ในทฤษฎีความน่าจะ เป็น พีชคณิตเหตุการณ์แบบมีเงื่อนไข ( CEA ) เป็นทางเลือกแทนพีชคณิตบูลีน มาตรฐาน ของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ (เซตของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ที่เกี่ยวข้องกันโดยการดำเนินการที่คุ้นเคย เช่นและหรือและไม่ ) ซึ่งไม่เพียงแต่มีเหตุการณ์ทั่วไปเท่านั้น แต่ยัง รวมถึงเหตุการณ์แบบมีเงื่อนไขที่มีรูปแบบ "ถ้าAแล้วB " ด้วย แรงจูงใจปกติสำหรับ CEA คือการใช้เป็นพื้นฐานในการกำหนดฟังก์ชันความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์Pที่สอดคล้องกับสมการP (ถ้าAแล้วB ) = P ( AและB ) / P ( A )

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น มาตรฐาน การเกิดเหตุการณ์หนึ่งๆ จะสอดคล้องกับเซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ ซึ่งแต่ละผลลัพธ์นั้นสอดคล้องกับการเกิดเหตุการณ์นั้นP ( A ) คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์Aซึ่งก็คือผลรวมของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเหตุการณ์A ; P ( B ) คือผลรวมของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเหตุการณ์B ; และP ( AและB ) คือผลรวมของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ทั้งหมดที่สอดคล้องกับทั้งAและB กล่าว อีกนัยหนึ่งและซึ่งโดยทั่วไปแทนด้วยสัญลักษณ์ตรรกะ ∧ จะถูกตีความว่าเป็นส่วนตัดกันของเซต: P ( A ∧ B ) = P ( A ∩ B ) ในทำนองเดียวกันหรือ ∨ จะกลายเป็นส่วนรวมของเซต ∪ และไม่ใช่ ¬ จะกลายเป็นส่วนเติมเต็มของเซต ′ การรวมกันของเหตุการณ์ใดๆ ที่ใช้การดำเนินการ " และ " หรือ"หรือ " และ " ไม่ใช่"ก็ถือเป็นเหตุการณ์เช่นกัน และการกำหนดความน่าจะเป็นให้กับผลลัพธ์ทั้งหมดจะสร้างความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละเหตุการณ์ ในทางเทคนิคแล้ว หมายความว่าเซตของเหตุการณ์และการดำเนินการทั้งสามอย่างรวมกันเป็นพีชคณิตบูลีน ของเซต พร้อม ด้วยฟังก์ชันความน่าจะเป็น ที่เกี่ยวข้อง

ในทางปฏิบัติมาตรฐานP (ถ้าAแล้วB ) จะไม่ถูกตีความว่าเป็นP ( A ′ ∪ B ) ตามกฎการบ่งชี้เชิงเนื้อหาแต่จะถูกตีความว่าเป็นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของBเมื่อกำหนดให้A P ( B | A ) = P ( A ∩ B ) / P ( A ) ซึ่งทำให้เกิดคำถามว่า แล้วความน่าจะเป็นเช่นP (ถ้าAแล้วBและถ้าCแล้วD ) ล่ะ? สำหรับกรณีนี้ ไม่มีคำตอบมาตรฐาน สิ่งที่จำเป็นเพื่อให้เกิดความสอดคล้องกันคือ การพิจารณาเงื่อนไข " ถ้า-แล้ว"เป็นการดำเนินการแบบไบนารี → เช่น สำหรับเหตุการณ์แบบมีเงื่อนไขA → BและC → D P ( A → B ) = P ( B | A ), P ( C → D ) = P ( D | C ) และP (( A → B ) ∧ ( C → D )) จะมีความ หมายที่ชัดเจนและสมเหตุสมผล นักปรัชญาหลายคน รวมถึงโรเบิร์ต สตาลเนเกอร์ได้โต้แย้งว่า ในอุดมคติแล้ว พีชคณิตเหตุการณ์แบบมีเงื่อนไข หรือ CEA ควรจะรองรับฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่ตรงตามเงื่อนไขสามประการดังนี้:

1. ฟังก์ชันความน่าจะเป็นเป็นไปตามสัจพจน์ทั่วไป

2. สำหรับเหตุการณ์ปกติสองเหตุการณ์ใดๆAและBถ้าP ( A ) > 0 แล้วP ( A → B ) = P ( B | A ) = P ( A ∧ B ) / P ( A )

3. สำหรับเหตุการณ์ปกติAและฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่ยอมรับได้Pถ้าP ( A ) > 0 แล้วPA = _P (⋅| A ) ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ได้จากการกำหนดเงื่อนไขบนA ก็เป็นฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่ ยอมรับได้เช่นกัน

อย่างไรก็ตามเดวิด ลูอิสได้พิสูจน์ข้อเท็จจริงในปี 1976 ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อผลลัพธ์ความไม่สำคัญของลูอิส : เงื่อนไขเหล่านี้สามารถบรรลุได้ด้วยวิธีการใกล้เคียงกับมาตรฐานในตัวอย่างง่ายๆ เท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เงื่อนไขเหล่านี้สามารถบรรลุได้เมื่อมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียงสองอย่าง เช่น การโยนเหรียญเพียงครั้งเดียว หากมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สามอย่างขึ้นไป การสร้างฟังก์ชันความน่าจะเป็นจำเป็นต้องเลือกเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งในสามข้อข้างต้นที่จะละเมิด การตีความA → Bเป็นA ′ ∪ Bจะสร้างพีชคณิตบูลีนธรรมดาที่ละเมิดข้อ 2 สำหรับ CEA ทางเลือกจะอยู่ระหว่างข้อ 1 และ 3 ^{[ 1 ]}

CEA แบบไตรเหตุการณ์ได้รับแรงบันดาลใจจากตรรกะสามค่าซึ่งการระบุการเชื่อมโยงเชิงตรรกะการแยกและการปฏิเสธด้วยการดำเนินการเซตแบบง่ายๆ นั้นใช้ไม่ได้อีกต่อไป สำหรับเหตุการณ์ทั่วไปAและBไตรเหตุการณ์A → Bเกิดขึ้นเมื่อAและBเกิดขึ้นทั้งคู่ ไม่เกิดขึ้นเมื่อAเกิดขึ้นแต่Bไม่เกิดขึ้น และไม่สามารถตัดสินได้เมื่อAไม่เกิดขึ้น (คำว่า “ไตรเหตุการณ์” มาจากde Finetti (1935): triévénement ) เหตุการณ์ทั่วไปซึ่งไม่เคยไม่สามารถตัดสินได้ จะถูกรวมเข้าในพีชคณิตเป็นไตรเหตุการณ์แบบมีเงื่อนไขบน Ω ซึ่งเป็นเหตุการณ์ว่างเปล่าที่แสดงโดย ปริภูมิ ผลลัพธ์ ทั้งหมดดังนั้นAจึง กลายเป็น Ω → A

เนื่องจากมีตรรกะสามค่าอยู่มากมาย จึงมีพีชคณิตสามเหตุการณ์ที่เป็นไปได้มากมาย อย่างไรก็ตาม มีสองประเภทที่ได้รับความสนใจมากกว่าประเภทอื่นๆ ในประเภทหนึ่งA ∧ BและA ∨ Bจะยังไม่ตัดสินใจก็ต่อเมื่อทั้งAและBยังไม่ตัดสินใจเท่านั้น เมื่อมีเพียงตัวใดตัวหนึ่งยังไม่ตัดสินใจ การเชื่อมโยงหรือการแยกจะตามการเชื่อมโยงหรือการแยกอีกตัวหนึ่ง เมื่อการปฏิเสธได้รับการจัดการในลักษณะที่ชัดเจน โดยที่ ¬ Aยังไม่ตัดสินใจก็ ต่อเมื่อ A ยังไม่ตัดสินใจ พีชคณิตสามเหตุการณ์ประเภทนี้จะสอดคล้องกับตรรกะสามค่าที่เสนอโดย Sobociński (1920) และได้รับการสนับสนุนโดย Belnap (1973) และยังบ่งบอกเป็นนัยโดย “การเชื่อมโยงเสมือน” ของ Adams (1975) สำหรับเงื่อนไข Schay (1968) เป็นคนแรกที่เสนอการจัดการทางพีชคณิต ซึ่ง Calabrese (1987) ได้พัฒนาอย่างเหมาะสมยิ่งขึ้น^{[ 2 ]}

CEA แบบสามเหตุการณ์อีกประเภทหนึ่งจะพิจารณาการปฏิเสธในลักษณะเดียวกับประเภทแรก แต่จะพิจารณาการเชื่อมโยงและการแยกออกเป็นฟังก์ชันค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดตามลำดับ โดยที่การเกิดขึ้นเป็นค่าสูงสุด ความล้มเหลวเป็นค่าต่ำสุด และความไม่แน่นอนอยู่ระหว่างกลาง พีชคณิตแบบสามเหตุการณ์ประเภทนี้สอดคล้องกับตรรกะสามค่าที่เสนอโดย Łukasiewicz (1920) และได้รับการสนับสนุนโดย de Finetti (1935) ในที่สุด Goodman, Nguyen และ Walker (1991) ก็ได้ให้สูตรทางพีชคณิต

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สามอย่างใดๆ ถูกกำหนดให้เป็นความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นั้นเกิดขึ้นหารด้วยความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นั้นเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น^{[ 3 ]}ด้วยข้อตกลงนี้ เงื่อนไข 2 และ 3 ข้างต้นเป็นไปตามประเภท CEA สามเหตุการณ์ชั้นนำสองประเภท อย่างไรก็ตาม เงื่อนไข 1 ไม่เป็นไปตามที่กำหนด ในพีชคณิตประเภท Sobociński ∧ ไม่กระจายเหนือ ∨ ดังนั้นP ( A ∧ ( B ∨ C )) และP (( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C )) ไม่จำเป็นต้องเท่ากัน^{[ 4 ]}ในพีชคณิตประเภท Łukasiewicz ∧ กระจายเหนือ ∨ แต่ไม่กระจายเหนือexclusive or ( A B = ( A ∧ ¬ B ) ∨ (¬ A ∧ B )) ^{[ 5 ]}นอกจากนี้ CEA สามเหตุการณ์ไม่ใช่แลตทิซที่เติมเต็มแต่เป็นเพียง แลตทิซ ที่เติมเต็มแบบเทียม เท่านั้น เพราะโดยทั่วไป ( A → B ) ∧ ¬( A → B ) ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ แต่สามารถถูกตัดสินไม่ได้ ดังนั้นจึงไม่เหมือนกับ Ω → ∅ ซึ่งเป็นองค์ประกอบล่างสุดของแลตทิซ ซึ่งหมายความว่าP ( C ) และP ( C (( A → B ) ∧ ¬( A → B ))) อาจแตกต่างกัน ในขณะที่ในทางคลาสสิกจะไม่เป็นเช่นนั้น ${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \oplus }$

ถ้าP (ถ้าAแล้วB ) ถูกมองว่าเป็นความน่าจะเป็นที่AและBจะเกิดขึ้นก่อนAและไม่ใช่Bในชุดของการทดลอง ความน่าจะเป็นนี้สามารถคำนวณได้จากผลรวมอนันต์ของความน่าจะเป็นแบบง่ายๆ ได้แก่ ความน่าจะเป็นของAและBในการทดลองครั้งแรก บวกกับความน่าจะเป็นที่ไม่ใช่A (และBหรือไม่ใช่B ) ในการทดลองครั้งแรก และAและBในการทดลองครั้งที่สอง บวกกับความน่าจะเป็นที่ไม่ใช่A ในสองการทดลองแรก และAและBในการทดลองครั้งที่สาม และอื่นๆ ต่อไปเรื่อยๆ นั่นคือP ( A ∧ B ) + P ( ¬ A ) P ( A ∧ B ) + P ( ¬ A ) ² P ( A ∧ B ) + ... หรือในรูปแบบแยกตัวประกอบP ( A ∧ B )[1 + P (¬ A ) + P (¬ A ) ² + ...] เนื่องจากปัจจัยที่สองคือการขยายอนุกรมแมคลาลินของ 1 / [1 – P ( ¬A )] = 1 / P ( A ) ผลรวมอนันต์จึงเท่ากับP ( A ∧ B ) / P ( A ) = P ( B | A )

ผลรวมอนันต์นั้นเป็นความน่าจะเป็นแบบง่าย แต่ปริภูมิของตัวอย่างในที่นี้ไม่ได้ประกอบด้วยผลลัพธ์ปกติของการทดลองแต่ละครั้ง แต่เป็นลำดับอนันต์ของผลลัพธ์ปกติ ดังนั้น ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขP ( B | A ) จึงเปลี่ยนเป็นความน่าจะเป็นแบบง่ายP ( B → A ) โดยการแทนที่ Ω ซึ่งเป็นปริภูมิของตัวอย่างของผลลัพธ์ปกติทั้งหมด ด้วย Ω* ซึ่งเป็นปริภูมิของตัวอย่างของลำดับผลลัพธ์ปกติทั้งหมด และโดยการระบุเหตุการณ์แบบมีเงื่อนไขA → Bกับเซตของลำดับที่ผลลัพธ์ ( A ∧ B ) แรกเกิดขึ้นก่อนผลลัพธ์ ( A ∧ ¬ B ) แรก ใน สัญกรณ์ ผลคูณคาร์ทีเซียน Ω* = Ω × Ω × Ω × ... และA → Bคือการรวมกันแบบอนันต์ [( A ∩ B ) × Ω × Ω × ...] ∪ [ A ′ × ( A ∩ B ) × Ω × Ω × ...] ∪ [ A ′ × A ′ × ( A ∩ B ) × Ω × Ω × ...] ∪ .... เหตุการณ์A ที่ไม่มีเงื่อนไข จะถูกแทนด้วยเหตุการณ์ที่มีเงื่อนไข Ω → Aอีก ครั้ง ^{[ 6 ]}แตกต่างจาก CEA แบบสามเหตุการณ์ CEA ประเภทนี้สนับสนุนการระบุ ∧, ∨ และ ¬ ด้วยการดำเนินการที่คุ้นเคย ∩, ∪ และ ′ ไม่เพียงแต่สำหรับเหตุการณ์ทั่วไปที่ไม่มีเงื่อนไขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเหตุการณ์ที่มีเงื่อนไขด้วย เนื่องจาก Ω* เป็นปริภูมิที่นิยามโดยผลคูณคาร์ทีเซียนที่มีความยาวอนันต์ พีชคณิตบูลีนของเซตย่อยเหตุการณ์แบบมีเงื่อนไขของ Ω* จึงเรียกว่า CEA ปริภูมิผลคูณ CEA ประเภทนี้ได้รับการแนะนำโดย van Fraassen (1976) เพื่อตอบสนองต่อผลลัพธ์ของ Lewis และต่อมาได้รับการค้นพบโดยอิสระโดย Goodman และ Nguyen (1994)

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับ CEA ในพื้นที่ผลิตภัณฑ์เป็นไปตามเงื่อนไข 1 และ 2 ข้างต้น อย่างไรก็ตาม เมื่อกำหนดฟังก์ชันความน่า จะเป็น Pที่ตรงตามเงื่อนไข 1 และ 2 แล้ว ถ้าP ( A ) > 0 จะสามารถแสดงได้ว่าPA ₍ C | B ) = P ( C | A ∧ B ) และPA ( B → C ) = _P ( B ∧ C | A ) + P ( B ′ | A ) P ( C | B ) ^{[ 7 ]}ถ้าA , BและCเข้ากันได้เป็นคู่ๆ แต่P ( A ∧ B ∧ C ) = 0 แล้วP ( C | A ∧ B ) = P ( B ∧ C | A ) = 0 แต่P ( B ′ | A ) P ( C | B ) > 0 ดังนั้นPA ₍ B → C ) จึงไม่เท่ากับ PA(C | B) อย่างน่าเชื่อถือเนื่องจาก PA ไม่ตรงตามเงื่อนไข2ดังนั้นP _จึงไม่ตรง_ตามเงื่อนไข 3

แล้วโครงสร้างเงื่อนไขแบบซ้อนกันล่ะ? ใน CEA แบบสามเหตุการณ์ โครงสร้างแบบซ้อนกันทางขวาจะได้รับการจัดการโดยอัตโนมัติมากหรือน้อย เนื่องจากเป็นเรื่องปกติที่จะกล่าวว่าA → ( B → C ) มีค่าเท่ากับB → C (อาจยังไม่แน่นอน) เมื่อAเป็นจริง และยังไม่แน่นอนเมื่อAเป็นเท็จ อย่างไรก็ตาม การซ้อนกันทางซ้ายนั้นต้องการการเลือกที่รอบคอบมากขึ้น: เมื่อA → Bยังไม่แน่นอน ( A → B ) → Cควรจะยังไม่แน่นอนด้วยหรือไม่ หรือควรจะมีค่าเท่ากับC ? ความคิดเห็นแตกต่างกันไป Calabrese ยึดถือมุมมองหลัง โดยระบุ ( A → B ) → ( C → D ) ว่าเป็น ((¬ A ∨ B ) ∧ C ) → D ^{[ 8 ]}

ด้วย CEA ในพื้นที่ผลิตภัณฑ์ เงื่อนไขแบบซ้อนกันต้องใช้การสร้างลำดับแบบซ้อนกัน: การประเมินP (( A → B ) → ( C → D )) ต้องใช้พื้นที่ตัวอย่างของลำดับเมตาของลำดับผลลัพธ์ปกติ ความน่าจะเป็นของลำดับปกติจะคำนวณเหมือนเดิม เมื่อกำหนดชุดการทดลองที่ผลลัพธ์เป็นลำดับของผลลัพธ์ปกติP (( A → B ) → ( C → D )) คือP ( C → D | A → B ) = P (( A → B ) ∧ ( C → D )) / P ( A → B ) ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นที่ลำดับ (( A → B ) ∧ ( C → B )) จะถูกพบก่อนลำดับ (( A → B ) ∧ ¬( C → B )) การวนซ้ำลำดับที่สูงกว่าของเงื่อนไขต้องใช้การสร้างลำดับเมตาที่สูงกว่า^{[ 9 ]}

ใน CEA แบบไตรเหตุการณ์สองประเภทหลักA ^→ ( B → C ) = ( A ∧ B ) → C ^{[ 10} ] ในทางกลับกัน CEA ในพื้นที่ผลิตภัณฑ์ไม่สนับสนุนเอกลักษณ์นี้ ข้อเท็จจริงหลังนี้สามารถอนุมานได้จากความล้มเหลวที่ได้กล่าวไว้แล้วว่าP _A ( B → C ) ไม่เท่ากับP _A ( C | B ) เนื่องจากP _A ( C | B ) = P (( A ∧ B ) → C ) และP _A ( B → C ) = P ( A → ( B → C )) อย่างไรก็ตาม สำหรับการวิเคราะห์โดยตรง ให้พิจารณาลำดับเมตาที่มีลำดับสมาชิกแรกเริ่มต้นด้วยผลลัพธ์ ( A ∧ ¬ B ∧ C ) ตามด้วยผลลัพธ์ (¬ A ∧ B ∧ C ) ตามด้วยผลลัพธ์ ( A ∧ B ∧ ¬ C ) ลำดับเมตาซีเควนซ์นั้นจะอยู่ในเหตุการณ์A → ( B → C ) เพราะลำดับสมาชิกแรกเป็นลำดับ ( A ∧ ( B → C )) แต่ลำดับเมตาซีเควนซ์นั้นจะไม่อยู่ในเหตุการณ์ ( A ∧ B ) → Cเพราะลำดับสมาชิกแรกเป็นลำดับ (( A ∧ B ) → ¬ C )

แรงผลักดันเริ่มต้นสำหรับ CEA นั้นเป็นเชิงทฤษฎี กล่าวคือ ความท้าทายในการตอบสนองต่อผลลัพธ์ความไม่สำคัญของ Lewisแต่ก็มีการเสนอการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติแล้ว ตัวอย่างเช่น หากเหตุการณ์AและCเกี่ยวข้องกับสัญญาณที่ปล่อยออกมาจาก สถานี เรดาร์ ทางทหาร และเหตุการณ์BและDเกี่ยวข้องกับ การยิง ขีปนาวุธกองกำลังทหารฝ่ายตรงข้ามที่มี ระบบ ป้องกันขีปนาวุธ อัตโนมัติ อาจต้องการให้ระบบสามารถคำนวณP (( A → B ) ∧ ( C → D )) และ/หรือP (( A → B ) → ( C → D )) ได้^{[ 11 ]}การประยุกต์ใช้อื่นๆ มีตั้งแต่การตีความภาพ^{[ 12 ]}ไปจนถึงการตรวจจับการโจมตีแบบปฏิเสธการให้บริการบนเครือข่ายคอมพิวเตอร์^{[ 13 ]}