ทฤษฎีบทความผันผวนของครูกส์ (CFT)บางครั้งเรียกว่าสมการครูกส์^{[ 1 ]}เป็นสมการในกลศาสตร์สถิติที่เชื่อมโยงงานที่ทำกับระบบระหว่างการเปลี่ยนแปลงที่ไม่สมดุลกับความแตกต่างของพลังงานอิสระระหว่างสถานะสุดท้ายและสถานะเริ่มต้นของการเปลี่ยนแปลง ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงที่ไม่สมดุล ระบบจะมีปริมาตรคงที่และสัมผัสกับแหล่งเก็บความร้อน CFT ได้รับการตั้งชื่อตามนักเคมีGavin E. Crooks (ขณะนั้นอยู่ที่มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์) ผู้ค้นพบทฤษฎีบทนี้ในปี 1998

ข้อความทั่วไปที่สุดของทฤษฎีบทสนามควอนตัม (CFT) เชื่อมโยงความน่าจะเป็นของวิถีการเคลื่อนที่ในปริภูมิเวลาเข้ากับการย้อนกลับของวิถีการเคลื่อนที่นั้นทฤษฎีบทกล่าวว่า หากพลวัตของระบบเป็นไปตามคุณสมบัติการย้อนกลับในระดับจุลภาคแล้ว การกระจายความน่าจะเป็นของการผลิตเอนโทรปีในวิถีการเคลื่อนที่ไปข้างหน้าจะมีค่ามากกว่าการผลิตเอนโทรปีในวิถีการเคลื่อนที่ย้อนกลับแบบเลขชี้กำลัง โดยมีเงื่อนไขว่ามันเพิ่มขึ้น ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle {\tilde {x}}(t)}$

${\displaystyle {\frac {P[\sigma (x(t))]}{P[\sigma ({\tilde {x}}(t))]}}=e^{\sigma [x(t)]}.}$

ผลหารข้างต้นมีความชัดเจนดี เพราะเรากำลังเปรียบเทียบความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ไม่ใช่ความน่าจะเป็นของจุดบนวิถีเฉพาะเจาะจง ทีนี้ ถ้าเรากำหนดพิกัดปฏิกิริยาทั่วไปของระบบเป็นฟังก์ชันของพิกัดคาร์ทีเซียนของอนุภาคที่เป็นองค์ประกอบ ( เช่นระยะห่างระหว่างอนุภาคสองตัว) เราสามารถกำหนดลักษณะของทุกจุดตามเส้นทางพิกัดปฏิกิริยาด้วยพารามิเตอร์ โดยที่และสอดคล้องกับกลุ่มของ สถานะจุลภาค สองกลุ่ม ซึ่งพิกัดปฏิกิริยาถูกจำกัดไว้ที่ค่าต่างกัน กระบวนการไดนามิกที่ถูกขับเคลื่อนจากภายนอกจากศูนย์ไปหนึ่ง ตามตารางเวลาที่กำหนด จะเรียกว่าการแปลงไปข้างหน้าในขณะที่ เส้นทาง การย้อนเวลาจะเรียกว่าการแปลงไปข้างหลังจากคำจำกัดความเหล่านี้ CFT กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณห้าอย่างต่อไปนี้: ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle \lambda }$

• ${\displaystyle P(A\rightarrow B)}$กล่าว คือ ความน่าจะเป็นร่วมของการเลือกไมโครสเตตจากกลุ่มแคนอนิกที่สอดคล้องกับและของการดำเนินการแปลงไปข้างหน้าไปยังไมโครสเตต ที่ สอดคล้องกับ${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \lambda =1}$
• ${\displaystyle P(A\leftarrow B)}$กล่าวคือความน่าจะเป็นร่วมของการเลือกไมโครสเตตจากกลุ่มแคนอนิกที่สอดคล้องกับและของการดำเนินการแปลงย้อนกลับไปยังไมโครสเตต ที่ สอดคล้องกับ${\displaystyle B}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda =0}$
• ${\displaystyle \beta =(k_{B}T)^{-1}}$โดยที่คือค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์และคืออุณหภูมิของแหล่งกักเก็บ${\displaystyle k_{B}}$${\displaystyle T}$
• ${\displaystyle W_{A\ลูกศรขวา B}}$กล่าวคืองานที่ทำกับระบบในระหว่างการแปลงไปข้างหน้า (จากไป)${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle \Delta F=F(B)-F(A)}$กล่าวคือความ แตกต่าง ของพลังงานอิสระเฮล์มโฮลทซ์ระหว่างสถานะและซึ่งแสดงโดยการกระจายแบบแคนอนิกของไมโครสเตตที่มีและตามลำดับ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle \lambda =1}$

สมการ CFT มีรูปแบบดังนี้:

${\displaystyle {\frac {P(A\rightarrow B)}{P(A\leftarrow B)}}=\exp[\beta (W_{A\rightarrow B}-\Delta F)].}$

ในสมการก่อนหน้านี้ ความแตกต่างสอดคล้องกับงานที่สูญเสียไปในการแปลงไปข้างหน้าความน่าจะเป็นและ จะเท่ากันเมื่อการแปลงเกิดขึ้นด้วยความเร็วที่ช้ามากจนเป็นอนันต์ กล่าวคือสำหรับการแปลงสมดุล ในกรณีเช่นนี้และ${\displaystyle W_{A\ลูกศรขวา B}-\เดลต้า F}$${\displaystyle W_{d}}$${\displaystyle P(A\rightarrow B)}$${\displaystyle P(A\leftarrow B)}$${\displaystyle W_{A\rightarrow B}=\เดลต้า F}$${\displaystyle W_{d}=0.}$

โดยใช้ความสัมพันธ์การย้อนเวลาและจัดกลุ่มวิถีทั้งหมดที่ให้ผลลัพธ์งานเดียวกัน (ในการแปลงไปข้างหน้าและย้อนกลับ) กล่าวคือ การกำหนดการกระจายความน่าจะเป็น (หรือความหนาแน่น) ของปริมาณงานที่เกิดจากวิถีระบบแบบสุ่มจากไปเราสามารถเขียนสมการข้างต้นในรูปของฟังก์ชันการกระจายงานได้ดังนี้ ${\displaystyle W_{A\rightarrow B}=-W_{A\leftarrow B}}$${\displaystyle P_{A\ลูกศรขวา B}(W)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle P_{A\rightarrow B}(W)=P_{A\leftarrow B}(-W)~\exp[\beta (W-\Delta F)].}$

โปรดทราบว่าสำหรับการแปลงย้อนกลับ ฟังก์ชันการกระจายงานจะต้องได้รับการประเมินโดยการใช้งานที่มีเครื่องหมายตรงข้าม การกระจายงานทั้งสองสำหรับกระบวนการไปข้างหน้าและย้อนกลับจะตัดกันที่ปรากฏการณ์นี้ได้รับการตรวจสอบทางทดลองโดยใช้แหนบแสงสำหรับกระบวนการคลี่ออกและพับกลับของ แฮร์พิน RNA ขนาดเล็ก และจุดเชื่อมต่อเกลียวสามเกลียวของ RNA ^{[ 2 ]}${\displaystyle W=\Delta F}$

ทฤษฎีบทสนามควอนตั ม ร่วม (CFT) บ่งชี้ถึงความเท่าเทียมกันของ Jarzynski