ปัญหาการฝังตัวของคอนเนส (Connes' embedding problem ) ซึ่งคิดค้นโดยอลัน คอนเนสในช่วงทศวรรษ 1970 เป็นปัญหาสำคัญใน ทฤษฎี พีชคณิตของฟอน นอยมันน์ (von Neumann algebra theory) ในช่วงเวลานั้น ปัญหานี้ได้รับการปรับปรุงแก้ไขในหลายสาขาของคณิตศาสตร์แดน โวอิคูเลสคู (Dan Voiculescu)ผู้พัฒนาทฤษฎีเอนโทรปีอิสระของเขา พบว่าปัญหาการฝังตัวของคอนเนสมีความเกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของสถานะจุลภาค (microstates) ผลลัพธ์บางอย่างของทฤษฎีพีชคณิตของฟอน นอยมันน์ สามารถได้มาจากการสมมติว่ามีคำตอบที่เป็นบวกสำหรับปัญหานี้ ปัญหานี้เชื่อมโยงกับคำถามพื้นฐานบางประการในทฤษฎีควอนตัม ซึ่งนำไปสู่การตระหนักว่ามันยังมีนัยสำคัญในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ด้วย

ปัญหาดังกล่าวสามารถกำหนดรูปแบบที่เทียบเท่ากันได้หลายรูปแบบ^{[ 1 ]}ที่น่าสังเกตคือ ปัญหานี้เทียบเท่ากับปัญหาที่มีมายาวนานดังต่อไปนี้:

• ข้อสันนิษฐาน QWEP ของ Kirchberg ในทฤษฎีพีชคณิต C*
• ปัญหาของ Tsirelsonในทฤษฎีสารสนเทศควอนตัม
• พรีบัวนัลของพีชคณิตฟอนนอยมันน์ใดๆ (ที่แยกได้) สามารถแทนได้แบบจำกัดในคลาสเทรซ

ในเดือนมกราคม 2020 Ji, Natarajan, Vidick, Wright และ Yuen ประกาศผลลัพธ์ในทฤษฎีความซับซ้อนควอนตัม^{[ 2 ]}ซึ่งบ่งชี้ถึงคำตอบเชิงลบสำหรับปัญหาการฝังตัวของ Connes ^{[ 3 ] [ 4 ]}อย่างไรก็ตาม พบข้อผิดพลาดในเดือนกันยายน 2020 ในผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ที่พวกเขาใช้ มีการตีพิมพ์บทพิสูจน์ใหม่ที่หลีกเลี่ยงผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ในรูปแบบพรีพรินต์ในเดือนกันยายน^{[ 5 ]}โครงร่างโดยรวมได้รับการตีพิมพ์ในCommunications of the ACMในเดือนพฤศจิกายน 2021 ^{[ 6 ]}และบทความที่อธิบายความเชื่อมโยงระหว่าง MIP*=RE และปัญหาการฝังตัวของ Connes ปรากฏในเดือนตุลาคม 2022 ^{[ 7 ]}

อนุญาต${\displaystyle \omega }$ให้ R เป็นอัลตราฟิลเตอร์อิสระบนจำนวนธรรมชาติและให้Rเป็นแฟกเตอร์ประเภท II ไฮเปอร์ไฟ ไนต์ที่มีร่องรอย${\displaystyle \tau }$เราสามารถสร้างพลังมหาศาล ได้${\displaystyle R^{\omega }}$ดังต่อไปนี้: ให้${\displaystyle l^{\infty }(R)=\{(x_{n})_{n}\subseteq R:\sup _{n}||x_{n}||<\infty \}}$ให้ เป็นพีชคณิตฟอนนอยมันน์ของลำดับที่มีขอบเขตตามบรรทัดฐาน และให้${\displaystyle I_{\omega }=\{(x_{n})\in l^{\infty }(R):\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}^{*}x_{n})^{\frac {1}{2}}=0\}}$ผลหาร${\displaystyle R^{\omega }=l^{\infty }(R)/I_{\omega }}$ปรากฏว่าเป็นปัจจัย II ที่มีร่องรอย${\displaystyle \tau _{R^{\omega }}(x)=\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}+I_{\omega })}$, ที่ไหน${\displaystyle (x_{n})_{n}}$คือลำดับตัวแทนใดๆ ของ${\displaystyle x}$.

ปัญหาการฝังตัวของคอนเนสถามว่าปัจจัยประเภท II ทุกตัว บนปริภูมิฮิลเบิร์ต ที่แยกได้ สามารถฝังตัวลงในบางปัจจัยได้ หรือไม่${\displaystyle R^{\omega }}$.

วิธีแก้ปัญหาเชิงบวกจะหมายความว่ามีปริภูมิย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับตัวดำเนินการกลุ่มใหญ่ในปัจจัย ประเภท II Uffe Haagerup ) และกลุ่มดิสครีตที่นับได้ทั้งหมดเป็นไฮเปอร์ลิเนียร์วิธีแก้ปัญหาเชิงบวกจะบ่งชี้โดยความเท่าเทียมกันระหว่างเอนโทรปีอิสระ${\displaystyle \chi ^{*}}$และเอนโทรปีอิสระที่กำหนดโดยไมโครสเตต ( Dan Voiculescu ) ในเดือนมกราคม 2020 กลุ่มนักวิจัย^{[ 2 ]}อ้างว่าได้แก้ไขปัญหาในเชิงลบ กล่าวคือ มีปัจจัย von Neumann ประเภท II ที่ไม่ฝังอยู่ในพลังงานอัลตร้าพาวเวอร์${\displaystyle R^{\omega }}$ของปัจจัย ไฮเปอร์ไฟไนต์ II

คลาสไอโซมอร์ฟิซึมของ${\displaystyle R^{\omega }}$จะเป็นอิสระจากอัลตราฟิลเตอร์ก็ต่อเมื่อสมมติฐานความต่อเนื่องเป็นจริง (Ge-Hadwin และ Farah-Hart-Sherman) แต่คุณสมบัติการฝังตัวดังกล่าวไม่ขึ้นอยู่กับอัลตราฟิลเตอร์ เนื่องจากพีชคณิตของฟอน นอยมันน์ที่กระทำบนปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้นั้น โดยคร่าวๆ แล้วมีขนาดเล็กมาก

ปัญหาดังกล่าวสามารถกำหนดรูปแบบที่เทียบเท่ากันได้หลายแบบ^{[ 1 ]}

• การประชุมเชิงปฏิบัติการเรื่องปัญหาการฝังตัวและทฤษฎีสารสนเทศควอนตัมของคอนเนส; มหาวิทยาลัยแวนเดอร์บิลต์ในแนชวิลล์ รัฐเทนเนสซี; 1-7 พฤษภาคม 2020 ( เลื่อนออกไป; จะประกาศกำหนดการอีกครั้ง )
• ปัญหาการฝังตัวของคอนเนสที่มีหลายแง่มุม; BIRS, แคนาดา; 14–19 กรกฎาคม 2562
• โรงเรียนภาคฤดูหนาว: ปัญหาการฝังตัวของคอนเนสและทฤษฎีสารสนเทศควอนตัม; มหาวิทยาลัยออสโล, 7–11 มกราคม 2019
• การประชุมเชิงปฏิบัติการเรื่องกลุ่มโซฟิกและไฮเปอร์ลิเนียร์ และข้อสันนิษฐานการฝังตัวของคอนเนส; UFSC ฟลอริอาโนโปลิส ประเทศบราซิล; 10-21 มิถุนายน 2018
• คุณสมบัติการประมาณค่าในพีชคณิตตัวดำเนินการและทฤษฎีเออร์โกดิก; มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ลอสแอนเจลิส; 30 เมษายน - 5 พฤษภาคม 2561
• พีชคณิตตัวดำเนินการและทฤษฎีสารสนเทศควอนตัม; สถาบันอองรี ปวงกาเร ปารีส; ธันวาคม 2017
• การประชุมเชิงปฏิบัติการเรื่องปริภูมิของตัวดำเนินการ การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก และความน่าจะเป็นเชิงควอนตัม; ICMAT, มาดริด; 20 พฤษภาคม - 14 มิถุนายน 2013
• การประชุมเชิงปฏิบัติการ Fields เกี่ยวกับปัญหาการฝังข้อมูลแบบ Connes –มหาวิทยาลัยออตตาวา, 16-18 พฤษภาคม 2551

• คาปราโร, บาเลริโอ (2010) "การสำรวจการคาดเดาที่ฝังตัวของ Connes" arXiv : 1003.2076 [ math.OA ].
• Farah, I.; Hart, B.; Sherman, D. (2013). "ทฤษฎีแบบจำลองของพีชคณิตตัวดำเนินการ I: เสถียรภาพ". Bulletin of the London Mathematical Society . 45 (4): 825– 838. arXiv : 0908.2790 . doi : 10.1112/blms/bdt014 . S2CID 15024863 . 
• Ge; Hadwin (2001). "Ultraproducts of C*-algebras". Recent Advances in Operator Theory and Related Topics . Operator Theory: Advances and Applications. Vol.  127. pp. 305– 326. doi : 10.1007/978-3-0348-8374-0_17 . ISBN  978-3-0348-9539-2.
• Collins, Benoit; Dykema, Ken (2008). "การทำให้ปัญหาการฝังตัวของ Connes เป็นเชิงเส้น" (PDF) . New York Journal of Mathematics . 14 : 617– 641.
• เชอร์แมน, เดวิด (2008). "บันทึกเกี่ยวกับออโตมอร์ฟิซึมของอัลตราพาวเวอร์ของแฟกเตอร์ II ". arXiv : 0809.4439 [ math.OA ]
• Pisier, Gilles (2020). "ผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิต C* และปริภูมิตัวดำเนินการ: ปัญหา Connes-Kirchberg" (PDF) . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2021-04-19 . เรียกดูเมื่อ2020-01-25 .