ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชัน ระหว่าง ปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนสอง ปริภูมิ เรียกว่าฟังก์ชันแอนติลิเนียร์หรือฟังก์ชันคอนจูเกตลิเนียร์ถ้า เงื่อนไขต่อไปนี้เป็น จริง สำหรับทุกเวกเตอร์และทุกจำนวนเชิงซ้อนโดยที่หมายถึงคอนจูเกตเชิงซ้อนของ${\displaystyle f:V\to W}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f(x+y)&=f(x)+f(y)&&\qquad {\text{ (คุณสมบัติการบวก) }}\\f(sx)&={\overline {s}}f(x)&&\qquad {\text{ (คุณสมบัติความเป็นเอกพันธุ์แบบคู่ควบ) }}\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle x,y\in V}$${\displaystyle s,}$${\displaystyle {\overline {s}}}$${\displaystyle s.}$

แผนที่แอนติลิเนียร์นั้นแตกต่างจากแผนที่ลิเนียร์ซึ่งเป็นแผนที่แบบบวกที่เป็นเอกพันธุ์ (homogeneous ) ไม่ใช่เอกพันธุ์สังยุค (conjugate homogeneous ) ถ้าปริภูมิเวกเตอร์เป็นจำนวนจริงความเป็นแอนติลิเนียร์ก็จะเหมือนกับความเป็นลิเนียร์

แผนที่แอนติลิเนียร์ปรากฏในกลศาสตร์ควอนตัมในการศึกษาการย้อนกลับของเวลาและในแคลคูลัสสปินเนอร์ซึ่งโดยปกติแล้วจะแทนที่ขีดเหนือเวกเตอร์ฐานและส่วนประกอบของวัตถุทางเรขาคณิตด้วยจุดที่วางไว้เหนือดัชนี แผนที่แอนติลิเนียร์ที่มีค่าเป็นสเกลาร์มักเกิดขึ้นเมื่อต้องจัดการกับผลคูณภายในเชิงซ้อน และปริภูมิฮิลเบิร์ต

ฟังก์ชันจะเรียกว่าฟังก์ชันแอนติลิเนียร์หรือฟังก์ชันเชิงเส้นคู่ควบถ้าเป็นฟังก์ชันบวกและฟังก์ชันเอกพันธุ์คู่ควบฟังก์ชันแอนติลิเนียร์บนปริภูมิเวกเตอร์คือแผนที่แอนติลิเนียร์ที่มีค่าเป็นสเกลาร์ ${\displaystyle V}$

ฟังก์ชันเรียกว่าฟังก์ชันบวกได้ถ้า และเรียกว่าฟังก์ชันเอกพันธุ์คู่ควบถ้า ในทางตรงกันข้าม แผนที่เชิงเส้นคือฟังก์ชันที่เป็นทั้งฟังก์ชันบวกได้และฟังก์ชันเอกพันธุ์โดยที่เรียกว่าฟังก์ชันเอกพันธุ์ถ้า ${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ สำหรับเวกเตอร์ทั้งหมด }}x,y}$$$${\displaystyle f(ax)={\overline {a}}f(x)\quad {\text{ สำหรับเวกเตอร์ }}x ทุกตัวและสเกลาร์ }}a ทุกตัว}$$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(ax)=af(x)\quad {\text{ สำหรับเวกเตอร์ }}x{\text{ ทั้งหมด และสเกลาร์ }}a ทั้งหมด}$$

แผนที่แอนติลิเนียร์สามารถอธิบายได้อย่างเทียบเท่าในแง่ของแผนที่ลิเนียร์จากไปยังปริภูมิเวกเตอร์สังยุคเชิงซ้อน${\displaystyle f:V\to W}$${\displaystyle {\overline {f}}:V\to {\overline {W}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\overline {W}}.}$

เมื่อกำหนดปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนอันดับ 1 เราสามารถสร้างแผนที่คู่แบบแอนติลิเนียร์ ซึ่งเป็นแผนที่แบบแอนติลิเนียร์ที่ส่งองค์ประกอบจากไปยังสำหรับจำนวนจริงคงที่บางจำนวนเราสามารถขยายสิ่งนี้ไปยังปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนมิติจำกัดใดๆ ก็ได้ โดยที่ถ้าเราเขียนฐานมาตรฐานและองค์ประกอบฐานมาตรฐานแต่ละตัว ออกมา เป็น แล้วแผนที่เชิงซ้อนแบบแอนติลิเนียร์ไปยังจะอยู่ในรูปแบบสำหรับ${\displaystyle V}$$${\displaystyle l:V\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle x_{1}+iy_{1}}$${\displaystyle x_{1},y_{1}\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle x_{1}+iy_{1}\mapsto a_{1}x_{1}-ib_{1}y_{1}}$$${\displaystyle a_{1},b_{1}.}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$$${\displaystyle e_{k}=x_{k}+iy_{k}}$$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle \sum _{k}x_{k}+iy_{k}\mapsto \sum _{k}a_{k}x_{k}-ib_{k}y_{k}}$$${\displaystyle a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} .}$

คู่แอนติเชิงเส้น^{[ 1 ]หน้า 36}ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนเป็นตัวอย่างพิเศษเพราะมันเป็นไอโซมอร์ฟิกกับคู่จริงของปริภูมิเวกเตอร์จริงพื้นฐานของสิ่งนี้ ซึ่งกำหนดโดยแผนที่ที่ส่งแผนที่แอนติเชิงเส้นไปยังในทางกลับกัน มีแผนที่ผกผันที่ส่งเวกเตอร์คู่จริงไปยังเพื่อให้ได้แผนที่ที่ต้องการ ${\displaystyle V}$$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\overline {\mathbb {C} }}(V,\mathbb {C} )}$$${\displaystyle V,}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} ).}$$${\displaystyle \ell :V\to \mathbb {C} }$$$${\displaystyle \operatorname {Im} (\ell ):V\to \mathbb {R} }$$$${\displaystyle \lambda :V\to \mathbb {R} }$$$${\displaystyle \ell (v)=-\lambda (iv)+i\lambda (v)}$$

การรวมกันของแผนที่แอนติลิเนียร์สองแผนที่คือแผนที่ลิเนียร์กลุ่มของแผนที่เซมิลิเนียร์เป็นการขยายกลุ่มของแผนที่แอนติลิเนียร์โดยการขยายฟิลด์

ปริภูมิเวกเตอร์ของรูปแบบแอนติลิเนียร์ทั้งหมดบนปริภูมิเวกเตอร์เรียกว่าปริภูมิแอนติดูอัลเชิง พีชคณิต ของถ้าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโล ยี ปริภูมิ เวกเตอร์ของ ฟังก์ชันแอนติลิเนียร์ ต่อเนื่อง ทั้งหมด บน ซึ่งแสดงด้วยเรียกว่าปริภูมิแอนติดูอัลต่อเนื่องหรือเรียกง่ายๆ ว่าปริภูมิแอนติดูอัลของ^{[ 2 ]}หากไม่มีความสับสนเกิดขึ้น ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$${\displaystyle X}$

เมื่อเป็นพื้นที่บรรทัดฐานบรรทัดฐานแคนอนิกบนพื้นที่แอนติดูอัล (ต่อเนื่อง) ที่แสดงด้วยจะถูกกำหนดโดยใช้สมการเดียวกันนี้: ^{[ 2 ]}${\displaystyle H}$${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$${\textstyle \|f\|_{{\โอเวอร์ไลน์ {X}}^{\prime }},}$$${\displaystyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ สำหรับทุก }}f\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$

สูตรนี้เหมือนกับสูตรสำหรับบรรทัดฐานคู่บนปริภูมิคู่ต่อเนื่อง ซึ่งกำหนดโดย^{[ 2 ]}${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X,}$$${\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ สำหรับทุก }}f\in X^{\prime }.}$$

ไอโซเมตรีเชิงแคนอนระหว่างคู่และปฏิคู่

คอนจูเกตเชิงซ้อน ของฟังก์ชันนัลถูกกำหนดโดยการส่งไปยัง ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข สำหรับทุกและทุก สิ่งนี้กล่าวอย่างชัดเจนว่าการจับคู่ แบบแอนติลิเนียร์แบบแคนอนิก ที่กำหนดโดย รวมถึงฟังก์ชันผกผันของมันเป็นไอโซเมตรี แบบแอนติลิเนียร์ และด้วยเหตุนี้จึงเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมด้วย ${\displaystyle {\overline {f}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in \operatorname {domain} f}$${\textstyle {\overline {f(x)}}.}$$${\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {X}}^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{X^{\prime }}~=~\|g\|_{{\overline {X}}^{\prime }}}$$${\displaystyle f\in X^{\prime }}$${\textstyle g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$${\displaystyle \operatorname {Cong} ~:~X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {Cong} (f):={\overline {f}}}$$${\displaystyle \operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {X}}^{\prime }\to X^{\prime }}$

ถ้าเช่นนั้นแผนที่มาตรฐานนี้ลดรูปเหลือเพียงแผนที่ เอกลักษณ์${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$${\displaystyle X^{\prime }={\overline {X}}^{\prime }}$${\displaystyle \operatorname {Cong} :X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }}$

พื้นที่ภายในผลิตภัณฑ์

ถ้าเป็นปริภูมิผลคูณภายในแล้ว ทั้งนอร์มแคนอนิกบนและ บนจะสอดคล้องกับกฎสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งหมายความว่าเอกลักษณ์โพลาไรเซชันสามารถใช้เพื่อกำหนดผลคูณภายในแคนอนิกบนและ บนซึ่งบทความนี้จะใช้สัญลักษณ์ แทน โดย ที่ผลคูณภายในนี้ทำให้และกลายเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต ผลคูณภายในและเป็นแบบแอนติลิเนียร์ในอาร์กิวเมนต์ที่สอง ยิ่งไปกว่านั้น นอร์มแคนอนิกที่เกิดจากผลคูณภายในนี้ (นั่นคือ นอร์มที่กำหนดโดย) สอดคล้องกับนอร์มคู่ (นั่นคือ ตามที่กำหนดไว้ข้างต้นโดยค่าสูงสุดเหนือลูกบอลหน่วย) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความว่าสิ่งต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับทุก${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime },}$$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{X^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}$${\textstyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}}$${\textstyle \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$${\textstyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{X^{\prime }}}}}$${\displaystyle f\in X^{\prime }:}$$${\displaystyle \sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|=\|f\|_{X^{\prime }}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{X^{\prime }}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{X^{\prime }}}}.}$$

ถ้าเป็นปริภูมิผลคูณภายในผลคูณภายในบนปริภูมิคู่และปริภูมิปฏิคู่ซึ่งแทนด้วยและ ตามลำดับ จะมีความสัมพันธ์กันโดย และ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$${\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{X^{\prime }}}$${\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }},}$$${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{X^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{X^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in X^{\prime }}$$$${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{X^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$

• สมการเชิงฟังก์ชันของโคชี  – สมการเชิงฟังก์ชัน
• คอนจูเกตเชิงซ้อน  – การดำเนินการพื้นฐานบนจำนวนเชิงซ้อน
• ปริภูมิเวกเตอร์สังยุคเชิงซ้อน  – แนวคิดทางคณิตศาสตร์Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ทฤษฎีบทพื้นฐานของปริภูมิฮิลเบิร์ต  – ว่าด้วยความเป็นทั่วถึงของแผนที่เชิงเส้นไปยังแอนติดูอัล
• ปริภูมิผลคูณภายใน  – ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีผลคูณจุดทั่วไป
• ฟังก์ชันเชิงเส้น  – ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ในพีชคณิตเชิงเส้น
• ความคล้ายคลึงของเมทริกซ์
• ทฤษฎีบทการแทนของรีซ  – ทฤษฎีบทเกี่ยวกับปริภูมิคู่ของปริภูมิฮิลเบิร์ต
• รูปแบบเซสควิลิเนียร์  – การวางนัยทั่วไปของผลคูณภายในเชิงซ้อน
• การย้อนเวลา  – สมมาตรการย้อนเวลาในทางฟิสิกส์