กระบวนการไซโคลสเตชันนารีคือสัญญาณที่มีคุณสมบัติทางสถิติที่เปลี่ยนแปลงเป็นวัฏจักรตามเวลา^{[ 1 ]}กระบวนการไซโคลสเตชันนารีสามารถมองได้ว่าเป็นกระบวนการสเตชันนารีที่สลับกันหลายกระบวนการตัวอย่างเช่น อุณหภูมิสูงสุดรายวันในเมืองนิวยอร์กสามารถจำลองได้เป็นกระบวนการไซโคลสเตชันนารี: อุณหภูมิสูงสุดในวันที่ 21 กรกฎาคมนั้นแตกต่างจากอุณหภูมิในวันที่ 20 ธันวาคมในเชิงสถิติ อย่างไรก็ตาม การประมาณค่าว่าอุณหภูมิในวันที่ 20 ธันวาคมของปีต่างๆ มีสถิติที่เหมือนกันนั้นถือเป็นการประมาณค่าที่สมเหตุสมผล ดังนั้น เราจึงสามารถมองกระบวนการสุ่มที่ประกอบด้วยอุณหภูมิสูงสุดรายวันเป็นกระบวนการสเตชันนารีที่สลับกัน 365 กระบวนการ โดยแต่ละกระบวนการจะมีค่าใหม่ปีละครั้ง

มีวิธีการจัดการกระบวนการไซโคลสเตชันนารีที่แตกต่างกันสองวิธี^{[ 2 ]}วิธีการเชิงสุ่มคือการมองการวัดเป็นตัวอย่างของ แบบจำลอง กระบวนการสุ่มเชิง นามธรรม อีกทางเลือกหนึ่งคือวิธีการเชิงประจักษ์คือการมองการวัดเป็นอนุกรมเวลา เดียว ของข้อมูล ซึ่งเป็นสิ่งที่วัดได้จริงในทางปฏิบัติ และสำหรับบางส่วนของทฤษฎี ได้ขยายแนวคิดจากช่วงเวลาจำกัดที่สังเกตได้ไปสู่ช่วงเวลาอนันต์ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทั้งสองนำไปสู่ทฤษฎีความน่าจะเป็น: ความน่าจะเป็นเชิงสุ่มเชิงนามธรรมสำหรับแบบจำลองกระบวนการสุ่ม และความน่าจะเป็นเศษส่วนของเวลา (FOT) เชิงประจักษ์สำหรับแบบจำลองทางเลือก ความน่าจะเป็น FOT ของเหตุการณ์บางอย่างที่เกี่ยวข้องกับอนุกรมเวลาถูกกำหนดให้เป็นเศษส่วนของเวลาที่เหตุการณ์นั้นเกิดขึ้นตลอดอายุของอนุกรมเวลา ในทั้งสองวิธี กระบวนการหรืออนุกรมเวลาจะเรียกว่าไซโคลสเตชันนารีก็ต่อเมื่อการกระจายความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องเปลี่ยนแปลงเป็นระยะตามเวลา อย่างไรก็ตาม ในแนวทางอนุกรมเวลาที่ไม่ใช่แบบสุ่ม มีคำจำกัดความทางเลือกอีกแบบหนึ่งที่เทียบเท่ากัน กล่าวคือ อนุกรมเวลาที่ไม่มีส่วนประกอบคลื่นไซน์แบบบวกที่มีความแรงจำกัด จะกล่าวได้ว่าแสดงคุณสมบัติไซโคลสเตชันนารีก็ต่อเมื่อมีการแปลงแบบไม่เชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาของอนุกรมเวลาซึ่งสร้างส่วนประกอบคลื่นไซน์แบบบวกที่มีความแรงจำกัด (ไม่เป็นศูนย์)

กรณีพิเศษที่สำคัญของสัญญาณไซโคลสเตชันนารีคือสัญญาณที่แสดงคุณสมบัติไซโคลสเตชันนารีในสถิติอันดับสอง (เช่น ฟังก์ชันสห สัมพันธ์อัตโนมัติ ) สัญญาณเหล่านี้เรียกว่า สัญญาณ ไซโคลสเตชันนารีในความหมายกว้างและคล้ายคลึงกับ กระบวนการ สเตชันนารีในความหมายกว้างคำจำกัดความที่แน่นอนจะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับว่าสัญญาณนั้นถูกมองว่าเป็นกระบวนการสุ่มหรืออนุกรมเวลาเชิงกำหนด

กระบวนการสุ่มของค่าเฉลี่ยและฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติ: ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle \operatorname {E} [x(t)]}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=\operatorname {E} \{x(t+\tau )x^{*}(t)\},\,}$

โดยที่เครื่องหมายดอกจันแสดงถึงการผันเชิงซ้อนกล่าวได้ว่าเป็นแบบไซโคลสเตชันนารีในความหมายกว้างที่มีคาบถ้าทั้งและเป็นไซโคลในที่มีคาบเช่น: ^{[ 2 ]}${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \operatorname {E} [x(t)]}$${\displaystyle R_{x}(t,\tau )}$${\displaystyle t}$${\displaystyle T_{0},}$

${\displaystyle \operatorname {E} [x(t)]=\operatorname {E} [x(t+T_{0})]{\text{ สำหรับทุก }}t}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=R_{x}(t+T_{0};\tau ){\text{ สำหรับทุก }}t,\tau .}$

ดังนั้น ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติจึงเป็นคาบในtและสามารถขยายได้ในอนุกรมฟูริเยร์ :

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )e^{j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}}$

โดยที่เรียกว่าฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติแบบวัฏจักรและเท่ากับ: ${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )}$

${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.}$

ความถี่เหล่านี้เรียกว่าความถี่รอบ ${\displaystyle n/T_{0},\,n\in \mathbb {Z} ,}$

กระบวนการสถิตในความหมายกว้างเป็นกรณีพิเศษของกระบวนการสถิตแบบวัฏจักรที่มีเพียงเท่านั้น ${\displaystyle R_{x}^{0}(\tau )\neq 0}$

สัญญาณ ที่ให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับความสัมพันธ์แบบวัฏจักรระหว่างส่วนประกอบสเปกตรัม ฟังก์ชันนี้ ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ ช่วยในการวิเคราะห์สัญญาณไซโคลสเตชันนารี ซึ่งแสดงคุณสมบัติทางสถิติเป็นคาบ ฟังก์ชันความสัมพันธ์เชิงสเปกตรัมเน้นความสัมพันธ์ระหว่างความถี่ที่แยกจากกันด้วยความถี่แบบวัฏจักร α ทำให้สามารถระบุพฤติกรรมของสัญญาณที่ถูกปรับเปลี่ยนหรือมีโครงสร้างในโดเมนความถี่ได้ ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle S_{x}(f,\alpha )}$

ฟังก์ชันนี้ถูกนิยามทางคณิตศาสตร์ดังนี้:

${\displaystyle S_{x}(f,\alpha )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\mathbb {E} \left[X_{T}\left(f+{\frac {\alpha }{2}}\right)X_{T}^{*}\left(f-{\frac {\alpha }{2}}\right)\right]}$.

สัญญาณที่เป็นเพียงฟังก์ชันของเวลาและไม่ใช่เส้นทางตัวอย่างของกระบวนการสุ่มสามารถแสดงคุณสมบัติไซโคลสเตชันนาริตีในกรอบมุมมองของเศษส่วนของเวลา ได้ ด้วยวิธีนี้ ฟังก์ชันออโตคอร์เรเลชันแบบวัฏจักรสามารถกำหนดได้โดย: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )=\lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}x(t+\tau )x^{*}(t)e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.}$

ถ้าอนุกรมเวลาเป็นเส้นทางตัวอย่างของกระบวนการสุ่ม ก็คือ. ถ้าสัญญาณเป็นแบบไซโคลเออร์โกดิกเพิ่มเติม^{[ 3 ]}เส้นทางตัวอย่างทั้งหมดจะแสดงค่าเฉลี่ยเวลาแบบวัฏจักรเดียวกันด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 และด้วย เหตุนี้จึง มีความน่าจะเป็น 1 ${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )=\operatorname {E} \left[{\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )\right]}$${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )}$

การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติแบบวัฏจักรที่ความถี่วัฏจักร α เรียกว่าสเปกตรัมแบบวัฏจักรหรือฟังก์ชันความหนาแน่นสหสัมพันธ์เชิงสเปกตรัมและมีค่าเท่ากับ:

${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)=\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}^{\alpha }(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\mathrm {d} \tau .}$

สเปกตรัมวัฏจักรที่ความถี่วัฏจักรศูนย์ยังเรียกว่าความหนาแน่นสเปกตรัมกำลัง เฉลี่ย สำหรับกระบวนการไซโคลสเตชันนารีแบบเกาส์เซียนฟังก์ชันการบิดเบือนอัตราสามารถแสดงได้ในรูปของสเปกตรัมวัฏจักร^{[ 4 ]}

เหตุผลที่เรียกว่าฟังก์ชันความหนาแน่นความสัมพันธ์เชิงสเปกตรัมคือมันเท่ากับลิมิต เมื่อแบนด์วิดท์ของตัวกรองเข้าใกล้ศูนย์ ค่าที่คาดหวังของผลคูณของเอาต์พุตของตัวกรองผ่านแถบด้านเดียวที่มีความถี่ศูนย์กลางและคอนจูเกตของเอาต์พุตของตัวกรองผ่านแถบด้านเดียวอีกตัวที่มีความถี่ศูนย์กลางโดยที่ความถี่เอาต์พุตของตัวกรองทั้งสองเลื่อนไปที่ความถี่ศูนย์กลางร่วมกัน เช่น ศูนย์ ดังที่สังเกตและพิสูจน์ไว้แต่เดิมใน^{[ 5 ]}${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)}$${\displaystyle f+\alpha /2}$${\displaystyle f-\alpha /2}$

สำหรับอนุกรมเวลา เหตุผลที่ฟังก์ชันความหนาแน่นสเปกตรัมแบบวัฏจักรเรียกว่าฟังก์ชันความหนาแน่นความสัมพันธ์สเปกตรัมก็คือ มันเท่ากับลิมิต เมื่อแบนด์วิดท์ของตัวกรองเข้าใกล้ศูนย์ ของค่าเฉลี่ยตลอดเวลาของผลคูณของเอาต์พุตของตัวกรองแบนด์พาสด้านเดียวที่มีความถี่ศูนย์กลางและคอนจูเกตของเอาต์พุตของตัวกรองแบนด์พาสด้านเดียวอีกตัวหนึ่งที่มีความถี่ศูนย์กลาง โดยที่ความถี่เอาต์พุตของตัวกรองทั้งสองเลื่อนไปที่ความถี่ศูนย์กลางร่วมกัน เช่น ศูนย์ ตามที่สังเกตและพิสูจน์ไว้แต่เดิมใน^{[ 6 ]}${\displaystyle f+\alpha /2}$${\displaystyle f-\alpha /2}$

ตัวอย่างหนึ่งของสัญญาณไซโคลสเตชันนารีคือสัญญาณดิจิทัลที่ถูกมอดูเลตแบบเชิงเส้น  :

${\displaystyle x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}p(t-kT_{0})}$

โดยที่เป็น ตัวแปรสุ่มอิสระและมีการกระจาย เหมือนกันรูปคลื่นเมื่อแปลงฟูริเยร์แล้วจะเป็นพัลส์สนับสนุนของการมอดูเลชั่น ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle p(t)}$${\displaystyle P(f)}$

โดยสมมติว่าและฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติคือ: ${\displaystyle \operatorname {E} [a_{k}]=0}$${\displaystyle \operatorname {E} [|a_{k}|^{2}]=\sigma _{a}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}(t,\tau )&=\operatorname {E} [x(t+\tau )x^{*}(t)]\\[6pt]&=\sum _{k,n}\operatorname {E} [a_{k}a_{n}^{*}]p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-nT_{0})\\[6pt]&=\sigma _{a}^{2}\sum _{k}p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0}).\end{aligned}}}$

ผลรวมสุดท้ายเป็นผลรวมแบบคาบดังนั้นสัญญาณจึงเป็นคาบในtด้วยวิธีนี้สัญญาณจึงเป็นสัญญาณไซโคลสเตชันนารีที่มีคาบและฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติแบบไซคลิก: ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle T_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\,\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}\sigma _{a}^{2}\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0})e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-T_{0}/2-kT_{0}}^{T_{0}/2-kT_{0}}p(\lambda +\tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}(\lambda +kT_{0})}\mathrm {d} \lambda \\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }p(\lambda +\tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}\lambda }\mathrm {d} \lambda \\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}p(\tau )*\left\{p^{*}(-\tau )e^{j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}\tau }\right\}.\end{aligned}}}$

โดยระบุการสังเคราะห์สเปกตรัมแบบวัฏจักรคือ: ${\displaystyle *}$

${\displaystyle S_{x}^{n/T_{0}}(f)={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}P(f)P^{*}\left(f-{\frac {n}{T_{0}}}\right).}$

โดยทั่วไปแล้ว พัลส์ แบบraised-cosineที่ใช้ในการสื่อสารดิจิทัลจะมีเพียงความถี่เชิงรอบที่ไม่เป็นศูนย์ เท่านั้น${\displaystyle n=-1,0,1}$

ผลลัพธ์เดียวกันนี้สามารถได้รับสำหรับแบบจำลองอนุกรมเวลาที่ไม่ใช่แบบสุ่มของสัญญาณดิจิทัลที่ปรับเชิงเส้นซึ่งความคาดหวังจะถูกแทนที่ด้วยค่าเฉลี่ยเวลาอนันต์ แต่ต้องใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ปรับเปลี่ยนเล็กน้อยตามที่สังเกตและพิสูจน์ไว้แต่เดิมใน^{[ 6 ]}

เป็นไปได้ที่จะขยายคลาสของแบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบอัตถา รีเก รสซีฟเพื่อรวมพฤติกรรมไซโคลสเตชันนารี ตัวอย่างเช่น Troutman ^{[ 7 ]}ได้ทำการ วิเคราะห์อัต ถารีเกรสซีฟ ซึ่งค่าสัมประสิทธิ์อัต ^ถารีเกรสซีฟและความแปรปรวนของส่วนเหลือไม่คงที่อีกต่อไป แต่แปรผันเป็นวัฏจักรตามเวลา งานของเขาเป็นไปตามการศึกษาอื่นๆ เกี่ยวกับกระบวนการไซโคลสเตชันนารีในสาขาการวิเคราะห์อนุกรมเวลา [ ^{8 ] [ 9 ]}

ในทางปฏิบัติ สัญญาณที่แสดงวัฏจักรที่มีคาบที่ไม่สอดคล้องกันมากกว่าหนึ่งคาบเกิดขึ้นและต้องการการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีไซโคลสเตชันนารี สัญญาณดังกล่าวเรียกว่าโพลีไซโคลสเตชันนารีหากแสดงจำนวนคาบที่ไม่สอดคล้องกันที่จำกัด และเรียกว่าเกือบไซโคลสเตชันนารีหากแสดงจำนวนคาบที่ไม่สอดคล้องกันที่นับได้เป็นอนันต์ สัญญาณดังกล่าวเกิดขึ้นบ่อยครั้งในการสื่อสารทางวิทยุเนื่องจากการส่งสัญญาณหลายครั้งด้วยความถี่คลื่นไซน์และอัตราสัญลักษณ์ดิจิทัลที่แตกต่างกัน ทฤษฎีนี้ได้รับการแนะนำใน^{[ 10 ]}สำหรับกระบวนการสุ่มและพัฒนาเพิ่มเติมใน^{[ 6 ]}สำหรับอนุกรมเวลาที่ไม่ใช่แบบสุ่ม

ทฤษฎีความหมายกว้างของอนุกรมเวลาที่แสดงไซโคลสเตชันนารี โพลีไซโคลสเตชันนารี และเกือบไซโคลสเตชันนารี ซึ่งมีต้นกำเนิดและพัฒนาโดย Gardner ^{[ 6 ]}ยังได้รับการขยายความโดย Gardner ไปสู่ทฤษฎีของโมเมนต์เชิงเวลาและสเปกตรัมลำดับสูงกว่า และคัมมูแลนต์ รวมถึงทฤษฎีความหมายที่เข้มงวดของการกระจายความน่าจะเป็นสะสม หนังสือสารานุกรม^{[ 11 ]}สอนสิ่งเหล่านี้อย่างครอบคลุมและให้การวิเคราะห์เชิงวิชาการเกี่ยวกับสิ่งพิมพ์ต้นฉบับโดย Gardner และผลงานที่ตามมาของผู้อื่น

ความคงที่ของวัฏจักรมีการประยุกต์ใช้ที่หลากหลายในด้านวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์: ^{[ 12 ]}และ^{[ 11 ]}ตัวอย่างบางส่วนได้แก่:

• ไซโคลสเตชันนาริตีถูกนำมาใช้ในการสื่อสารโทรคมนาคมเพื่อการซิงโครไนซ์สัญญาณ^การเพิ่มประสิทธิภาพเครื่องส่งและเครื่องรับ และการตรวจจับสเปกตรัมสำหรับวิทยุรู้คิด [ ^{13 ]}
• ในด้านข่าวกรองสัญญาณ ความเป็นวัฏจักรจะถูกใช้สำหรับการดักฟังสัญญาณ^{[ 14 ]}
• ในวิชาเศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณ ความเป็นวัฏจักร (cyclostationarity) ถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์พฤติกรรมเป็นช่วงๆ ของตลาดการเงิน
• ทฤษฎีการเข้าคิวใช้ทฤษฎีไซโคลสเตชันนารีในการวิเคราะห์เครือข่ายคอมพิวเตอร์และการจราจรทางรถยนต์
• หลักไซโคลสเตชันนาริตี (Cyclostationarity) ถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์สัญญาณเชิงกลที่เกิดจากเครื่องจักรแบบหมุนและแบบลูกสูบ

สัญญาณเชิงกลที่เกิดจากเครื่องจักรหมุนหรือเคลื่อนที่แบบลูกสูบนั้นสามารถจำลองได้อย่างดีเยี่ยมในฐานะกระบวนการไซโคลสเตชันนารี ตระกูลไซโคลสเตชันนารียอมรับสัญญาณทั้งหมดที่มีคาบแฝงอยู่ ไม่ว่าจะเป็นแบบบวก (การมีอยู่ของส่วนประกอบโทนเสียง) หรือแบบคูณ (การมีอยู่ของการปรับเปลี่ยนเป็นคาบ) ซึ่งเป็นกรณีของเสียงและการสั่นสะเทือนที่เกิดจากกลไกเฟือง ตลับลูกปืน เครื่องยนต์สันดาปภายใน เทอร์โบแฟน ปั๊ม ใบพัด ฯลฯ การจำลองสัญญาณเชิงกลอย่างชัดเจนในฐานะกระบวนการไซโคลสเตชันนารีนั้นพบว่ามีประโยชน์ในการใช้งานหลายอย่าง เช่น ในด้านเสียง การสั่นสะเทือน และความกระด้าง (NVH) และใน การตรวจ สอบสภาพ^{[ 15 ]}ในด้านหลังนี้ พบว่าความเป็นไซโคลสเตชันนารีสามารถขยายสเปกตรัมซองสัญญาณซึ่งเป็นเทคนิคการวิเคราะห์ยอดนิยมที่ใช้ในการวินิจฉัยข้อบกพร่องของตลับลูกปืนได้

ลักษณะเฉพาะอย่างหนึ่งของสัญญาณจากเครื่องจักรหมุนคือ ระยะเวลาของกระบวนการนั้นสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับมุมการหมุนของชิ้นส่วนเฉพาะชิ้นหนึ่ง ซึ่งก็คือ “รอบ” ของเครื่องจักร ในขณะเดียวกัน ก็ต้องรักษาคำอธิบายเชิงเวลาไว้เพื่อสะท้อนถึงธรรมชาติของปรากฏการณ์พลวัตที่อยู่ภายใต้สมการเชิงอนุพันธ์ของเวลา ดังนั้นจึงมีการใช้ ฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติระหว่างมุมและเวลา

${\displaystyle R_{x}(\theta ,\tau )=\operatorname {E} \{x(t(\theta )+\tau )x^{*}(t(\theta ))\},\,}$

โดยที่แทนมุมแทนช่วงเวลาที่สอดคล้องกับมุมและแทนความล่าช้าของเวลา กระบวนการที่มีฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติระหว่างมุมและเวลาซึ่งแสดงส่วนประกอบที่เป็นคาบตามมุม กล่าวคือมีสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์-โบร์ที่ไม่เป็นศูนย์สำหรับคาบเชิงมุมบางค่าเรียกว่า กระบวนการไซโคลสเตชันนารีระหว่างมุมและเวลา (ในความหมายกว้าง) การแปลงฟูริเยร์สองชั้นของฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติระหว่างมุมและเวลาจะกำหนด ความสัมพันธ์ สเปกตรัม ลำดับความถี่${\displaystyle \theta }$${\displaystyle t(\theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle R_{x}(\theta ;\tau )}$${\displaystyle \Theta }$

${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)=\lim _{S\rightarrow +\infty }{\frac {1}{S}}\int _{-S/2}^{S/2}\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}(\theta ,\tau )e^{-j2\pi f\tau }e^{-j2\pi \alpha {\frac {\theta }{\Theta }}}\,\mathrm {d} \tau \,\mathrm {d} \theta }$

โดยที่คือลำดับ (หน่วยเป็นเหตุการณ์ต่อรอบ ) และคือความถี่ (หน่วยเป็นเฮิร์ตซ์) ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f}$

สำหรับความเร็วในการหมุนคงที่ มุมจะเป็นสัดส่วนกับเวลาดังนั้น ความสัมพันธ์อัตโนมัติของมุมกับเวลาจึงเป็นเพียงความสัมพันธ์อัตโนมัติแบบดั้งเดิมที่ปรับขนาดตามวัฏจักร กล่าวคือ ความถี่ของวัฏจักรจะถูกปรับขนาดโดยในทางกลับกัน หากความเร็วในการหมุนเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา สัญญาณจะไม่เป็นแบบไซโคลสเตชันนารีอีกต่อไป (เว้นแต่ความเร็วจะเปลี่ยนแปลงเป็นระยะ) ดังนั้นจึงไม่ใช่แบบจำลองสำหรับสัญญาณไซโคลสเตชันนารี และไม่ใช่แบบจำลองสำหรับไซโคลสเตชันนารีที่บิดเบี้ยวตามเวลาด้วยซ้ำ แม้ว่าจะเป็นค่าประมาณที่มีประโยชน์สำหรับการเปลี่ยนแปลงความเร็วในการหมุนที่ช้าพอสมควรก็ตาม^{[ 16 ]}${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \theta =\omega t}$${\displaystyle \omega }$

• ฤดูกาล

• สัญญาณรบกวนในมิกเซอร์ ออสซิลเลเตอร์ แซมpler และลอจิก: บทนำเกี่ยวกับสัญญาณรบกวนแบบไซโคลสเตชัน นารี ( เอกสารประกอบการนำเสนอ)