ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎีแผนที่จอร์แดนซึ่งมักเรียกว่าแผนที่จอร์แดน-ชวิงเกอร์เป็นแผนที่จากเมทริกซ์M _ijไปยังนิพจน์เชิงเส้นคู่ของตัวสั่นควอนตัม ซึ่งเร่งการคำนวณการแสดงแทนของพีชคณิตลีที่เกิดขึ้นในฟิสิกส์ แผนที่นี้ได้รับการแนะนำโดยปาสกัวล จอร์แดนในปี 1935 ^{[ 1 ]}และถูกนำไปใช้โดยจูเลียน ชวิงเกอร์^{[ 2 ]}ในปี 1952 เพื่อปรับปรุงทฤษฎีโมเมนตัมเชิงมุมควอนตัมอย่างมีประสิทธิภาพ เนื่องจากแผนที่นี้ง่ายต่อการจัดระเบียบการแสดงแทน (สมมาตร) ของ su(2)ในปริภูมิฟ็อค

แผนที่นี้ใช้ตัวดำเนินการสร้างและทำลาย หลายตัว ซึ่งใช้กันเป็นประจำในทฤษฎีสนามควอนตัมและปัญหาหลายอนุภาคโดยแต่ละคู่แทนตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัมความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งของตัวดำเนินการสร้างและทำลายใน ระบบ โบซอน หลายตัว มีดังนี้ ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$${\displaystyle a_{i}^{\,}}$

${\displaystyle [a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$

${\displaystyle [a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,}$

ตัวสลับสัญญาณอยู่ที่ไหนและเดลต้าโครเนกเกอร์อยู่ ที่ไหน${\displaystyle [\ \ ,\ \ ]}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

ตัวดำเนินการเหล่านี้จะเปลี่ยนค่าลักษณะเฉพาะของ ตัวดำเนิน การ จำนวน

${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}}$,

โดยหนึ่ง เช่นเดียวกับ ตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตั ม หลายมิติ

แผนที่จอร์แดนจากเซตของเมทริกซ์M _ij ไปยังตัวดำเนินการทวิเชิงเส้น Mใน ปริภูมิฟ็อค

${\displaystyle {\mathbf {M} }\qquad \longmapsto \qquad M\equiv \sum _{i,j}a_{i}^{\dagger }{\mathbf {M} _{ij}a_{j}~,}$

เป็นการ สมสัณฐานของ พีชคณิตลี อย่างชัดเจน กล่าว คือ ตัวดำเนินการM เป็นไปตามความ สัมพันธ์ การสลับตำแหน่งเดียวกันกับเมทริกซ์M

ตัวอย่างเช่น ภาพของเมทริกซ์ PauliของSU(2)ในแผนที่นี้

${\displaystyle {\vec {J}}\equiv {\mathbf {a} }^{\dagger }\cdot {\frac {\vec {\sigma }}{2}}\cdot {\mathbf {a} }~,}$

สำหรับเวกเตอร์สองตัวa ^† s และa s เป็นไปตามความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งเดียวกันของ SU(2) เช่นกัน และยิ่งไปกว่านั้น โดยอาศัยความสัมพันธ์ความสมบูรณ์สำหรับเมทริกซ์ Pauli

${\displaystyle J^{2}\equiv {\vec {J}}\cdot {\vec {J}}={\frac {N}{2}}\left({\frac {N}{2}}+1\right).}$

นี่คือจุดเริ่มต้นของการศึกษาทฤษฎีโมเมนตัมเชิงมุมควอนตัมของชวิงเกอร์ ซึ่งตั้งอยู่บนสมมติฐานของการกระทำของตัวดำเนินการเหล่านี้ต่อสถานะฟ็อคที่สร้างขึ้นจากกำลังที่สูงกว่าของตัวดำเนินการดังกล่าว ตัวอย่างเช่น การกระทำต่อสถานะไอเกนของฟ็อค (ที่ยังไม่ได้ปรับให้เป็นมาตรฐาน)

${\displaystyle J^{2}~a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ={\frac {k+n}{2}}\left({\frac {k+n}{2}}+1\right)~a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ~,}$

ในขณะที่

${\displaystyle J_{z}~a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ={\frac {1}{2}}\left(kn\right)a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n}|0\rangle ~,}$

ดังนั้นสำหรับj = ( k+n )/2, m = ( k−n )/2จึงเป็นสัดส่วนกับสถานะไอเกน| j , m ⟩ , ^{[ 3 ]}

สังเกตและรวมถึง... ${\displaystyle J_{+}=a_{1}^{\dagger }a_{2}}$${\displaystyle J_{-}=a_{2}^{\dagger }a_{1}}$${\displaystyle J_{z}=(a_{1}^{\dagger }a_{1}-a_{2}^{\dagger }a_{2})/2}$

นอกจากนี้ ยังสามารถรองรับการแสดงแทนแบบไม่สมมาตรของพีชคณิตลีได้โดยใช้ตัวดำเนินการเฟอร์มิออน และดังที่จอร์แดนได้เสนอไว้ สำหรับเฟอร์มิออนตัวสลับจะถูกแทนที่ด้วยตัวผกผันการสลับ ${\displaystyle b_{i}^{\dagger }}$${\displaystyle b_{i}^{\,}}$${\displaystyle \{\ \ ,\ \ \}}$

${\displaystyle \{b_{i}^{\,},b_{j}^{\dagger }\}\equiv b_{i}^{\,}b_{j}^{\dagger }+b_{j}^{\dagger }b_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$

${\displaystyle \{b_{i}^{\dagger },b_{j}^{\dagger }\}=\{b_{i}^{\,},b_{j}^{\,}\}=0.}$

ดังนั้น การแลกเปลี่ยนตัวดำเนินการที่ไม่เกี่ยวข้องกัน (เช่น ) ในผลคูณของการสร้างตัวดำเนินการทำลายล้างจะทำให้เครื่องหมายกลับกันในระบบเฟอร์มิออน แต่ไม่ใช่ในระบบโบซอน รูปแบบนี้ถูกใช้^{[ 4 ]}โดยAA Abrikosovในทฤษฎีของผลกระทบ Kondoเพื่อแสดงสปิน 1/2 เฉพาะที่ และเรียกว่าเฟอร์มิออน Abrikosovในวรรณกรรมฟิสิกส์ของแข็ง ${\displaystyle i\neq j}$

• ทฤษฎีบทโบเรล-ไวล์-บอตต์
• พีชคณิตปัจจุบัน
• ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุม
• การแปลงไคลน์
• การแปลงโบโกลิอูบอฟ
• การแปลงโฮลชไตน์-พรีมาคอฟฟ์
• การเปลี่ยนแปลงของจอร์แดน-วิกเนอร์
• สัมประสิทธิ์ Clebsch–Gordan สำหรับกลุ่มสมมาตร SU(3)# ของตัวดำเนินการแฮมิลโทเนียนออสซิลเลเตอร์ 3 มิติ