การเดินควอนตัมแบบต่อเนื่องตามเวลา${\displaystyle U(t)\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {C} )}$บน${\displaystyle G}$ในเวลานั้น${\displaystyle t}$มีนิยามดังนี้:$${\displaystyle U(t):=e^{itA}}$$การปล่อย${\displaystyle A}$แทนเมทริกซ์ประชิดของ${\displaystyle G}$.

นอกจากนี้ ยังสามารถกำหนดนิยามการเดินควอนตัมแบบต่อเนื่องในเวลาบน ในลักษณะเดียวกันได้อีกด้วย${\displaystyle G}$โดยสัมพันธ์กับเมทริกซ์ลาปลาเซียน ของมัน อย่างไรก็ตาม เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น CTQW บนกราฟจะหมายถึง CTQW ที่สัมพันธ์กับเมทริกซ์ประชิดของมันสำหรับส่วนที่เหลือของบทความนี้

เมทริกซ์การผสม${\displaystyle M(t)\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {R} )}$ของ${\displaystyle G}$ในเวลานั้น${\displaystyle t}$ถูกกำหนดให้เป็น${\displaystyle M(t):=U(t)\circ U(-t)}$.

เมทริกซ์การผสมคือเมทริกซ์สมมาตรแบบดับเบิลสโตแคสติกที่ได้มาจาก CTQW บนกราฟ:${\displaystyle {M(t)}_{u,v}}$ให้ความน่าจะเป็นของ${\displaystyle u}$การเปลี่ยนผ่านไปสู่${\displaystyle v}$ในเวลานั้น${\displaystyle t}$สำหรับจุดยอดใดๆ${\displaystyle u}$และ v บน${\displaystyle G}$.

จุดยอด${\displaystyle u}$บน${\displaystyle G}$กล่าวกันว่าเป็นไปตามช่วงเวลา${\displaystyle t}$ถ้า${\displaystyle {M(t)}_{u,u}=1}$.

จุดยอดที่แตกต่างกัน${\displaystyle u}$และ${\displaystyle v}$บน${\displaystyle G}$กล่าวกันว่ายอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบในเวลาที่กำหนด${\displaystyle t}$ถ้า${\displaystyle M(t)_{u,v}=1}$.

ถ้าจุดยอดคู่หนึ่งบน${\displaystyle G}$ยอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบ ณ เวลา t จากนั้น${\displaystyle G}$กล่าวกันว่าตัวมันเองยอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบ (ณ เวลา t)

ชุดหนึ่ง${\displaystyle S}$คู่ของจุดยอดที่แตกต่างกันบน${\displaystyle G}$กล่าวกันว่ายอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบ (ในเวลา)${\displaystyle t}$) ถ้าแต่ละคู่ของจุดยอดใน${\displaystyle S}$ยอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบในเวลาที่กำหนด${\displaystyle t}$.

ชุดหนึ่ง${\displaystyle S}$ของจุดยอดบน${\displaystyle G}$กล่าวกันว่ายอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบ (ในเวลา)${\displaystyle t}$) ถ้าสำหรับทั้งหมด${\displaystyle u\in S}$มี${\displaystyle v\in S}$โดยที่${\displaystyle u}$และ${\displaystyle v}$ยอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบในเวลานั้น${\displaystyle t}$.

ถ้าจุดยอดคู่หนึ่ง${\displaystyle u}$และ${\displaystyle v}$บนกราฟ${\displaystyle G}$ยอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบในเวลานั้น${\displaystyle t}$จากนั้นทั้งสอง${\displaystyle u}$และ${\displaystyle v}$เป็นไปตามช่วงเวลา${\displaystyle 2t}$[ ^{3 ]​}

พิจารณากราฟ${\displaystyle G}$และ${\displaystyle H}$.

ถ้าทั้งสอง${\displaystyle G}$และ${\displaystyle H}$ยอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบในเวลานั้น${\displaystyle t}$จากนั้นจึงได้ผลคูณคาร์ทีเซียน ของพวกมัน${\displaystyle G\,\square \,H}$ยอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบในเวลาที่กำหนด${\displaystyle t}$.

หากอย่างใดอย่างหนึ่ง${\displaystyle G}$หรือ${\displaystyle H}$ยอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบในเวลาที่กำหนด${\displaystyle t}$จากนั้นการรวมกันที่ไม่ต่อเนื่อง ของพวกเขา${\displaystyle G\sqcup H}$ยอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบในเวลาที่กำหนด${\displaystyle t}$.

ถ้ากราฟแบบเดินปกติยอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบ ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของกราฟนั้นจะเป็นจำนวนเต็ม

ถ้า${\displaystyle G}$เป็นกราฟในพีชคณิตโคherent เอกพันธุ์ ที่ยอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบ ณ เวลา${\displaystyle t}$เช่นกราฟแบบ vertex-transitiveหรือกราฟในassociation schemeแล้วจุดยอดทั้งหมดบนกราฟนั้น${\displaystyle G}$ยอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบในเวลานั้น${\displaystyle t}$นอกจากนี้ กราฟ${\displaystyle G}$จะต้องมีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบซึ่งยอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบ หากยอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบระหว่างจุดยอดที่อยู่ติดกันสองจุด และเป็นกราฟในพีชคณิตที่สอดคล้องกันแบบเอกพันธุ์

กราฟ ปกติที่ส่งผ่านขอบได้${\displaystyle G}$ไม่สามารถยอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบระหว่างจุดยอดที่อยู่ติดกันสองจุดได้ เว้นแต่จะเป็นการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของสำเนาของกราฟสมบูรณ์${\displaystyle K_{2}}$.

กราฟปกติอย่างเข้มข้นจะยอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบได้ก็ต่อเมื่อมันเป็นส่วนเติมเต็มของการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของสำเนาจำนวนคู่ของ${\displaystyle K_{2}}$.

กราฟ ลูกบาศก์ที่มีระยะทางสม่ำเสมอ เพียงกราฟ เดียวที่ยอมรับการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบได้คือกราฟลูกบาศก์