การปูพื้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวเป็นจำนวนเต็มคือปัญหาของการปู พื้น สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น (สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวเป็นจำนวนเต็ม ) ชื่อนี้ได้มาจากการเปรียบเทียบอย่างขบขันกับการปูพื้นวงกลมด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสการปูพื้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นงานง่าย เว้นแต่จะมีเงื่อนไขเพิ่มเติม เงื่อนไขที่ได้รับการศึกษามากที่สุดคือการปูพื้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสต้องเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสสมบูรณ์แบบ หมายความว่าขนาดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เล็กกว่านั้นต้องแตกต่างกันทั้งหมด ปัญหาที่เกี่ยวข้องคือการปูพื้นระนาบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งสามารถทำได้แม้จะมีข้อจำกัดว่าจำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวนต้องปรากฏเพียงครั้งเดียวเท่านั้นในขนาดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสในการปูพื้น ลำดับของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ปูพื้นแล้วคือจำนวนของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เป็นส่วนประกอบ

สำหรับจำนวนเต็มใดๆ${\displaystyle n}$นอกจาก 2, 3 และ 5 แล้ว ยังสามารถแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นส่วนๆ ได้อีก${\displaystyle n}$สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดต่างกันหนึ่งหรือสองขนาด^{[ 2 ]}สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แต่ละสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กมีขนาดต่างกัน

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสมบูรณ์แบบได้รับการศึกษาโดยRL Brooks , CAB Smith , AH StoneและWT Tutte (ซึ่งเขียนภายใต้นามแฝงร่วมกันว่า " Blanche Descartes ") ที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ระหว่างปี 1936 ถึง 1938 พวกเขาแปลงการปูพื้นด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้เป็นวงจรไฟฟ้า ที่เทียบเท่ากัน – พวกเขาเรียกว่า "แผนภาพสมิธ" – โดยพิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสเหล่านั้นเป็นตัวต้านทานที่เชื่อมต่อกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสข้างเคียงที่ขอบบนและล่าง จากนั้นจึงนำกฎวงจรของ Kirchhoffและ เทคนิค การแยกส่วนวงจรมาใช้กับวงจรนั้น สี่เหลี่ยมจัตุรัสสมบูรณ์แบบแรกที่พวกเขาค้นพบมีลำดับที่ 69

สี่เหลี่ยมจัตุรัสกำลังสองสมบูรณ์ตัวแรกที่ได้รับการตีพิมพ์ ซึ่งเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสประกอบที่มีด้านยาว 4205 และลำดับที่ 55 ถูกค้นพบโดยRoland Spragueในปี พ.ศ. 2482 ^{[ 1 ]}

Martin Gardnerได้ตีพิมพ์บทความยาวที่เขียนโดยWT Tutteเกี่ยวกับประวัติศาสตร์ยุคแรกของการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสในคอลัมน์เกมคณิตศาสตร์ ของเขา ในเดือนพฤศจิกายน พ.ศ. 2491 ^{[ 3 ]}

สี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบ "ธรรมดา" คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ไม่มีเซตย่อยใด ๆ ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสมากกว่าหนึ่งรูปสามารถประกอบกันเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ ส่วนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเซตย่อยเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้า จะเรียกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบ "ผสม"

ในปี พ.ศ. 2521 AJW Duijvestijnค้นพบสี่เหลี่ยมจัตุรัสสมบูรณ์แบบที่เรียบง่ายขนาดด้านละ 112 ซึ่งมีจำนวนช่องสี่เหลี่ยมน้อยที่สุดโดยใช้การค้นหาด้วยคอมพิวเตอร์ การปูพื้นของเขาใช้ช่องสี่เหลี่ยม 21 ช่อง และได้รับการพิสูจน์แล้วว่าน้อยที่สุด^{[ 4 ]}สี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้เป็นโลโก้ของสมาคมคณิตศาสตร์ทรินิตี้ที่เคมบริดจ์ในอังกฤษ นอกจากนี้ยังปรากฏบนหน้าปกของวารสารทฤษฎีเชิงผสม อีก ด้วย

Duijvestijn ยังพบสี่เหลี่ยมจัตุรัสกำลังสองสมบูรณ์ที่เรียบง่ายสองรูปที่มีด้านยาว 110 แต่ละรูปประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส 22 รูป Theophilus Harding Willcocks นักคณิตศาสตร์สมัครเล่นและ นักแต่ง เพลงหมากรุกนางฟ้าพบอีกรูปหนึ่ง ในปี 1999 I. Gambini พิสูจน์ว่าทั้งสามรูปนี้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสกำลังสองสมบูรณ์ที่เล็กที่สุดในแง่ของความยาวด้าน^{[ 5 ]}

สี่เหลี่ยมจัตุรัสประกอบที่สมบูรณ์แบบที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสน้อยที่สุดถูกค้นพบโดย TH Willcocks ในปี พ.ศ. 2489 และมีสี่เหลี่ยมจัตุรัส 24 รูป อย่างไรก็ตาม จนกระทั่งปี พ.ศ. 2525 Duijvestijn, Pasquale Joseph Federicoและ P. Leeuw ได้พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ว่าเป็นตัวอย่างที่มีลำดับต่ำที่สุด^{[ 6 ]}

เมื่อผ่อนปรนข้อจำกัดที่ว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสทุกรูปต้องมีขนาดแตกต่างกัน สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กกว่าไม่มีตัวหารร่วมที่มากกว่า 1 จะเรียกว่า "ผ้าห่มของคุณนายเพอร์กินส์" เนื่องจากตัวหารร่วมมากที่สุดของด้านยาวของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กกว่าทั้งหมดควรเป็น 1 ดังนั้น สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 2k × 2k จึงไม่สามารถแบ่งออกเป็น สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด k × k สี่ รูปได้ โดยที่k ≥ 2 ปัญหาผ้าห่มของคุณนายเพอร์กินส์ถามหาผ้าห่มของคุณนายเพอร์กินส์ที่มีจำนวนชิ้นน้อยที่สุดสำหรับค่าที่กำหนด${\displaystyle n\times n}$สี่เหลี่ยมจัตุรัส จำนวนชิ้นที่ต้องการอย่างน้อยคือ${\displaystyle \log _{2}n}$[ ^{7 ] และ}อย่างมากที่สุด${\displaystyle 6\log _{2}n}$[ ^{8 ]}การค้นหาด้วยคอมพิวเตอร์พบวิธีแก้ปัญหาที่แม่นยำสำหรับค่าเล็กๆ^ของ${\displaystyle n}$(เล็กพอที่จะต้องใช้มากถึง 18 ชิ้น) ^{[ 9 ]}สำหรับ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$จำนวนชิ้นที่ต้องการคือ:

ในปี 1975 โซโลมอน โกลอมบ์ได้ตั้งคำถามว่าระนาบทั้งหมดสามารถปูด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านเป็นจำนวนเต็มได้หรือไม่ ซึ่งเขาเรียกว่าข้อ สันนิษฐานการปูแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกัน (heterogeneous tiling conjecture ) ปัญหานี้ได้รับการเผยแพร่ในภายหลังโดยมาร์ติน การ์ดเนอร์ ใน คอลัมน์ Scientific American ของเขา และปรากฏในหนังสือหลายเล่ม แต่ก็ยังไม่มีใครหาคำตอบได้เป็นเวลากว่า 30 ปี

ระนาบสามารถปูด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสจำนวนเต็มที่แตกต่างกันได้อย่างง่ายดายโดยใช้ลำดับฟิโบนาชชี (ดูรูป) 1. การปูด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นจำนวนฟิโบนาชชีนั้นเกือบสมบูรณ์แบบ ยกเว้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปที่มีด้านยาว 1 2. Duijvestijn พบสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 110 ที่ปูด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน 22 รูป3. การขยายการปูด้วยลำดับฟิโบนาชชีเป็น 110 เท่า และแทนที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 110 รูปหนึ่งด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสของ Duijvestijn จะทำให้การปูสมบูรณ์แบบยิ่งขึ้น

ในหนังสือ Tilings and patternsที่ตีพิมพ์ในปี 1987 บรังโก กรูนบอมและ จี.ซี. เชพเพิร์ด ได้อธิบายวิธีการปูพื้นผิวระนาบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเต็ม โดยการนำสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเต็มใดๆ มาขยายขนาดซ้ำๆ จนกระทั่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเล็กที่สุดเดิมมีขนาดเท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเต็มดั้งเดิม จากนั้นจึงแทนที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ขยายขนาดนี้ด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเต็มดั้งเดิมอีกอัน กระบวนการขยายขนาดซ้ำๆ นี้จะเพิ่มขนาดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบทวีคูณ โดยข้ามจำนวนเต็มส่วนใหญ่ไป ซึ่งพวกเขาตั้งข้อสังเกตว่าคุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับวิธีการปูพื้นผิวระนาบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเต็มที่สมบูรณ์แบบทั้งหมดที่รู้จักในขณะนั้น

ในปี 2008 James Henle และ Frederick Henle ได้พิสูจน์สมมติฐานการปูพื้นแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกันของ Golomb: มีการปูพื้นระนาบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดจำนวนเต็มหนึ่งรูป การพิสูจน์ของพวกเขาเป็นการสร้างและดำเนินการโดยการ "ขยาย" บริเวณรูปตัว L ที่เกิดจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปที่วางเคียงข้างกันและชิดกันในแนวนอนที่มีขนาดต่างกันให้กลายเป็นการปูพื้นที่สมบูรณ์แบบของบริเวณสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดใหญ่ จากนั้นจึงนำสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กที่สุดที่ยังไม่ได้ใช้มาต่อเติมเพื่อให้ได้บริเวณรูปตัว L ที่ใหญ่ขึ้นอีก สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เพิ่มเข้ามาในระหว่างขั้นตอนการขยายจะมีขนาดที่ยังไม่ปรากฏในการสร้าง และขั้นตอนดังกล่าวถูกตั้งค่าไว้เพื่อให้บริเวณสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ได้นั้นขยายออกไปในทั้งสี่ทิศทาง ซึ่งนำไปสู่การปูพื้นระนาบทั้งหมด^{[ 10 ]}

การหาค่ากำลังสามของลูกบาศก์นั้นเทียบได้กับการหาค่ากำลังสองของสี่เหลี่ยมจัตุรัสในสามมิติ กล่าวคือ เมื่อกำหนดลูกบาศก์C มา แล้ว ปัญหาคือการแบ่งลูกบาศก์นั้นออกเป็นลูกบาศก์ขนาดเล็กจำนวนจำกัด โดยไม่มีลูกบาศก์สองลูกใดที่เท่ากันทุกประการ

ต่างจากกรณีการยกกำลังสองของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งเป็นปัญหาที่ยากแต่สามารถแก้ไขได้ ไม่มีลูกบาศก์ที่สมบูรณ์แบบ และโดยทั่วไปแล้ว ไม่มีวิธีการแบ่งทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากCออกเป็นลูกบาศก์ที่ไม่เท่ากันจำนวนจำกัด

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราเริ่มต้นด้วยข้ออ้างต่อไปนี้: สำหรับการแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสอย่างสมบูรณ์แบบใดๆ สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เล็กที่สุดในการแบ่งนี้จะไม่วางอยู่บนขอบของสี่เหลี่ยมผืนผ้า อันที่จริง สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มุมแต่ละมุมจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ติดกันซึ่งมีขนาดเล็กกว่า และสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ติดกันซึ่งมีขนาดเล็กกว่าจะอยู่ติดกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเล็กกว่าซึ่งไม่ได้อยู่บนขอบ

สมมติว่ามีการแบ่งทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้าออกเป็นชิ้นๆ อย่างสมบูรณ์แบบด้วยลูกบาศก์ ให้ด้านใน R ถูกล้อมรอบด้วยลูกบาศก์ที่ใหญ่กว่าและสูงกว่าดังนั้นด้านบนของลูกบาศก์บนs₁ ถูกแบ่งออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสมบูรณ์แบบโดยลูกบาศก์ที่วางอยู่บนนั้น ให้s₂ เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เล็กที่สุดในการแบ่งนี้ จากข้อความข้างต้น นี้ถูกล้อมรอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่กว่าs₂และสูงกว่า ในทุก

ลำดับของกำลังสองs , s , ... เป็นอนันต์ และกำลังสามที่สอดคล้องกันมีจำนวนเป็นอนันต์ ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานเดิมของเรา^{[ 11 ]}

หาก ไฮเปอร์คิวบ์ 4 มิติสามารถถูกทำให้เป็นไฮเปอร์คิวบ์ได้อย่างสมบูรณ์แบบแล้ว 'หน้า' ของมันจะเป็นลูกบาศก์ที่สมบูรณ์แบบ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ในทำนองเดียวกัน ไม่มีคำตอบสำหรับลูกบาศก์ทุกขนาดในมิติที่สูงกว่านั้น

• การจัดเรียงแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสในกรอบสี่เหลี่ยม
• การแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เหมือนกัน
• สี่เหลี่ยมผืนผ้าสมบูรณ์แบบ