ความแปรปรวนร่วมระหว่างตัวแปรสุ่มเชิงซ้อน สองตัว${\displaystyle Z,W}$ถูกกำหนดเป็น^{[ 6 ] : 119}$${\displaystyle \operatorname {cov} (Z,W)=\operatorname {E} \left[(Z-\operatorname {E} [Z]){\overline {(W-\operatorname {E} [W])}}\right]=\operatorname {E} \left[Z{\overline {W}}\right]-\operatorname {E} [Z]\operatorname {E} \left[{\overline {W}}\right]}$$

โปรดสังเกตการผันเชิงซ้อนของตัวประกอบที่สองในคำนิยาม

สามารถกำหนดความแปรปรวนร่วมเทียมที่เกี่ยวข้อง ได้เช่นกัน

ถ้าคู่ตัวแปรสุ่ม (จริง)${\displaystyle (X,Y)}$สามารถรับเอาค่านิยมเหล่านั้นได้${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$สำหรับ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$โดยมีความน่าจะเป็นเท่ากัน${\displaystyle p_{i}=1/n}$ดังนั้น ค่าความแปรปรวนร่วมจึงสามารถเขียนได้ในรูปของค่าเฉลี่ยได้เช่นกัน${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$และ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]}$เช่น $${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-E(X))(y_{i}-E(Y)).}$$

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้อย่างเทียบเท่าโดยไม่ต้องอ้างอิงถึงวิธีการโดยตรง ดังนี้^{[ 7 ]}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i}\sum _{j>i}(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j}).}$$

โดยทั่วไปแล้ว หากมี${\displaystyle n}$ความเป็นไปได้ของการเกิดขึ้น${\displaystyle (X,Y)}$กล่าวคือ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$แต่มีโอกาสเกิดขึ้นไม่เท่ากัน${\displaystyle p_{i}}$สำหรับ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ดังนั้นค่าความแปรปรวนร่วมคือ $${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x_{i}-E(X))(y_{i}-E(Y)).}$$

ในกรณีที่ตัวแปรสุ่มสองตัวแยกจากกัน${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$มีการกระจายความน่าจะเป็นร่วมกัน ซึ่งแสดงด้วยองค์ประกอบต่างๆ${\displaystyle p_{i,j}}$ซึ่งสอดคล้องกับความน่าจะเป็นร่วมของ${\displaystyle P(X=x_{i},Y=y_{j})}$ค่าความแปรปรวนร่วมจะคำนวณโดยใช้ผลรวมสองชั้นเหนือดัชนีของเมทริกซ์:

$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}p_{i,j}(x_{i}-E[X])(y_{j}-E[Y]).}$$

ความแปรปรวนเป็นกรณีพิเศษของความแปรปรวนร่วมซึ่งตัวแปรทั้งสองเหมือนกัน: ^{[ 6 ] : 121}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,X)=\operatorname {var} (X)\equiv \sigma ^{2}(X)\equiv \sigma _{X}^{2}.}$$

ถ้า${\displaystyle X}$,${\displaystyle Y}$,${\displaystyle W}$, และ${\displaystyle V}$เป็นตัวแปรสุ่มค่าจริง และ${\displaystyle a,b,c,d}$ถ้า เป็นค่าคงที่ที่มีค่าเป็นจำนวนจริง ข้อเท็จจริงต่อไปนี้จึงเป็นผลสืบเนื่องมาจากนิยามของความแปรปรวนร่วม: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (X,a)&=0\\\operatorname {cov} (X,X)&=\operatorname {var} (X)\\\operatorname {cov} (X,Y)&=\operatorname {cov} (Y,X)\\\operatorname {cov} (aX,bY)&=ab\,\operatorname {cov} (X,Y)\\\operatorname {cov} (X+a,Y+b)&=\operatorname {cov} (X,Y)\\\operatorname {cov} (aX+bY,cW+dV)&=ac\,\operatorname {cov} (X,W)+ad\,\operatorname {cov} (X,V)+bc\,\operatorname {cov} (Y,W)+bd\,\operatorname {cov} (Y,V)\end{aligned}}}$$

สำหรับลำดับ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ของตัวแปรสุ่มและค่าคงที่ที่เป็นจำนวนจริง${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$เรามี $${\displaystyle \operatorname {var} \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\operatorname {var} (X_{i})+2\sum _{i,j\,:\,i<j}a_{i}a_{j}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i,j}{a_{i}a_{j}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}}$$

สูตรที่มีประโยชน์ในการคำนวณค่าความแปรปรวนร่วมระหว่างตัวแปรสุ่มสองตัว${\displaystyle X,Y}$ คือเอกลักษณ์ความแปรปรวนร่วมของ Hoeffding: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }\left(F_{(X,Y)}(x,y)-F_{X}(x)F_{Y}(y)\right)\,dx\,dy}$$ ที่ไหน${\displaystyle F_{(X,Y)}(x,y)}$คือฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วมของเวกเตอร์สุ่ม${\displaystyle (X,Y)}$และ${\displaystyle F_{X}(x),F_{Y}(y)}$คือกลุ่มชายขอบ

ตัวแปรสุ่มที่มีเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเป็นศูนย์เรียกว่าไม่มีความสัมพันธ์กัน^{[ 6 ] : 121}ในทำนองเดียวกัน ส่วนประกอบของเวกเตอร์สุ่มที่มีเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเป็นศูนย์ในทุกรายการนอกแนวทแยงหลักก็เรียกว่าไม่มีความสัมพันธ์กันเช่นกัน

ถ้า${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$หากตัวแปรสุ่มอิสระกันค่าความแปรปรวนร่วมจะเป็นศูนย์^{[ 6 ] : 123 [ 10 ]}ซึ่งเป็นผลมาจากความเป็นอิสระ $${\displaystyle \operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [Y].}$$

อย่างไรก็ตาม ในทางกลับกันนั้นโดยทั่วไปแล้วไม่เป็นเช่นนั้น ตัวอย่างเช่น สมมติว่า${\displaystyle X}$มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอใน${\displaystyle [-1,1]}$และปล่อยให้${\displaystyle Y=X^{2}}$ชัดเจน${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$ไม่เป็นอิสระ แต่ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (X,Y)&=\operatorname {cov} \left(X,X^{2}\right)\\&=\operatorname {E} \left[X\cdot X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} \left[X^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{3}\right]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} \left[X^{2}\right]\\&=0-0\cdot \operatorname {E} [X^{2}]\\&=0.\end{aligned}}}$$

ในกรณีนี้ ความสัมพันธ์ระหว่าง${\displaystyle Y}$และ${\displaystyle X}$ความสัมพันธ์และค่าความแปรปรวนร่วมเป็นการวัดการพึ่งพาเชิงเส้นระหว่างตัวแปรสุ่มสองตัวแบบไม่เป็นเชิงเส้น ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าหากตัวแปรสุ่มสองตัวไม่มีความสัมพันธ์กัน โดยทั่วไปแล้วไม่ได้หมายความว่าตัวแปรเหล่านั้นเป็นอิสระต่อกัน อย่างไรก็ตาม หากตัวแปรสองตัวมีการแจกแจงแบบปกติร่วมกัน (แต่ไม่ใช่หากตัวแปรแต่ละตัวมีการแจกแจงแบบปกติ เพียงอย่างเดียว ) การไม่มีความสัมพันธ์กันจะหมายถึงความเป็นอิสระ^{[ 11 ]}

${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$ตัวแปรที่มีค่าความแปรปรวนร่วมเป็นบวกเรียกว่ามีความสัมพันธ์เชิงบวก ซึ่งหมายความว่า ถ้า${\displaystyle X>E[X]}$แล้วก็มีแนวโน้มว่า${\displaystyle Y>E[Y]}$ในทางกลับกัน${\displaystyle X}$และ${\displaystyle Y}$ค่าความแปรปรวนร่วมที่เป็นลบจะมีความสัมพันธ์กันในเชิงลบ และถ้า${\displaystyle X>E[X]}$แล้วก็มีแนวโน้มว่า${\displaystyle Y<E[Y]}$.

คุณสมบัติหลายประการของความแปรปรวนร่วมสามารถแยกออกมาได้อย่างงดงามโดยการสังเกตว่ามันมีคุณสมบัติคล้ายคลึงกับคุณสมบัติของผลคูณภายใน :

1. ไบลิเนียร์ : สำหรับค่าคงที่${\displaystyle a}$และ${\displaystyle b}$และตัวแปรสุ่ม${\displaystyle X,Y,Z,}$${\displaystyle \operatorname {cov} (aX+bY,Z)=a\operatorname {cov} (X,Z)+b\operatorname {cov} (Y,Z)}$
2. สมมาตร:${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {cov} (Y,X)}$
3. บวกกึ่งแน่นอน :${\displaystyle \sigma ^{2}(X)=\operatorname {cov} (X,X)\geq 0}$สำหรับตัวแปรสุ่มทั้งหมด${\displaystyle X}$, และ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,X)=0}$หมายความว่า${\displaystyle X}$มีค่าคงที่เกือบแน่นอน

In fact these properties imply that the covariance defines an inner product over the quotient vector space obtained by taking the subspace of random variables with finite second moment and identifying any two that differ by a constant. (This identification turns the positive semi-definiteness above into positive definiteness.) That quotient vector space is isomorphic to the subspace of random variables with finite second moment and mean zero; on that subspace, the covariance is exactly the L² inner product of real-valued functions on the sample space.

As a result, for random variables with finite variance, the inequality $${\displaystyle \left|\operatorname {cov} (X,Y)\right|\leq {\sqrt {\sigma ^{2}(X)\sigma ^{2}(Y)}}}$$ is a special case of the Cauchy–Schwarz inequality.

For convenience, here is an explicit proof, which uses only the inner product properties above.

If ${\displaystyle \sigma ^{2}(Y)=0}$, then it holds trivially. Otherwise, define the random variable $${\displaystyle Z=X-{\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sigma ^{2}(Y)}}Y.}$$

Then we have $${\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \sigma ^{2}(Z)&=\operatorname {cov} \left(X-{\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sigma ^{2}(Y)}}Y,\;X-{\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sigma ^{2}(Y)}}Y\right)\\[12pt]&=\sigma ^{2}(X)-{\frac {(\operatorname {cov} (X,Y))^{2}}{\sigma ^{2}(Y)}}\\\implies (\operatorname {cov} (X,Y))^{2}&\leq \sigma ^{2}(X)\sigma ^{2}(Y)\\\left|\operatorname {cov} (X,Y)\right|&\leq {\sqrt {\sigma ^{2}(X)\sigma ^{2}(Y)}}\end{aligned}}}$$

For a vector ${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}X_{1}&X_{2}&\dots &X_{m}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$ of ${\displaystyle m}$ jointly distributed random variables with finite second moments, its auto-covariance matrix (also known as the variance–covariance matrix or simply the covariance matrix) ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$ (also denoted by ${\displaystyle \Sigma (\mathbf {X} )}$ or ${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {X} )}$) is defined as^[12]:335$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{\mathbf {XX} }=\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {X} )&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\mathrm {T} }\right]\\&=\operatorname {E} \left[\mathbf {XX} ^{\mathrm {T} }\right]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$$

Let ${\displaystyle \mathbf {X} }$ be a random vector with covariance matrix Σ, and let A be a matrix that can act on ${\displaystyle \mathbf {X} }$ on the left. The covariance matrix of the matrix-vector product A X is: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (\mathbf {AX} ,\mathbf {AX} )&=\operatorname {E} \left[\mathbf {AX(A} \mathbf {X)} ^{\mathrm {T} }\right]-\operatorname {E} [\mathbf {AX} ]\operatorname {E} \left[(\mathbf {A} \mathbf {X} )^{\mathrm {T} }\right]\\&=\operatorname {E} \left[\mathbf {AXX} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right]-\operatorname {E} [\mathbf {AX} ]\operatorname {E} \left[\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right]\\&=\mathbf {A} \operatorname {E} \left[\mathbf {XX} ^{\mathrm {T} }\right]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {A} \operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} \left[\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }\right]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\\&=\mathbf {A} \left(\operatorname {E} \left[\mathbf {XX} ^{\mathrm {T} }\right]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} \left[\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }\right]\right)\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\\&=\mathbf {A} \Sigma \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$$

This is a direct result of the linearity of expectation and is useful when applying a linear transformation, such as a whitening transformation, to a vector.

For real random vectors${\displaystyle \mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{m}}$ and ${\displaystyle \mathbf {Y} \in \mathbb {R} ^{n}}$, the ${\displaystyle m\times n}$ cross-covariance matrix is equal to^[12]:336

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\mathrm {T} }\right]\\&=\operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\mathrm {T} }\right]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\mathrm {T} }\end{aligned}}}$

Eq.2

where ${\displaystyle \mathbf {Y} ^{\mathrm {T} }}$ is the transpose of the vector (or matrix) ${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

The ${\displaystyle (i,j)}$-th element of this matrix is equal to the covariance ${\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},Y_{j})}$ between the i-th scalar component of ${\displaystyle \mathbf {X} }$ and the j-th scalar component of ${\displaystyle \mathbf {Y} }$. In particular, ${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {Y} ,\mathbf {X} )}$ is the transpose of ${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$.

More generally let ${\displaystyle H_{1}=(H_{1},\langle \,,\rangle _{1})}$ and ${\displaystyle H_{2}=(H_{2},\langle \,,\rangle _{2})}$, be Hilbert spaces over ${\displaystyle \mathbb {R} }$ or ${\displaystyle \mathbb {C} }$ with ${\displaystyle \langle \,,\rangle }$ anti linear in the first variable, and let ${\displaystyle \mathbf {X} ,\mathbf {Y} }$ be ${\displaystyle H_{1}}$ resp. ${\displaystyle H_{2}}$ valued random variables. Then the covariance of ${\displaystyle \mathbf {X} }$ and ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ is the sesquilinear form on ${\displaystyle H_{1}\times H_{2}}$ (anti linear in the first variable) given by $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{X,Y}(h_{1},h_{2})=\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )(h_{1},h_{2})&=\operatorname {E} \left[\langle h_{1},(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])\rangle _{1}\langle (\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]),h_{2}\rangle _{2}\right]\\&=\operatorname {E} [\langle h_{1},\mathbf {X} \rangle _{1}\langle \mathbf {Y} ,h_{2}\rangle _{2}]-\operatorname {E} [\langle h,\mathbf {X} \rangle _{1}]\operatorname {E} [\langle \mathbf {Y} ,h_{2}\rangle _{2}]\\&=\langle h_{1},\operatorname {E} \left[(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\dagger }\right]h_{2}\rangle _{1}\\&=\langle h_{1},\left(\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\dagger }]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\dagger }\right)h_{2}\rangle _{1}\\\end{aligned}}}$$

Covariance is an important measure in biology. Certain sequences of DNA are conserved more than others among species, and thus to study secondary and tertiary structures of proteins, or of RNA structures, sequences are compared in closely related species. If sequence changes are found or no changes at all are found in noncoding RNA (such as microRNA), sequences are found to be necessary for common structural motifs, such as an RNA loop. In genetics, covariance serves a basis for computation of Genetic Relationship Matrix (GRM) (aka kinship matrix), enabling inference on population structure from sample with no known close relatives as well as inference on estimation of heritability of complex traits.

ในทฤษฎีวิวัฒนาการและการคัดเลือกโดยธรรมชาติ สมการของ ไพรซ์อธิบายว่าลักษณะทางพันธุกรรมเปลี่ยนแปลงความถี่อย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป สมการนี้ใช้ความแปรปรวนร่วมระหว่างลักษณะและความเหมาะสมเพื่อให้คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของวิวัฒนาการและการคัดเลือกโดยธรรมชาติ สมการนี้ให้วิธีการทำความเข้าใจผลกระทบของการถ่ายทอดยีนและการคัดเลือกโดยธรรมชาติที่มีต่อสัดส่วนของยีนในแต่ละรุ่นใหม่ของประชากร^{[ 15 ] [ 16 ]}

ค่าความแปรปรวนร่วมมีบทบาทสำคัญในเศรษฐศาสตร์การเงินโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีการจัดพอร์ตการลงทุนสมัยใหม่และในแบบจำลองการกำหนดราคาหลักทรัพย์ (CAPM ) ค่าความแปรปรวนร่วมระหว่างผลตอบแทนของสินทรัพย์ต่างๆ ถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดสัดส่วนการถือครองสินทรัพย์ต่างๆ ที่นักลงทุนควร (ในการวิเคราะห์เชิงบรรทัดฐาน ) หรือที่คาดการณ์ว่าจะ (ในการวิเคราะห์เชิงบวก ) เลือกที่จะถือครองในบริบทของการกระจายความเสี่ยง ภายใต้ สมมติฐานบางประการ

เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมมีความสำคัญในการประมาณเงื่อนไขเริ่มต้นที่จำเป็นสำหรับการทำงานของแบบจำลองพยากรณ์อากาศ ซึ่งเป็นกระบวนการที่เรียกว่าการบูรณาการข้อมูล โดยทั่วไปแล้ว "เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของข้อผิดพลาดในการพยากรณ์" จะถูกสร้างขึ้นระหว่างการรบกวนรอบสถานะเฉลี่ย (ไม่ว่าจะเป็นค่าเฉลี่ยทางภูมิอากาศหรือค่าเฉลี่ยแบบกลุ่ม) ส่วน "เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของข้อผิดพลาดในการสังเกต" จะถูกสร้างขึ้นเพื่อแสดงขนาดของข้อผิดพลาดในการสังเกตที่รวมกัน (บนแนวทแยง) และข้อผิดพลาดที่สัมพันธ์กันระหว่างการวัด (นอกแนวทแยง) นี่เป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้อย่างแพร่หลายในการกรองแบบ Kalman และ การประมาณสถานะทั่วไปสำหรับระบบที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา

เทคนิคEddy Covarianceเป็นเทคนิคการวัดทางบรรยากาศที่สำคัญ โดยใช้ค่าความแปรปรวนร่วมระหว่างค่าเบี่ยงเบนทันทีของความเร็วลมในแนวดิ่งจากค่าเฉลี่ย และค่าเบี่ยงเบนทันทีของความเข้มข้นของก๊าซ เป็นพื้นฐานในการคำนวณฟลักซ์ความปั่นป่วนในแนวดิ่ง

เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมใช้เพื่อจับความแปรผันเชิงสเปกตรัมของสัญญาณ^{[ 17 ]}