ความสัมพันธ์การสลับบางอย่างระหว่างตัวดำเนินการความหนาแน่นกระแสในทฤษฎีสนามควอนตัม กำหนด พีชคณิตลีมิติอนันต์ที่เรียกว่าพีชคณิตกระแส^{[ 1 ]}ในทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตลีเหล่านี้ประกอบด้วยแผนที่เรียบจากแมนิโฟลด์ไปยังพีชคณิตลีมิติจำกัด^{[ 2 ]}

พีชคณิตกระแสเดิมที่เสนอโดยMurray Gell-Mann ในปี 1964 อธิบายกระแสอ่อนและกระแสแม่เหล็กไฟฟ้าของอนุภาคที่มีปฏิสัมพันธ์อย่างรุนแรงอย่างแฮดรอนซึ่งนำไปสู่สูตร Adler–Weisbergerและผลลัพธ์ทางฟิสิกส์ที่สำคัญอื่นๆ แนวคิดพื้นฐานในยุคก่อนหน้าควอนตัมโครโมไดนามิกส์คือ แม้จะไม่ทราบ Lagrangian ที่ควบคุมพลศาสตร์ของแฮดรอนโดยละเอียด ข้อมูลจลนศาสตร์ที่แน่นอน – สมมาตรเฉพาะที่ – ก็ยังสามารถเข้ารหัสในพีชคณิตของกระแสได้^{[ 3 ]}

ตัวสลับที่เกี่ยวข้องในพีชคณิตกระแสไฟฟ้าเทียบเท่ากับการขยาย แผนที่จอร์แดนในมิติอนันต์โดยที่สนามควอนตัมแสดงถึงอาร์เรย์อนันต์ของออสซิลเลเตอร์

เทคนิคทางพีชคณิตในปัจจุบันยังคงเป็นส่วนหนึ่งของพื้นฐานความรู้ร่วมกันในฟิสิกส์อนุภาคเมื่อวิเคราะห์สมมาตร และเป็นสิ่งจำเป็นอย่างยิ่งในการอภิปรายทฤษฎีบทโกลด์สโตน

ใน สมมาตร Yang–Mills ที่ไม่ใช่ Abelian ซึ่งVและA เป็นส่วนประกอบที่ 0 ของกระแสรสชาติและกระแสแกน (ความหนาแน่นประจุ) ตามลำดับ รูปแบบของพีชคณิตกระแสคือ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle {\bigl [}\ V^{a}({\vec {x}}),\ V^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ V^{c}({\vec {x}})\ ,}$และ

${\displaystyle {\bigl [}\ V^{a}({\vec {x}}),\ A^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ A^{c}({\vec {x}})\ ,\qquad {\bigl [}\ A^{a}({\vec {x}}),\ A^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ V^{c}({\vec {x}})~,}$

โดยที่fคือค่าคงที่โครงสร้างของพีชคณิตลีเพื่อให้ได้นิพจน์ที่มีความหมาย ค่าเหล่านี้จะต้องเรียงลำดับแบบปกติ

เมื่อกำหนดนิยามแล้ว พีชคณิตจะคลี่คลายไปสู่ผลรวมโดยตรงของพีชคณิตสองตัว คือLและR

${\displaystyle L^{a}({\vec {x}})\equiv {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\ V^{a}({\vec {x}})-A^{a}({\vec {x}})\ {\bigr )}\ ,\qquad R^{a}({\vec {x}})\equiv {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\ V^{a}({\vec {x}})+A^{a}({\vec {x}})\ {\bigr )}\ ,}$

จากนั้น ${\displaystyle {\bigl [}\ L^{a}({\vec {x}}),\ L^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ L^{c}({\vec {x}})\ ,\quad {\bigl [}\ L^{a}({\vec {x}}),\ R^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=0,\quad {\bigl [}\ R^{a}({\vec {x}}),\ R^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ R^{c}({\vec {x}})~.}$

ในกรณีที่ปริภูมิเป็นวงกลมหนึ่งมิติ พีชคณิตกระแสเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติในฐานะส่วนขยายศูนย์กลางของพีชคณิตลูปซึ่งรู้จักกันในชื่อพีชคณิต Kac–Moodyหรือเรียกให้เจาะจงยิ่งขึ้นว่าพีชคณิต Lie เชิงเส้นตรงในกรณีนี้ ตัวสลับและการเรียงลำดับปกติสามารถกำหนดความหมายทางคณิตศาสตร์ได้อย่างแม่นยำมากในแง่ของเส้นโค้งการอินทิเกรตบนระนาบเชิงซ้อนซึ่งช่วยหลีกเลี่ยงปัญหาความแตกต่างอย่างเป็นทางการบางประการที่มักพบในทฤษฎีสนามควอนตัม

เมื่อฟอร์ม Killingของพีชคณิต Lie ถูกหดตัวด้วยคอมมิวเทเตอร์กระแส จะได้เทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัมของทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลสองมิติเมื่อเทนเซอร์นี้ถูกขยายเป็นอนุกรม Laurentพีชคณิตที่ได้จะเรียกว่าพีชคณิตVirasoro ^{[ 6 ]} การคำนวณนี้เรียกว่า การ สร้าง Sugawara

กรณีทั่วไปจะถูกกำหนดเป็นทางการในรูปของพีชคณิต ตัวดำเนินการจุดยอด

• พีชคณิตลีแอฟฟิน
• แบบจำลองไครัล
• แผนที่ประเทศจอร์แดน
• พีชคณิตวิราโซโร
• พีชคณิตตัวดำเนินการจุดยอด
• พีชคณิต Kac–Moody