ในทางคณิตศาสตร์ การแปลง ฟูริเยร์ไซน์และโคไซน์เป็นสมการเชิงอิน ทิกรัล ที่แยกฟังก์ชันใดๆ ออกเป็นผลรวมของคลื่นไซน์ซึ่งแทนส่วนคี่ของฟังก์ชัน และคลื่นโคไซน์ซึ่งแทนส่วนคู่ของฟังก์ชันการแปลงฟูริเยร์แบบค่าเชิงซ้อน ในปัจจุบันนั้น ประกอบด้วย การแปลงไซน์และโคไซน์ อย่างกระชับเนื่องจาก1การแปลงไซน์และโคไซน์ใช้คลื่นไซน์และโคไซน์แทนที่จะใช้เลขชี้กำลังเชิงซ้อนและไม่จำเป็นต้องใช้จำนวนเชิงซ้อนหรือความถี่ลบจึงสอดคล้องกับสมการการแปลงดั้งเดิมของโจเซฟ ฟูริเยร์ มากกว่า และยังคงเป็นที่นิยมในบาง การประมวลผลสัญญาณและ การประยุกต์ใช้ ทางสถิติและอาจเหมาะสมกว่าสำหรับการเริ่มต้นการวิเคราะห์ฟูริเยร์

การแปลงฟูริเยร์ไซน์ของคือ: ^{[หมายเหตุ 1 ]}${\displaystyle f(t)}$

ถ้าหมายถึงเวลา ความถี่ ก็จะเป็นจำนวนรอบต่อหน่วยเวลา^{[หมายเหตุ 2 ]}แต่ในเชิงนามธรรม อาจเป็นตัวแปรคู่ใดก็ได้ (เช่นตำแหน่งและความถี่เชิงพื้นที่ ) ${\displaystyle t}$${\displaystyle \xi }$

การแปลงไซน์เป็นฟังก์ชันคี่ของความถี่เสมอ กล่าวคือ สำหรับทุกค่า: ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(-\xi )=-{\hat {f}}^{s}(\xi ).}$$

การแปลง ฟูริเยร์โคไซน์ของคือ: ^{[หมายเหตุ 3 ]}${\displaystyle f(t)}$

การแปลงโคไซน์เป็นฟังก์ชันคู่ของความถี่เสมอ กล่าวคือ สำหรับทุกค่า: ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(-\xi )={\hat {f}}^{c}(\xi ).}$$

กฎการคูณสำหรับฟังก์ชันคู่และคี่ที่แสดงในวงเล็บปีกกาในสมการต่อไปนี้ทำให้ตัวอินทิกรัลง่ายขึ้นอย่างมากเมื่อแปลงฟังก์ชันคู่และคี่ผู้เขียนบางคน^{[ 1 ]}ยังกำหนดการแปลงโคไซน์สำหรับฟังก์ชันคู่เท่านั้นเนื่องจากโคไซน์เป็นฟังก์ชันคู่ และเนื่องจากอินทิกรัลของฟังก์ชันคู่จากถึงเป็นสองเท่าของอินทิกรัลจากถึง ดังนั้นการแปลงโคไซน์ของฟังก์ชันคู่ใดๆ จึงสามารถทำให้ง่ายขึ้นเพื่อหลีกเลี่ยงค่าลบ: ${\displaystyle f_{\text{even}}(t)}$${\displaystyle {-}\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{even}}(t)\cdot \cos(2\pi \xi t)} ^{\text{even·even=even}}\,dt=2\int _{0}^{\infty }f_{\text{even}}(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt.}$$

และเนื่องจากปริพันธ์จากถึงของฟังก์ชันคี่ใดๆ มีค่าเป็นศูนย์ดังนั้นการแปลงโคไซน์ของฟังก์ชันคี่ใดๆ จึงมีค่าเป็นศูนย์เช่นกัน: ${\displaystyle {-}\infty }$${\displaystyle \infty }$

$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{odd}}(t)\cdot \cos(2\pi \xi t)} ^{\text{odd·even=odd}}\,dt=0.}$$

ในทำนองเดียวกัน เนื่องจากฟังก์ชันไซน์เป็นฟังก์ชันคี่ การแปลงไซน์ของฟังก์ชันคี่ใดๆจึงลดรูปเพื่อหลีกเลี่ยงค่าลบ: ${\displaystyle f_{\text{odd}}(t)}$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{odd}}(t)\cdot \sin(2\pi \xi t)} ^{\text{odd·odd=even}}\,dt=2\int _{0}^{\infty }f_{\text{odd}}(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt}$$

และการแปลงไซน์ของฟังก์ชันคู่ใดๆ ก็จะได้ค่าเป็นศูนย์:

$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{even}}(t)\cdot \sin(2\pi \xi t)} ^{\text{even·odd=odd}}\,dt=0.}$$

การแปลงไซน์แสดงถึงส่วนคี่ของฟังก์ชันในขณะที่การแปลงโคไซน์แสดงถึงส่วนคู่ของฟังก์ชัน

เช่นเดียวกับการแปลงฟูริเยร์ที่มีรูปแบบเป็นสมการที่แตกต่างกันโดยมีปัจจัยคงที่ที่แตกต่างกัน (ดูการแปลงฟูริเยร์ § ความเป็นเอกภาพและคำจำกัดความสำหรับฟังก์ชันที่สามารถอินทิเกรตกำลังสองได้สำหรับการอภิปราย) ผู้เขียนคนอื่นๆ ก็กำหนดการแปลงโคไซน์เป็น^{[ 2 ]} และการแปลงไซน์เป็น อีกธรรมเนียมหนึ่งกำหนดการแปลงโคไซน์เป็น^{[ 3 ]}และการแปลงไซน์เป็น โดยใช้เป็นตัวแปรการแปลง และในขณะที่โดยทั่วไปใช้เพื่อแสดงโดเมนเวลามักจะใช้เพื่อแสดงโดเมนเชิงพื้นที่เมื่อแปลงเป็นความถี่เชิงพื้นที่ $${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt}$$$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt.}$$$${\displaystyle F_{c}(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)\cos(\alpha x)\,dx}$$$${\displaystyle F_{s}(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)\sin(\alpha x)\,dx}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$

ฟังก์ชันดั้งเดิมสามารถกู้คืนได้จากการแปลงไซน์และโคไซน์ภายใต้สมมติฐานปกติ^{[หมายเหตุ 4 ]}โดยใช้สูตรการผกผัน: ^{[ 4 ]}${\displaystyle f}$

โปรดทราบว่า เนื่องจากฟังก์ชันที่อยู่ภายในอินทิกรัลทั้งสองเป็นฟังก์ชันคู่ของ เราจึงสามารถหลีกเลี่ยงแนวคิดเรื่องความถี่ลบได้โดยการคูณผลลัพธ์ของการอินทิเกรตเหนือความถี่ที่ไม่เป็นลบด้วย 2: ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle f(t)=2\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\xi )\sin(2\pi \xi t)\,d\xi \,+2\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\xi )\cos(2\pi \xi t)\,d\xi \,.}$$

นอกจากนี้ ถ้าเป็นฟังก์ชันคี่การแปลงโคไซน์จะมีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นการผกผันของฟังก์ชันจึงลดรูปเหลือเพียง:${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\xi )\sin(2\pi \xi t)\,d\xi ,{\text{ only if }}f(t){\text{ is odd.}}}$$

ในทำนองเดียวกัน หากฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นฟังก์ชันคู่การแปลงไซน์จะมีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นการผกผันของฟังก์ชันจึงลดรูปเหลือเพียง: ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\xi )\cos(2\pi \xi t)\,d\xi ,{\text{ only if }}f(t){\text{ is even.}}}$$

ที่น่าทึ่งคือ สูตรการผกผันแบบง่ายสองสูตรสุดท้ายนี้ดูเหมือนกับการแปลงไซน์และโคไซน์ดั้งเดิมตามลำดับ แม้ว่าจะมีการสลับกับ(และสลับกับหรือ) ผลที่ตามมาของความสมมาตรนี้คือ กระบวนการผกผันและการแปลงยังคงใช้งานได้เมื่อสลับฟังก์ชันทั้งสอง ฟังก์ชันดังกล่าวสองฟังก์ชันเรียกว่าคู่การแปลง [ ^{หมายเหตุ 5 ]}${\displaystyle t}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}}$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}}$

โดยใช้สูตรการบวกสำหรับโคไซน์สูตรการผกผันแบบเต็มสามารถเขียนใหม่เป็นสูตรปริพันธ์ของฟูริเยร์ ได้เช่นกัน : ^{[ 5 ] [ 6 ]} ทฤษฎีบทนี้มักกล่าวภายใต้สมมติฐานที่แตกต่างกัน นั่นคือ สามารถหาปริพันธ์ได้ และมีการเปลี่ยนแปลงที่จำกัดในช่วงเปิดที่มีจุดซึ่งในกรณีนี้ $${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cos(2\pi \xi (x-t))\,dx\,d\xi .}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left(f(t+h)+f(t-h)\right)=2\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cos(2\pi \xi (x-t))\,dx\,d\xi .}$$

รูปแบบหลังนี้เป็นขั้นตอนกลางที่มีประโยชน์ในการพิสูจน์สูตรผกผันสำหรับการแปลงไซน์และโคไซน์ วิธีหนึ่งในการได้มาซึ่งสูตรนี้ ซึ่งคิดค้นโดยโคชีคือการแทรก a เข้าไปในอินทิกรัล โดยที่เป็นค่าคงที่ จากนั้น เมื่อตัวอินทิกรัลมีแนวโน้มเข้าสู่ศูนย์ ยกเว้นที่ดังนั้นในทางรูปแบบข้างต้นจึงเป็น ${\displaystyle e^{-\delta \xi }}$${\displaystyle \delta >0}$$${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\delta \xi }\cos(2\pi \xi (x-t))\,d\xi \,f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\frac {2\delta }{\delta ^{2}+4\pi ^{2}(x-t)^{2}}}\,dx.}$$${\displaystyle \delta \to 0}$${\displaystyle x=t}$$${\displaystyle f(t)\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\delta }{\delta ^{2}+4\pi ^{2}(x-t)^{2}}}\,dx=f(t).}$$

รูปแบบเลขชี้กำลังเชิงซ้อนของการแปลงฟูริเยร์ที่ใช้บ่อยในปัจจุบันคือ^{[ 7 ]} โดยที่คือรากที่สองของลบหนึ่งโดยการใช้สูตรของออยเลอร์สามารถแสดงได้ (สำหรับฟังก์ชันค่าจริง) ว่าส่วนประกอบจริงของการแปลงฟูริเยร์คือการแปลงโคไซน์ (ซึ่งแสดงถึงส่วนประกอบคู่ของฟังก์ชันดั้งเดิม) และส่วนประกอบจินตนาการของการแปลงฟูริเยร์คือค่าลบของการแปลงไซน์ (ซึ่งแสดงถึงส่วนประกอบคี่ของฟังก์ชันดั้งเดิม): ^{[ 8 ]}เนื่องจากความสัมพันธ์นี้ การแปลงโคไซน์ของฟังก์ชันที่ทราบการแปลงฟูริเยร์ (เช่น ในการแปลงฟูริเยร์ § ตารางการแปลงฟูริเยร์ที่สำคัญ ) สามารถหาได้ง่ายๆ โดยการนำส่วนจริงของการแปลงฟูริเยร์มาใช้: ในขณะที่การแปลงไซน์เป็นเพียงค่าลบของส่วนจินตนาการของการแปลงฟูริเยร์:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\xi t}\,dt\\\end{aligned}}\,}$$${\displaystyle i}$${\textstyle (e^{ix}=\cos x+i\sin x),}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\left(\cos(2\pi \xi t)-i\,\sin(2\pi \xi t)\right)dt&&{\text{Euler's Formula}}\\&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt\right)-i\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt\right)\\&={\hat {f}}^{c}(\xi )-i\,{\hat {f}}^{s}(\xi )\,.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\mathrm {Re} {[\;{\hat {f}}(\xi )\;]}}$$$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=-\mathrm {Im} {[\;{\hat {f}}(\xi )\;]}\,.}$$

ข้อดีอย่างหนึ่งของการแปลงฟูริเยร์สมัยใหม่คือ ในขณะที่การแปลงไซน์และโคไซน์จำเป็นต้องใช้ร่วมกันเพื่อดึง ข้อมูล เฟสของความถี่ การแปลงฟูริเยร์สมัยใหม่กลับบรรจุข้อมูลทั้งเฟสและแอมพลิจูดไว้ในผลลัพธ์ที่เป็นค่าเชิงซ้อนได้อย่างกระชับ แต่ข้อเสียคือ จำเป็นต้องเข้าใจจำนวนเชิงซ้อน เลขชี้กำลังเชิงซ้อน และความถี่ติดลบ

ในขณะเดียวกัน การแปลงไซน์และโคไซน์มีข้อดีตรงที่ปริมาณทั้งหมดเป็นจำนวนจริง เนื่องจากความถี่บวกสามารถแสดงค่าเหล่านั้นได้อย่างสมบูรณ์ จึงสามารถหลีกเลี่ยงแนวคิดที่ไม่ธรรมดาของความถี่ลบที่จำเป็นในการแปลงฟูริเยร์แบบปกติได้ นอกจากนี้ยังอาจสะดวกเมื่อฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นฟังก์ชันคู่หรือคี่อยู่แล้ว หรือสามารถทำให้เป็นฟังก์ชันคู่หรือคี่ได้ ซึ่งในกรณีนี้จำเป็นต้องใช้เพียงการแปลงโคไซน์หรือการแปลงไซน์ตามลำดับเท่านั้น ตัวอย่างเช่น แม้ว่าอินพุตอาจไม่ใช่ฟังก์ชันคู่หรือคี่การแปลงโคไซน์แบบ ไม่ต่อเนื่อง อาจเริ่มต้นด้วยการสมมติว่าอินพุตเป็นฟังก์ชันคู่ ในขณะที่การแปลงไซน์แบบไม่ ต่อเนื่อง อาจเริ่มต้นด้วยการสมมติว่าอินพุตเป็นฟังก์ชันคี่ เพื่อหลีกเลี่ยงการคำนวณการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องทั้งหมด

การใช้วิธีการประเมินเชิงตัวเลขมาตรฐานสำหรับอินทิกรัลฟูริเยร์ เช่น การหาปริพันธ์แบบเกาส์เซียนหรือแทนห์-ซินห์มีแนวโน้มที่จะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องโดยสิ้นเชิง เนื่องจากผลรวมของการหาปริพันธ์ (สำหรับอินทิกรัลส่วนใหญ่ที่สนใจ) มีสภาพไม่ดีอย่างมาก จำเป็นต้องใช้วิธีการเชิงตัวเลขพิเศษที่ใช้ประโยชน์จากโครงสร้างของการแกว่ง ตัวอย่างเช่น วิธีของ Ooura สำหรับอินทิกรัลฟูริเยร์^{[ 9 ]}วิธีนี้พยายามประเมินอินทิกรัลที่ตำแหน่งซึ่งเข้าใกล้ศูนย์ของการแกว่ง (ไซน์หรือโคไซน์) อย่างรวดเร็ว ลดขนาดของพจน์บวกและลบที่รวมกัน

• การแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง
• การแปลงไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง
• การแปลงฮาร์ทลีย์ — การแปลงไซน์และโคไซน์แบบผสมที่ไม่ต้องใช้จำนวนเชิงซ้อน
• รายการการแปลงที่เกี่ยวข้องกับฟูริเยร์