ชุดตัวเลขพีทาโกเรียนประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก สามจำนวน ^คือ a , bและcโดยที่a² + b² = ^c²โดยทั่วไปจะเขียนชุดตัวเลขนี้ว่า⁽ a , b , c )ตัวอย่างที่รู้จักกันดีคือ(3, 4, 5)ถ้า( a , b , c )เป็นชุดตัวเลขพีทาโกเรียนแล้ว( ka , kb , kc ) ก็เป็นชุดตัวเลข พี ทาโก เรียนเช่นกัน สำหรับจำนวนเต็มบวกk ใดๆ รูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็นชุดตัวเลขพีทาโกเรียนเรียก ว่า รูป สามเหลี่ยมมุมฉาก

สามจำนวน พีทาโกเรียนดั้งเดิมคือสามจำนวนที่a , bและcเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (นั่นคือ ไม่มีตัวหารร่วมที่มากกว่า 1) ^{[ 1 ]}ตัวอย่างเช่น(3, 4, 5)เป็นสามจำนวนพีทาโกเรียนดั้งเดิม ในขณะที่(6, 8, 10)ไม่ใช่ สามจำนวนพีทาโกเรียนทุกชุดสามารถปรับขนาดให้เป็นสามจำนวนพีทาโกเรียนดั้งเดิมที่ไม่ซ้ำกันได้โดยการหาร( a , b , c )ด้วยตัวหารร่วมมากที่สุดในทางกลับกัน สามจำนวนพีทาโกเรียนทุกชุดสามารถได้มาจากการคูณองค์ประกอบของสามจำนวนพีทาโกเรียนดั้งเดิมด้วยจำนวนเต็มบวก (เหมือนกันสำหรับองค์ประกอบทั้งสาม)

ชื่อนี้มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งกล่าวว่าสามเหลี่ยมมุมฉากทุกรูปจะมีด้านยาวที่สอดคล้องกับสูตรดังนั้น ชุดตัวเลขพีทาโกรัสจึงหมายถึงด้านยาวที่เป็นจำนวนเต็มทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก อย่างไรก็ตาม สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านยาวไม่เป็นจำนวนเต็มจะไม่เป็นชุดตัวเลขพีทาโกรัส ตัวอย่างเช่นสามเหลี่ยม ที่มีด้านยาวและเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่ไม่ใช่ชุดตัวเลขพีทาโกรัส เพราะรากที่สองของ 2ไม่ใช่จำนวนเต็ม ยิ่งไปกว่านั้นและไม่มีตัวคูณร่วมที่เป็นจำนวนเต็ม เพราะเป็นจำนวนอตรรกยะ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$${\displaystyle a=b=1}$${\displaystyle c={\sqrt {2}}}$${\displaystyle (1,1,{\sqrt {2}})}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

สามเท่าของพีทาโกเรียนเป็นที่รู้จักมาตั้งแต่สมัยโบราณ บันทึกที่เก่าแก่ที่สุดที่รู้จักมาจากPlimpton 322ซึ่งเป็นแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนจากราว 1800 ปีก่อนคริสตกาล เขียนด้วยระบบเลขฐานหกสิบ^{[ 2 ]}

เมื่อค้นหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มสมการa² + b² = ^c²คือสมการไดโอแฟนไทน์^{ดังนั้น}ชุดตัวเลขพีทาโกเรียนจึงเป็นหนึ่งในคำตอบที่เก่าแก่ที่สุดที่รู้จักกันของ^สมการไดโอแฟนไทน์ แบบไม่เชิงเส้น

มีชุดตัวเลขพีทาโกเรียนดั้งเดิม 16 ชุด ที่มีจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 100:

สามตัวเลขพีทาโกเรียนขนาดเล็กอื่นๆ เช่น (6, 8, 10) ไม่ได้ถูกระบุไว้ เนื่องจากไม่ใช่จำนวนดั้งเดิม ตัวอย่างเช่น (6, 8, 10) เป็นพหุคูณของ (3, 4, 5)

จุดแต่ละจุดเหล่านี้ (รวมถึงจุดทวีคูณของมัน) จะก่อให้เกิดเส้นแผ่รัศมีในแผนภาพกระจายทางด้านขวา

ต่อไปนี้คือชุดตัวเลขพีทาโกเรียนดั้งเดิมที่เหลืออยู่ ซึ่งมีค่าไม่เกิน 300:

สูตรของยูคลิด^{[ 3 ]}เป็นสูตรพื้นฐานสำหรับการสร้างสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนโดยกำหนดคู่จำนวนเต็มmและn ใด ๆ โดยที่m > n > 0สูตรนี้ระบุว่าจำนวนเต็ม

$${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}$$

สร้างสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็ม

$${\displaystyle m=2,\ \,n=1}$$

สร้างทริปเปิลดั้งเดิม (3, 4, 5):

$${\displaystyle a=2^{2}-1^{2}=3,\ \,b=2\times 2\times 1=4,\ \,c=2^{2}+1^{2}=5.}$$

สามจำนวนที่สร้างขึ้นโดยสูตรของยูคลิด จะเป็นสามจำนวนดั้งเดิมก็ต่อเมื่อ mและnเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์และมีเพียงหนึ่งในสามจำนวนนั้นที่เป็นจำนวนคู่ เมื่อทั้งmและnเป็นจำนวนคี่a , bและcจะเป็นจำนวนคู่ และสามจำนวนนั้นจะไม่ใช่สามจำนวนดั้งเดิม อย่างไรก็ตาม การหารa , bและcด้วย 2 จะให้สามจำนวนดั้งเดิมเมื่อmและnเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์^{[ 4 ]}

สามจำนวนดั้งเดิมทุกชุดเกิดขึ้น (หลังจากการสลับaและbถ้าaเป็นจำนวนคู่) จากคู่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์mและnที่ไม่ซ้ำกัน โดยที่จำนวนหนึ่งเป็นจำนวนคู่ ดังนั้นจึงมีสามจำนวนดั้งเดิมแบบพีทาโกเรียนอยู่เป็นอนันต์ ความสัมพันธ์ของa , bและcกับmและnจากสูตรของยูคลิดนี้จะถูกอ้างอิงตลอดบทความนี้

แม้ว่าสูตรของยูคลิดจะสร้างสามตัวเลขพื้นฐานทั้งหมดได้ แต่ก็ไม่ได้สร้างสามตัวเลขทั้งหมด ตัวอย่างเช่น (9, 12, 15) ไม่สามารถสร้างได้โดยใช้จำนวนเต็มmและnปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยการเพิ่มพารามิเตอร์kเข้าไปในสูตร: สามตัวเลขพีทาโกเรียนทุกตัวถูกสร้างขึ้นอย่างไม่ซ้ำกันโดย k

$${\displaystyle a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\ \,b=k\cdot (2mn),\ \,c=k\cdot (m^{2}+n^{2})}$$

โดยที่m , nและkเป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่m > nและmกับnเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์และไม่ใช่จำนวนคี่ทั้งคู่

That these formulas generate Pythagorean triples can be verified by expanding a² + b² using elementary algebra and verifying that the result equals c². Since every Pythagorean triple can be divided through by some integer k to obtain a primitive triple, every triple can be generated uniquely by using the formula with m and n to generate its primitive counterpart and then multiplying through by k as in the last equation.

Choosing m and n from certain integer sequences gives interesting results. For example, if m and n are consecutive Pell numbers, a and b will differ by 1.^[5]

Many formulas for generating triples with particular properties have been developed since the time of Euclid.

That satisfaction of Euclid's formula by a, b, c is sufficient for the triangle to be Pythagorean is apparent from the fact that for positive integers m and n, m > n, the a, b, and c given by the formula are all positive integers, and from the fact that

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=c^{2}.}$$

การพิสูจน์ความจำเป็นที่a, b, cจะต้องแสดงด้วยสูตรของยูคลิดสำหรับสามจำนวนพีทาโกเรียนดั้งเดิมใดๆ มีดังนี้^{[ 6 ]}สามจำนวนดั้งเดิมทั้งหมดสามารถเขียนได้เป็น( a , b , c )โดยที่a ² + b ² = c ²และa , b , cเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ดังนั้นa , b , cเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเป็นคู่ๆ (ถ้าจำนวนเฉพาะหารสองตัวในนั้นลงตัว ก็จะต้องหารตัวที่สามลงตัวด้วย) เนื่องจากaและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน อย่างน้อยหนึ่งตัวจะเป็นจำนวนคี่ ถ้าเราสมมติว่าaเป็นจำนวนคี่ ดังนั้นbจะเป็นจำนวนคู่และcจะเป็นจำนวนคี่ (ถ้าทั้งaและbเป็นจำนวน คี่ c จะ เป็นจำนวนคู่ และc ²จะเป็นพหุคูณของ 4 ในขณะที่a ² + b ²จะสมมูลกับ 2 มอดูล 4เนื่องจากกำลังสองคี่สมมูลกับ 1 มอดูล 4)

จากการสมมติว่าaเป็นจำนวนคี่ เราจะได้และดังนั้น จากนั้นเนื่องจากเป็นจำนวนตรรกยะ เราจึงกำหนดให้เท่ากับในรูปอย่างง่ายที่สุด ดังนั้น จึงเป็นส่วนกลับของ จากนั้นแก้สมการ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}}$${\displaystyle (ca)(c+a)=b^{2}.}$${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}={\tfrac {b}{(ca)}}.}$${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}}$${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$${\displaystyle {\tfrac {(ca)}{b}}={\tfrac {n}{m}},}$${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}.}$

$${\displaystyle {\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\quad \quad {\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}}$$

เพื่อและให้ ${\displaystyle {\tfrac {c}{b}}}$${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$

$${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}+{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn}},\quad \quad {\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}-{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.}$$

เนื่องจากเศษส่วน a ลดรูปสมบูรณ์แล้วmและnจึงเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ และไม่สามารถเป็นจำนวนคู่ทั้งคู่ได้ ถ้าเป็นจำนวนคี่ทั้งคู่ ตัวเศษของเศษส่วน a จะเป็นพหุคูณของ 4 (เพราะกำลังสองของจำนวนคี่จะสมมูลกับ 1 มอดูล 4) และตัวส่วน 2mn จะไม่เป็นพหุคูณของ 4 เนื่องจาก 4 จะเป็นตัวประกอบคู่ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ในตัวเศษ และ 2 จะเป็นตัวประกอบคู่ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ในตัวส่วน ดังนั้นจึงหมายความว่าa จะ เป็นจำนวนคู่ถึงแม้จะกำหนดให้เป็นจำนวนคี่ก็ตาม ดังนั้นmหรือn ตัวใดตัว หนึ่งเป็นจำนวนคี่และอีกตัวหนึ่งเป็นจำนวนคู่ และตัวเศษของเศษส่วนทั้งสองที่มีตัวส่วน 2mn เป็นจำนวนคี่ ดังนั้นเศษส่วนเหล่านี้จึงลดรูปสมบูรณ์แล้ว (จำนวนเฉพาะคี่ที่หารตัวส่วนนี้จะหารmหรือn ตัวใดตัวหนึ่ง ^{ได้ แต่ หาร อีกตัวหนึ่งไม่ได้ ดังนั้นจึงหาร} m² ± n²ไม่ลงตัว) ด้วยวิธีนี้ เราอาจเทียบตัวเศษกับตัวเศษ และตัวส่วนกับตัวส่วน ทำให้ได้สูตรของยูคลิด โดยที่mและnเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์และมีคู่ตรงข้ามกัน ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$${\displaystyle {\tfrac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}}$$${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}$$

บทพิสูจน์ที่ยาวกว่าแต่พบได้ทั่วไปมีอยู่ใน Maor (2007) ^{[ 7 ]}และ Sierpiński (2003) ^{[ 8 ]}บทพิสูจน์อีกบทหนึ่งมีอยู่ในสมการไดโอแฟนไทน์ § ตัวอย่างของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนเป็นตัวอย่างของวิธีการทั่วไปที่ใช้กับสมการไดโอแฟนไทน์เอก พันธุ์ทุก สมการ ที่มีดีกรีสอง

สมมติว่าด้านของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนมีความยาวm ² − n ² , 2 mnและm ² + n ²และสมมติว่ามุมระหว่างด้านประกอบมุมฉากที่มีความยาวm ² − n ²และด้านตรงข้ามมุมฉาก ที่ ^มีความยาวm ² + n ²ถูกกำหนดให้เป็นβดังนั้นและค่าตรีโกณมิติของมุมเต็มคือ, , และ⁠ ⁠ [ ^{9 ]}${\displaystyle \tan {\tfrac {\beta }{2}}={\tfrac {n}{m}}}$${\displaystyle \sin {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}+n^{2}}}}$${\displaystyle \cos {\beta }={\tfrac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}}$${\displaystyle \tan {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}}$

สูตรของยูคลิดในรูปแบบต่อไปนี้บางครั้งสะดวกกว่า เนื่องจากมีความสมมาตรมากกว่าในmและn (เงื่อนไขความเท่าเทียมกันของmและn เหมือนกัน )

ถ้าmและnเป็นจำนวนเต็มคี่สองจำนวน โดยที่m > nแล้ว a และ b คือจำนวนเต็มสามจำนวนที่ประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมพีทาโกรัส ซึ่งเรียกว่าสามเหลี่ยมพีทาโกรัสแบบดั้งเดิมก็ต่อเมื่อmและnเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ในทางกลับกัน สามเหลี่ยมพีทาโกรัสแบบดั้งเดิมทุกชุดเกิดขึ้น (หลังจากการสลับaและbถ้าaเป็นจำนวนคู่) จากคู่จำนวนเต็มคี่ เฉพาะคู่ m > n > 0 ที่ไม่ซ้ำกัน$${\displaystyle a=mn,\quad b={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}}}$$

ในการนำเสนอข้างต้น กล่าวว่าสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนทั้งหมดได้มาอย่างไม่ซ้ำกันจากสูตรของยูคลิด "หลังจากการสลับaและbถ้าaเป็นจำนวนคู่" สูตรของยูคลิดและรูปแบบข้างต้นสามารถรวมเข้าด้วยกันได้ดังต่อไปนี้เพื่อหลีกเลี่ยงการสลับนี้ ซึ่งนำไปสู่ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้

สามตัวประกอบพีทาโกเรียนดั้งเดิมทุกตัวสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่ไม่ซ้ำกัน โดยที่mและnเป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวหารร่วมกัน และถ้าmและnเป็นจำนวนคี่ทั้งคู่ และ ถ้า a เป็นจำนวนคู่ ก็เขียนได้ ในรูปแบบที่ไม่ซ้ำกันเช่นกัน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือถ้าaเป็นจำนวนคี่ และถ้าaเป็นจำนวนคู่ $${\displaystyle a=2\varepsilon mn,\quad b=\varepsilon (m^{2}-n^{2}),\quad c=\varepsilon (m^{2}+n^{2}),}$$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \varepsilon =1}$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \varepsilon =1}$

คุณสมบัติของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิม( a , b , c )โดยที่a < b < c (โดยไม่ระบุว่าaหรือb ตัวใด เป็นเลขคู่และตัวใดเป็นเลขคี่) ได้แก่:

• ${\displaystyle {\tfrac {(ca)(cb)}{2}}}$เป็นกำลังสองสมบูรณ์เสมอ^{[ 10 ]}ในความเป็นจริงมันเท่ากับกำลังสองของรัศมีวงในของสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกี่ยวข้อง
• อย่างมากที่สุดหนึ่งอย่างในa , b , cจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส^{[ 11 ]}
• พื้นที่ของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนไม่สามารถเป็นกำลังสอง^{[ 12 ] : หน้า 17} หรือสองเท่าของกำลังสอง^{[ 12 ] : หน้า 21} ของจำนวนเต็มได้
• aหรือbจะต้องหารด้วย 2 ลงตัว (เป็นจำนวนคู่ ) และด้านตรงข้ามมุมฉากc จะต้องเป็นจำนวนคี่เสมอ^{[ 13 ]}
• มีเพียง aหรือbหนึ่งตัวเท่านั้นที่หารด้วย 3 ลงตัว แต่c ไม่เคย หาร ลงตัวเลย ^{[ 14 ] [ 8 ] : 23–25}
• มีเพียง aหรือbหนึ่งตัวเท่านั้นที่หารด้วย 4 ลงตัว^{[ 8 ]}แต่ไม่มีทางที่c จะหารด้วย 4 ลงตัว (เพราะcไม่เคยเป็นจำนวนคู่)
• มีเพียงหนึ่งในa , b , c เท่านั้น ที่หารด้วย 5 ลงตัว^{[ 8 ]}
• จำนวนที่มากที่สุดที่หารabc ลงตัวเสมอ คือ 60 ^{[ 15 ]}
• จำนวนคี่ใดๆ ที่อยู่ในรูป2 m +1โดยที่mเป็นจำนวนเต็มและm >1สามารถเป็นขาคี่ของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมได้ ดู ส่วน สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมแบบเกือบหน้าจั่วด้านล่าง อย่างไรก็ตาม เฉพาะจำนวนคู่ที่หารด้วย 4 ลงตัวเท่านั้นที่สามารถเป็นขาคู่ของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมได้ เนื่องจากสูตรของยูคลิดสำหรับขาคู่ที่ให้ไว้ข้างต้นคือ2 mnและmหรือn ตัวใดตัวหนึ่ง ต้องเป็นจำนวนคู่
• ด้านตรงข้ามมุมฉากc (ซึ่งเป็นจำนวนคี่เสมอ) คือผลรวมของกำลังสองสองจำนวน ซึ่งต้องใช้ตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะในรูปแบบ4n + 1 [ ^{16 ] ดังนั้น} c จึงอยู่ในรูปแบบ4n + 1ลำดับของจำนวนด้านตรงข้ามมุมฉากที่เป็นไปได้สำหรับสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมสามารถพบได้ที่ (ลำดับA008846ในOEIS )
• พื้นที่( K = ab /2)เป็นจำนวนที่สอดคล้องกัน^{[ 17 ]}ซึ่งหารด้วย 6 ลงตัว
• ในสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนทุกรูป รัศมีของวงกลมแนบในและรัศมีของวงกลมแนบนอก ทั้งสามวง จะเป็นจำนวนเต็มบวก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับสามเหลี่ยมดั้งเดิม รัศมีของวงกลมแนบในคือr = n ( m − n )และรัศมีของวงกลมแนบนอกที่อยู่ตรงข้ามด้านm ² − n ² , 2mnและด้านตรงข้ามมุมฉากm ² + n ²คือm ( m − n ) , n ( m + n )และm ( m + n )ตาม ลำดับ ^{[ 18 ]}
• สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ทฤษฎีบทของทาเลสในส่วนกลับ^{กล่าว}ว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ เท่ากับ ^ด้าน ตรง ข้ามมุมฉาก ดังนั้นสำหรับสามเหลี่ยมดั้งเดิม เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบคือm² + n²และรัศมีของวงกลมล้อมรอบคือครึ่งหนึ่งของค่านี้ ดังนั้นจึงเป็นจำนวนตรรกยะแต่ไม่ใช่จำนวนเต็ม (เนื่องจากmและnมีคู่หรือคี่ที่ตรงข้ามกัน)
• เมื่อพื้นที่ของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนถูกคูณด้วยความโค้งของวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอก 3 วง ผลลัพธ์ที่ได้คือจำนวนเต็มบวก 4 จำนวน คือw > x > y > zตามลำดับ จำนวนเต็ม− w , x , y , zสอดคล้องกับสมการวงกลมของเดส์การ์ต [ ^{19 ] หรือ}กล่าวอีกนัยหนึ่ง รัศมีของวงกลมซอดดีด้านนอกของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ จะเท่ากับครึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมซอดดีด้านนอกอยู่ที่Dโดยที่ACBDเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าACBเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก และABเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก^{[ 19 ] : หน้า 6}
• มีเพียงสองด้านของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมเท่านั้นที่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้พร้อมกัน เนื่องจากตามสูตรของยูคลิดสำหรับการสร้างสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิม ด้านใดด้านหนึ่งจะต้องเป็นจำนวนประกอบและเป็นจำนวนคู่^{[ 20 ]}อย่างไรก็ตาม มีเพียงด้านเดียวเท่านั้นที่สามารถเป็นจำนวนเต็มของกำลังสมบูรณ์ได้เพราะหากสองด้านเป็นจำนวนเต็มของกำลังสมบูรณ์ที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันมันจะขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่าไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มสำหรับสมการไดโอแฟนไทน์โดยที่และเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเป็นคู่ๆ^{[ 21 ]}${\displaystyle p\geq 2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x^{2p}\pm y^{2p}=z^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$
• ไม่มีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนใดที่ด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งเป็นด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนอีกรูปหนึ่ง นี่เป็นรูปแบบหนึ่งที่เทียบเท่ากับทฤษฎีบทสามเหลี่ยมมุมฉากของแฟร์มาต์^{[ 12 ] : หน้า 14}
• สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมแต่ละรูปจะมีอัตราส่วนของพื้นที่Kต่อ กำลังสองของ ครึ่งเส้นรอบรูปsที่ไม่ซ้ำกันและกำหนดโดย^{[ 22 ]}

${\displaystyle {\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(mn)}{m(m+n)}}=1-{\frac {c}{s}}.}$

• ไม่มีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมใดที่มีความสูงเป็นจำนวนเต็มจากด้านตรงข้ามมุมฉาก กล่าวคือ สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมทุกรูปไม่สามารถแยกย่อยได้^{[ 23 ]}
• เซตของสามตัวเลขพีทาโกเรียนดั้งเดิมทั้งหมดก่อให้เกิดต้นไม้สามฐาน แบบมีราก อย่างเป็นธรรมชาติ ดูต้นไม้ของสามตัวเลขพีทาโกเรียนดั้งเดิม
• มุมแหลมทั้งสองของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนไม่สามารถเป็นจำนวนตรรกยะที่มีองศาได้^{[ 24 ]} (สิ่งนี้เป็นผลมาจากทฤษฎีบทของนิเวน )

นอกจากนี้ ยังสามารถรับประกันได้ว่าสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนพิเศษที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมบางประการมีอยู่จริง:

• จำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่า 2 ซึ่งไม่สอดคล้องกับ 2 mod 4 (กล่าวคือ จำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่า 2 ซึ่งไม่ อยู่ ในรูป4k + 2 ) เป็นส่วนหนึ่งของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิม (ถ้าจำนวนเต็มอยู่ในรูป4kเราสามารถใช้n = 1และm = 2kในสูตรของยุคลิดได้ ถ้าจำนวนเต็มอยู่ในรูป2k + 1เราสามารถใช้n = kและ m = k + 1 ได้ )
• จำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่า 2 เป็นส่วนหนึ่งของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนแบบดั้งเดิมหรือแบบไม่ดั้งเดิม ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็ม 6, 10, 14 และ 18 ไม่ใช่ส่วนหนึ่งของสามเหลี่ยมแบบดั้งเดิม แต่เป็นส่วนหนึ่งของสามเหลี่ยมแบบไม่ดั้งเดิม ได้แก่(6, 8, 10) , (14, 48, 50)และ(18, 80, 82 )
• มีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนอยู่มากมายนับไม่ถ้วน ซึ่งด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านประกอบมุมฉากที่ยาวที่สุดต่างกันเพียงหนึ่งพอดี สามเหลี่ยมดังกล่าวจำเป็นต้องเป็นสามเหลี่ยมดั้งเดิมและมีรูปแบบ⁽ 2n + 1, 2n² + ²ⁿ , 2n² + 2n + 1 )ซึ่งเป็นผลมาจากสูตรของยูคลิด โดยสังเกตว่าเงื่อนไขดังกล่าวบ่งชี้ว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมดั้งเดิมและต้องเป็นไปตาม( m² ⁺ n² ) - 2mn = 1ซึ่งหมายความว่า( m – n ) ² ⁼ 1และดังนั้นm ⁼ n + 1รูปแบบข้างต้นของสามเหลี่ยมจึงได้มาจากการแทนค่าmด้วยn + 1 ใน สูตรของยูคลิด
• มีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมจำนวนอนันต์ซึ่งด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านประกอบมุมฉากที่ยาวที่สุดต่างกันเพียงสอง สามเหลี่ยมเหล่านี้ล้วนเป็นสามเหลี่ยมดั้งเดิม และได้มาจากการแทนค่าn = 1ในสูตรของยูคลิด โดยทั่วไปแล้ว สำหรับจำนวนเต็มk > 0 ทุกตัว จะมีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมจำนวนอนันต์ซึ่งด้านตรงข้ามมุมฉากและด้าน ^{ประกอบ}มุมฉากที่เป็นจำนวนคี่ต่างกัน2k² สามเหลี่ยมเหล่านี้ได้มาจากการแทนค่าn = kในสูตรของยูคลิด
• มีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนอยู่มากมายนับไม่ถ้วนซึ่งด้านทั้งสองของสามเหลี่ยมนั้นต่างกันเพียงหนึ่งพอดี ตัวอย่างเช่น 20² ⁺ 21² ⁼ 29² ^ซึ่งสร้างขึ้นจากสูตรของยูคลิดเมื่อลู่เข้าสู่${\displaystyle {\tfrac {mn}{n}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$
• สำหรับจำนวนเต็มบวกk แต่ละจำนวน จะมี สามเหลี่ยมพีทาโกรัส k รูปที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากต่างกัน แต่มีพื้นที่เท่ากัน
• สำหรับจำนวนเต็มบวกk แต่ละตัว จะมีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมที่แตกต่างกันอย่างน้อยkแบบที่มีด้านเดียวกันคือaโดยที่aเป็นจำนวนเต็มบวกบางจำนวน (ความยาวของด้านคู่คือ 2mn และเพียงพอที่จะเลือกaที่มีการแยกตัวประกอบได้หลายแบบ เช่นa = 4b โดยที่bเป็นผลคูณของ จำนวนเฉพาะคี่ที่แตกต่างกัน kตัว ซึ่งจะสร้างสามเหลี่ยมดั้งเดิมที่แตกต่างกันอย่างน้อย2k ^แบบ ) ^{[ 8 ] : 30}
• สำหรับจำนวนเต็มบวกk แต่ละจำนวน จะมีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนอย่างน้อยkแบบที่แตกต่างกันซึ่งมีด้านตรงข้ามมุมฉากเดียวกัน^{[ 8 ] : 31}
• ถ้าc = p ^eเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะจะมีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมa ² + b ² = c ²ก็ต่อเมื่อ จำนวนเฉพาะpมีรูปแบบ4 n + 1 เท่านั้น สามเหลี่ยมนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวยกเว้นการสลับตำแหน่งของaและb
• โดยทั่วไปแล้ว จำนวนเต็มบวกcจะเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมก็ต่อเมื่อตัวประกอบเฉพาะ แต่ละ ตัวของcสอดคล้องกับ1มอดูล4กล่าวคือ ตัวประกอบเฉพาะแต่ละตัวมีรูปแบบ4 n + 1ในกรณีนี้ จำนวนสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิม( a , b , c )ที่a < bคือ2 ^{k −1}โดยที่kคือจำนวนตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกัน^ของ c ^{[ 25} ]
• มีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนจำนวนอนันต์ที่มีจำนวนกำลังสองสำหรับทั้งด้านตรงข้ามมุมฉากcและผลรวมของด้าน ประกอบมุมฉาก a + bตามที่แฟร์มาต์กล่าว สามเหลี่ยมพีทาโกเรียน ที่เล็กที่สุดดังกล่าว^{[ 26 ]}มีด้านa = 4,565,486,027,761 ; b = 1,061,652,293,520 ; และc = 4,687,298,610,289โดยที่a + b = 2,372,159 ²และc = 2,165,017 ²ซึ่งสร้างขึ้นโดยสูตรของยูคลิดด้วยค่าพารามิเตอร์m = 2,150,905และn = 246,792
• มีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนที่ไม่ใช่รูปดั้งเดิม ที่มีความสูงเป็นจำนวนเต็มจากด้านตรง ข้ามมุมฉาก^{[ 27 ] [ 28 ]}สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดังกล่าวเรียกว่าสามารถแยกส่วนได้เนื่องจากสามารถแบ่งตามความสูงนี้ออกเป็นสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนสองรูปที่แยกจากกันและมีขนาดเล็กกว่า^{[ 23 ]}

สูตรของยูคลิดสำหรับสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน

$${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}}$$

สามารถเข้าใจได้ในแง่ของเรขาคณิตของจุดตรรกยะบนวงกลมหน่วย ( Trautman 1998 )

ในความเป็นจริง จุดในระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนที่มีพิกัด( x , y )จะอยู่บนวงกลมหน่วยก็ต่อเมื่อx² + y² = 1 ^จุดนั้นเป็นจุดตรรกยะก็ต่อเมื่อxและyเป็นจำนวนตรรกยะนั่นคือ ถ้ามี จำนวนเต็ม a , b , c ที่เป็น จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน ซึ่งทำให้ x และ y ^{เป็น จำนวนตรรกยะ}$${\displaystyle {\biggl (}{\frac {a}{c}}{\biggr )}^{2}\!+{\biggl (}{\frac {b}{c}}{\biggr )}^{2}=1.}$$

โดยการคูณสมาชิกทั้งสองด้วยc² จะเห็น ^ได้ว่าจุดตรรกยะบนวงกลมมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิม

วงกลมหน่วยอาจถูกกำหนดโดยสมการพาราเมตริก ได้เช่นกัน สูตรของยูคลิดสำหรับสามเหลี่ยมพีทาโกรัสและความสัมพันธ์ผกผันt = y / (1 + x )หมายความว่า ยกเว้น(−1, 0)จุด( x , y )บนวงกลมจะเป็นจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อค่าt ที่สอดคล้องกัน เป็นจำนวนตรรกยะเท่านั้น โปรดสังเกตว่าt = y / (1 + x ) = b / ( c + a ) = n / mยังเป็นแทนเจนต์ของครึ่งหนึ่งของมุมที่อยู่ตรงข้ามด้านสามเหลี่ยมที่มีความยาวbด้วย $${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad y={\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$$

มีความสัมพันธ์ระหว่างจุดบนวงกลมหน่วยที่มีพิกัดเชิงตรรกะและสามเหลี่ยมพีทาโกรัสแบบดั้งเดิม ณ จุดนี้ สูตรของยูคลิดสามารถหาได้โดยใช้วิธีตรีโกณมิติหรือเทียบเท่าโดยใช้การฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิก

สำหรับวิธีการแบบสเตอริโอกราฟิก สมมติว่าP ′ เป็นจุดบน แกน xที่มีพิกัดเป็นจำนวนตรรกยะ

$${\displaystyle P'=\left({\frac {m}{n}},0\right).}$$

จากนั้น สามารถใช้พีชคณิตพื้นฐานแสดงได้ว่าจุดPมีพิกัดดังนี้

$${\displaystyle P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}},{\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}}\right)=\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}\right).}$$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าจุดตรรกยะ ทุกจุด บน แกน xจะเชื่อมโยงไปยังจุดตรรกยะบนวงกลมหน่วย ส่วนข้อความกลับที่ว่า จุดตรรกยะทุกจุดบนวงกลมหน่วยจะมาจากจุดดังกล่าวบน แกน xนั้น สามารถพิสูจน์ได้โดยการใช้การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกแบบผกผัน สมมติว่าP ( x , y )เป็นจุดบนวงกลมหน่วยที่มีxและyเป็นจำนวนตรรกยะ แล้วจุดP ′ ที่ได้จากการฉายภาพสเตอริโอกราฟิกบน แกน xจะมีพิกัดดังนี้

$${\displaystyle \left({\frac {x}{1-y}},0\right)}$$

ซึ่งเป็นเรื่องที่สมเหตุสมผล

ในแง่ของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตความหลากหลายเชิงพีชคณิตของจุดตรรกยะบนวงกลมหน่วยเป็นไบราชันนัลกับเส้นตรงเชิงเส้นเหนือจำนวนตรรกยะ ดังนั้นวงกลมหน่วยจึงเรียกว่าเส้นโค้งตรรกยะและข้อเท็จจริงนี้เองที่ทำให้สามารถกำหนดพารามิเตอร์ของจุด (จำนวนตรรกยะ) บนวงกลมหน่วยได้อย่างชัดเจนโดยใช้ฟังก์ชันตรรกยะ

แลตทิซ 2 มิติคืออาร์เรย์ปกติของจุดที่แยกออกจากกัน โดยหากเลือกจุดใดจุดหนึ่งเป็นจุดกำเนิดคาร์ทีเซียน (0, 0) จุดอื่นๆ ทั้งหมดจะอยู่ที่( x , y )โดยที่xและyอยู่ในช่วงจำนวนเต็มบวกและลบทั้งหมด สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนใดๆ ที่มีสามพิกัด( a , b , c )สามารถวาดได้ภายในแลตทิซ 2 มิติที่มีจุดยอดอยู่ที่พิกัด(0, 0) , ( a , 0)และ(0, b )จำนวนจุดแลตทิซที่อยู่ภายในขอบเขตของสามเหลี่ยมจะกำหนดโดย   ^{[ 29 ]}สำหรับสามพิกัดพีทาโกเรียนดั้งเดิม จำนวนแลตทิซภายในนี้คือ   พื้นที่ (ตามทฤษฎีบทของ Pickเท่ากับหนึ่งลบด้วยจำนวนแลตทิซภายในบวกครึ่งหนึ่งของจำนวนแลตทิซขอบเขต)    เท่ากับ ${\displaystyle {\tfrac {(a-1)(b-1)-\gcd {(a,b)}+1}{2}};}$${\displaystyle {\tfrac {(a-1)(b-1)}{2}}.}$${\displaystyle {\tfrac {ab}{2}}}$

การปรากฏครั้งแรกของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมสองชุดที่มีพื้นที่ร่วมกันเกิดขึ้นกับสามเหลี่ยมที่มีด้าน(20, 21, 29), (12, 35, 37)และพื้นที่ร่วมกัน 210 (ลำดับA093536ในOEIS ) การปรากฏครั้งแรกของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมสองชุดที่มีจำนวนช่องภายในร่วมกันเกิดขึ้นกับ(18108, 252685, 253333), (28077, 162964, 165365)และจำนวนช่องภายใน 2287674594 (ลำดับA225760ในOEIS ) มีการค้นพบสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมสามชุดที่มีพื้นที่เท่ากัน ได้แก่(4485, 5852, 7373) , (3059, 8580, 9109) , (1380, 19019, 19069)โดยมีพื้นที่ 13123110 อย่างไรก็ตาม ยังไม่พบสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมชุดใดที่มีจำนวนสมาชิกภายในเท่ากัน

ตามสูตรของยูคลิด ชุดสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมทั้งหมดสามารถสร้างขึ้นจากจำนวนเต็มและโดยที่ เป็นจำนวนคี่ และดังนั้นจึงมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจำนวนตรรกยะ (ในรูปอย่างง่ายที่สุด) กับชุดสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิม โดยที่อยู่ในช่วงและเป็นจำนวนคี่ ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m>n>0}$${\displaystyle m+n}$${\displaystyle \gcd(m,n)=1.}$${\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle m+n}$

การแปลงกลับจากสามตัวเลขดั้งเดิม ไป ยังจำนวนตรรกยะทำได้โดยการศึกษาผลรวมสองค่าและโดยผลรวมค่าหนึ่งจะเป็นกำลังสองที่สามารถเทียบเท่ากับและอีกค่าหนึ่งจะเป็นสองเท่าของกำลังสองที่สามารถเทียบเท่ากับจากนั้นจึงสามารถหาจำนวนตรรกยะได้${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle c>b>a>0}$${\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}$${\displaystyle a+c}$${\displaystyle b+c.}$${\displaystyle (m+n)^{2}}$${\displaystyle 2m^{2}.}$${\displaystyle {\tfrac {n}{m}}.}$

ในการแจงนับสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมนั้น สามารถแสดงจำนวนตรรกยะในรูปคู่ลำดับ และแปลงเป็นจำนวนเต็มโดยใช้ฟังก์ชันจับคู่ เช่นฟังก์ชันจับคู่ของแคนเตอร์ตัวอย่างสามารถดูได้ที่ (ลำดับA277557ในOEIS ) ซึ่งเริ่มต้นด้วย ${\displaystyle (n,m)}$

${\displaystyle 8,18,19,32,33,34,\dots }$และให้เหตุผล

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {2}{5}},{\tfrac {1}{6}},\dots }$สิ่งเหล่านี้จะสร้างทริปเปิลพื้นฐานขึ้นมา

${\displaystyle (3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29),(12,35,37),\dots }$

ชุดตัวเลขพีทาโกเรียนสามารถเข้ารหัสเป็นเมทริกซ์จัตุรัสในรูปแบบ เมทริกซ์ในรูปแบบนี้เป็นเมทริกซ์สมมาตรยิ่งไปกว่านั้นดีเทอร์มิแนนต์ของXคือ ซึ่งจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ( a , b , c )เป็นชุดตัวเลขพีทาโกเรียน ถ้าXสอดคล้องกับชุดตัวเลขพีทาโกเรียนแล้ว เมทริกซ์ X จะต้องมีอันดับ 1 $${\displaystyle X={\begin{bmatrix}c+b&a\\a&c-b\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle \det X=c^{2}-a^{2}-b^{2}\,}$$

เนื่องจากXเป็นเมทริกซ์สมมาตร จึงเป็นไปตามผลลัพธ์ในพีชคณิตเชิงเส้นว่ามีเวกเตอร์คอลัมน์ξ = [ m n ] ^T ที่ทำให้ ผลคูณภายนอกเป็นไปตามเงื่อนไขดังกล่าว

${\displaystyle X=2{\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}[m\ n]=2\xi \xi ^{T}\,}$

1

ถือไว้ โดยที่Tหมายถึงการสลับตำแหน่งของเมทริกซ์เนื่องจาก ξ และ -ξ สร้างสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนเดียวกัน เวกเตอร์ ξ จึงสามารถถือได้ว่าเป็นสปินเนอร์ (สำหรับกลุ่มลอเรนซ์ SO(1, 2)) ในเชิงนามธรรม สูตรของยุคลิดหมายความว่าสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมแต่ละอันสามารถเขียนได้เป็นผลคูณภายนอกกับตัวเองของสปินเนอร์ที่มีรายการเป็นจำนวนเต็ม ดังใน ( 1 )

กลุ่มมอดูลาร์ Γ คือเซตของเมทริกซ์ 2×2 ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเต็ม

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}}$$

โดยมีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับหนึ่ง: αδ − βγ = 1เซตนี้ก่อตัวเป็นกลุ่มเนื่องจากเมทริกซ์ผกผันใน Γ ก็อยู่ใน Γ เช่นเดียวกับผลคูณของเมทริกซ์สองตัวใน Γ กลุ่มมอดูลาร์กระทำต่อกลุ่มของสปินเนอร์จำนวนเต็มทั้งหมด ยิ่งไปกว่านั้น กลุ่มนี้ยังถ่ายทอดได้บนกลุ่มของสปินเนอร์จำนวนเต็มที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน เพราะถ้า[ m n ] ^Tมีสมาชิกเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันแล้ว

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}}$$

โดยที่uและvถูกเลือก (โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด ) เพื่อให้mu + nv = 1

โดยการกระทำต่อสปินเนอร์ ξ ใน ( 1 ) การกระทำของ Γ จะเปลี่ยนไปสู่การกระทำบนสามเท่าพีทาโกเรียน โดยมีเงื่อนไขว่าอนุญาตให้มีสามเท่าที่มีส่วนประกอบที่เป็นลบได้ ดังนั้น ถ้าAเป็นเมทริกซ์ในΓแล้ว

${\displaystyle 2(A\xi )(A\xi )^{T}=AXA^{T}\,}$

2

ก่อให้เกิดการกระทำบนเมทริกซ์Xใน ( 1 ) ซึ่งไม่ได้ให้การกระทำที่ชัดเจนบนทริปเปิลแบบดั้งเดิม เนื่องจากอาจเปลี่ยนทริปเปิลแบบดั้งเดิมเป็นทริปเปิลที่ไม่ดั้งเดิมได้ ณ จุดนี้ (ตามTrautman 1998 ) ถือว่าสะดวกที่จะเรียกทริปเปิล( a , b , c ) ว่ามาตรฐานถ้าc > 0และ( a , b , c )เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ หรือ( a /2, b /2, c /2)เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์โดยที่a /2เป็นจำนวนคี่ ถ้าสปินเนอร์[ mn ] T ^มีสมาชิกที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ทริปเปิล( a , b , c ) ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งกำหนดโดย ( 1 ) จะเป็นทริปเปิลมาตรฐาน ดังนั้น การกระทำของกลุ่มมอดูลาร์จึงเป็นแบบทรานซิทีฟบนเซตของทริปเปิลมาตรฐาน

หรืออีกทางหนึ่ง ให้จำกัดความสนใจเฉพาะค่าของmและnที่mเป็นเลขคี่และnเป็นเลขคู่ ให้กลุ่มย่อย Γ(2) ของ Γ เป็นเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม

$${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} _{2})}$$

โดยที่SL(2, Z ₂ )คือกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเหนือฟิลด์จำกัดZ ₂ของจำนวนเต็มมอดูล 2แล้ว Γ(2) คือกลุ่มของการแปลงแบบยูนิมอดูลาร์ซึ่งรักษาความเป็นคู่หรือคี่ของแต่ละรายการ ดังนั้น ถ้ารายการแรกของ ξ เป็นเลขคี่และรายการที่สองเป็นเลขคู่ ก็จะเป็นจริงเช่นเดียวกันสำหรับA ξสำหรับทุกA ∈ Γ(2)อันที่จริง ภายใต้การกระทำ ( 2 ) กลุ่ม Γ(2) จะกระทำแบบทรานซิทีฟบนคอลเลกชันของสามเท่าพีทาโกเรียนดั้งเดิม ( Alperin 2005 )

กลุ่ม Γ(2) เป็นกลุ่มอิสระ ที่มีตัว สร้าง เป็นเมทริกซ์ ดังนั้น สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมทุกอันสามารถหาได้ด้วยวิธีที่ไม่ซ้ำกันโดยเป็นผลคูณของสำเนาของเมทริกซ์Uและ  L$${\displaystyle U={\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}},\qquad L={\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}}.}$$

จากผลการศึกษาของBerggren (1934)สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมทั้งหมดสามารถสร้างขึ้นจากสามเหลี่ยม (3, 4, 5) โดยใช้การแปลงเชิงเส้น สามแบบ T ₁ , T ₂ , T ₃ด้านล่าง โดยที่a , b , cเป็นด้านของสามเหลี่ยม:

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ทริปเปิลดั้งเดิมทุกชุดจะเป็น "แม่" ของทริปเปิลดั้งเดิมอีกสามชุด โดยเริ่มจากโหนดเริ่มต้นที่มี_a = 3 , b = 4และc = 5การดำเนินการT1จะสร้างทริปเปิลใหม่ขึ้นมา

(3 − (2×4) + (2×5), (2×3) − 4 + (2×5), (2×3) − (2×4) + (3×5)) = (5, 12, 13)

และในทำนองเดียวกันT ₂และT ₃จะสร้างสามตัวเลข (21, 20, 29) และ (15, 8, 17)

การแปลงเชิงเส้น T ₁ , T ₂และ T ₃มีการตีความทางเรขาคณิตในภาษาของรูปแบบกำลังสองพวกมันมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับ (แต่ไม่เท่ากัน) การสะท้อนที่สร้างกลุ่มออร์โธโกนอลของx ² + y ² − z ²เหนือจำนวนเต็ม^{[ 30 ]}

อีกทางเลือกหนึ่ง สูตรของยูคลิดสามารถวิเคราะห์และพิสูจน์ได้โดยใช้จำนวนเต็มเกาส์เซียน [ ^{31 ] จำนวนเต็ม}เกาส์เซียนเป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบα = u + viโดยที่uและv เป็น จำนวนเต็มธรรมดาและiคือรากที่สองของลบหนึ่งหน่วยของจำนวนเต็มเกาส์เซียนคือ ±1 และ ±i จำนวนเต็มธรรมดาเรียกว่าจำนวนเต็มตรรกยะและใช้สัญลักษณ์ ' Z ' จำนวนเต็มเกาส์เซียนใช้สัญลักษณ์Z [ i ]ด้านขวามือของทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเต็มเกาส์เซียนได้:

$${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+bi){\overline {(a+bi)}}=(a+bi)(a-bi).}$$

สามจำนวนพีทาโกเรียนดั้งเดิม คือ สามจำนวนที่aและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ กล่าวคือ ไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วมกันในจำนวนเต็ม สำหรับสามจำนวนดังกล่าวaหรือbจะต้องเป็นจำนวนคู่ และอีกจำนวนหนึ่งจะต้องเป็นจำนวนคี่ จากนั้นจึงสรุปได้ว่าcก็ต้องเป็นจำนวนคี่ด้วย

ปัจจัยสองตัวz  := a + biและz*  := a − biของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมแต่ละตัวเท่ากับกำลังสองของจำนวนเต็มเกาส์เซียน สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้คุณสมบัติที่ว่าจำนวนเต็มเกาส์เซียนทุกตัวสามารถแยกตัวประกอบได้อย่างไม่ซ้ำกันเป็นจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนจนถึงหน่วย[ ^{32 ] (}การแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันนี้เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า โดยคร่าวๆ แล้ว สามารถกำหนดเวอร์ชันของอัลกอริทึมยุคลิดบนจำนวนเฉพาะเหล่านี้ได้) การพิสูจน์มีสามขั้นตอน ขั้นแรก ถ้าaและbไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วมกันในจำนวนเต็ม พวกมันก็ไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วมกันในจำนวนเต็มเกาส์เซียนเช่นกัน (สมมติว่าa = guและb = gv โดยที่ g , uและvเป็นจำนวนเต็มเกาส์เซียนและgไม่ใช่หน่วย ดังนั้นuและvจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันที่ผ่านจุดกำเนิด จำนวนเต็มเกาส์เซียนทั้งหมดบนเส้นตรงนั้นเป็นผลคูณจำนวนเต็มของจำนวนเต็มเกาส์เซียนh บางตัว แต่จำนวนเต็มgh ≠ ±1 จะหารทั้งaและb ลงตัว ) ประการที่สอง เป็นผลสืบเนื่องมาจากzและz*ก็ไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วมกันในจำนวนเต็มเกาส์เซียนเช่นกัน เพราะถ้ามี ตัวหารร่วมδ ของพวกมัน ก็จะหารz + z* = 2a และ z − z * = 2ib ลงตัวด้วย เนื่องจากaและbเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ นั่นหมายความว่าδหาร  2 = (1 + i)(1 − i) = i(1 − i) ²ลงตัว จากสูตรc² = zz*นั่นหมายความว่าcเป็นจำนวนคู่ ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิม ประการที่สาม เนื่องจาก^c² เป็น กำลังสอง จำนวนเฉพาะเกาส์เซียนทุกตัวใน ^การแยกตัวประกอบของมันจึงเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า กล่าวคือ ปรากฏเป็นจำนวนคู่ เนื่องจากzและz*ไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วมกัน การเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่านี้จึงเป็นจริงสำหรับพวกมันด้วย ดังนั้นzและz*จึงเป็นกำลังสอง

ดังนั้น ปัจจัยแรกสามารถเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle a+bi=\varepsilon \left(m+ni\right)^{2},\quad \varepsilon \in \{\pm 1,\pm i\}.}$$

ส่วนจริงและส่วนจินตนาการของสมการนี้จะให้สูตรสองสูตรดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{cases}\varepsilon =+1,&\quad a=+\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=+2mn;\\\varepsilon =-1,&\quad a=-\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=-2mn;\\\varepsilon =+i,&\quad a=-2mn,\quad b=+\left(m^{2}-n^{2}\right);\\\varepsilon =-i,&\quad a=+2mn,\quad b=-\left(m^{2}-n^{2}\right).\end{cases}}}$$

สำหรับสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมใดๆ จะต้องมีจำนวนเต็มmและnที่สอดคล้องกับสมการทั้งสองนี้ ดังนั้น สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนทุกชุดจึงสามารถสร้างขึ้นได้จากการเลือกจำนวนเต็มเหล่านี้

ถ้าเราพิจารณาค่ากำลังสองของจำนวนเต็มเกาส์เซียน เราจะได้การตีความโดยตรงของสูตรของยูคลิดดังนี้ ซึ่งแสดงถึงค่ากำลังสองสมบูรณ์ของจำนวนเต็มเกาส์เซียน

$${\displaystyle (m+ni)^{2}=(m^{2}-n^{2})+2mni.}$$

โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนเต็มเกาส์เซียนเป็นโดเมนแบบยุคลิดและสำหรับจำนวนเต็มเกาส์เซียน p จะเป็นกำลังสองเสมอ จึงสามารถแสดงได้ว่าสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนสอดคล้องกับกำลังสองของจำนวนเต็มเกาส์เซียนที่เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นจำนวนเฉพาะ ${\displaystyle |p|^{2}}$

ถ้าจำนวนเต็มเกาส์เซียนไม่ใช่จำนวนเฉพาะ มันจะเป็นผลคูณของจำนวนเต็มเกาส์เซียนสองจำนวน p และ q โดยที่และเป็นจำนวนเต็ม เนื่องจากขนาดคูณกันในจำนวนเต็มเกาส์เซียน ผลคูณจึงต้องเป็นซึ่งเมื่อยกกำลังสองเพื่อหาชุดตัวเลขพีทาโกเรียนจะต้องเป็นจำนวนประกอบ การพิสูจน์ โดยใช้ข้อความแย้งจะทำให้การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์ ${\displaystyle |p|^{2}}$${\displaystyle |q|^{2}}$${\displaystyle |p||q|}$

มีผลลัพธ์หลายประการเกี่ยวกับการกระจายตัวของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน ในแผนภาพกระจายจุดนั้น มีรูปแบบที่ชัดเจนหลายอย่างปรากฏให้เห็นแล้ว เมื่อใดก็ตามที่ด้าน( a , b )ของสามเหลี่ยมดั้งเดิมปรากฏในแผนภาพ จำนวนเต็มทวีคูณทั้งหมดของ( a , b )ก็ต้องปรากฏในแผนภาพด้วยเช่นกัน และคุณสมบัตินี้ทำให้เกิดเส้นที่แผ่กระจายออกจากจุดกำเนิดในแผนภาพ

ภายในบริเวณที่กระจายตัวนั้น มีชุดรูป แบบ พาราโบลาที่มีความหนาแน่นของจุดสูง โดยมีจุดโฟกัสทั้งหมดอยู่ที่จุดกำเนิด และแผ่ขยายออกไปในทั้งสี่ทิศทาง พาราโบลาหลายเส้นตัดกันที่แกนและดูเหมือนจะสะท้อนออกจากแกนด้วยมุมตกกระทบ 45 องศา โดยมีพาราโบลาเส้นที่สามเข้ามาในแนวตั้งฉาก ภายในควอดแรนต์นี้ ส่วนโค้งแต่ละส่วนที่อยู่ตรงกลางจุดกำเนิดแสดงถึงส่วนของพาราโบลาที่อยู่ระหว่างจุดยอดและจุดตัดกับเส้นกึ่งกลางลาตัสเรกตัม

รูปแบบเหล่านี้สามารถอธิบายได้ดังนี้ ถ้าn เป็นจำนวนเต็ม แล้ว ( a , b, c ) คือสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน (อันที่จริง สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนทุกชุด( a , b , c )สามารถเขียนได้ในลักษณะนี้ด้วยจำนวนเต็มnโดยอาจสลับaและbเนื่องจากa และb ไม่สามารถเป็นจำนวนคี่พร้อมกัน ได้ ) ดังนั้น สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนจึงอยู่บนเส้นโค้งที่กำหนดโดยนั่นคือ พาราโบลาที่สะท้อนที่ แกน aและเส้นโค้งที่สอดคล้องกันโดย สลับ aและbถ้าaเปลี่ยนไปสำหรับn ที่กำหนด (เช่น บนพาราโบลาที่กำหนด) ค่าจำนวนเต็มของbจะเกิดขึ้นค่อนข้างบ่อยถ้าnเป็นกำลังสองหรือพหุคูณเล็ก ๆ ของกำลังสอง ถ้าค่าดังกล่าวหลายค่าอยู่ใกล้กัน พาราโบลาที่สอดคล้องกันจะทับกันโดยประมาณ และสามเหลี่ยมจะรวมกลุ่มกันในแถบพาราโบลาแคบ ๆ ตัวอย่างเช่น38 ² = 1444 , 2 × 27 ² = 1458 , 3 × 22 ² = 1452 , 5 × 17 ² = 1445และ10 × 12 ² = 1440 ; แถบพาราโบลาที่สอดคล้องกันรอบn ≈ 1450สามารถมองเห็นได้อย่างชัดเจนในแผนภาพกระจาย ${\displaystyle a^{2}/4n}$${\displaystyle |n-a^{2}/4n|}$${\displaystyle n+a^{2}/4n}$${\displaystyle n=(b+c)/2}$${\displaystyle b=|n-a^{2}/4n|}$

คุณสมบัติเชิงมุมที่อธิบายไว้ข้างต้นเป็นผลโดยตรงจากรูปแบบฟังก์ชันของพาราโบลา พาราโบลาจะสะท้อนที่ แกน aที่a = 2n และอนุพันธ์ของbเทียบกับaที่จุดนี้คือ –1 ดังนั้นมุมตกกระทบคือ 45° เนื่องจากคลัสเตอร์ เช่นเดียวกับสามตัวอื่นๆ จะซ้ำกันที่จำนวนเต็มทวีคูณ ค่า2nจึงสอดคล้องกับคลัสเตอร์ด้วย พาราโบลาที่สอดคล้องกันจะตัด แกน bเป็นมุมฉากที่b = 2n ดังนั้นการสะท้อนเมื่อสลับaและ b จะตัด แกน a เป็น มุมฉากที่a = 2n ตรงกับจุด ที่พาราโบลาสำหรับnสะท้อนที่ แกน aพอดี (แน่นอนว่าเช่นเดียวกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับ การสลับ aและb ด้วย )

Albert Fässler และคนอื่นๆ ให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับความสำคัญของพาราโบลาเหล่านี้ในบริบทของการแมปคอนฟอร์มอล^{[ 33 ] [ 34 ]}

กรณีn = 1ของการสร้างสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนแบบทั่วไปนั้นเป็นที่รู้จักกันมานานแล้วโพรคลัสในคำอธิบายของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีบทที่ 47ของหนังสือเล่มแรกของElementsของยูคลิดได้อธิบายไว้ดังนี้:

มีวิธีการค้นหาสามเหลี่ยมประเภทนี้หลายวิธีที่สืบทอดกันมา วิธีหนึ่งอ้างอิงถึงเพลโต และอีกวิธีหนึ่งอ้างอิงถึงพีทาโกรัส (วิธีหลัง) เริ่มจากจำนวนคี่ โดยกำหนดให้จำนวนคี่เป็นด้านที่เล็กกว่าของด้านที่ทำมุมฉาก จากนั้นนำกำลังสองของจำนวนคี่นั้น ลบด้วยหนึ่ง แล้วนำครึ่งหนึ่งของผลต่างนั้นไปเป็นด้านที่ใหญ่กว่าของด้านที่ทำมุมฉาก สุดท้ายบวกหนึ่งเข้าไปเพื่อสร้างด้านที่เหลือ คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ...ส่วนวิธีของเพลโตเริ่มจากจำนวนคู่ โดยกำหนดให้จำนวนคู่นั้นเป็นด้านหนึ่งของด้านที่ทำมุมฉาก จากนั้นแบ่งครึ่งจำนวนนั้น แล้วยกกำลังสองครึ่งหนึ่งนั้น บวกหนึ่งเข้ากับกำลังสองเพื่อสร้างด้านตรงข้ามมุมฉาก และลบหนึ่งออกจากกำลังสองเพื่อสร้างด้านอีกด้านที่ทำมุมฉาก ...ด้วยวิธีนี้จึงได้สามเหลี่ยมแบบเดียวกันกับที่ได้จากวิธีอื่น

เมื่อเขียนในรูปสมการ จะได้ดังนี้:

aเป็นจำนวนคี่ (พีทาโก拉斯, ประมาณ 540 ปีก่อนคริสตกาล):

$${\displaystyle {\text{side }}a:{\text{side }}b={a^{2}-1 \over 2}:{\text{side }}c={a^{2}+1 \over 2}.}$$

aเป็นจำนวนคู่ (เพลโต, ประมาณ 380 ปีก่อนคริสตกาล):

$${\displaystyle {\text{side }}a:{\text{side }}b=\left({a \over 2}\right)^{2}-1:{\text{side }}c=\left({a \over 2}\right)^{2}+1}$$

สามารถแสดงได้ว่าสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนทั้งหมดสามารถได้มาจากการปรับขนาดที่เหมาะสมจากลำดับเพลโตพื้นฐาน ( ^a , ( a² − ¹ )/2และ( a² + 1)/2 ) โดยอนุญาต ให้ aมีค่าเป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หาก แทนที่ aด้วยเศษส่วนm / nในลำดับ ผลลัพธ์จะเท่ากับตัวสร้างสามเหลี่ยม 'มาตรฐาน' (2mn , m² − n² ^, m² + n² ⁾หลังจากปรับขนาดแล้ว ดังนั้น สามเหลี่ยมทุกชุดจะมีค่า a ที่เป็นจำนวนตรรกยะที่สอดคล้องกัน^ซึ่งสามารถ^ใช้สร้างสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน (สามเหลี่ยมที่มีมุมทั้งสามมุมเหมือนกันและ มีด้านที่มีสัดส่วนเดียวกันกับสามเหลี่ยมเดิม) ตัวอย่างเช่น ค่าเทียบเท่าแบบเพลโตของ(56, 33, 65)ถูกสร้างขึ้นโดยa = m / n = 7/4เป็น( a , ( a ² –1)/2, ( a ² +1)/2) = (56/32, 33/32, 65/32)ลำดับแบบเพลโตนั้นสามารถหาได้โดยการทำตามขั้นตอนสำหรับการ 'แบ่งสี่เหลี่ยม' ที่อธิบายไว้ในDiophantus II.VIII

กำหนดให้จำนวนเต็มบวกสามจำนวน กำลังสองของจำนวน${\displaystyle x<y<z}$เหล่านั้นจะเป็นลำดับเลขคณิตก็ต่อเมื่อ หรือเทียบเท่ากับว่า ถ้า $${\displaystyle z^{2}-y^{2}=y^{2}-x^{2},}$$$${\displaystyle x^{2}+z^{2}=2y^{2}.}$$

ลำดับเลขคณิตของกำลังสองสามจำนวนมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน

อันที่จริง ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle (a,b,c)}$เป็นสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนที่⁠ ⁠${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$แล้ว จะ เป็นกำลังสองสามตัวในลำดับเลขคณิต เนื่องจาก⁠ ⁠$${\displaystyle (a-b)^{2},\quad c^{2},\quad (a+b)^{2}}$$${\displaystyle (a-b)^{2}+(a+b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})=2c^{2}}$

ในทางกลับกัน ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle x^{2}<y^{2}<z^{2}}$เป็นกำลังสองสามตัวในลำดับเลขคณิต โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle y^{2}={\tfrac {x^{2}+z^{2}}{2}}}$แล้ว จะเป็นสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน เนื่องจากการแปลงเหล่านี้ผกผันกัน จึงกำหนดความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งที่ประกาศไว้ $${\displaystyle \left({\tfrac {z-x}{2}},\quad y,\quad {\tfrac {z+x}{2}}\right)}$$

ความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งนี้บ่งชี้ว่า คุณสมบัติเกือบทั้งหมดของลำดับเลขคณิตกำลังสองสามารถอนุมานได้ง่ายจากคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียน

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สูตรของยูคลิดบ่งชี้ว่าลำดับเลขคณิตกำลังสองทั้งหมดสามารถหาได้จาก สูตรที่⁠ ⁠และ⁠ ⁠เป็นจำนวนเต็มบวกสองจำนวนใดๆ ที่มี เลขคู่ หรือ เลขคี่ ต่างกัน$${\displaystyle (m^{2}-n^{2}-2mn)^{2},\quad (m^{2}+m^{2})^{2},\quad (m^{2}-n^{2}+2mn)^{2},}$$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

นอกจากนี้ ผลต่างระหว่างกำลังสองที่อยู่ติดกันสองจำนวนในลำดับเลขคณิตของกำลังสองจะเป็นพหุคูณของ 24 เสมอ ซึ่งเป็นผลมาจากความสัมพันธ์การหารลงตัวที่ระบุไว้ในหัวข้อ§ คุณสมบัติทั่วไปเนื่องจากผลต่างนี้คือ⁠ ⁠โดยที่⁠ ⁠และ⁠ ⁠คือองค์ประกอบแรกของสามจำนวนในปริภูมิยุคลิดที่เกี่ยวข้อง ${\displaystyle z^{2}-y^{2}=y^{2}-x^{2}}$${\displaystyle 2ab}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

ผลที่ได้คือ ลำดับเลขคณิตที่เล็กที่สุดของกำลังสองสามตัวคือ $${\displaystyle (1,25,49).}$$

สมการ

$${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$$

เทียบเท่ากับสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนพิเศษ

$${\displaystyle (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}}$$

สมการนี้มีคำตอบนับไม่ถ้วน เนื่องจากการหาค่าตัวแปรเกี่ยวข้องกับเส้นโค้งวงรีคำตอบเล็กๆ ได้แก่...

$${\displaystyle a,b,c,d=-2634,955,1770,5400}$$

$${\displaystyle a,b,c,d=-31764,7590,27385,48150}$$

วิธีหนึ่งในการสร้างคำตอบคือการกำหนดพารามิเตอร์a, b, c, d ในรูปของจำนวนเต็มm, n, p, qดังนี้: ^{[ 35 ]}${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}}$

$${\displaystyle (m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}=(mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.}$$

กำหนดให้ชุดสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนสองชุด

$${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}}$$

$${\displaystyle (c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2}}$$

ปัญหาของการหาผลคูณที่เท่ากันของด้านที่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านตรงข้ามมุมฉาก

$${\displaystyle (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+d^{2})}$$

สามารถเห็นได้อย่างง่ายดายว่าเทียบเท่ากับสมการ

$${\displaystyle a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4}}$$

และออยเลอร์เป็นผู้แก้ปัญหานี้เป็นคนแรก เนื่องจากเขาแสดงให้เห็นว่าจุดนี้เป็นจุดตรรกยะบนเส้นโค้งวงรีดังนั้นจึงมีคำตอบเป็นอนันต์ ในความเป็นจริง เขายังค้นพบการกำหนดพารามิเตอร์พหุนามดีกรี 7 อีกด้วย ${\displaystyle a,b,c,d=133,59,158,134.}$

สำหรับกรณีของทฤษฎีบทวงกลมของเดส์การ์ตซึ่งตัวแปรทั้งหมดเป็นกำลังสอง

$${\displaystyle 2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}}$$

ออยเลอร์แสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้เทียบเท่ากับสามเหลี่ยมพีทาโกรัสสามชุดที่เกิดขึ้นพร้อมกัน

$${\displaystyle (2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}}$$

$${\displaystyle (2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}$$

$${\displaystyle (2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}}$$

นอกจากนี้ยังมีคำตอบนับไม่ถ้วน และสำหรับกรณีพิเศษเมื่อสมการจะลดรูปเหลือเพียง ${\displaystyle a+b=c}$

$${\displaystyle 4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2}}$$

โดยมีคำตอบเล็กๆ เช่นและสามารถแก้ได้โดยใช้ รูปแบบกำลังสอง แบบ ไบนารี${\displaystyle a,b,c,d=3,5,8,14}$

ไม่มีสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนใดเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วเพราะอัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากต่อด้านอีกด้านคือ√2แต่ √2 ไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็ม 2จำนวน ได้

อย่างไรก็ตาม มีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งความยาวของด้านที่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉากแตกต่างกันหนึ่ง เช่น

$${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$$

$${\displaystyle 20^{2}+21^{2}=29^{2}}$$

และอื่นๆ อีกมากมายนับไม่ถ้วน พวกมันสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้อย่างสมบูรณ์ดังนี้

$${\displaystyle \left({\tfrac {x-1}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {x+1}{2}}\right)^{2}=y^{2}}$$

โดยที่ { x, y } คือคำตอบของสมการเพลล์${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1.}$

ถ้าa , b , cเป็นด้านของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนแบบดั้งเดิมชนิดนี้ คำตอบของสมการเพลล์จะกำหนดโดยสูตรเวียนเกิดดังนี้

$${\displaystyle a_{n}=6a_{n-1}-a_{n-2}+2}$$ด้วยและด้วยและด้วยและ⁠ ⁠ . ^{[ 36 ]}${\displaystyle a_{1}=3}$${\displaystyle a_{2}=20}$$${\displaystyle b_{n}=6b_{n-1}-b_{n-2}-2}$$${\displaystyle b_{1}=4}$${\displaystyle b_{2}=21}$$${\displaystyle c_{n}=6c_{n-1}-c_{n-2}}$$${\displaystyle c_{1}=5}$${\displaystyle c_{2}=29}$

ลำดับของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมนี้ก่อให้เกิดลำต้นกลางของ ต้นไม้ สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมที่ มีราก

เมื่อด้านที่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉากที่ยาวกว่าและด้านตรงข้ามมุมฉากต่างกันหนึ่งหน่วย เช่นในกรณีนี้

$${\displaystyle 5^{2}+12^{2}=13^{2}}$$

$${\displaystyle 7^{2}+24^{2}=25^{2}}$$

ดังนั้นคำตอบที่สมบูรณ์สำหรับสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมa , b , cคือ

$${\displaystyle a=2m+1,\quad b=2m^{2}+2m,\quad c=2m^{2}+2m+1}$$

และ

$${\displaystyle (2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2}}$$

โดยที่จำนวนเต็มคือพารามิเตอร์ที่ใช้สร้างค่า ${\displaystyle m>0}$

แสดงให้เห็นว่าจำนวนคี่ ทั้งหมด (มากกว่า 1) ปรากฏอยู่ในสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมแบบเกือบเท่าสามเหลี่ยมหน้าจั่วประเภทนี้ ลำดับของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมนี้ก่อให้เกิดลำต้นด้านนอกทางด้านขวามือของต้นไม้ไตรภาคแบบมีรากของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิม

คุณสมบัติอีกประการหนึ่งของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิมแบบเกือบหน้าจั่วประเภทนี้คือด้านต่างๆ มีความสัมพันธ์กันในลักษณะที่ สำหรับจำนวนเต็มบางจำนวนหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือหารลงตัวด้วยเช่น ใน^{[ 37 ]}$${\displaystyle a^{b}+b^{a}=Kc}$$${\displaystyle K}$${\displaystyle a^{b}+b^{a}}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle (5^{12}+12^{5})/13=18799189}$$

เริ่มจาก 5 จำนวนฟิโบนาชี่ ทุกๆ ตัวที่สอง จะเป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเป็นจำนวนเต็ม หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ จำนวนที่มากที่สุดในชุดตัวเลขพีทาโกเรียน ซึ่งได้จากสูตร ลำดับของรูปสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนที่ได้จากสูตรนี้จะมีด้านยาว... $${\displaystyle (F_{n}F_{n+3})^{2}+(2F_{n+1}F_{n+2})^{2}=F_{2n+3}^{2}.}$$

(3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), (39,80,89), ...

ด้านตรงกลางของสามเหลี่ยมแต่ละรูปนี้คือผลรวมของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมก่อนหน้า^{[ 38 ]}

มีหลายวิธีในการสรุปแนวคิดเรื่องสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนให้ครอบคลุมมากขึ้น

นิพจน์นี้ เป็นทูเปิลพีทาโกเรียนnตัวสำหรับทูเปิลใดๆ ของจำนวนเต็มบวก( m₁ _, ..., mₙ ₎โดยที่m$${\displaystyle \left(m_{1}^{2}-m_{2}^{2}-\ldots -m_{n}^{2}\right)^{2}+\sum _{k=2}^{n}(2m_{1}m_{k})^{2}=\left(m_{1}^{2}+\ldots +m_{n}^{2}\right)^{2}}$$² ₁> ม² ₂+ ... + ม² _น.ทูเพิลพีทา โกเรียน nตัว สามารถทำให้เป็นทูเพิลดั้งเดิมได้โดยการหารด้วยตัวหารร่วมมากที่สุดของค่าต่างๆ ในทูเพิลนั้น

นอกจากนี้ n -tuple พีทา โกเรียนดั้งเดิมใดๆ ก็ตาม² ₁+ ... + a² _น.= c ²สามารถหาได้โดยใช้วิธีนี้ ใช้( m ₁ , ..., m _n ) = ( c + a ₁ , a ₂ , ..., a _n )เพื่อให้ได้ทูเปิลพีทาโกเรียนnตัวโดยใช้สูตรข้างต้น แล้วหารด้วยตัวหารร่วมมากที่สุด ซึ่งก็คือ2 m ₁ = 2( c + a ₁ )การหารด้วยตัวหารร่วมมากที่สุดของ ค่า ( m ₁ , ..., m _n ) เหล่านี้จะให้ทูเปิลพีทาโกเรียน n ตัว แบบดั้งเดิมเดียวกันและมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างทูเปิลของจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวหารร่วมกัน( m ₁ , ..., m _n )ที่สอดคล้องกับm² ₁> ม² ₂+ ... + ม² _น.และทูเพิลพีทาโกเรียนดั้งเดิมnตัว

ตัวอย่างของความสัมพันธ์ระหว่างค่าโคไพรม์แบบเซตและทูเพิลพีทาโกเรียนดั้งเดิมnตัว ได้แก่: ^{[ 39 ]}${\displaystyle {\vec {m}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {m}}=(1)&\leftrightarrow 1^{2}=1^{2}\\{\vec {m}}=(2,1)&\leftrightarrow 3^{2}+4^{2}=5^{2}\\{\vec {m}}=(2,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(3,1,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}=2^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,2,3)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}=4^{2}\\{\vec {m}}=(4,1,1,1,1,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,1,2,2,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}+2^{2}=4^{2}\end{aligned}}}$$

เนื่องจากผลรวมF ( k , m )ของ กำลังสองที่ต่อเนื่องกัน kตัวที่เริ่มต้นด้วยm ²จะได้รับจากสูตร^{[ 40 ]}

$${\displaystyle F(k,m)=km(k-1+m)+{\frac {k(k-1)(2k-1)}{6}}}$$

อาจพบค่า( k , m )ที่ทำให้F ( k , m )เป็นกำลังสอง เช่น ค่าของ Hirschhorn ที่จำนวนพจน์เป็นกำลังสอง^{[ 41 ]}

$${\displaystyle m={\tfrac {v^{4}-24v^{2}-25}{48}},\;k=v^{2},\;F(m,k)={\tfrac {v^{5}+47v}{48}}}$$

และv ≥ 5คือจำนวนเต็มใดๆ ที่หารด้วย 2 หรือ 3 ไม่ลงตัว สำหรับกรณีที่เล็กที่สุดคือv = 5ดังนั้นk = 25ซึ่งจะนำไปสู่ปัญหาการเรียงลูกปืนใหญ่ที่เป็นที่รู้จักกันดีของลูคัส

$${\displaystyle 0^{2}+1^{2}+2^{2}+\dots +24^{2}=70^{2}}$$

ข้อเท็จจริงที่เชื่อมโยงกับโครงข่ายลีช (Leech lattice )

นอกจากนี้ หากในn -tuple พีทาโกเรียน ( n ≥ 4 ) ตัวบวก ทั้งหมด เรียงติดกันยกเว้นตัวบวกหนึ่งตัว สามารถใช้สมการ^{[ 42 ] ได้}

$${\displaystyle F(k,m)+p^{2}=(p+1)^{2}}$$

เนื่องจากกำลังสองของpตัดกันได้ สมการนี้จึงเป็นเพียงเชิงเส้นและสามารถแก้ได้ง่ายราวกับว่าควรเลือกkและm เพื่อให้ pเป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเล็กๆ เช่นk = 5และm = 1จะได้ว่า ${\displaystyle p={\tfrac {F(k,m)-1}{2}}}$

$${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+27^{2}=28^{2}}$$

ดังนั้น วิธีหนึ่งในการสร้าง n-tuple พีทาโกเรียน^คือการใช้ สำหรับx ต่างๆ [ ^{43 ]}

$${\displaystyle x^{2}+(x+1)^{2}+\cdots +(x+q)^{2}+p^{2}=(p+1)^{2},}$$

โดยที่q = n –2 และโดยที่

$${\displaystyle p={\frac {(q+1)x^{2}+q(q+1)x+{\frac {q(q+1)(2q+1)}{6}}-1}{2}}.}$$

การขยายแนวคิดของสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนคือการค้นหาสามเหลี่ยมของจำนวนเต็มบวกa , bและcที่ทำให้a ⁿ + b ⁿ = c ⁿสำหรับn บางค่า ที่มากกว่า 2 อย่างเคร่งครัดปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ในปี 1637 อ้างว่าไม่มีสามเหลี่ยมดังกล่าวอยู่จริง ซึ่งข้ออ้างนี้ต่อมาเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เพราะใช้เวลานานกว่าข้อสันนิษฐานอื่นๆ ของแฟร์มาต์ในการพิสูจน์หรือหักล้าง การพิสูจน์ครั้งแรกเกิดขึ้นโดยแอนดรูว์ ไวลส์ในปี 1994

อีกหนึ่งแนวคิดทั่วไปคือการค้นหาลำดับของจำนวนเต็มบวกn + 1ตัว ซึ่ง กำลังที่ nของตัวสุดท้ายเท่ากับผลรวมของ กำลังที่ nของตัวก่อนหน้า ลำดับที่เล็กที่สุดสำหรับค่าn ที่ทราบแล้ว มีดังนี้:

• n = 3: {3, 4, 5; 6}
• n = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
• n = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
• n = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
• n = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

สำหรับ กรณี n = 3ซึ่งเรียกว่า สมการกำลังสามของแฟร์มาต์นั้น มีสูตรทั่วไปที่ให้คำตอบทั้งหมดอยู่ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3},}$

การสรุปทั่วไปที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยทำให้ผลรวมของ กำลัง ( k + 1) nเท่ากับผลรวมของ กำลัง ( n − k ) nตัวอย่างเช่น:

• ( n = 3 ): ^1³ + 12³ ⁼ 9³ ⁺ 10³ ^ซึ่งโด่งดังมาจากความทรงจำของฮาร์ดีเกี่ยวกับการสนทนากับรามานุจันเกี่ยวกับจำนวน1729ที่เป็นจำนวนที่เล็กที่สุดที่สามารถแสดงเป็นผลรวมของลูกบาศก์สองจำนวนในสองวิธีที่แตกต่างกัน

อาจมีจำนวนเต็มบวกn − 1 ตัวที่ผลรวมกำลังที่ n ของพวกมัน เท่ากับ ผลรวมกำลังที่ n (ถึงแม้ว่าตามทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์แล้วจะไม่เป็นเช่นนั้นสำหรับn = 3)สิ่งเหล่านี้เป็นตัวอย่างค้านต่อข้อสันนิษฐานผลรวมกำลังของออยเลอร์ตัวอย่างค้านที่เล็กที่สุดที่รู้จักคือ^{[ 44 ] [ 45 ] [ 15 ]}

• n = 4 : (95800, 217519, 414560; 422481)
• n = 5 : (27, 84, 110, 133; 144)

สามเหลี่ยมเฮโรเนียนโดยทั่วไปนิยามว่าคือสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นจำนวนเต็มและพื้นที่ก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมดังกล่าวประกอบกันเป็นสามตัวเลขเฮโรเนียน( a, b, c )โดยที่a ≤ b ≤ cสามตัวเลขพีทาโกเรียนทุกชุดเป็นสามตัวเลขเฮโรเนียน เพราะอย่างน้อยหนึ่งในด้านประกอบมุมฉากa , bต้องเป็นจำนวนคู่ในสามตัวเลขพีทาโกเรียน ดังนั้นพื้นที่ab /2 จึงเป็นจำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกสามตัวเลขเฮโรเนียนจะเป็นสามตัวเลขพีทาโกเรียน ดังตัวอย่าง(4, 13, 15)ที่มีพื้นที่ 24 แสดงให้เห็น

ถ้า( a , b , c )เป็นสามเหลี่ยมเฮโรเนียน (Heronian triple) แล้ว( ka , kb , kc ) ก็ เป็น สามเหลี่ยมเฮโรเนียนเช่นกัน โดยที่k เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ พื้นที่ของสามเหลี่ยมเฮโรเนียนจะเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า พื้นที่ของ สามเหลี่ยม ( a , b , c )อยู่k เท่า ² เท่า สามเหลี่ยมเฮโรเนียน( a , b , c ) ถือเป็นสามเหลี่ยม ดั้งเดิม (primitive triple) ก็ต่อ เมื่อa , b , cเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน (สำหรับสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดั้งเดิม ข้อความที่เข้มงวดกว่าที่ว่าจำนวนเหล่านั้นเป็นจำนวน เฉพาะสัมพัทธ์ กันเป็นคู่ๆก็ใช้ได้เช่นกัน แต่สำหรับสามเหลี่ยมเฮโรเนียนดั้งเดิม ข้อความที่เข้มงวดกว่านี้อาจไม่เป็นจริงเสมอไป เช่น(7, 15, 20) ) ต่อไปนี้เป็นสามเหลี่ยมเฮโรเนียนดั้งเดิมที่ง่ายที่สุดบางส่วนที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมพีทาโกเรียน:

(4, 13, 15) ที่มีพื้นที่ 24

(3, 25, 26) ที่มีพื้นที่ 36

(7, 15, 20) ที่มีพื้นที่ 42

(6, 25, 29) ที่มีพื้นที่ 60

(11, 13, 20) กับพื้นที่ 66

(13, 14, 15) ที่มีพื้นที่ 84

(13, 20, 21) ที่มีพื้นที่ 126

ตามสูตรของเฮรอนเงื่อนไขเพิ่มเติมสำหรับสามจำนวนเต็มบวก( a , b , c )โดยที่a < b < cที่จะเป็นแบบเฮรอนคือ

( a ² + b ² + c ² ) ² − 2( a ⁴ + b ⁴ + c ⁴ )

หรือเทียบเท่า

2( a ² b ² + a ² c ² + b ² c ² ) − ( a ⁴ + b ⁴ + c ⁴ )

เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ที่ไม่ใช่ศูนย์และหารด้วย 16 ลงตัว

สามเท่าพีทาโกเรียนดั้งเดิมถูกนำมาใช้ในการเข้ารหัสลับเป็นลำดับสุ่มและสำหรับการสร้างคีย์^{[ 46 ]}