การบวก ซึ่งโดยปกติจะใช้เครื่องหมายบวก+ แทน เป็นหนึ่งในสี่การดำเนินการ พื้นฐาน ของเลขคณิตอีกสามอย่างคือการลบการคูณและการหาร การบวก จำนวนเต็มสอง จำนวน จะได้ผลลัพธ์เป็นผลรวมของค่าเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น ภาพด้านข้างแสดงแอปเปิลสองแถว แถวหนึ่งมีแอปเปิลสามลูก และอีกแถวมีแอปเปิลสองลูก รวมเป็นแอปเปิลห้าลูก การสังเกตนี้สามารถแสดงได้ว่า"3 + 2 = 5"ซึ่งอ่านว่า "สามบวกสองเท่ากับห้า"

นอกจากการนับจำนวนแล้ว การบวกยังสามารถกำหนดและดำเนินการได้โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงวัตถุที่เป็นรูปธรรมโดยใช้สิ่งที่เป็นนามธรรมที่เรียกว่าตัวเลขแทน เช่นจำนวนเต็มจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนการบวกเป็นส่วนหนึ่งของเลขคณิต ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ในพีชคณิต ซึ่ง เป็นอีกสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ การบวกยังสามารถกระทำกับวัตถุที่เป็นนามธรรม เช่นเวกเตอร์เมทริกซ์และสมาชิกของกลุ่มการบวกได้ อีกด้วย

การบวกมีคุณสมบัติสำคัญหลายประการ ประการแรกคือการบวกเป็นสมบัติการสลับที่ หมายความว่าลำดับของตัวเลขที่นำมาบวกกันไม่สำคัญ ดังนั้น 3 + 2 = 2 + 3 ประการที่สองคือ การ บวก เป็นสมบัติการจัดกลุ่มหมายความว่าเมื่อบวกตัวเลขมากกว่าสองตัว ลำดับในการบวกไม่สำคัญ การบวก1 ซ้ำๆ ก็เหมือนกับการนับ (ดูฟังก์ชันตัวสืบทอด ) การบวก0ไม่ทำให้ตัวเลขเปลี่ยนแปลง นอกจากนี้ การบวกยังปฏิบัติตามกฎเกณฑ์เกี่ยวกับการดำเนินการที่เกี่ยวข้อง เช่น การลบและการคูณด้วย

การบวกเป็นหนึ่งในงานทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุด การบวกตัวเลขเล็กๆ นั้นเด็กเล็กๆ ก็สามารถทำได้ งานพื้นฐานที่สุดอย่าง1 + 1นั้น เด็กทารกอายุเพียงห้าเดือนก็สามารถทำได้ และแม้แต่สัตว์บางชนิดก็สามารถทำได้เช่นกัน ในระดับประถมศึกษานักเรียนจะได้รับการสอนให้บวกตัวเลขใน ระบบ ทศนิยม โดยเริ่มจากตัวเลขหลักเดียวและค่อยๆ เรียนรู้ปัญหาที่ยากขึ้นเรื่อยๆ เครื่องมือช่วยคำนวณมีตั้งแต่ ลูกคิดโบราณ ไปจนถึง คอมพิวเตอร์สมัยใหม่ซึ่งการวิจัยเกี่ยวกับการนำวิธีการบวกมาใช้ให้มีประสิทธิภาพที่สุดยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้

การบวกจะเขียนโดยใช้เครื่องหมายบวก "+" ระหว่างพจน์และผลลัพธ์จะแสดงด้วยเครื่องหมายเท่ากับ ตัวอย่างเช่นอ่านว่า "หนึ่งบวกสองเท่ากับสาม" ^{[ 2 ]}อย่างไรก็ตาม มีบางสถานการณ์ที่เข้าใจการบวกได้ แม้ว่าจะไม่มีสัญลักษณ์ปรากฏอยู่ก็ตาม เช่น จำนวนเต็มที่ตามด้วยเศษส่วน ทันที แสดงถึงผลรวมของทั้งสอง ซึ่งเรียกว่าจำนวนคละตัวอย่างเช่น^{[ 3 ]}สัญกรณ์นี้อาจทำให้เกิดความสับสนได้ เนื่องจากในบริบทอื่นๆ ส่วนใหญ่การวางติดกันหมาย ถึง การคูณแทน^{[ 4 ]}${\displaystyle 1+2=3}$$${\displaystyle 3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}=3.5.}$$

ตัวเลขหรือวัตถุที่จะบวกกันในการบวกโดยทั่วไปจะเรียกว่าเทอม [ ^{5 ]}ตัวบวกหรือ ตัว ถูกบวก^{[ 2 ]}คำศัพท์นี้จะใช้กับการบวกของหลายเทอมด้วย ซึ่งแตกต่างจาก^{ตัวประกอบ}ซึ่งเป็นการคูณกันนักเขียนบางคนเรียกตัวบวกตัวแรกว่าตัวตั้งบวก^{[ 6 ]}อันที่จริง ในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยานักเขียนหลายคนไม่ได้พิจารณาตัวบวกตัวแรกว่าเป็น "ตัวบวก" เลย ปัจจุบัน เนื่องจากคุณสมบัติการสลับที่ของการบวก คำว่า "ตัวตั้งบวก" จึงไม่ค่อยได้ใช้ และโดยทั่วไปแล้วทั้งสองคำนี้เรียกว่าตัวบวก^{[ 7 ]}

คำศัพท์ทั้งหมดข้างต้นมาจากภาษาละติน “ Addition ” และ “ add ” เป็น คำ ภาษาอังกฤษที่มาจากคำกริยาภาษา ละติน addereซึ่งเป็นคำประสมของ ad “ถึง” และdare “ให้” มาจากรากศัพท์ Proto-Indo-European * deh₃- “ให้” ดังนั้นaddจึงหมายถึงการให้^{[ 7 ]}การใช้ คำต่อ ท้ายgerundive -ndทำให้ได้ “addend” ซึ่งหมายถึง “สิ่งที่ต้องเพิ่ม” ^{[ a ]} ในทำนอง เดียวกัน จากaugere “เพิ่ม” จะได้ “augend” ซึ่งหมายถึง “สิ่งที่ต้องเพิ่ม” ^{[ 8 ]}

คำว่า "ผลรวม" และ "ผลรวม" มาจากคำนาม ภาษาละติน summa ซึ่งหมายถึง "สูงสุด" หรือ "ด้านบน" ซึ่งใช้ในวลีภาษาละตินยุคกลางsumma linea ("บรรทัดบนสุด") หมายถึงผลรวมของคอลัมน์ของปริมาณตัวเลข ตาม ธรรมเนียมของ ชาวกรีกและโรมัน โบราณ ที่ใส่ผลรวมไว้ด้านบนสุดของคอลัมน์^{[ 10 ]} คำว่า Addereและsummareมีมาอย่างน้อยตั้งแต่สมัยโบเอทิอุสหรืออาจจะตั้งแต่สมัยนักเขียนชาวโรมันยุคก่อนหน้า เช่นวิตรูวิอุสและฟรอนทินัสโบเอทิอุสยังใช้คำอื่นๆ อีกหลายคำสำหรับการดำเนินการบวก ต่อมา คำ ภาษาอังกฤษยุค กลาง "adden" และ "adding" ได้รับความนิยมจากชอเซอร์^{[ 11 ]}

การบวกเป็นหนึ่งในสี่การดำเนินการพื้นฐานของเลขคณิต โดยอีกสามอย่างคือการลบ การคูณ และการหาร การดำเนินการนี้ทำงานโดยการบวกสองพจน์ขึ้นไป^{[ 12 ]}จำนวนการดำเนินการบวกใดๆ เรียกว่าผลรวม^{[ 13 ]}ผลรวมอนันต์เป็นกระบวนการที่ละเอียดอ่อนที่เรียกว่าอนุกรม [ ^{14 ]}และสามารถแสดงได้ผ่านสัญกรณ์ซิกมาตัวใหญ่ซึ่งแสดงถึงการทำซ้ำ ของการดำเนินการบวกโดย ^อิงตามดัชนีที่กำหนด อย่างกระชับ ^{[ 15 ]}ตัวอย่างเช่น ${\textstyle \sum }$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.}$$

การบวกถูกนำมาใช้เพื่อจำลองกระบวนการทางกายภาพหลายอย่าง แม้แต่ในกรณีง่ายๆ อย่างการบวกจำนวนธรรมชาติก็ยังมีการตีความได้หลายแบบ และมีรูปแบบการแสดงผลทางภาพอีกมากมาย

การตีความการบวกขั้นพื้นฐานที่สุดอาจอยู่ที่การรวมเซตนั่นคือ: ^{[ 2 ]}

เมื่อรวมกลุ่มข้อมูลที่ไม่ซ้ำกันสองกลุ่มขึ้นไปเข้าเป็นกลุ่มข้อมูลเดียว จำนวนวัตถุในกลุ่มข้อมูลเดียวนั้นจะเท่ากับผลรวมของจำนวนวัตถุในกลุ่มข้อมูลเดิมทั้งหมด

การตีความนี้ง่ายต่อการมองเห็นภาพ และมีความเสี่ยงต่อความกำกวมน้อยมาก นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์ในคณิตศาสตร์ขั้นสูง (สำหรับคำจำกัดความที่เข้มงวดซึ่งเป็นแรงบันดาลใจ โปรดดู§ จำนวนธรรมชาติด้านล่าง) อย่างไรก็ตาม ยังไม่ชัดเจนว่าควรขยายการตีความนี้อย่างไรเพื่อรวมจำนวนเศษส่วนหรือจำนวนลบ^{[ 16 ]}

ความเป็นไปได้ประการหนึ่งคือการพิจารณาชุดของวัตถุที่สามารถแบ่งได้ง่าย เช่น พาย หรือที่ดียิ่งกว่านั้นคือแท่งที่แบ่งเป็นส่วนๆ แทนที่จะรวมชุดของส่วนต่างๆ เข้าด้วยกัน แท่งสามารถต่อกันแบบปลายต่อปลาย ซึ่งแสดงให้เห็นถึงแนวคิดการบวกอีกแบบหนึ่ง นั่นคือการบวกไม่ใช่แท่ง แต่เป็นการบวกความยาวของแท่ง^{[ 17 ]}

ภาพแสดงการบวกบนเส้นจำนวนการ "กระโดด" ที่มีความยาวเท่ากับ n ตามด้วยอีกการกระโดดที่มีความยาวเท่ากับ n นั้น เหมือนกับการกระโดดที่มีความยาวเท่ากับn${\displaystyle 2+4=6}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 6}$

ภาพแสดงการบวกบนเส้นจำนวน ซึ่งแสดงเป็นการบวกหนึ่งจำนวนสี่ครั้ง การเลื่อนตำแหน่ง ด้วยค่าหนึ่งเท่ากับการเลื่อนตำแหน่งด้วยค่าหนึ่งจำนวนสี่ครั้ง${\displaystyle 2+4=6}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 1}$

การตีความการบวกแบบที่สองมาจากการขยายความยาวเริ่มต้นด้วยความยาวที่กำหนด: ^{[ 18 ]}

เมื่อความยาวเดิมถูกต่อเติมออกไปในปริมาณที่กำหนด ความยาวสุดท้ายจะเป็นผลรวมของความยาวเดิมและความยาวที่ต่อเติม

ผลรวมสามารถตีความได้ว่าเป็นการดำเนินการแบบไบนารีที่รวมและ เข้า ด้วยกันในเชิงพีชคณิต หรือสามารถตีความได้ว่าเป็นการเพิ่มหน่วยเพิ่มเติมให้กับ ภายใต้การตีความแบบหลัง ส่วนต่าง ๆ ของผลรวมจะมีบทบาทที่ไม่สมมาตร และการดำเนินการจะถูกมองว่าเป็นการใช้ การดำเนินการ เอกภาคกับ^{[ 19 ]}แทนที่จะเรียกทั้งและ ว่าตัวบวก การเรียก "ตัวบวก" ในกรณีนี้จะเหมาะสมกว่า เนื่องจาก มีบทบาทแบบพาสซีฟ^{[ 20 ]}มุมมองเอกภาคยังมีประโยชน์เมื่อกล่าวถึงการลบเพราะการดำเนินการบวกเอกภาคแต่ละครั้งมีการดำเนินการลบเอกภาคผกผัน และในทางกลับกัน^{[ 21 ]}${\displaystyle a+b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle +b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

การบวกเป็นการสลับที่ได้หมายความว่าเราสามารถเปลี่ยนลำดับของพจน์ในการบวกได้ แต่ผลลัพธ์ยังคงเหมือนเดิม ในเชิงสัญลักษณ์ ถ้าและเป็นจำนวนใดๆ สองจำนวน แล้ว: ^{[ 22 ]} ข้อเท็จจริงที่ว่าการบวกเป็นการสลับที่ได้เรียกว่า "กฎการสลับที่ของการบวก" ^{[ 23 ]}หรือ "คุณสมบัติการสลับที่ของการบวก" ^{[ 24 ]}การดำเนินการทวิภาคอื่นๆ บางอย่างก็เป็นการสลับที่ได้เช่นกัน เช่นการคูณ [ ^{25 ] แต่ บาง}อย่างไม่ใช่ เช่นการลบและการหาร^{[ 26 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle a+b=b+a.}$$

การบวกมีคุณสมบัติการสลับที่ ซึ่งหมายความว่าเมื่อบวกเลขสามตัวขึ้นไปลำดับการดำเนินการจะไม่เปลี่ยนแปลงผลลัพธ์ สำหรับเลขสามตัวใดๆ, , และ, จะเป็นจริงว่า: ^{[ 27 ]} ตัวอย่างเช่น. ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c).}$$${\displaystyle (1+2)+3=1+(2+3)}$

เมื่อใช้การบวกร่วมกับการดำเนินการอื่นๆลำดับการดำเนินการจะมีความสำคัญ ในลำดับการดำเนินการมาตรฐาน การบวกมีลำดับความสำคัญต่ำกว่าการยกกำลัง ราก ที่nการคูณ และการหาร แต่มีลำดับความสำคัญเท่ากับการลบ^{[ 28 ]}

การบวกศูนย์กับจำนวนใดๆ จะไม่ทำให้จำนวนนั้นเปลี่ยนแปลง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ศูนย์คือองค์ประกอบเอกลักษณ์ของการบวก และยังเป็นที่รู้จักในชื่อเอกลักษณ์การบวกในสัญลักษณ์ สำหรับทุกๆจะมี: ^{[ 27 ]} กฎนี้ได้รับการระบุครั้งแรกในBrahmagupta 's Brahmasphutasiddhantaในปี ค.ศ. 628 แม้ว่าเขาจะเขียนเป็นกฎแยกกันสามข้อ ขึ้นอยู่กับว่าเป็นลบ บวก หรือศูนย์ และเขาใช้คำพูดแทนสัญลักษณ์พีชคณิต ต่อมานักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย คนอื่นๆ ได้ปรับปรุงแนวคิดนี้ให้ดียิ่งขึ้น ประมาณปี ค.ศ. 830 มหาวีระเขียนว่า "ศูนย์กลายเป็นสิ่งเดียวกับสิ่งที่ถูกบวกเข้าไป" ซึ่งสอดคล้องกับประโยคเอกภาคในศตวรรษที่ 12 ภัสการะเขียนว่า "ในการบวกหรือการลบเลขศูนย์ ปริมาณ ไม่ว่าจะเป็นบวกหรือลบ ก็ยังคงเหมือนเดิม" ซึ่งสอดคล้องกับประโยคเอกภาค^{[ 29 ]}${\displaystyle a}$$${\displaystyle a+0=0+a=a.}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle 0+a=a}$${\displaystyle a+0=a}$

ในบริบทของจำนวนเต็ม การบวกหนึ่งยังมีบทบาทพิเศษอีกด้วย: สำหรับจำนวนเต็มใดๆจำนวนเต็ม 1 คือจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า 1 ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าตัวสืบทอดของ1 ตัวอย่างเช่น 3 เป็นตัวสืบทอดของ 2 และ 7 เป็นตัวสืบทอดของ 6 เนื่องจากการสืบทอดนี้ ค่าของ 1 จึงสามารถมองได้ว่าเป็น ตัวสืบทอดลำดับที่ 1ของ 1 ทำให้การบวกเป็นการสืบทอดแบบวนซ้ำ ตัวอย่างเช่น6 + 2คือ 8 เพราะ 8 เป็นตัวสืบทอดของ 7 ซึ่งเป็นตัวสืบทอดของ 6 ทำให้ 8 เป็นตัวสืบทอดลำดับที่สองของ 6 ^{[ 30 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle a+1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$

ในการบวกปริมาณทางกายภาพที่มีหน่วย ในเชิงตัวเลข จะต้องแสดงด้วยหน่วยทั่วไป^{[ 31 ]}ตัวอย่างเช่น การบวก 50 มิลลิลิตรกับ 150 มิลลิลิตรจะได้ 200 มิลลิลิตร อย่างไรก็ตาม หากวัดความยาว 5 ฟุตแล้วขยายออกไปอีก 2 นิ้ว ผลรวมจะเป็น 62 นิ้ว เนื่องจาก 60 นิ้วมีค่าเท่ากับ 5 ฟุต ในทางกลับกัน การพยายามบวก 3 เมตรกับ 4 ตารางเมตรมักจะไม่มีความหมาย เนื่องจากหน่วยเหล่านั้นไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ การพิจารณาในลักษณะนี้เป็นพื้นฐานในการวิเคราะห์มิติ^{[ 32 ]}

การศึกษาเกี่ยวกับการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ที่เริ่มต้นในช่วงทศวรรษ 1980 ได้ใช้ประโยชน์จากปรากฏการณ์การปรับตัว : ทารกจะมองสถานการณ์ที่ไม่คาดคิดนานกว่า^{[ 33 ]}การทดลองที่สำคัญโดยKaren Wynnในปี 1992 ซึ่งเกี่ยวข้องกับ ตุ๊กตา Mickey Mouseที่ถูกควบคุมอยู่หลังฉาก แสดงให้เห็นว่าทารกอายุ 5 เดือนคาดหวังว่า1 + 1จะเท่ากับ 2 และพวกเขารู้สึกประหลาดใจเมื่อสถานการณ์ทางกายภาพดูเหมือนจะบ่งบอกว่า1 + 1จะเท่ากับ 1 หรือ 3 ผลการค้นพบนี้ได้รับการยืนยันจากห้องปฏิบัติการต่างๆ โดยใช้วิธีการที่แตกต่างกัน^{[ 34 ]}การทดลองอีกครั้งในปี 1992 กับเด็กวัย หัดเดินที่โตขึ้น ระหว่าง 18 ถึง 35 เดือน ได้ใช้ประโยชน์จากการพัฒนาการควบคุมการเคลื่อนไหวของพวกเขาโดยอนุญาตให้พวกเขานำ ลูก ปิงปอง ออก จากกล่อง เด็กที่อายุน้อยที่สุดตอบสนองได้ดีสำหรับตัวเลขเล็กๆ ในขณะที่เด็กที่โตกว่าสามารถคำนวณผลรวมได้ถึง 5 ^{[ 35 ]}

แม้แต่สัตว์ที่ไม่ใช่มนุษย์บางชนิดก็แสดงความสามารถในการบวกได้ในระดับจำกัด โดยเฉพาะลิงในการทดลองในปี 1995 ที่เลียนแบบผลลัพธ์ของ Wynn ในปี 1992 (แต่ใช้มะเขือม่วงแทนตุ๊กตา) ลิงแรซัสและลิงทามารินหัว ขาว ก็ทำได้คล้ายกับทารกมนุษย์ ที่น่าทึ่งกว่านั้นคือ หลังจากได้รับการสอนความหมายของตัวเลขอาหรับ 0 ถึง 4 ลิงชิมแปนซี ตัวหนึ่ง ก็สามารถคำนวณผลรวมของตัวเลขสองตัวได้โดยไม่ต้องฝึกฝนเพิ่มเติม^{[ 36 ]}เมื่อไม่นานมานี้ช้างเอเชียได้แสดงให้เห็นถึงความสามารถในการคำนวณเลขคณิตขั้นพื้นฐาน^{[ 37 ]}

โดยทั่วไป เด็กๆ จะเชี่ยวชาญการนับเป็น อันดับแรก เมื่อได้รับโจทย์ที่ต้องการให้รวมสิ่งของสองชิ้นและสามชิ้นเข้าด้วยกัน เด็กเล็กจะจำลองสถานการณ์ด้วยวัตถุจริง ซึ่งมักจะเป็นนิ้วมือหรือภาพวาด แล้วจึงนับผลรวม เมื่อพวกเขามีประสบการณ์มากขึ้น พวกเขาจะเรียนรู้หรือค้นพบกลยุทธ์ของการ "นับต่อ": เมื่อถูกขอให้หาผลรวมของสองบวกสาม เด็กๆ จะนับสามผ่านสอง โดยพูดว่า "สาม สี่ห้า " (โดยปกติจะนับนิ้ว) และได้ผลลัพธ์เป็นห้า กลยุทธ์นี้ดูเหมือนจะเป็นสากล เด็กๆ สามารถเรียนรู้ได้ง่ายจากเพื่อนหรือครู^{[ 38 ]}ส่วนใหญ่ค้นพบด้วยตนเอง เมื่อมีประสบการณ์เพิ่มเติม เด็กๆ จะเรียนรู้การบวกได้เร็วขึ้นโดยใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติการสลับที่ของการบวกโดยการนับขึ้นจากจำนวนที่มากกว่า ในกรณีนี้ เริ่มจากสามและนับ "สี่ห้า " ในที่สุด เด็กๆ จะเริ่มจดจำข้อเท็จจริงการบวกบางอย่าง (" ความสัมพันธ์ของตัวเลข ") ได้ ไม่ว่าจะผ่านประสบการณ์หรือการท่องจำ เมื่อข้อเท็จจริงบางอย่างถูกจดจำไว้ เด็กๆ จะเริ่มอนุมานข้อเท็จจริงที่ไม่รู้จักจากข้อเท็จจริงที่รู้จัก ตัวอย่างเช่น เด็กที่ถูกขอให้บวกหกกับเจ็ดอาจรู้ว่า6 + 6 = 12แล้วจึงใช้เหตุผลว่า6 + 7มากกว่าหนึ่ง หรือ 13 ^{[ 39 ]}ข้อเท็จจริงที่ได้มาเช่นนี้สามารถหาได้อย่างรวดเร็ว และในที่สุดนักเรียนระดับประถมศึกษาส่วนใหญ่จะอาศัยการผสมผสานระหว่างข้อเท็จจริงที่จำได้และข้อเท็จจริงที่ได้มาเพื่อบวกเลขได้อย่างคล่องแคล่ว^{[ 40 ]}

ประเทศต่างๆ แนะนำจำนวนเต็มและเลขคณิตในวัยที่แตกต่างกัน โดยหลายประเทศสอนการบวกตั้งแต่ก่อนวัยเรียน [ ^{41 ] อย่างไรก็ตาม}ทั่วโลกมีการสอนการบวกภายในสิ้นปีแรกของโรงเรียนประถมศึกษา^{[ 42 ]}

ความสามารถในการบวกเลขโดดคู่หนึ่ง (ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9) เป็นเงื่อนไขเบื้องต้นสำหรับการบวกตัวเลขใดๆ ใน ระบบ เลขฐานสิบด้วยตัวเลือก 10 แบบสำหรับแต่ละหลักสองหลักที่จะบวกกัน ทำให้มี "ข้อเท็จจริงการบวก" เลขโดด 100 ข้อ ซึ่งสามารถนำเสนอในตารางการบวกได้^{[ 43 ]}

การเรียนรู้การคำนวณการบวกเลขหลักเดียวได้อย่างคล่องแคล่วและแม่นยำเป็นจุดสำคัญของการเรียนคณิตศาสตร์ในระดับต้น บางครั้งนักเรียนจะได้รับการสนับสนุนให้ท่องจำตารางการบวกทั้งหมด แต่กลยุทธ์ตามรูป แบบมักจะให้ความรู้มากกว่าและมีประสิทธิภาพมากกว่าสำหรับคนส่วนใหญ่^{[ 44 ]}

• คุณสมบัติการสลับที่ : ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น การใช้รูปแบบดังกล่าวจะลดจำนวน "ข้อเท็จจริงการบวก" จาก 100 เหลือ 55 ^{[ 45 ]}${\displaystyle a+b=b+a}$
• อีกหนึ่งหรือสอง : การเพิ่ม 1 หรือ 2 เป็นงานพื้นฐาน และสามารถทำได้โดย ^การนับหรือโดยสัญชาตญาณ^{[ 44} ]
• ศูนย์ : เนื่องจากศูนย์เป็นเอกลักษณ์การบวก การบวกศูนย์จึงเป็นเรื่องง่าย อย่างไรก็ตาม ในการสอนเลขคณิต นักเรียนบางคนได้รับการแนะนำให้รู้จักการบวกในฐานะกระบวนการที่ทำให้ตัวเลขที่นำมาบวกเพิ่มขึ้นเสมอโจทย์ปัญหาอาจช่วยให้เข้าใจ "ข้อยกเว้น" ของศูนย์ได้^{[ 44 ]}
• การคูณสอง : การบวกจำนวนหนึ่งเข้ากับตัวเองเกี่ยวข้องกับการนับทีละสองและการ คูณ ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับ การคูณสองเป็นพื้นฐานสำหรับข้อเท็จจริงที่เกี่ยวข้องหลายอย่าง และนักเรียนพบว่าเข้าใจได้ค่อนข้างง่าย^{[ 44 ]}
• ผล บวกใกล้เคียงสองเท่า : ผลบวกเช่น 6 + 7 = 13 สามารถหาได้อย่างรวดเร็วจากข้อเท็จจริงเรื่องผลบวกสองเท่า6 + 6 = 12โดยการบวกเพิ่มอีกหนึ่ง หรือจาก7 + 7 = 14แต่ลบออกหนึ่ง^{[ 44 ]}
• ห้าและสิบ : ผลรวมในรูปแบบ 5 + xและ 10 + xมักจะจำได้ตั้งแต่เนิ่นๆ และสามารถใช้สำหรับการพิสูจน์ข้อเท็จจริงอื่นๆ ได้ ตัวอย่างเช่น6 + 7 = 13สามารถพิสูจน์ได้จาก5 + 7 = 12โดยการบวกเพิ่มอีกหนึ่ง^{[ 44 ]}
• การสร้างสิบ : กลยุทธ์ขั้นสูงใช้ 10 เป็นตัวกลางสำหรับผลรวมที่เกี่ยวข้องกับ 8 หรือ 9 ตัวอย่างเช่น8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14 ^{[ 44 ]}

เมื่อนักเรียนโตขึ้น พวกเขาจะจดจำข้อเท็จจริงได้มากขึ้น และเรียนรู้ที่จะหาข้อเท็จจริงอื่นๆ ได้อย่างรวดเร็วและคล่องแคล่ว นักเรียนหลายคนไม่สามารถจดจำข้อเท็จจริงทั้งหมดได้ แต่ก็ยังสามารถหาข้อเท็จจริงพื้นฐานใดๆ ได้อย่างรวดเร็ว^{[ 40 ]}

อัลกอริทึมมาตรฐานสำหรับการบวกเลขหลายหลักคือการจัดเรียงตัวเลขที่นำมาบวกกันในแนวตั้งและบวกตามหลักโดยใช้ตารางการบวกข้างต้น โดยเริ่มจากหลักหน่วยทางด้านขวา หากผลลัพธ์ของหลักใดหลักหนึ่งเกินเก้า ตัวเลขส่วนเกินจะถูก " ทด " ไปยังหลักถัดไป ตัวอย่างเช่น ในภาพต่อไปนี้ หลักหน่วยในการบวก59 + 27คือ 9 + 7 = 16 และเลข 1 คือตัวทด^{[ 46 ]}กลยุทธ์ทางเลือกอีกวิธีหนึ่งคือการเริ่มบวกจากหลักที่มีค่ามากที่สุดทางด้านซ้าย วิธีนี้ทำให้การทดยุ่งยากขึ้นเล็กน้อย แต่เร็วกว่าในการประมาณผลรวมคร่าวๆ^{[ b ]}

เศษส่วนทศนิยมสามารถบวกได้โดยการดัดแปลงกระบวนการข้างต้นอย่างง่ายๆ โดยวางเศษส่วนทศนิยมสองตัวไว้เหนือกัน โดยให้จุดทศนิยมอยู่ที่ตำแหน่งเดียวกัน หากจำเป็น สามารถเพิ่มเลขศูนย์ต่อท้ายให้กับทศนิยมที่สั้นกว่าเพื่อให้มีความยาวเท่ากับทศนิยมที่ยาวกว่า สุดท้าย ให้ดำเนินการบวกแบบเดียวกันกับข้างต้น ยกเว้นว่าจุดทศนิยมจะถูกวางไว้ในคำตอบ ในตำแหน่งเดียวกับที่วางไว้ในการบวก^{[ 48 ]}ตัวอย่างเช่น 45.1 + 4.34 สามารถแก้ได้ดังนี้:

 4 5 . 1 0 + 0 4 . 3 4 ———————————— 4 9 . 4 4 

ในการเขียนตัวเลขแบบสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ตัวเลขจะเขียนในรูปแบบโดยที่คือตัวเลขสำคัญและคือส่วนของเลขชี้กำลัง ในการบวกตัวเลขในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ ตัวเลขเหล่านั้นจะต้องแสดงด้วยเลขชี้กำลังเดียวกัน เพื่อให้สามารถบวกตัวเลขสำคัญทั้งสองเข้าด้วยกันได้ง่ายๆ^{[ 49 ]}${\displaystyle x=a\times 10^{b}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 10^{b}}$

ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle {\begin{aligned}&2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}\\&\quad =2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}\\&\quad =2.907\times 10^{-5}.\end{aligned}}}$

การบวกในฐานอื่น ๆ คล้ายกับการบวกเลขฐานสิบมาก ตัวอย่างเช่น เราสามารถพิจารณาการบวกเลขฐานสองได้^{[ 50 ]}การบวกเลขฐานสองหลักเดียวสองจำนวนนั้นค่อนข้างง่าย โดยใช้รูปแบบของการทด: การบวกเลข "1" สองหลักจะให้ผลลัพธ์เป็นเลข "0" ในขณะที่ต้องบวก 1 เข้ากับหลักถัดไป ซึ่งคล้ายกับสิ่งที่เกิดขึ้นในเลขฐานสิบเมื่อบวกเลขหลักเดียวบางจำนวนเข้าด้วยกัน หากผลลัพธ์เท่ากับหรือมากกว่าค่าของฐาน (10) หลักทางซ้ายจะเพิ่มขึ้น: $${\displaystyle {\begin{aligned}0+0&\to 0\\0+1&\to 1\\1+0&\to 1\\1+1&\to 0,\qquad {\text{ทด 1 เนื่องจาก }}1+1=2=0+1\times 2^{1}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}5+5&\to 0,\qquad {\text{ทด 1 เนื่องจาก }}5+5=10=0+1\times 10^{1}\\7+9&\to 6,\qquad {\text{ทด 1 เนื่องจาก }}7+9=16=6+1\times 10^{1}\end{aligned}}}$$

สิ่งนี้เรียกว่าการทด [ ^{51 ] เมื่อ}ผลลัพธ์ของการบวกเกินค่าของตัวเลขหลักใดหลักหนึ่ง ขั้นตอนคือการ "ทด" จำนวนส่วนเกินที่หารด้วยฐาน (นั่นคือ 10/10) ไปทางซ้าย แล้วบวกเข้ากับค่าตำแหน่งถัดไป ซึ่งถูกต้องเนื่องจากตำแหน่งถัดไปมีน้ำหนักที่สูงกว่าด้วยปัจจัยที่เท่ากับฐาน การทดทำงานในลักษณะเดียวกันในระบบเลขฐานสอง

คอมพิวเตอร์อนาล็อกทำงานโดยตรงกับปริมาณทางกายภาพ ดังนั้นกลไกการบวกจึงขึ้นอยู่กับรูปแบบของตัวบวก ตัวบวกเชิงกลอาจแทนตัวบวกสองตัวด้วยตำแหน่งของบล็อกเลื่อน ซึ่งในกรณีนี้สามารถบวกกันได้ด้วยคันโยกเฉลี่ย หากตัวบวกเป็นความเร็วในการหมุนของเพลา สองตัว ก็สามารถบวกกันได้ด้วยตัวต่างระดับ ตัวบวกไฮด รอลิกสามารถบวกความดันในสองห้องโดยใช้กฎข้อที่สองของนิวตันเพื่อปรับสมดุลแรงบนชุดลูกสูบสถานการณ์ที่พบบ่อยที่สุดสำหรับคอมพิวเตอร์อนาล็อกอเนกประสงค์คือการบวกแรงดันไฟฟ้า สองค่า (อ้างอิงกับกราวด์ ) ซึ่งสามารถทำได้คร่าวๆ ด้วยเครือข่ายตัวต้านทานแต่การออกแบบที่ดีกว่าจะใช้ แอมพลิฟายเออ ร์ปฏิบัติการ^{[ 52 ]}

การบวกยังเป็นพื้นฐานในการทำงานของคอมพิวเตอร์ดิจิทัลโดยที่ประสิทธิภาพของการบวก โดยเฉพาะ กลไก การทดเป็นข้อจำกัดที่สำคัญต่อประสิทธิภาพโดยรวม^{[ 53 ]}

ลูกคิดหรือที่เรียกว่ากรอบนับ เป็นเครื่องมือคำนวณที่ใช้กันมาหลายศตวรรษก่อนการนำระบบตัวเลขสมัยใหม่มาใช้ และยังคงใช้กันอย่างแพร่หลายโดยพ่อค้า นักธุรกิจ และเสมียนในเอเชีย แอฟริกาและที่อื่นๆ โดยมีอายุย้อนไปอย่างน้อย 2700–2300 ปีก่อนคริสตกาล ซึ่งใช้ในสุเมเรียน^{[ 54 ]}

แบลส์ ปาสคาลประดิษฐ์เครื่องคิดเลขเชิงกลขึ้นในปี ค.ศ. 1642 ^{[ 55 ]} ซึ่งเป็น เครื่องบวกเลขเครื่องแรกที่ใช้งานได้จริงเครื่องคิดเลขของปาสคาลมีข้อจำกัดอยู่ที่กลไกการทดเลขที่ใช้แรงโน้มถ่วงช่วย ซึ่งทำให้ล้อหมุนได้เพียงทิศทางเดียวเพื่อใช้ในการบวก ส่วนการลบนั้น ผู้ใช้งานต้องใช้ส่วนเติมเต็มของเครื่องคิดเลขของปาสคาลซึ่งต้องใช้จำนวนขั้นตอนเท่ากับการบวก^{[ 56 ]}ก็อตฟรีด ไลบ์นิซสร้าง เครื่องคิดเลขเชิงกลอีกเครื่องหนึ่งที่ เรียกว่า stepped reckonerซึ่งสร้างเสร็จในปี ค.ศ. 1694 และโจวันนี โปเลนีได้ปรับปรุงการออกแบบในปี ค.ศ. 1709 ด้วยนาฬิกาคำนวณที่ทำจากไม้ซึ่งสามารถทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์ได้ทั้งสี่แบบ ความพยายามในช่วงแรกเหล่านี้ไม่ประสบความสำเร็จในเชิงพาณิชย์ แต่เป็นแรงบันดาลใจให้กับเครื่องคิดเลขเชิงกลในศตวรรษที่ 19 ^{[ 57 ]}

ตัวบวกจะทำการบวกจำนวนเต็มในคอมพิวเตอร์ดิจิทัลอิเล็กทรอนิกส์ โดยปกติจะใช้เลขคณิตไบนารีสถาปัตยกรรมที่ง่ายที่สุดคือตัวบวกแบบริปเปิลแครี่ ซึ่งเป็นไปตามอัลกอริธึมหลายหลักมาตรฐาน การปรับปรุงเล็กน้อยอย่างหนึ่งคือ การออกแบบ แบบข้ามแครี่ซึ่งเป็นไปตามสัญชาตญาณของมนุษย์อีกครั้ง กล่าวคือ ไม่จำเป็นต้องทำการทดทั้งหมดในการคำนวณ999 + 1แต่จะข้ามกลุ่มของเลข 9 และข้ามไปยังคำตอบ^{[ 58 ]}

ในทางปฏิบัติ การบวกเชิงคำนวณอาจทำได้โดยใช้ การดำเนินการทางตรรกะแบบบิตไวส์ XORและANDร่วมกับการดำเนินการเลื่อนบิต ทั้งเกต XOR และ AND นั้นง่ายต่อการสร้างในตรรกะดิจิทัล ทำให้สามารถสร้าง วงจร บวกเต็มรูปแบบได้ซึ่งสามารถนำไปรวมเข้ากับการดำเนินการทางตรรกะที่ซับซ้อนมากขึ้นได้ ในคอมพิวเตอร์ดิจิทัลสมัยใหม่ การบวกจำนวนเต็มมักจะเป็นคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่เร็วที่สุด แต่ก็มีผลกระทบต่อประสิทธิภาพมากที่สุด เนื่องจากเป็นพื้นฐานของการดำเนินการจุดลอยตัว ทั้งหมด รวมถึงงานพื้นฐานต่างๆ เช่น การสร้าง แอดเดรสระหว่าง การเข้าถึง หน่วยความจำและการดึงคำสั่งระหว่างการแตกสาขาเพื่อเพิ่มความเร็ว การออกแบบสมัยใหม่จึงคำนวณตัวเลขแบบขนานแผนการเหล่านี้มีชื่อเรียกต่างๆ เช่น carry select, carry lookaheadและLing pseudocarry การใช้งานหลายอย่างเป็นการผสมผสานของการออกแบบสามแบบหลังนี้^{[ 59 ]}

คอมพิวเตอร์แบบทศนิยมบางเครื่องในช่วงปลายทศวรรษ 1950 และต้นทศวรรษ 1960 ใช้ตารางบวกแทนตัวบวก เช่น RCA 301 ^{[ 60 ]} IBM 1620 ^{[ 61 ]}

การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการบนคอมพิวเตอร์อาจเบี่ยงเบนจากอุดมคติทางคณิตศาสตร์ได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น หากผลลัพธ์ของการบวกมีขนาดใหญ่เกินกว่าที่คอมพิวเตอร์จะจัดเก็บได้ จะเกิด การล้นทางคณิตศาสตร์ส่งผลให้เกิดข้อความแสดงข้อผิดพลาดและ/หรือคำตอบที่ไม่ถูกต้อง การล้นทางคณิตศาสตร์ที่ไม่คาดคิดเป็นสาเหตุที่พบบ่อยของข้อผิดพลาดในโปรแกรมข้อบกพร่องที่เกิดจากการล้นดังกล่าวอาจยากต่อการค้นพบและวินิจฉัย เนื่องจากอาจปรากฏให้เห็นเฉพาะกับชุดข้อมูลอินพุตขนาดใหญ่มาก ซึ่งมีโอกาสน้อยที่จะถูกนำมาใช้ในการทดสอบการตรวจสอบ^{[ 62 ]} ปัญหา ปี2000เป็นชุดของข้อบกพร่องที่เกิดข้อผิดพลาดจากการล้นเนื่องจากการใช้รูปแบบ 2 หลักเป็นเวลาหลายปี^{[ 63 ]}

คอมพิวเตอร์มีวิธีการแสดงตัวเลขอีกวิธีหนึ่ง เรียกว่าเลขคณิตจุดลอยตัวซึ่งคล้ายกับสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ที่อธิบายไว้ข้างต้น และช่วยลดปัญหาการล้นค่า ตัวเลขจุดลอยตัวแต่ละตัวมีสองส่วน คือ เลขชี้กำลังและแมนทิสซา ในการบวกตัวเลขจุดลอยตัวสองตัว เลขชี้กำลังต้องตรงกัน ซึ่งโดยทั่วไปหมายถึงการเลื่อนแมนทิสซาของตัวเลขที่เล็กกว่า หากความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่ใหญ่กว่าและเล็กกว่ามากเกินไป อาจทำให้ความแม่นยำลดลง หากต้องการบวกตัวเลขที่เล็กกว่าจำนวนมากเข้ากับตัวเลขที่ใหญ่กว่า ควรบวกตัวเลขที่เล็กกว่าเข้าด้วยกันก่อน แล้วจึงบวกผลรวมเข้ากับตัวเลขที่ใหญ่กว่า แทนที่จะบวกตัวเลขที่เล็กกว่าเข้ากับตัวเลขที่ใหญ่กว่าทีละตัว วิธีนี้ทำให้การบวกเลขจุดลอยตัวไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่โดยทั่วไป^{[ 64 ]}

เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติปกติของการบวก เราต้องกำหนดการบวกสำหรับบริบทที่เกี่ยวข้องก่อน การบวกถูกกำหนดขึ้นครั้งแรกบนจำนวนธรรมชาติในทฤษฎีเซตการบวกจะถูกขยายไปยังเซตที่ใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ ซึ่งรวมถึงจำนวนธรรมชาติ ได้แก่จำนวนเต็มจำนวนตรรกยะและจำนวนจริง[ ^{65 ]}ในการศึกษาคณิตศาสตร์ [ ^{c ] เศษส่วนบวกจะถูกบวกก่อนที่จะ พิจารณา}จำนวนลบด้วยซ้ำ นี่เป็นเส้นทางทางประวัติศาสตร์เช่น^{กัน[ 67 ]}

มีสองวิธีที่นิยมใช้ในการกำหนดผลรวมของจำนวนธรรมชาติสองจำนวนคือ และถ้าหากเรากำหนดให้จำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด (จำนวนสมาชิกของเซตคือจำนวนองค์ประกอบในเซต) แล้ว การกำหนดผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งสองจำนวนดังต่อไปนี้จึงเหมาะสม: ^{[ 68 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

ให้เป็นจำนวนสมาชิกของเซตพิจารณาเซตที่ไม่ซ้ำกันสองเซตและโดยที่และแล้วถูกกำหนดให้เป็น โดยที่หมายถึงการ รวมกันของและ${\displaystyle N(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle N(A)=a}$${\displaystyle N(B)=b}$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle N(A\cup B)}$${\displaystyle A\cup B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

คำจำกัดความยอดนิยมอีกประการหนึ่งคือแบบเรียกซ้ำ: ^{[ 69 ]}

ให้เป็นตัวสืบทอดของนั่นคือจำนวนที่ตามมาในจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น. กำหนดให้. กำหนดผลรวมทั่วไปแบบเวียนเกิดโดย. ดังนั้น. ${\displaystyle n^{+}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0^{+}=1}$${\displaystyle 1^{+}=2}$${\displaystyle a+0=a}$${\displaystyle a+b^{+}=(a+b)^{+}}$${\displaystyle 1+1=1+0^{+}=(1+0)^{+}=1^{+}=2}$

อีกครั้งหนึ่ง มีความแตกต่างเล็กน้อยในคำจำกัดความนี้ในเอกสารทางวิชาการ หากนำคำจำกัดความข้างต้นมาใช้ตามตัวอักษร จะเป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทการเรียกซ้ำบน เซต ที่มีลำดับบางส่วน^{[ 70 ]}ในทางกลับกัน บางแหล่งข้อมูลนิยมใช้ทฤษฎีบทการเรียกซ้ำแบบจำกัดที่ใช้ได้เฉพาะกับเซตของจำนวนธรรมชาติเท่านั้น จากนั้นจึงพิจารณาว่า เป็น "คงที่" ชั่วคราว ใช้การเรียกซ้ำกับเพื่อกำหนดฟังก์ชัน " " และนำการดำเนินการเอกภาคเหล่านี้ทั้งหมดมารวมกันเพื่อสร้างการดำเนินการทวิภาคที่สมบูรณ์^{[ 71 ]}${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a+}$${\displaystyle a}$

การกำหนดสูตรการบวกแบบเรียกซ้ำนี้ได้รับการพัฒนาโดย Dedekind ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2397 และเขาจะขยายเพิ่มเติมในทศวรรษต่อมา เขาพิสูจน์คุณสมบัติการเชื่อมโยงและการสลับที่ รวมถึงคุณสมบัติอื่นๆ ผ่าน การเหนี่ยว นำทางคณิตศาสตร์^{[ 72 ]}

แนวคิดที่ง่ายที่สุดของจำนวนเต็มคือประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ (ซึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติ) และเครื่องหมาย (โดยทั่วไปจะเป็นบวกหรือลบ ) จำนวนเต็มศูนย์เป็นกรณีพิเศษที่สาม ซึ่งไม่เป็นทั้งบวกหรือลบ นิยามที่สอดคล้องกันของการบวกจะต้องดำเนินการตามกรณีต่างๆ: ^{[ 73 ]}

สำหรับจำนวนเต็มให้เป็นค่าสัมบูรณ์ของจำนวนนั้น ให้และเป็นจำนวนเต็ม ถ้าหรือเป็นศูนย์ ให้ถือว่าเป็นเอกลักษณ์ ถ้าและเป็นบวกทั้งคู่ ให้กำหนดถ้าและเป็นลบทั้งคู่ ให้กำหนดถ้าและมีเครื่องหมายต่างกัน ให้กำหนดเป็นผลต่างระหว่างและโดยใช้เครื่องหมายของพจน์ที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า ${\displaystyle n}$${\displaystyle ||n|}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a+b=|a|+|b|}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a+b=-(|a|+|b|)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle |a|}$${\displaystyle ||b|}$

ตัวอย่างเช่น−6 + 4 = −2เนื่องจาก −6 และ 4 มีเครื่องหมายต่างกัน จึงนำค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองมาลบกัน และเนื่องจากค่าสัมบูรณ์ของพจน์ที่เป็นลบมีค่ามากกว่า ผลลัพธ์จึงเป็นลบ

แม้ว่าคำจำกัดความนี้จะมีประโยชน์สำหรับปัญหาเฉพาะเจาะจง แต่จำนวนกรณีที่ต้องพิจารณาทำให้การพิสูจน์ซับซ้อนโดยไม่จำเป็น ดังนั้นวิธีการต่อไปนี้จึงมักใช้ในการกำหนดจำนวนเต็ม โดยอิงจากข้อสังเกตที่ว่าจำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นผลต่างของจำนวนเต็มธรรมชาติสองจำนวน และผลต่างสองจำนวนดังกล่าว คือและจะเท่ากันก็ต่อเมื่อดังนั้น เราสามารถกำหนดจำนวนเต็มอย่างเป็นทางการเป็นชั้นสมมูลของคู่ลำดับของจำนวนธรรมชาติภายใต้ความสัมพันธ์สมมูลก็ต่อเมื่อ[ ^{74 ] ชั้น}สมมูลของประกอบด้วย ถ้าหรือถ้าเป็นอย่างอื่น เมื่อกำหนดให้เป็นจำนวนธรรมชาติแล้ว เราสามารถกำหนดชั้นสมมูลของและ ด้วยชั้นสมมูลของซึ่งทำให้สามารถระบุจำนวนธรรมชาติด้วยชั้นสมมูลได้ ${\displaystyle ab}$${\displaystyle cd}$${\displaystyle a+d=b+c}$${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$${\displaystyle a+d=b+c}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (a-b,0)}$${\displaystyle a\geq b}$${\displaystyle (0,b-a)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle +n}$${\displaystyle (n,0)}$${\displaystyle -n}$${\displaystyle (0,n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle +n}$

การบวกคู่ลำดับจะทำทีละส่วนประกอบ: ^{[ 75 ]} การคำนวณโดยตรงแสดงให้เห็นว่าชั้นสมมูลของผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับชั้นสมมูลของตัวบวกเท่านั้น และด้วยเหตุนี้จึงกำหนดการบวกของชั้นสมมูล นั่นคือจำนวนเต็ม^{[ 76 ]}การคำนวณโดยตรงอีกวิธีหนึ่งแสดงให้เห็นว่าการบวกนี้เหมือนกับคำจำกัดความกรณีข้างต้น $${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$$

การบวกจำนวนตรรกยะเกี่ยวข้องกับเศษส่วนการคำนวณสามารถทำได้โดยใช้ตัวหารร่วมที่น้อยที่สุดแต่คำจำกัดความที่ง่ายกว่าในเชิงแนวคิดเกี่ยวข้องกับการบวกและการคูณจำนวนเต็มเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ผลรวม^{[ 77 ]}$${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$$${\textstyle {\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\,\times \,8\,+\,4\,\times \,1}{4\times 8}}={\frac {24\,+\,4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}}$

การบวกเศษส่วนจะง่ายกว่ามากเมื่อตัวส่วนเท่ากัน ในกรณีนี้ เราสามารถบวกตัวเศษโดยที่ตัวส่วนยังคงเท่าเดิม ^ได้ ดังนั้น[ ^{77 ]}$${\displaystyle {\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}},}$$${\textstyle {\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1\,+\,2}{4}}={\frac {3}{4}}}$

คุณสมบัติการสลับที่และการจัดกลุ่มของการบวกจำนวนตรรกยะเป็นผลที่ได้ง่ายจากกฎของเลขคณิตจำนวนเต็ม^{[ 78 ]}

การสร้างเซตของจำนวนจริงที่พบได้ทั่วไปคือการเติมเต็มเซตของจำนวนตรรกยะแบบเดเดคินด์ จำนวนจริงถูกกำหนดให้เป็นการตัดแบบเดเดคินด์ของจำนวนตรรกยะ: เซตของจำนวนตรรกยะที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งปิดลงด้านล่างและไม่มีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดผลรวมของจำนวนจริงaและbถูกกำหนดโดยสมาชิกแต่ละตัว: ^{[ 79 ]} คำจำกัดความนี้ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในรูปแบบที่แก้ไขเล็กน้อยโดยริชาร์ด เดเดคินด์ในปี พ.ศ. 2415 ^{[ 80 ]} การสลับที่และการจัดกลุ่มของการบวกจำนวนจริงนั้นเห็นได้ชัดเจน การกำหนดจำนวนจริง 0 เป็นเซตของจำนวนตรรกยะลบ ทำให้เห็นได้ง่ายว่าเป็นเอกลักษณ์การบวก ส่วนที่ยุ่งยากที่สุดของการสร้างนี้ที่เกี่ยวข้องกับการบวกน่าจะเป็นคำจำกัดความของตัวผกผันการบวก^{[ 81 ]}$${\displaystyle a+b=\{q+r\mid q\in a,r\in b\}.}$$

น่าเสียดายที่การจัดการกับการคูณของ Dedekind cuts เป็นกระบวนการที่ใช้เวลานานและต้องพิจารณาเป็นรายกรณีคล้ายกับการบวกจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมาย^{[ 82 ]}อีกแนวทางหนึ่งคือการเติมเต็มเมตริกของจำนวนตรรกยะ จำนวนจริงโดยพื้นฐานแล้วถูกกำหนดให้เป็นลิมิตของลำดับโคชีของจำนวนตรรกยะ การบวกถูกกำหนดเป็นพจน์ต่อพจน์: ^{[ 83 ]} คำจำกัดความนี้ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกโดยGeorg Cantorในปี 1872 เช่นกัน แม้ว่ารูปแบบของเขาจะแตกต่างออกไปเล็กน้อย^{[ 84 ]} เราต้องพิสูจน์ว่าการดำเนินการนี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างดี โดยจัดการกับลำดับโคชี เมื่อภารกิจนั้นเสร็จสิ้น คุณสมบัติทั้งหมดของการบวกจำนวนจริงจะตามมาทันทีจากคุณสมบัติของจำนวนตรรกยะ ยิ่งไปกว่านั้น การดำเนินการทางคณิตศาสตร์อื่นๆ รวมถึงการคูณ มีคำจำกัดความที่ตรงไปตรงมาและคล้ายคลึงกัน^{[ 85 ]}${\displaystyle \lim a_{n}}$$${\displaystyle \lim _{n}a_{n}+\lim _{n}b_{n}=\lim _{n}(a_{n}+b_{n}).}$$

จำนวนเชิงซ้อนจะถูกบวกโดยการบวกส่วนจริงและส่วนจินตนาการของตัวบวก^{[ 86 ] [ 87 ]}กล่าวคือ:

${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.}$

การใช้การแสดงภาพของจำนวนเชิงซ้อนในระนาบเชิงซ้อน การบวกมีการตีความทางเรขาคณิตดังต่อไปนี้: ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนAและB ซึ่ง ^{ตีความ}ว่าเป็นจุดในระนาบเชิงซ้อน คือจุดXที่ได้จากการสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีจุดยอดสามจุดคือO , AและB ^{[ 88} ]

การดำเนินการทวิภาคหลายอย่างสามารถมองได้ว่าเป็นการขยายความของการดำเนินการบวกบนจำนวนจริง สาขาพีชคณิตให้ความสำคัญอย่างยิ่งกับการดำเนินการแบบขยายความเหล่านี้ และยังปรากฏในทฤษฎีเซตและทฤษฎีหมวดหมู่ด้วย

ในทฤษฎีกลุ่มกลุ่มคือโครงสร้างพีชคณิตที่อนุญาตให้ประกอบองค์ประกอบสองตัวใดๆ ก็ได้ ในกรณีพิเศษที่ลำดับไม่สำคัญ ตัวดำเนินการประกอบบางครั้งเรียกว่าการบวก กลุ่มดังกล่าวเรียกว่ากลุ่มอาเบเลียนหรือกลุ่มสลับที่ ตัวดำเนินการประกอบมักเขียนเป็น "+" ^{[ 89 ]}

ในพีชคณิตเชิงเส้นปริภูมิเวกเตอร์เป็นโครงสร้างพีชคณิตที่อนุญาตให้บวกเวกเตอร์ สองตัวใดๆ และปรับขนาดเวกเตอร์ ปริภูมิเวกเตอร์ที่คุ้นเคยคือเซตของคู่ลำดับทั้งหมดของจำนวนจริง โดยคู่ลำดับจะถูกตีความว่าเป็นเวกเตอร์จากจุดกำเนิดในระนาบยุคลิดไปยังจุดในระนาบ ผลรวมของเวกเตอร์สองตัวได้มาจากการบวกพิกัดของเวกเตอร์แต่ละตัว การดำเนินการบวกนี้เป็นหัวใจสำคัญของกลศาสตร์คลาสสิกซึ่งความเร็วความเร่งและแรงทั้งหมดถูกแทนด้วยเวกเตอร์^{[ 90 ]}${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (a,b)}$$${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$$

การบวกเมทริกซ์ถูกกำหนดสำหรับเมทริกซ์สองเมทริกซ์ที่มีมิติเท่ากัน ผลรวมของ เมทริกซ์ m × n (อ่านว่า "m by n") สองเมทริกซ์AและBซึ่งเขียนแทนด้วยA + Bก็คือ เมทริกซ์ m × n อีกครั้งหนึ่ง ซึ่งคำนวณโดยการบวกองค์ประกอบที่สอดคล้องกัน: ^{[ 91 ] [ 92 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\[8mu]&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}\\[8mu]&={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

ในเลขคณิตแบบโมดูลาร์เซตของตัวเลขที่มีอยู่จะถูกจำกัดไว้ที่เซตย่อยจำกัดของจำนวนเต็ม และการบวกจะ "วนรอบ" เมื่อถึงค่าที่กำหนด ซึ่งเรียกว่าโมดูลัส^{[ 93 ]}ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนเต็มโมดูลัส 12 มีสมาชิก 12 ตัว โดยจะได้รับการดำเนินการบวกจากจำนวนเต็มซึ่งเป็นหัวใจสำคัญของทฤษฎีเซตทางดนตรี [ ^{94 ] เซต}ของจำนวนเต็มโมดูลัส 2 มีเพียง 2 สมาชิก การดำเนินการบวกที่มันได้รับมานั้นเป็นที่รู้จักในตรรกะบูลีน ในชื่อ ฟังก์ชัน" exclusive or " ^{[ 95 ]}การดำเนินการ "วนรอบ" ที่คล้ายกันเกิดขึ้นในเรขาคณิตโดยที่ผลรวมของการวัดมุมสองมุมมักจะถือว่าเป็นผลรวมของจำนวนจริงโมดูลัส 2π ซึ่งเทียบเท่ากับการดำเนินการบวกบนวงกลม ซึ่งในทางกลับกันจะขยายไปสู่การดำเนินการของ กลุ่ม Lieมิติสูงกว่า^{[ 96 ]}

ทฤษฎีทั่วไปของพีชคณิตนามธรรมอนุญาตให้การดำเนินการ "บวก" เป็นการดำเนินการใดๆ ที่เป็นสมาคมและสลับที่ได้บนเซตโครงสร้างพีชคณิต พื้นฐาน ที่มีการดำเนินการบวกดังกล่าว ได้แก่โมโนอิดแบบสลับที่ได้และกลุ่มอาเบเลียน^{[ 97 ]}

การรวมเชิงเส้นเป็นการรวมการคูณและการบวกเข้าด้วยกัน กล่าวคือเป็นการบวกที่แต่ละพจน์มีตัวคูณ ซึ่งโดยปกติจะเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนการรวมเชิงเส้นมีประโยชน์อย่างยิ่งในบริบทที่การบวกโดยตรงจะละเมิดกฎการทำให้เป็นมาตรฐานบางอย่าง เช่นการผสมกลยุทธ์ในทฤษฎีเกมหรือการซ้อนทับของสถานะในกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 98 ]}

การสรุปทั่วไปที่กว้างขวางของการบวกจำนวนธรรมชาติคือการบวกจำนวนเชิงอันดับและจำนวนเชิงปริมาณในทฤษฎีเซต สิ่งเหล่านี้ให้การสรุปทั่วไปที่แตกต่างกันสองแบบของการบวกจำนวนธรรมชาติกับ จำนวนอนันต์ ต่างจากการดำเนินการบวกส่วนใหญ่ การบวกจำนวนเชิงอันดับไม่เป็นไปตามการสลับที่^{[ 99 ]}อย่างไรก็ตาม การบวกจำนวนเชิงปริมาณเป็นการดำเนินการสลับที่ซึ่งเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการดำเนินการรวมที่ไม่ทับซ้อนกัน^{[ 100 ]}

ในทฤษฎีหมวดหมู่การรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันถือเป็นกรณีเฉพาะของการดำเนินการผลคูณร่วม^{[ 101 ]}และผลคูณร่วมทั่วไปอาจเป็นนามธรรมที่สุดของการสรุปทั่วไปของการบวก ผลคูณร่วมเช่นผลรวมโดยตรงได้รับการตั้งชื่อเพื่อสื่อถึงความเชื่อมโยงกับการบวก^{[ 102 ]}

การลบสามารถคิดได้ว่าเป็นรูปแบบหนึ่งของการบวก นั่นคือ การบวกของตัวผกผันการบวก การลบเองก็เป็นตัวผกผันของการบวกเช่นกัน เพราะการบวกและการลบเป็นฟังก์ชันผกผันกัน [ ^{103 ] เมื่อ}กำหนดเซตที่มีการดำเนินการบวกแล้ว เราไม่สามารถกำหนดการดำเนินการลบที่สอดคล้องกันบนเซตนั้นได้เสมอไป เซตของจำนวนธรรมชาติเป็นตัวอย่างง่ายๆ ในทางกลับกัน การดำเนินการลบจะกำหนดการดำเนินการบวก การดำเนินการผกผันการบวก และเอกลักษณ์การบวกได้อย่างเฉพาะเจาะจง ด้วยเหตุนี้ กลุ่มการบวกจึงสามารถอธิบายได้ว่าเป็นเซตที่ปิดภายใต้การลบ^{[ 104 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

การคูณสามารถคิดได้ว่าเป็นการบวกซ้ำๆถ้ามีพจน์เดียวคือxปรากฏในผลรวมครั้ง ผลรวมนั้นจะเป็นผลคูณของ x กับxอย่างไรก็ตาม วิธีนี้ใช้ได้เฉพาะกับจำนวนธรรมชาติเท่านั้น^{[ 105 ]}ตามนิยามทั่วไป การคูณคือการดำเนินการระหว่างตัวเลขสองตัว เรียกว่าตัวคูณและตัวตั้งคูณ ซึ่งรวมกันเป็นตัวเลขเดียวที่เรียกว่าผลคูณ^{[ 106 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ในจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน การบวกและการคูณสามารถสลับกันได้ด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลัง : ^{[ 107 ]} เอกลักษณ์นี้ทำให้สามารถดำเนินการคูณได้โดยการดูตารางลอการิทึมและคำนวณการบวกด้วยมือ นอกจากนี้ยังทำให้สามารถคูณบนไม้บรรทัดคำนวณได้สูตรนี้ยังคงเป็นการประมาณค่าอันดับแรกที่ดีในบริบทกว้างๆ ของกลุ่ม Lieซึ่งเชื่อมโยงการคูณขององค์ประกอบกลุ่มอนันต์กับการบวกเวกเตอร์ในพีชคณิตLie ที่เกี่ยวข้อง ^{[ 108 ]}$${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}.}$$

การคูณมีรูปแบบทั่วไปมากกว่าการบวกเสียอีก^{[ 109 ]}โดยทั่วไป การดำเนินการคูณจะกระจายตัวเหนือการบวกเสมอ ข้อกำหนดนี้ได้รับการกำหนดเป็นทางการในนิยามของริงในบางบริบท จำนวนเต็ม การกระจายตัวเหนือการบวก และการมีอยู่ของเอกลักษณ์การคูณก็เพียงพอที่จะกำหนดการดำเนินการคูณได้อย่างเฉพาะเจาะจง คุณสมบัติการกระจายตัวยังให้ข้อมูลเกี่ยวกับการดำเนินการบวกอีกด้วย โดยการขยายผลคูณในทั้งสองทาง สรุปได้ว่าการบวกถูกบังคับให้เป็นแบบสลับที่ได้ ด้วยเหตุนี้ การบวกในริงจึงเป็นแบบสลับที่ได้โดยทั่วไป^{[ 110 ]}${\displaystyle (1+1)(a+b)}$

การหารเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการบวกเพียงเล็กน้อย เนื่องจากการหารมีการกระจายแบบขวาเหนือการบวก: ^{[ 111 ]}อย่างไรก็ตาม การหารไม่มีการกระจายแบบซ้ายเหนือการบวก เช่นไม่เหมือนกับ^{[ 112 ]}${\displaystyle a/b=ab^{-1}}$${\displaystyle (a+b)/c=a/c+b/c}$${\displaystyle 1/(2+2)}$${\displaystyle 1/2+1/2}$

การดำเนินการหาค่าสูงสุดเป็นการดำเนินการแบบไบนารีที่คล้ายกับการบวก ในความเป็นจริง หากจำนวนที่ไม่เป็นลบสองจำนวนและมีขนาด ต่างกัน ผลรวมของพวกมันจะเท่ากับค่าสูงสุดโดยประมาณ การประมาณนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์ เช่น ในการตัดทอนอนุกรมเทย์เลอร์อย่างไรก็ตาม มันก่อให้เกิดความยากลำบากอย่างต่อเนื่องในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเนื่องจาก "ค่าสูงสุด" ไม่สามารถผกผันได้ หากมีค่ามากกว่ามากการคำนวณค่าโดยตรงอาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ ที่ไม่สามารถยอมรับได้ หรืออาจได้ค่าเป็นศูนย์ด้วยซ้ำ ดูเพิ่มเติมที่การสูญเสียความสำคัญ^{[ 64 ]}${\displaystyle \max(a,b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle (a+b)-b}$

การประมาณค่าจะกลายเป็นค่าที่แม่นยำในขีดจำกัดอนันต์ชนิดหนึ่ง หากหรือเป็นจำนวนคาร์ดินัล อนันต์ ผลรวมคาร์ดินัลของทั้งสองจะเท่ากับค่าที่มากกว่าของทั้งสองอย่างพอดี^{[ d ]}ดังนั้นจึงไม่มีการดำเนินการลบสำหรับคาร์ดินัลอนันต์^{[ 114 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

การหาค่าสูงสุดนั้นมีคุณสมบัติการสลับที่และการจัดกลุ่ม เช่นเดียวกับการบวก ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากบวกรักษาลำดับของจำนวนจริง การบวกจึงกระจายตัวเหนือ "ค่าสูงสุด" ในลักษณะเดียวกับการคูณที่กระจายตัวเหนือการบวก ด้วยเหตุผลเหล่านี้ ในเรขาคณิตแบบทรอปิคอลจึงมีการแทนที่การคูณด้วยการบวก และการบวกด้วยการหาค่าสูงสุด ในบริบทนี้ การบวกเรียกว่า "การคูณแบบทรอปิคอล" การหาค่าสูงสุดเรียกว่า "การบวกแบบทรอปิคอล" และ "เอกลักษณ์การบวก" แบบทรอปิคอลคือลบอนันต์ [ ^{115 ] ผู้}เขียนบางคนชอบที่จะแทนที่การบวกด้วยการหาค่าต่ำสุด จากนั้นเอกลักษณ์การบวกจะเป็นบวกอนันต์^{[ 116 ]}$${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c).}$$

เมื่อนำข้อสังเกตเหล่านี้มารวมกัน การบวกแบบเขตร้อนจะมีความสัมพันธ์โดยประมาณกับการบวกแบบปกติผ่านทางลอการิทึม ซึ่ง จะมีความแม่นยำมากขึ้นเมื่อฐานของลอการิทึมเพิ่มขึ้น^{[ 117 ]}การประมาณค่าสามารถทำให้แม่นยำได้โดยการดึงค่าคงที่ออกมาซึ่งตั้งชื่อตามความคล้ายคลึงกับค่าคงที่ของพลังค์จากกลศาสตร์ควอนตัม [ ^{118 ] และ}ใช้ " ขีดจำกัดแบบคลาสสิก " เมื่อเข้าใกล้ศูนย์ ในแง่นี้ การดำเนินการสูงสุดจึงเป็น เวอร์ชัน ที่ไม่เป็นควอนตัมของการบวก^{[ 119 ]}$${\displaystyle \log(a+b)\approx \max(\log a,\log b),}$$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$$${\displaystyle \max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).}$$

การคอนโวลูชันใช้เพื่อบวกตัวแปรสุ่มอิสระ สองตัว ที่กำหนดโดยฟังก์ชันการกระจายคำจำกัดความปกติของมันจะรวมการอินทิเกรต การลบ และการคูณเข้าด้วยกัน^{[ 120 ]}

• เลขคณิตจันทรคติคือ เลขคณิตรูปแบบหนึ่งที่แทนที่การบวกและการคูณด้วยการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดแบบทีละหลัก
• การคิดเลขในใจคือ วิธีการบวกเลขโดยไม่ใช้เครื่องมือหรืออุปกรณ์ช่วยเขียน
• ผลรวมมินคอฟสกีการดำเนินการบวกบนรูปทรงเรขาคณิต
• การบวกแบบขนาน (คณิตศาสตร์)คือ ค่าผกผันของผลรวมของค่าผกผัน
• ผลรวมนำหน้า (Prefix sum)คือปัญหาการคำนวณเพื่อหาผลรวมสะสม
• การบวกแบบพีทาโกเรียนคือการนำความยาวด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากมาบวกกันเพื่อให้ได้ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
• เลขคณิตเชิงคำพูด (หรือที่เรียกว่า คริปทาริธึม) ปริศนาที่เกี่ยวข้องกับการบวก
• สูตรการบวกความเร็วสำหรับการบวกความเร็วสัมพัทธภาพ

• บารูดี, อาร์เธอร์; ทิลิไคเนน, เซอร์ปา (2003). การพัฒนาแนวคิดและทักษะทางคณิตศาสตร์ มุมมองสองประการเกี่ยวกับการพัฒนาการบวก . รูทเลดจ์. หน้า  75. ISBN 0-8058-3155-X.
• เดวิสัน, เดวิด เอ็ม.; แลนเดา, มาร์ชา เอส.; แมคแคร็กเคน, ลีอาห์; ทอมป์สัน, ลินดา (1999). คณิตศาสตร์: การสำรวจและการประยุกต์ใช้ (ฉบับ TE). เพรนติส ฮอลล์. ISBN 978-0-13-435817-8.
• Bunt, Lucas NH; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1976). รากฐานทางประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์เบื้องต้น . Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-389015-0.
• ปูเนน, บียอร์น (2010). "การบวก" . วารสาร Girls' Angle . 3 ( 3– 5). ISSN  2151-5743 .
• วีเวอร์, เจ. เฟรด (1982). "การบวกและการลบ: มุมมองเชิงปัญญา" การบวกและการลบ: มุมมองเชิงปัญญา การตีความการดำเนินการทางตัวเลขและการแสดงสัญลักษณ์ของการบวกและการลบเทย์เลอร์ แอนด์ ฟรานซิส หน้า 60 ISBN 0-89859-171-6.