ในทางคณิตศาสตร์ปรากฏการณ์ของเครเมอร์หรือปรากฏการณ์เครเมอร์-ออยเลอร์^{[ 1 ]}คือข้อความที่ระบุว่าจำนวนจุดตัดของเส้นโค้งลำดับสูงสองเส้นในระนาบอาจมากกว่าจำนวนจุดที่กำหนดโดยพลการซึ่งโดยปกติแล้วจำเป็นต้องใช้ในการกำหนดเส้นโค้งดังกล่าวหนึ่งเส้น ปรากฏการณ์นี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวเจนีวา ชื่อ กาเบรียล เครเมอร์

ปรากฏการณ์นี้ดูเหมือนจะขัดแย้งกัน เพราะจุดตัดเหล่านั้นไม่สามารถกำหนดเส้นโค้งใดเส้นโค้งหนึ่งได้อย่างเฉพาะเจาะจง (พวกมันเป็นของเส้นโค้งอย่างน้อยสองเส้นที่แตกต่างกัน) แม้ว่าจะมีจำนวนมากก็ตาม นี่เป็นผลมาจากการเข้าใจผิดหรือการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทสองข้ออย่างไม่ถูกต้อง:

• ทฤษฎีบทของเบซูต์กล่าวว่า จำนวนจุดตัดของเส้นโค้งพีชคณิต สอง เส้นเท่ากับผลคูณของดีกรีของเส้นโค้งทั้งสองนั้น โดยมีเงื่อนไขบางประการที่จำเป็น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นโค้งสองเส้นที่มีดีกรี n มักจะมีจำนวนจุดตัดมาก${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{2}}$
• ทฤษฎีบทของเครเมอร์กล่าวว่า เส้นโค้งที่มีดีกรี n จะถูกกำหนดโดยจุดต่างๆ โดยสมมติว่ามีเงื่อนไขบางประการที่ต้องเป็นไปตามนั้น${\displaystyle n}$${\displaystyle n(n+3)/2}$

สำหรับทุกค่า, , ดังนั้นจึงดูเหมือนว่าสำหรับดีกรีสามขึ้นไป จุดตัดของเส้นโค้งสองเส้นจะมีจุดเพียงพอที่จะกำหนดเส้นโค้งใดเส้นโค้งหนึ่งได้อย่างเฉพาะเจาะจง อย่างไรก็ตาม เนื่องจากจุดเหล่านี้เป็นของเส้นโค้งทั้งสอง จึงไม่ได้กำหนดเส้นโค้งเฉพาะที่มีดีกรีนี้ได้อย่างเฉพาะเจาะจง การแก้ปริศนานี้คือขอบเขตของจำนวนจุดที่จำเป็นในการกำหนดเส้นโค้งนั้นใช้ได้เฉพาะกับจุดที่อยู่ในตำแหน่งทั่วไป เท่านั้น ในบางกรณีที่ผิดปกติจุดจำนวนน้อยเกินไปที่จะกำหนดเส้นโค้งได้อย่างเฉพาะเจาะจง ${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle n^{2}\geq n(n+3)/2}$${\displaystyle n(n+3)/2}$${\displaystyle n(n+3)/2}$

ความขัดแย้งนี้ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกโดยColin Maclaurinในปี 1720 ^{[ 2 ] [ 3 ]} Cramer และLeonhard Eulerได้ติดต่อกันเกี่ยวกับความขัดแย้งนี้ในจดหมายในปี 1744 และ 1745 และ Euler ได้อธิบายปัญหาให้ Cramer ฟัง^{[ 4 ]} ความขัดแย้ง นี้กลายเป็นที่รู้จักในชื่อความขัดแย้งของ Cramerหลังจากที่ปรากฏในหนังสือIntroduction à l'analyse des lignes courbes algébriques ของเขาในปี 1750 แม้ว่า Cramer จะอ้างถึง Maclaurin เป็นแหล่งที่มาของข้อความนี้ก็ตาม^{[ 5 ]}ในเวลาเดียวกันนั้น Euler ได้ตีพิมพ์ตัวอย่างที่แสดงเส้นโค้งลูกบาศก์ซึ่งไม่ได้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงด้วย 9 จุด^{[ 4 ] [ 6 ]}และได้อภิปรายปัญหาในหนังสือIntroductio in analysin infinitorum ของเขา ผลลัพธ์นี้ได้รับการเผยแพร่โดยJames StirlingและอธิบายโดยJulius Plücker ^{[ 1 ]}

สำหรับเส้นโค้งอันดับแรก (นั่นคือเส้นตรง ) ปรากฏการณ์ที่ขัดแย้งกันจะไม่เกิดขึ้น เพราะดังนั้นโดยทั่วไป เส้นตรงสองเส้นที่แตกต่างกันจะตัดกันที่จุดเดียว เว้นแต่ว่าเส้นตรงทั้งสองจะมีค่าความชันเท่ากัน ในกรณีนั้นเส้นตรงทั้งสองจะไม่ตัดกันเลย จุดเดียวไม่เพียงพอที่จะกำหนดเส้นตรงได้ (ต้องใช้สองจุด) เพราะไม่เพียงแต่เส้นตรงสองเส้นที่กำหนดเท่านั้นที่ผ่านจุดตัด แต่ยังมีเส้นตรงอื่นๆ อีกจำนวนอนันต์ที่ผ่านจุดตัดด้วย ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n^{2}=1<n(n+3)/2=2}$

ภาคตัดกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพสองภาคตัดกันที่จุดจำกัดอย่างมากที่สุดสี่จุดในระนาบจริง ซึ่งเป็นจำนวนสูงสุดที่ทฤษฎีบทของเบซูต์กำหนดไว้ อย่างไรก็ตาม ต้องใช้จุดห้าจุดในการกำหนดภาคตัดกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพ ดังนั้นในกรณีนี้จึงไม่มีความขัดแย้งใดๆ

ในจดหมายถึงออยเลอร์ เครเมอร์ชี้ให้เห็นว่าเส้นโค้งลูกบาศก์และตัดกันที่จุดเก้าจุดพอดี สมการแรกกำหนดเส้นแนวตั้งสามเส้น, , และ ในทำนองเดียวกัน สมการที่สองกำหนดเส้นแนวนอนสามเส้น เส้นเหล่านี้ตัดกันในตารางเก้าจุด ดังนั้น จุดเก้าจุดจึงไม่เพียงพอที่จะกำหนดเส้นโค้งลูกบาศก์ได้อย่างเฉพาะเจาะจงในกรณีเสื่อมสภาพเช่นนี้ ${\displaystyle x^{3}-x=0}$${\displaystyle y^{3}-y=0}$${\displaystyle x=-1}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=1}$

สมการสองตัวแปรดีกรีnมีสัมประสิทธิ์ 1 + n ( n + 3) / 2 ตัว แต่เซตของจุดที่อธิบายโดยสมการจะยังคงอยู่ หากสมการถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ตัวใดตัวหนึ่ง ทำให้เหลือสัมประสิทธิ์หนึ่งตัวเท่ากับ 1 และมีเพียงn ( n + 3) / 2 สัมประสิทธิ์เท่านั้นที่ใช้อธิบายเส้นโค้ง เมื่อมี จุด n ( n + 3) / 2 จุด ( x , y ) แต่ละจุดเหล่านี้สามารถใช้สร้างสมการแยกกันได้โดยการแทนค่าลงในสมการพหุนามทั่วไปดีกรีnทำให้ ได้สมการเชิงเส้น n ( n + 3) / 2 สมการใน สัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่า n ( n + 3) / 2 ตัว หากระบบนี้ไม่เสื่อมสภาพในแง่ของการมีดีเทอร์มิแนนต์ ที่ไม่เป็นศูนย์ สัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่าจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน ดังนั้นสมการพหุนามและเส้นโค้งของมันจึงถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันเช่นกัน แต่ถ้าดีเทอร์มิแนนต์นี้เป็นศูนย์ ระบบจะเสื่อมสภาพ และจุดต่างๆ อาจอยู่บนเส้นโค้งมากกว่าหนึ่งเส้นที่มีดีกรี n

• เอ็ด แซนดิเฟอร์ "ปริศนาของเครเมอร์"
• ปรากฏการณ์แครมเมอร์ที่ MathPages
• โรเบิร์ต อี. แบรดลีย์ และ ลี สเต็มโคสกี "เมื่อเก้าจุดมีค่าเพียงแปด: การแก้ปัญหาความขัดแย้งของเครเมอร์โดยออยเลอร์ – จดหมายของออยเลอร์ถึงเครเมอร์"