ในทฤษฎีจำนวนคอนกรุม (พหูพจน์คอนกรุอา ) คือผลต่างระหว่างจำนวนกำลังสอง ที่อยู่ติดกัน ในลำดับเลขคณิตของจำนวนกำลังสองสามตัวปัญหาคอนกรุมคือปัญหาของการหาจำนวนกำลังสองในลำดับเลขคณิตและคอนกรุอาที่เกี่ยวข้อง สามารถเขียนในรูปสมการไดโอแฟนไทน์ได้

ฟิโบนาชชีแก้ปัญหาคอนกรุม (congruum problem) โดยการค้นหาสูตรพารามิเตอร์สำหรับการสร้างคอนกรุมทั้งหมด พร้อมกับลำดับเลขคณิตที่เกี่ยวข้อง ตามสูตรนี้ คอนกรุมแต่ละตัวจะมีพื้นที่เป็นสี่เท่าของพื้นที่สามเหลี่ยมพีทาโก รัส ซึ่งเป็น สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเป็นจำนวนเต็มคอนกรุมยังมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับจำนวนที่เท่ากันทุกประการ (congruent numbers ) ซึ่งเป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเป็นจำนวนตรรกยะคอนกรุมทุกตัวเป็นจำนวนที่เท่ากันทุกประการ และจำนวนที่เท่ากันทุกตัวเป็นคอนกรุมคูณด้วยกำลังสองของจำนวนตรรกยะ

ฟิโบนาชชีอ้างโดยไม่มีหลักฐาน ว่า เป็นไปไม่ได้ที่จำนวนคอนกรุมจะเป็นจำนวนกำลังสอง ต่อมา ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ได้พิสูจน์เรื่องนี้ด้วยทฤษฎีบทสามเหลี่ยมมุมฉากของแฟร์มาต์

คอนกรุมถูกนิยามให้เป็นจำนวนใดๆ ที่สามารถเป็นผลต่างระหว่างจำนวนกำลังสองที่ต่อเนื่องกันในลำดับเลขคณิตของจำนวนกำลังสองสามจำนวน นั่นคือ ถ้า, , และ(สำหรับจำนวนเต็ม, , และ) เป็นจำนวนกำลังสองสามจำนวนที่อยู่ห่างกันอย่างเท่าๆ กัน ระยะห่างระหว่างจำนวนเหล่านั้นเรียกว่า คอนกรุม^{[ 1 ]}${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle y^{2}}$${\displaystyle z^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle y^{2}-x^{2}=z^{2}-y^{2}}$

ปัญหาคอนกรุมคือปัญหาของการหากำลังสองในลำดับเลขคณิตและคอนกรุมที่เกี่ยวข้อง^{[ 1 ]}สามารถกำหนดเป็นสมการไดโอแฟนไทน์ได้ : หาจำนวนเต็ม, , และที่ทำให้ เมื่อสมการนี้เป็นจริง ทั้งสองข้างของสมการจะเท่ากับคอนกรุม^{[ 2 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle y^{2}-x^{2}=z^{2}-y^{2}.}$

ตัวอย่างเช่น เลข 96 เป็นจำนวนคองกรุม (congruum) เพราะเป็นผลต่างระหว่างกำลังสองที่อยู่ติดกันในลำดับ 4, 100 และ 196 (ซึ่งเป็นกำลังสองของ 2, 10 และ 14 ตามลำดับ)

กลุ่มคอนกรูอากลุ่มแรกๆ ได้แก่:

ปัญหา congruum ได้รับการศึกษาและแก้ไขครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิสลามในศตวรรษที่ 10 โดยเฉพาะอย่างยิ่งAbū Ja'far al- Khāzin ^{[ 3 ] [ 4 ]}

ในปี ค.ศ. 1225 ปัญหา congruum เป็นส่วนหนึ่งของการแข่งขันทางคณิตศาสตร์ที่จัดขึ้นโดยFrederick II จักรพรรดิโรมันอันศักดิ์สิทธิ์และFibonacci เป็นผู้ตอบได้อย่างถูกต้องในเวลานั้น โดยบันทึกผลงานของเขาเกี่ยวกับปัญหานี้ไว้ใน หนังสือ Book of Squares ^{[ 5 ]}โดยไม่ได้ให้เครดิตแก่ al-Khāzin

ฟิโบนาชชีทราบอยู่แล้วว่าเป็นไปไม่ได้ที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ด้วยตัวเอง แต่ไม่ได้ให้การพิสูจน์ที่น่าพอใจสำหรับข้อเท็จจริงนี้^{[ 6 ]}ในทางเรขาคณิตหมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่ด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนจะเป็นด้านประกอบมุมฉากและด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนอีกรูปหนึ่ง ในที่สุดปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ ก็ได้ให้การพิสูจน์ และผลลัพธ์นี้ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทสามเหลี่ยมมุมฉากของแฟร์มาต์ แฟร์มาต์ยังตั้งข้อสันนิษฐานและเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้พิสูจน์ว่าไม่มีลำดับของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่รูปในลำดับเลขคณิต^{[ 2 ] [ 7 ]}

ปัญหาคอนกรุมอาจแก้ไขได้โดยการเลือกจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันสองจำนวนและ(โดยที่); จากนั้นจำนวนนั้น จะ เป็นคอนกรุม กำลังสองตรงกลางของลำดับเลขคณิตของกำลังสองที่เกี่ยวข้องคือและกำลังสองอีกสองค่าสามารถหาได้โดยการบวกหรือลบคอนกรุม นอกจากนี้ การคูณคอนกรุมด้วยจำนวนกำลังสองจะสร้างคอนกรุมอีกอันหนึ่ง ซึ่งลำดับกำลังสองของคอนกรุมนั้นจะถูกคูณด้วยตัวประกอบเดียวกัน วิธีแก้ปัญหาทั้งหมดเกิดขึ้นจากหนึ่งในสองวิธีนี้^{[ 1 ]}ตัวอย่างเช่น คอนกรุม 96 สามารถสร้างได้โดยใช้สูตรเหล่านี้โดยที่และในขณะที่คอนกรุม 216 ได้มาจากการคูณคอนกรุมที่เล็กกว่า 24 ด้วยจำนวนกำลังสอง 9 ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m>n}$${\displaystyle 4mn(m^{2}-n^{2})}$${\displaystyle (m^{2}+n^{2})^{2}}$${\displaystyle m=3}$${\displaystyle n=1}$

สูตรที่เทียบเท่ากันของวิธีแก้ปัญหานี้ ซึ่งให้โดยBernard Frénicle de Bessyคือ สำหรับกำลังสองสามตัวในลำดับเลขคณิต, , และตัวเลขตรงกลางคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนและตัวเลขอีกสองตัวคือ และคือผลต่างและผลรวมของด้านประกอบมุมฉากทั้งสองของสามเหลี่ยมตามลำดับ^{[ 8 ]}ค่า congruum เองนั้นมีค่าเป็นสี่เท่าของพื้นที่ของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนเดียวกัน ตัวอย่างของลำดับเลขคณิตที่มีค่า congruum 96 สามารถหาได้ด้วยวิธีนี้จากสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวด้านและด้านตรงข้ามมุมฉาก 6, 8 และ 10 ${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle y^{2}}$${\displaystyle z^{2}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$

จำนวนที่เท่ากันทุกประการถูกกำหนดให้เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจากจำนวนที่เท่ากันทุกประการทุกจำนวนสามารถหาได้ (โดยใช้วิธีแก้ปัญหาแบบพารามิเตอร์) เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน ดังนั้นจำนวนที่เท่ากันทุกจำนวนจึงเป็นจำนวนที่เท่ากันทุกประการ จำนวนที่เท่ากันทุกประการทุกจำนวนคือจำนวนที่เท่ากันทุกประการคูณด้วยกำลังสองของจำนวนตรรกยะ^{[ 9 ]}อย่างไรก็ตาม การทดสอบว่าจำนวนใดเป็นจำนวนที่เท่ากันทุกประการนั้นง่ายกว่าการทดสอบว่าจำนวนใดเป็นจำนวนที่เท่ากันทุกประการมาก สำหรับปัญหาจำนวนที่เท่ากันทุกประการ วิธีแก้ปัญหาแบบพารามิเตอร์ช่วยลดปัญหาการทดสอบนี้ลงเหลือเพียงการตรวจสอบชุดค่าพารามิเตอร์ที่จำกัด เนื่องจากพารามิเตอร์ทั้งสองและต้องหารจำนวนที่กำหนดได้ ในทางตรงกันข้าม สำหรับปัญหาจำนวนที่เท่ากันทุกประการ ขั้นตอนการทดสอบที่จำกัดนั้นเป็นที่รู้จักเพียงในเชิงการคาดเดาเท่านั้น ผ่านทฤษฎีบทของ Tunnellภายใต้สมมติฐานว่าข้อสันนิษฐานของ Birch และ Swinnerton-Dyerเป็นจริง^{[ 10 ]}${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

• ทฤษฎีบทสามเหลี่ยมมุมฉากของแฟร์มาต์
• สามเหลี่ยมออโตมีเดียนคือ สามเหลี่ยมที่ผลรวมกำลังสองของด้านทั้งสามด้านเรียงลำดับเป็นลำดับเลขคณิต
• เกลียวของธีโอดอรัสเกิดจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน (ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม) ซึ่งเมื่อยกกำลังสองแล้วจะได้ลำดับเลขคณิตอนันต์

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. , "ปัญหา Congruum" , แมทเวิลด์