ในทฤษฎีเซตโมเดลหลักคือโมเดลภายใน ที่กำหนดได้ ของเอกภพ ของ เซตทั้งหมดแม้ว่านักทฤษฎีเซตจะอ้างถึง "โมเดลหลัก" แต่มันไม่ใช่สิ่งที่เป็นรูปธรรมทางคณิตศาสตร์ ที่ระบุได้อย่างชัดเจน แต่เป็นกลุ่มของโมเดลภายในที่มีคุณสมบัติพิเศษภายใต้สมมติฐานทางทฤษฎีเซตที่ถูกต้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณสมบัติการครอบคลุมตามสัญชาตญาณ โมเดลหลักคือ "โมเดลภายในแบบแคนอนิกที่ใหญ่ที่สุดที่มีอยู่" ^{[ 1 ]} (ในที่นี้ "แคนอนิก" เป็นคำที่ไม่ได้กำหนดไว้) ^{[ 2 ]หน้า 28}และโดยทั่วไปจะเกี่ยวข้องกับ แนวคิดจำนวน เชิงคาร์ดินัลขนาดใหญ่ถ้า Φ เป็นแนวคิดจำนวนเชิงคาร์ดินัลขนาดใหญ่ วลี "โมเดลหลักที่ต่ำกว่า Φ" หมายถึงโมเดลภายในที่กำหนดได้ซึ่งแสดงคุณสมบัติพิเศษภายใต้สมมติฐานที่ว่าไม่มีจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่สอดคล้องกับ Φ โครงการโมเดลหลักพยายามวิเคราะห์สัจพจน์จำนวนเชิงคาร์ดินัลขนาดใหญ่โดยการกำหนดโมเดลหลักที่ต่ำกว่าสัจพจน์เหล่านั้น

แบบจำลองหลักแรกคือเอกภพที่สร้างได้Lของเคิร์ท เกอเดลโรนัลด์ เจนเซนพิสูจน์บทพิสูจน์การครอบคลุมสำหรับLในช่วงทศวรรษ 1970 ภายใต้สมมติฐานของการไม่มีอยู่ของศูนย์ที่คมชัดโดยสร้างว่าLคือ "แบบจำลองหลักที่อยู่ต่ำกว่าศูนย์ที่คมชัด" งานของโซโลเวย์แยกแบบจำลองหลักอีกแบบหนึ่งคือL [ U ] สำหรับUซึ่งเป็นตัวกรองพิเศษบนจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่วัดได้ (และ "ความคมชัด" ที่เกี่ยวข้อง คือศูนย์ที่แหลมคม ) เจนเซนร่วมกับโทนี่ ดอดด์สร้างแบบจำลองหลักดอดด์-เจนเซน ("แบบจำลองหลักที่อยู่ต่ำกว่าจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่วัดได้") และพิสูจน์บทพิสูจน์การครอบคลุมสำหรับแบบจำลองนี้และบทพิสูจน์การครอบคลุมแบบทั่วไปสำหรับL [ U ]

มิตเชลใช้ลำดับการวัดที่สอดคล้องกันเพื่อพัฒนารูปแบบหลักที่มีตัวแปรวัดหลายตัวหรือตัวแปรวัดลำดับสูงกว่า ต่อมา รูปแบบหลักของสตีลได้ใช้ตัวขยาย และแผนผังการวนซ้ำเพื่อสร้างรูปแบบหลัก ที่ ต่ำกว่าจำนวนนับของวูดิน

แบบจำลองหลักถูกสร้างขึ้นโดยการเรียกซ้ำแบบอนันต์จากส่วนย่อยเล็ก ๆ ของแบบจำลองหลักที่เรียกว่า " หนู"ส่วนประกอบที่สำคัญในการสร้างคือบทพิสูจน์เปรียบเทียบที่ช่วยให้สามารถจัด ลำดับ หนูที่เกี่ยวข้อง ได้อย่างดี

ในระดับของจำนวนเชิงซ้อนที่แข็งแกร่งขึ้นไป จะสร้างแบบจำลองแกนกลางที่ได้รับการรับรองแบบนับได้ K ^c ขึ้นมา จากนั้น หากเป็นไปได้ จะแยก K ออก จาก K ^c

K _c (และด้วยเหตุนี้ K) คือแบบจำลองตัวขยายที่นับได้แบบละเอียดที่มีโครงสร้างต่ำกว่าตัวขยายแบบยาว (ปัจจุบันยังไม่ทราบวิธีจัดการกับตัวขยายแบบยาว ซึ่งพิสูจน์ว่าจำนวนเชิงคาร์ดินัลนั้นแข็งแกร่งมาก ) ในที่นี้ การนับได้แบบวนซ้ำหมายถึงการวนซ้ำแบบ ω ₁ +1 สำหรับโครงสร้างย่อยพื้นฐานที่นับได้ทั้งหมดของส่วนเริ่มต้น และเพียงพอที่จะพัฒนาทฤษฎีพื้นฐาน รวมถึงคุณสมบัติการควบแน่นบางประการ ทฤษฎีของแบบจำลองดังกล่าวเป็นแบบมาตรฐานและเข้าใจได้ดี พวกมันสอดคล้องกับGCHหลักการเพชรสำหรับเซตย่อยคงที่ ทั้งหมด ของจำนวนเชิงคาร์ดินัลปกติหลักการกำลังสอง (ยกเว้นที่จำนวนเชิงคาร์ดินัลย่อยกระชับ ) และหลักการอื่นๆ ที่มีอยู่ใน L

Kc มีคุณสมบัติสูงสุดในหลายแง่มุม^Kcคำนวณตัวสืบทอดของคาร์ดินัลที่วัดได้และคาร์ดินัลเอกพจน์จำนวนมากได้อย่างถูกต้อง นอกจากนี้ คาดว่าภายใต้การลดทอนที่เหมาะสมของการรับรองที่นับได้ Kc ^{จะคำนวณ ตัวสืบทอดของ} คาร์ดินัลลิมิตที่แข็งแกร่งและ กะทัดรัดอย่างอ่อน ทั้งหมดได้อย่างถูกต้อง หาก V ปิดภายใต้ตัวดำเนินการเมาส์ (ตัวดำเนินการแบบจำลองภายใน) แล้ว Kc ก็จะปิดเช่นกัน^Kcไม่มี^{คุณสมบัติ}ที่คมชัด: ไม่มีการฝังตัวพื้นฐาน ที่ไม่ธรรมดาตามธรรมชาติ ของ Kc ^ลงในตัวมันเอง (อย่างไรก็ตาม ต่างจาก K, Kc ^อาจฝังตัวในตัวเองได้ในระดับพื้นฐาน)

นอกจากนี้ หากในแบบจำลองนี้ไม่มีจำนวนเชิง Woodin (ยกเว้นในบางกรณีเฉพาะ ซึ่งไม่ทราบว่าควรนิยามแบบจำลองหลักอย่างไรหาก K _cมีจำนวนเชิง Woodin) เราสามารถแยกแบบจำลองหลักที่แท้จริง K ออกมาได้ K ก็เป็นแบบจำลองหลักของตัวมันเองเช่นกัน K สามารถนิยามได้ในระดับท้องถิ่นและเป็นแบบสัมบูรณ์โดยทั่วไป: สำหรับส่วนขยายทั่วไปทุกส่วนของ V สำหรับจำนวนเชิง κ>ω ₁ ทุกตัว ใน V[G] K ที่สร้างขึ้นใน H(κ) ของ V[G] จะเท่ากับ K∩H(κ) (สิ่งนี้จะเป็นไปไม่ได้หาก K มีจำนวนเชิง Woodin) K เป็นแบบสูงสุด สากล และสามารถวนซ้ำได้อย่างสมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าสำหรับแบบจำลองตัวขยายที่วนซ้ำได้ M ทุกตัว (เรียกว่าเมาส์) จะมีการฝังแบบพื้นฐาน M→N ของส่วนเริ่มต้นของ K ลงใน N และหาก M เป็นสากล การฝังจะเป็นของ K ลงใน M

มีการตั้งสมมติฐานว่า ถ้า K มีอยู่และ V ปิดภายใต้ตัวดำเนินการคม M แล้ว K จะถูกต้อง Σ ¹ ₁โดยอนุญาตให้ใช้จำนวนจริงใน K เป็นพารามิเตอร์และ M เป็นภาคแสดง ซึ่งเทียบเท่ากับความถูกต้อง Σ ¹ ₃ (ในความหมายปกติ) ถ้า M คือ x→ x ^#

แบบจำลองหลักสามารถกำหนดได้เหนือเซตของลำดับ X ที่เฉพาะเจาะจง: X เป็นสมาชิกของ K(X) แต่ K(X) เป็นไปตามคุณสมบัติปกติของ K เหนือ X หากไม่มีแบบจำลองภายในที่สามารถวนซ้ำได้ซึ่งมีคาร์ดินัล Woodin ω แล้ว สำหรับ X บางตัว K(X) จะมีอยู่ การอธิบายข้างต้นเกี่ยวกับ K และ Kc ^{สามารถ}ขยายไปสู่ ​​K(X) และ Kc ⁽ X) ได้

ข้อสันนิษฐาน:

• หากไม่มีแบบจำลอง ω ₁ +1 ที่วนซ้ำได้ซึ่งมีตัวขยายยาว (และด้วยเหตุนี้แบบจำลองที่มีคาร์ดินัลที่แข็งแกร่งมาก) แล้ว K ^cจะมีอยู่
• ถ้า K ^cมีอยู่จริงและถูกสร้างขึ้นในส่วนขยายทั่วไปทุกแบบของ V (หรือเทียบเท่ากัน ภายใต้การยุบตัวทั่วไปบางอย่าง Coll(ω, <κ) สำหรับลำดับ κ ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ) สอดคล้องกับ "ไม่มีคาร์ดินัล Woodin" แล้วแบบจำลองหลัก K ก็จะมีอยู่จริง

ผลลัพธ์บางส่วนของข้อสันนิษฐานมีดังนี้:

1. ถ้าไม่มีแบบจำลองภายในที่มีคาร์ดินัลของวูดิน แสดงว่า K มีอยู่จริง
2. ถ้า (ตัวหนา) Σ ¹ _n เงื่อนไขกำหนด (n เป็นจำนวนจำกัด) เป็นจริงในส่วนขยายทั่วไปทุกแบบของ V แต่ไม่มีแบบจำลองภายในที่สามารถวนซ้ำได้ซึ่งมีคาร์ดินัล Woodin n ตัว แล้ว K จะมีอยู่
3. ถ้ามีจำนวนเชิงคาร์ดินัล κ ที่วัดได้ ก็แสดงว่ามี K ^cที่อยู่ต่ำกว่า κ อยู่ หรือมีแบบจำลองที่วนซ้ำได้ ω ₁ +1 ที่มีขีดจำกัดที่วัดได้ λ ของทั้งจำนวนเชิงคาร์ดินัล Woodin และจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่แข็งแกร่งถึง λ

ถ้า V มีจำนวนคาร์ดินัลของ Woodin แต่ไม่มีจำนวนคาร์ดินัลที่แข็งแกร่งกว่าจำนวนคาร์ดินัลของ Woodin แล้ว ภายใต้สถานการณ์ที่เหมาะสม (ตัวเลือกสำหรับ) K สามารถสร้างขึ้นได้โดยการสร้าง K ที่อยู่ต่ำกว่าจำนวนคาร์ดินัลของ Woodin แต่ละตัว (และต่ำกว่ากลุ่มของจำนวนเชิงอันดับทั้งหมด) κ แต่สูงกว่า K ที่สร้างขึ้นต่ำกว่าค่าสูงสุดของจำนวนคาร์ดินัลของ Woodin ที่อยู่ต่ำกว่า κ แบบจำลองหลักที่เป็นตัวเลือกนี้ไม่สามารถทำซ้ำได้อย่างสมบูรณ์ (ความสามารถในการทำซ้ำล้มเหลวที่จำนวนคาร์ดินัลของ Woodin) หรือเป็นแบบสัมบูรณ์โดยทั่วไป แต่มีพฤติกรรมคล้ายกับ K