการกับฟังก์ชันใน ระดับ ฮาร์ดแวร์ (กล่าวคือ โดยไม่ต้องเขียนโปรแกรมการดำเนินการเหล่านี้) ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

เครื่องคำนวณสำหรับการดำเนินการกับฟังก์ชันได้รับการนำเสนอและพัฒนาโดย Mikhail Kartsev ในปี 1967 ^{[ 1 ]}ในบรรดาการดำเนินการของเครื่องคำนวณนี้ ได้แก่ การบวก การลบ และการคูณฟังก์ชัน การเปรียบเทียบฟังก์ชัน การดำเนินการเดียวกันระหว่างฟังก์ชันและตัวเลข การหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน การคำนวณอินทิกรัลไม่จำกัดการคำนวณอินทิกรัลจำกัดของอนุพันธ์ของสองฟังก์ชัน อนุพันธ์ของสองฟังก์ชัน การเลื่อนฟังก์ชันตามแกน X เป็นต้น ด้วยสถาปัตยกรรมของเครื่องคำนวณนี้ (โดยใช้ศัพท์สมัยใหม่) เป็นตัวประมวลผลเวกเตอร์หรือตัวประมวลผลอาร์เรย์ซึ่งเป็นหน่วยประมวลผลกลาง (CPU) ที่ใช้ชุดคำสั่งที่มีคำสั่งที่ดำเนินการกับ อาร์เรย์ ข้อมูลหนึ่งมิติ ที่เรียกว่า เวกเตอร์ ในนั้นมีการใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการดำเนินการเหล่านี้จำนวนมากสามารถตีความได้ว่าเป็นการดำเนินการที่รู้จักกันดีบนเวกเตอร์ เช่น การบวกและการลบฟังก์ชัน – เป็นการบวกและการลบเวกเตอร์ การคำนวณอินทิกรัลจำกัดของอนุพันธ์ของฟังก์ชันสองตัว – เป็นการคำนวณผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว การเลื่อนฟังก์ชันตามแกน X – เป็นการหมุนเวกเตอร์รอบแกน เป็นต้น^{[ 1 ]}ในปี พ.ศ. 2509 Khmelnik ได้เสนอวิธีการเข้ารหัสฟังก์ชัน^{[ 2 ]}กล่าวคือ การแสดงฟังก์ชันด้วยรหัสตำแหน่ง "สม่ำเสมอ" (สำหรับฟังก์ชันโดยรวม) ดังนั้นการดำเนินการกับฟังก์ชันที่กล่าวถึงจึงดำเนินการเป็นการดำเนินการคอมพิวเตอร์ที่ไม่ซ้ำกันด้วยรหัสดังกล่าวบนหน่วยคำนวณเลขคณิต " เดียว " ^{[ 3 ]}

แหล่งที่มา: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

รหัสตำแหน่งของจำนวนเต็มคือ สัญกรณ์ตัวเลขของหลักต่างๆ ใน ระบบเลขตำแหน่งแบบหนึ่งซึ่งมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle A=\alpha _{0}\alpha _{1}\dots \alpha _{k}\dots \alpha _{n}}$.

รหัสประเภทนี้อาจเรียกว่า "รหัสเชิงเส้น" ซึ่งแตกต่างจากรหัสตำแหน่งของฟังก์ชัน ตัวแปรเดียว ที่มีรูปแบบดังนี้: ${\displaystyle x}$${\displaystyle F(x)}$

${\displaystyle F(x)={\begin{pmatrix}\ &\ &\cdots \\\ &\ &\alpha _{22}\cdots \alpha _{2k}\cdots \\\ &\alpha _{11}&\alpha _{12}\cdots \alpha _{1k}\cdots \\\alpha _{00}&\alpha _{01}&\alpha _{02}\cdots \alpha _{0k}\cdots \end{pmatrix}}}$

ดังนั้นมันจึงแบนและเป็นรูปทรง "สามเหลี่ยม" เนื่องจากตัวเลขในนั้นประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยม

ค่าของตัวเลขตำแหน่งข้างต้นคือค่าของผลรวม ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}\rho ^{k}}$,

ฐานของระบบตัวเลขดังกล่าวอยู่ ที่ไหนรหัสตำแหน่งของฟังก์ชันตัวแปรเดียวสอดคล้องกับรหัส 'ดับเบิล' ในรูปแบบ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle F(x)=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m=0}^{k}\alpha _{mk}R^{k}y^{k-m}(1-y)^{m}}$,

โดยที่เป็นจำนวนเต็มบวก, เป็นจำนวนค่าที่นำมาพิจารณาและเป็นฟังก์ชันเฉพาะของตัวแปร ${\displaystyle R}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

การบวกเลขรหัสตำแหน่งจะสัมพันธ์กับการ ถ่ายโอน ตัวทดไปยังหลักที่สูงกว่าตามรูปแบบที่กำหนด

${\displaystyle \alpha _{k}\longrightarrow \alpha _{k+1}}$.

การเพิ่มรหัสตำแหน่งของฟังก์ชันตัวแปรเดียวเกี่ยวข้องกับการถ่ายโอนตัวทดไปยังหลักที่สูงกว่าตามแผนผังดังนี้:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\ \ &\alpha _{k+1,m+1}\\\ \nearrow &\ \\\alpha _{k,m}\longrightarrow &\alpha _{k+1,m}\end{pmatrix}}}$.

ในกรณีนี้ การโอนย้ายข้อมูลแบบเดียวกันจะดำเนินการพร้อมกันไปยัง ตัวเลข สองหลักที่สูงกว่า

รหัสสามเหลี่ยมเรียกว่ารหัสR-nary (และใช้สัญลักษณ์) ถ้าตัวเลขมีค่ามาจากเซต ${\displaystyle TK_{R}}$${\displaystyle \alpha _{mk}}$

${\displaystyle D_{R}=\{-r_{1},-r_{1}+1,\dots ,-1,0,1,\dots ,r_{2}-1,r_{2}\}}$ที่ไหนและ.${\displaystyle r_{1},\;r_{2}\geq 0}$${\displaystyle R_{}^{}=r_{1}+r_{2}+1}$

ตัวอย่างเช่น รหัสสามเหลี่ยมเป็นรหัสไตรภาคถ้าและเป็นรหัสจตุภาคถ้าสำหรับ รหัส สามเหลี่ยม R -nary ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle TK_{3}}$${\displaystyle \alpha _{mk}\in (-1,0,1)}$${\displaystyle TK_{4}}$${\displaystyle \alpha _{mk}\in (-2,-1,0,1)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &a\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &-a\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &-a\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &0\end{pmatrix}}}$,

โดยที่เป็นจำนวนใดๆ มี ค่า คงที่ของจำนวนจริงจำนวนเต็มใดๆโดยเฉพาะอย่างยิ่งนอกจากนี้ยังมีค่าคงที่ของฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบเช่น. ${\displaystyle a}$${\displaystyle TK_{R}}$${\displaystyle TK_{R}(\alpha )=\alpha }$${\displaystyle TK_{R}}$${\displaystyle y^{k}}$${\displaystyle TK_{R}(y^{2})=(0\ 0\ 1)}$

รหัสสามเหลี่ยม R-nary ประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้:

• ในตัวเลขที่กำหนดนั้น จะมีการหาผลรวมของตัวเลขที่นำมาบวกกันและตัวทดสองตัวที่ถ่ายโอนมาจากทางซ้ายมายังตัวเลขนี้ นั่นคือ${\displaystyle (mk)}$${\displaystyle S_{mk}^{}}$${\displaystyle \alpha _{mk},\ \beta _{mk}}$${\displaystyle p_{m,k-1},\ p_{m-1,k-1}}$

${\displaystyle S_{mk}^{}=\alpha _{mk}+\beta _{mk}+p_{m,k-1}+p_{m-1,k-1}}$,

• ผลรวมนี้แสดงอยู่ในรูปแบบโดยที่,${\displaystyle S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+Rp_{mk}}$${\displaystyle \sigma _{mk}\in D_{R}}$
• ${\displaystyle \sigma _{mk}}$เขียนด้วยตัวเลขหลักของรหัสสรุป และตัวทดจากตัวเลขที่กำหนดจะถูกส่งต่อไปยังตัวเลขหลักถัดไปและตัวเลขหลักถัดไป${\displaystyle (mk)}$${\displaystyle p_{mk}}$${\displaystyle (m,k+1)}$${\displaystyle (m+1,k+1)}$

วิธีการนี้อธิบายไว้ (เช่นเดียวกับการบวกเลขหลักเดียว) โดยใช้ตารางการบวกเลขหลักเดียว ซึ่งค่าของพจน์ทั้งหมดและต้องมีอยู่ครบถ้วน และค่าของตัวทดทั้งหมดต้องปรากฏในการแยกส่วนผลรวม ตารางดังกล่าวสามารถสังเคราะห์ได้สำหรับ ด้านล่างนี้เราได้เขียนตารางการบวกเลขหลักเดียวสำหรับ: ${\displaystyle \alpha _{mk}\in D_{R}}$${\displaystyle \beta _{mk}\in D_{R}}$${\displaystyle S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+Rp_{mk}}$${\displaystyle R>2.}$${\displaystyle R=3}$

สมก	ทีเค (สเมิร์ค)		${\displaystyle \sigma _{mk}^{}}$	${\displaystyle p_{mk}^{}}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	0	.	.
1	1	0	1	0
.	.	0	.	.
(-1)	(-1)	0	(-1)	0
.	.	1	.	.
2	(-1)	1	(-1)	1
.	.	1	.	.
3	0	1	0	1
.	.	1	.	.
4	1	1	1	1
.	.	(-1)	.	.
(-2)	1	(-1)	1	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-3)	0	(-1)	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-4)	(-1)	(-1)	(-1)	(-1)

ในรหัสสามเหลี่ยม R-nary นั้นแตกต่างจากการบวกเลขหลักเดียวเพียงแค่ว่าในหลักที่กำหนดค่าจะถูกกำหนดโดยสูตร ${\displaystyle (mk)}$${\displaystyle S_{mk}^{}}$

${\displaystyle S_{mk}^{}=\alpha _{mk}-\beta _{mk}+p_{m,k-1}+p_{m-1,k-1}}$.

ในรหัสสามเหลี่ยม R-nary นั้น อาศัยการใช้ค่าสหสัมพันธ์เป็นหลัก:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &-a\end{pmatrix}}}$,

จากนี้จึงสรุปได้ว่า การหารแต่ละหลักจะทำให้เกิดตัวทดในสองหลักที่ต่ำที่สุด ดังนั้น ผลลัพธ์ของตัวเลขในการดำเนินการนี้จึงเป็นผลรวมของผลหารจากการหารหลักนั้นด้วย R และตัวทดสองตัวจากสองหลักที่สูงที่สุด ดังนั้น เมื่อหารด้วยพารามิเตอร์ R

• ผลรวมต่อไปนี้จะถูกกำหนดในหลักที่กำหนด${\displaystyle (mk)}$

${\displaystyle S_{mk}^{}=\alpha _{mk}/R-p_{m+1,k}/R+p_{m+1,k+1}}$,

• ผลรวมนี้แสดงเป็น โดยที่${\displaystyle S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+p_{mk}/R}$${\displaystyle \sigma _{mk}\in D_{R}}$
• ${\displaystyle \sigma _{mk}}$จะถูกเขียนลงในหลักที่ — ของรหัสที่ได้ และตัวทดจากหลักที่กำหนดจะถูกถ่ายโอนไปยังหลักที่ — และหลักที่ —${\displaystyle (mk)}$${\displaystyle p_{mk}}$${\displaystyle (m-1,k-1)}$${\displaystyle (m-1,k)}$

ขั้นตอนการคำนวณนี้อธิบายได้ด้วยตารางการหารเลขหลักเดียวโดยใช้พารามิเตอร์ R โดยที่ค่าของพจน์ทั้งหมดและค่าของตัวทดทั้งหมดที่ปรากฏในการแยกผลรวมจะต้องมีอยู่ครบถ้วน สามารถสร้างตารางดังกล่าวได้ดังนี้ ด้านล่างนี้จะเป็นตารางแสดงการหารเลขหลักเดียวโดยใช้พารามิเตอร์ R สำหรับ: ${\displaystyle S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+p_{mk}/R}$${\displaystyle R>2.}$${\displaystyle R=3}$

สมก	ทีเค (สเมิร์ค)		${\displaystyle \sigma _{mk}^{}}$	${\displaystyle p_{mk}^{}}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	1	.	.
1	0	0	1	0
.	.	(-1)	.	.
(-1)	0	0	(-1)	0
.	.	0	.	.
1/3	1	(-1/3)	0	1
.	.	1	.	.
2/3	(-1)	1/3	1	(-1)
.	.	1	.	.
4/3	1	(-1/3)	1	1
.	.	2	.	.
5/3	(-1)	1/3	2	(-1)
.	.	0	.	.
(-1/3)	(-1)	1/3	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-2/3)	1	(-1/3)	(-1)	1
.	.	(-1)	.	.
(-4/3)	(-1)	1/3	(-1)	(-1)
.	.	(-2)	.	.
(-5/3)	1	(-1/3)	(-2)	1

รหัสสามเหลี่ยม R-nary ประกอบด้วย (เช่นเดียวกับรหัสตำแหน่งของตัวเลข) การดำเนินการทีละหลักที่ดำเนินการต่อเนื่องกัน โปรดทราบว่าการดำเนินการทีละหลักในทุกหลักของแต่ละคอลัมน์จะดำเนินการพร้อมกัน

ของรหัสสามเหลี่ยม R-nary การคูณรหัสหนึ่งกับอีกรหัสหนึ่งที่ มีจำนวนหลัก k จะประกอบด้วยการเลื่อนรหัสk ตำแหน่ง กล่าวคือ เลื่อนไปทางซ้าย k คอลัมน์และขึ้น m แถว การคูณรหัส k และ k จะประกอบด้วยการเลื่อนรหัส k ตำแหน่ง ต่อเนื่องกัน และการบวกรหัสที่เลื่อนแล้วกับผลคูณส่วน (เช่นเดียวกับรหัสตำแหน่งของตัวเลข) ${\displaystyle TK_{R}'^{}}$${\displaystyle (mk)}$${\displaystyle TK_{R}''^{}}$${\displaystyle (mk)}$${\displaystyle TK_{R}'^{}}$${\displaystyle TK_{R}'^{}}$${\displaystyle TK_{R}''^{}}$${\displaystyle (mk)}$${\displaystyle TK_{R}'^{}}$${\displaystyle TK_{R}'^{}}$

ของรหัสสามเหลี่ยม R-nary อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดไว้ข้างต้น คือ ${\displaystyle F(x)}$

${\displaystyle {\frac {\partial F(x)}{\partial x}}={\frac {\partial y}{\partial x}}{\frac {\partial F(x)}{\partial y}}}$.

ดังนั้น การหาโค้ดสามเหลี่ยมของฟังก์ชันจึง ประกอบด้วยการหาโค้ดสามเหลี่ยมของอนุพันธ์ย่อย และการคูณด้วยโค้ดสามเหลี่ยมของอนุพันธ์ที่ทราบแล้วการหาโค้ดสามเหลี่ยมของอนุพันธ์ย่อยนั้นอาศัยความสัมพันธ์ ${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle {\frac {\partial F(x)}{\partial y}}}$${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}}$${\displaystyle {\frac {\partial F(x)}{\partial y}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{\begin{pmatrix}\ &\ &0\\\ &0&\alpha _{mk}\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ &\ &(k-m)\alpha _{mk}\\\ &0&(k-2m)\alpha _{mk}\\0&0&(-m)\alpha _{mk}\end{pmatrix}}}$.

วิธีการหาอนุพันธ์ประกอบด้วยการจัดเรียงตัวทดจากหลัก mk ไปยังหลัก (m+1,k) และไปยังหลัก (m-1,k) จากนั้นจึงทำการบวกในหลักที่กำหนดในลักษณะเดียวกับการบวกเลขหลักเดียว

ของรหัสสามเหลี่ยม R-nary ฟังก์ชันที่แสดงด้วยอนุกรมในรูปแบบ

${\displaystyle F(x)=\sum _{k=0}^{n}A_{k}y^{k}}$,

ฟังก์ชันที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มอาจแสดงด้วยรหัสสามเหลี่ยม R-nary เนื่องจากสัมประสิทธิ์เหล่านี้และฟังก์ชันต่างๆมีรหัสสามเหลี่ยม R-nary (ซึ่งได้กล่าวถึงไปแล้วในตอนต้นของหัวข้อ) ในทางกลับกัน รหัสสามเหลี่ยม R-nary อาจแสดงด้วยอนุกรมดังกล่าวได้ เนื่องจากพจน์ใดๆในการกระจายตำแหน่งของฟังก์ชัน (ที่สอดคล้องกับรหัสนี้) อาจแสดงด้วยอนุกรมที่คล้ายกันได้ ${\displaystyle A_{k}}$${\displaystyle y^{k}}$${\displaystyle \alpha _{mk}R^{k}y^{k}(1-y)^{m}}$

ของรหัสสามเหลี่ยม R-nary นี่คือชื่อของการดำเนินการลดจำนวนคอลัมน์ที่ไม่เป็นศูนย์ ความจำเป็นในการตัดทอนเกิดขึ้นเมื่อมีตัวทดเกินจำนวนหลัก การตัดทอนประกอบด้วยการหารด้วยพารามิเตอร์ R สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของอนุกรมที่แสดงโดยรหัสจะถูกลดลง R ครั้ง และส่วนที่เป็นเศษส่วนของสัมประสิทธิ์เหล่านี้จะถูกทิ้งไป พจน์แรกของอนุกรมก็ถูกทิ้งไปเช่นกัน การลดทอนดังกล่าวเป็นที่ยอมรับได้หากทราบว่าอนุกรมของฟังก์ชันลู่เข้า การตัดทอนประกอบด้วยการดำเนินการหารด้วยพารามิเตอร์ R ทีละหลักที่ดำเนินการต่อเนื่องกัน การดำเนินการทีละหลักในทุกหลักของแถวจะดำเนินการพร้อมกัน และตัวทดจากแถวล่างจะถูกทิ้งไป

รหัสสามเหลี่ยม R-nary จะมีตัวประกอบมาตราส่วน M คล้ายกับเลขชี้กำลังสำหรับเลขทศนิยม ตัวประกอบ M ช่วยให้สามารถแสดงค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของอนุกรมที่เข้ารหัสเป็นจำนวนเต็มได้ ตัวประกอบ M จะถูกคูณด้วย R เมื่อรหัสถูกตัดทอน สำหรับการบวก ตัวประกอบ M จะถูกจัดเรียงให้ตรงกัน เพื่อให้เป็นเช่นนั้น รหัสหนึ่งในการบวกจะต้องถูกตัดทอน สำหรับการคูณ ตัวประกอบ M ก็จะถูกคูณด้วยเช่นกัน

แหล่งที่มา: ^{[ 4 ]}

รหัสตำแหน่งสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวแสดงไว้ในรูปที่ 1 โดยสอดคล้องกับผลรวม "สามเท่า" ในรูปแบบ: โดย ที่เป็นจำนวนเต็มบวก เป็นจำนวนค่าของตัวเลขและเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ตามลำดับ ในรูปที่ 1 จุดต่างๆ สอดคล้องกับตัวเลขและในวงกลมแสดงค่าดัชนีของตัวเลขที่สอดคล้องกัน รหัสตำแหน่งของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวเรียกว่า "รหัสพีระมิด" รหัสตำแหน่งเรียกว่า R-nary (และใช้สัญลักษณ์) ถ้าตัวเลขมีค่าจากเซตเมื่อบวกรหัส เข้าด้วยกัน ตัวทด จะ มีสี่หลัก ดังนั้น${\displaystyle F(x,v)=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m1=0}^{k}\sum _{m2=0}^{k}\alpha _{m1,m2,k}R^{k}y^{k-m1}(1-y)^{m1}z^{k-m2}(1-z)^{m2}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \alpha _{m1,m2,k}}$${\displaystyle y(x),~z(v)}$${\displaystyle x,~v}$${\displaystyle \alpha _{m1,m2,k}}$${\displaystyle {m1,m2,k}}$${\displaystyle PK_{R}}$${\displaystyle \alpha _{m1,m2,k}}$${\displaystyle D_{R}}$${\displaystyle PK_{R}}$${\displaystyle R\geq 7}$

รหัสตำแหน่งสำหรับฟังก์ชันจากตัวแปรหลายตัวจะสอดคล้องกับผลรวมในรูปแบบ

${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{a})=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m_{1}=0}^{k}\ldots \sum _{m_{a}=0}^{k}(\alpha _{m_{1},\ldots ,m_{a},k}R^{k}\prod _{i=1}^{a}(y_{i}^{k-m_{i}}(1-y_{i})^{m_{i}}))}$,

โดยที่เป็นจำนวนเต็มบวก เป็นจำนวนค่าของตัวเลขหลักและเป็นฟังก์ชันบางอย่างของอาร์กิวเมนต์รหัสตำแหน่งของฟังก์ชันที่มีหลายตัวแปรเรียกว่า "ไฮเปอร์พีระมิด" ดังแสดงในรูปที่ 2 ตัวอย่างเช่น รหัสไฮเปอร์พีระมิดตำแหน่งของฟังก์ชันที่มีสามตัวแปร ในรูปนั้น จุดต่างๆ สอดคล้องกับตัวเลขหลักและวงกลมบรรจุค่าดัชนีของตัวเลขหลักที่สอดคล้องกัน รหัสไฮเปอร์พีระมิดตำแหน่งเรียกว่า R-nary (และใช้สัญลักษณ์) ถ้าตัวเลขมีค่าจากเซตเมื่อบวกรหัส ตัวทดจะขยายบนลูกบาศก์มิติ n ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขหลัก และดังนั้น ${\displaystyle R}$${\displaystyle \alpha _{m_{1},\ldots ,m_{a},k}}$${\displaystyle y_{i}(x_{i})}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \alpha _{m1,m2,m3,k}}$${\displaystyle {m1,m2,m3,k}}$${\displaystyle GPK_{R}}$${\displaystyle \alpha _{m_{1},\ldots ,m_{a},k}}$${\displaystyle D_{R}}$${\displaystyle GPK_{R}}$${\displaystyle 2^{a}}$${\displaystyle R\geq (2^{a-1}-1)}$

• การเร่งความเร็วฮาร์ดแวร์
• ตัวประมวลผลสัญญาณดิจิทัล